重庆市某中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷（含解析）

重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列各式是分式的是（）

1_XX

A4.—B.—C.一

3771

2.下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（）

3.如图，与ADCE是以点E为位似中心的位似图形，若AB=2,CD=4,BC=4,

则BE的长为（）

4.与（01-26）+6最接近的整数是（）

A.0B.1C.2D.3

k

5.如图，在平面直角坐标系中，/XOAB的顶点8在x轴上，反比例函数〉=-伏>0/>0）的

图象经过顶点A,若。4=AB,SA0AB=8,则左的值为（）

O\BX

A.4B.6C.8D.16

6.下列命题为真命题的是（）

A.同旁内角互补

B.三角形的外角大于它的任意一个内角

C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

7.用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个圆，第②个图案中有8个圆,

第③个图案中有H个圆，…，按此规律，若第〃个图案中有35个圆，则〃的值为（）

OOO

OOooo

O§8OO88OO

OoooooOO

0②0O④O

①oo③o

A.9B.10C.11D.12

8.如图,在VABC中，NC=45。，以AB为直径作半圆，分别与AC,交于。，E两点,

点。为圆心，连接OD,OE,DE,若AB=4,则图中阴影部分的面积为（）

A.27r—2B.27i—4C.4TI-2D.4兀一4

9.如图，在正方形ABC。中，E,厂分别为边8和5C上的点，且CE=CF,连接跖，DF,

过。作CG_LD尸交于G,过G作GH_L5石交出:于K,交。厂延长线于〃，若=

则/DHG的度数为（）

试卷第2页，共10页

D

A.2aB.45°--aC.60°-«D.90°-2a

2

10.已知：F(x)=x2+4x,G(x)=2x-3,下列说法：

①当Rx>G(x)=0时，x的值为-4或1；

②若关于x的方程|F(x)|=|G(x)+m|恰有3个不同的实数根，则机的值为3；

③无论机取任何实数，关于x的函数y=F(x)+“?G(x)的最小值都不可能是8.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

11.单项式3片)的系数为.

12.一个不透明的箱子里装有红，白两种颜色的小球共4个，它们除颜色外其他均相同，若

摸出1个小球恰好是白色小球的概率为J,则同时摸出2个小球都是红色小球的概率

为.

13.如图，在四边形ASCD中，AD//BC,NABC的平分线交C。于点E,连接AC和AE,

ACLBC,AE±BE,若AZ)=6,AE=5,贝!|AC=.

5x<3x+8

14.关于x的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于y的分式方程

m-3x<2

--2=—^有整数解，那么符合条件的所有整数机的和为______.

y-3y-3

15.如图，AB是.。的直径，弦CD交AB于点、F,BF=2OF,弦AELCD于点G,连接

CE,CE//AB.若CG=2,贝!]/G=,AB=.

16.一个四位数"各数位上的数字互不相等且均不为0,若将〃的千位数字和百位数字组

成的两位数与M的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四

位数为“方数”.例如:四位数3217,32+17=49=7?,3217是“方数”，则最大的“方数，，

是,若〃=砺是一个“方数”，且-++是整数,则满足条件M的最大值

7

与最小值的差是.

三、解答题

17.计算：

(1)(-D2025+712-|A/3-2|-(7T+血)°；

/~2、2

<d—1|CL+2〃+1j.,।—

(2)先化间，再求值：〃+1---------------------，其中4=血一1.

、Q—5ICl—J

试卷第4页，共10页

18.2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画

电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了

10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述

和分析（评分分数用尤表示，共分为四组:

Ax<70；B.70<x<80；C.80Vx<90；0.904x4100),下面给出了部分信息:

10名女生对《哪吒2》的评分分数：67,77,79,83,89,91,98,98,98,100.

10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82,83,86.

20名同学对《哪吒2》评分统计表

性平均众中位满分占

方差

别数数数比

女

88a90112.210%

生

男

88100b200.250%

生

10名男生对《哪吒2》

根据以上信息，解答下列问题：

⑴上述图表中的。=，b=,m=；

（2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写

出一条理由即可）

（3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》

的评分在。组共有多少人？

19.米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的

掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：

(1)如图，在菱形ABCD中，AC,相交于点。.用尺规在CD右侧作=

在CE上截取CF=OB,并连接。尸.(保留作图痕迹，不写作法)

⑵求证：四边形OCFD是矩形.

证明：四边形是菱形，

:.AC±BD,①.

:.ZDOC=90°.

CF=OB,

ZDCE=ZBDC,

③.

二四边形OCED是平行四边形，

-④.

二四边形OCED是矩形.

米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形ABC。，其余作图过程均不变,

则四边形OCFD的形状是⑤.

试卷第6页，共10页

20.米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价

是敖丙手办单价的1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个，购

买哪吒手办共需2210元，敖丙手办共需1000元.

(1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？

(2)经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低3〃z元，敖丙手办的单价降低加元，结

果购买哪吒手办的数量比原计划增加了2机个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，

最终总费用比原计划多了100元，求机的值.

21.如图1,在RtAABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,E为AC上一点，CE=3,

动点尸从E出发，沿EfAf3方向运动，到达点8时停止运动，连接尸3,PC,设点尸走

过的路程为无，△P3C的面积为V.

⑴请直接写出y关于X的函数表达式，并注明自变量X的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质;

⑶一次函数％=履+7的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数上的取值范围.

22.寒假期间，小明和小亮相约在公园进行跑步练习，两人从公园大门A出发，准备沿路线

AfC33f。跑到终点。，一起跑到C点后，小明体力不支，准备走近路C―小亮

则继续按原计划路线行进，已知点C在点A的东北方向800米处，点B在点A的正东方向,

3c=600米，点。在点C的正东方向，点。在点8的北偏东60。方向上.(参考数据:

夜=1.41,6a1.73，#=2.45)

北

(1)求的长度；(结果保留根号)

(2)同时离开C点后，小明的速度是每分钟120米，小亮的速度是每分钟180米，请通过计算

说明，离开C点多少分钟后，小亮已跑过点3且在小明的南偏东15。方向上？(结果精确到0.1)

试卷第8页，共10页

23.如图，已知抛物线4=改2+法-3(。W0)与工轴交于点4(-2,0),8(3,0),与y轴交于点

C,连接AC,BC.

(1)求该抛物线解析式；

(2)如图1,点尸是直线BC下方抛物线上一动点，过点「作功*〃'轴，交BC于D,点E为

直线AC上一动点，连接PE,当PO+且C。有最大值时，求尸E+冬叵AE的最小值；

213

(3)如图2,将抛物线绕点(1,0)旋转180。得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，将

△AOC沿射线方向平移，在平移过程中，若存在平移后的三角形恰有两个顶点同时落

在新抛物线上，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情

况的过程.

24.如图，VABC为等边三角形，。为BC中点，过点A作线段所，连接。E,交于点

G,连接。尸，交AC于点M且4=60。.

⑴如图1,若DE=DF,BD=3,BG=4,求CH的长；

(2汝口图2,连接AD,过。作于M,若AP=DG,求证：AM=AH+^AG；

⑶如图3,AB=6,AG=CH,连接G/f,M为直线G8上一动点，将GH绕点X逆时针旋

转120。至HG,连接BG,当BG取最小值时，直线BC上方存在一点M使得ZBND=60。,

连接MN,请直接写出MN的最小值.

试卷第10页，共10页

《重庆市南开中学2024-2025学年下学期九年级第一次月考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DABBCDCADA

1.D

【分析】本题考查了分式的定义，即一般地，如果A,8表示两个整式，并且B中含有字母，

A

那么式子g叫做分式.根据分式的定义进行判断即可.

D

【详解】解：A.；是整式，不符合题意；

B.1是整式，不符合题意；

C.二是整式，不符合题意；

兀

D.3是分式，符合题意；

X

故选：D.

2.A

【分析】本题考查了轴对称图形的识别.根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一

条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

【详解】解：选项A找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，

选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，所以不是轴对称图形，

故选：A.

3.B

【分析】本题考查了相似图形的性质，位似图形与相似图形的关系.根据位似图形的性质，

得到ABEs,DCE,根据相似三角形的性质，即可求解.

【详解】解：：ABE与△OCE是以点E为位似中心的位似图形，

.ABE^-DCE

,BE_AB

VAB=2,CD=4,BC=4,

,BE2

"4-BE~4，

4

解得：BE=~,

故选：B.

答案第1页，共27页

4.B

【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算法则

和算术平方根的性质是解题关键.

【详解】解：(721-273)^73=77-2

,/6.25<7<9

/.2.5<V7<3

/.0.5<V7-2<1,

•••与(0T-2g)+V3最接近的整数是1

故选：B.

5.C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数%的几何意义，过点A作轴

1k

于点C,根据等腰三角形的性质以及反比例函数%的几何意义，可得SAOC=5SAOB=4=5,

即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作轴于点C,

=

,,SAOC~^AOB=4=-

:.k=8,

故选：C.

6.D

【分析】本题考查的是真假命题的判断，行线的性质，三角形的外角，垂线的性质，平行四

边形的判定定理，掌握以上知识是解题的关键.根据平行线的性质，三角形的外角，垂线的

性质，平行四边形的判定定理判断即可.

答案第2页，共27页

【详解】解：A.两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意；

B.三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，原命题是假命题，故该选项不符合题意；

C.同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题，故该

选项不符合题意；

D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是真命题，故该选项符合题意.

故选：D.

7.C

【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，找到变换规律是解题的关键.根据前3个图中

的个数找到规律，得出第n个图案中圆圈的个数为：3力+2个圆圈，根据题意再求解.

【详解】解：第①个图案中有1+3+1=3+2=5个圆圈，

第②个图案中有1+2X3+1=2X3+2=8个圆圈，

第③个图案中有1+3x3+1=2+3x3=11个圆圈，

…,

则第九个图案中圆圈的个数为：3〃+2个圆圈，

第"个图案中有35个圆，则3〃+2=35,

解得：〃=11

故选：C.

8.A

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，扇形面积的计算；根据已知

得出NA+ZB=135。，根据。4=OD,O8=OE,得出NODA=NA,N0E3=,进而根据三

角形内角和定理以及平角的定义得出/DOE=1SO°-(ZAOD+ZBOE)=90°,再根据半圆的

面积减去三角形。OE的面积即可求解.

【详解】解：：在VABC中，NC=45。，

ZA+ZB=135°

又：OA=OD,OB=OE

：.ZODA=ZA,ZOEB=ZB

.ZAOD+NBOE=360。-2(ZA+NB)=90。

/.ZDOE=180°-(ZAOD+ZB(9E)=90°

答案第3页，共27页

图中阴影部分的面积=1nx22-1x2x2=2兀-2

22

故选：A.

9.D

【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理的应用;

过点H作/于点N,设GH,3c交于点Af,得出NNHF=NCDF=45。一a,证明

BCE^..DCF（SAS）,得出/£BC=/FDC=45。-。，根据三角形内角和定理得出

NMHN=NKBM=45°—a,即可求解.

【详解】解：如图所示，过点H作m，于点N,设GH,5c交于点M,

BM\7FC

H

:四边形ABC。是正方形，

BC±CD,ABCD,Z.BDC=ZDBC=45°,BC=CD

：.HN//AB//CD

：.ZNHF=Z.CDF=45。—cr,

•/CE=CF,NBCE=NDCF,BC=CD

/.BCE经,DCF(SAS)

：.ZEBC=ZFDC=45°-(z

BK±HK,HN±BC,

：.ZBKM=ZHNM

又：ZBMK=NHMN

：.ZMHN=4KBM=45°-a

：.Z.DHG=AMHN+ZFHN=90°-2a

故选：D.

10.A

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程,

答案第4页，共27页

熟练掌握以上知识是解题的关键.解方程无(％+4)=0或2%-3=0,即可判断①，画出函数

图象，可得1/(01=[6。)+〃“恰有3个不同的实数根，则|G(x)+同=|2x-3+训必过原点或

H，0),得出m=3或机=11,即可判断②，求得最小值一加②-7〃L4=8,解方程即可判断

③.

【详解】解：①/(x)-G(x)=O,

尸(%)=%?+4%=0或G(x)=2x-3=0,

・・・Q+4)=0或2%-3=0

3

解得：%=0或%=T•或尤=5；故①不正确，

②如图所示，|尸(%)|=卜2+4乂，|G(x)+m|=|2x-3+^

若["%)|=|G(%)+如恰有3个不同的实数根，则|G(x)+W=|2x-3+制必过原点，或(-4,0)

；・一3+根=0或2x(-4)-3+机=0

解得：机=3或机=n,故②不正确

③y=F(x)+mG(x)=%2+4x+m(2x-3)

=x2+(4+2m)x-3m

最小值为y=422=-12*(4+2〃"=一病7m一4

4。4

当—m2-7m-4=8

解得：m=-4或机=-3,故③不正确；

故选：A.

11.3

【分析】此题考查单项式的系数定义，熟记定义并应用解答问题是关键.单项式中的数字因

答案第5页，共27页

数是单项式的系数，根据定义即可得到答案.

【详解】解：单项式3片。的系数为3,

故答案为：3.

12.—/0.5

2

【分析】本题考查了概率公式，列表法求概率；根据概率公式得出白色小球有1个，则红色

小球3个，进而列表法求同时摸出2个小球都是红色小球的概率，即可求解.

【详解】解：•••一个不透明的箱子里装有红，白两种颜色的小球共4个，摸出1个小球恰好

是白色小球的概率为

4

白色小球有1个，则红色小球3个，

列表如下

白红红红

白白红白红白红

红白红红红红红

红白红红红红红

红白红红红红红

共有12种等可能结果，其中摸出2个小球都是红色小球的共有6种，

所以摸出2个小球都是红色小球的概率为2=1

故答案为：—

13.8

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理；取A8的中点产,

以为直径作一厂，根据题意可得A民CE在一月上，根据角平分线的定义可得

ZABE=NEBC,则=即可得出=，进而证明=得出CD=10,在

及△ACD中，勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图所示，取48的中点F，以为直径作F,

答案第6页，共27页

VAC±BC,AEYBE

：.ZAEB=AACB=90°

・・.A氏C,E在F±

•・•BE平分NABC

：.AABE=ZEBC

JAE=EC

：.AE=EC

：.ZEAC=ZECA

又・・,4)〃3。

/.ZDAC=ZACB=90°

：.ZECA-^-ZD=90°

XVZEAC+ZEAD=90°

：.ZEAD=ZEDA

：.ED=EA=5

：.CD=EC+DE=\Q

在R3ACD中，AC=yjAC2-AD2=V102-62=8

故答案为：8.

14.13

x<4

【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出m-2,结合

I3

p

不等式组有解且最多有3个整数解，求出54机<14,解分式方程得出y=一结合关于

—2

y的分式方程有整数解，得出m=5,租=8,即可得解.

答案第7页，共27页

x<4

5x<3x+8

【详解】解：解不等式组得1m-2,

m—3x<2x>-------

3

:不等式组有解且最多有3个整数解,

.ym—2.

..1<----<4,

3

解得：5<m<14,

解关于y的分式方程公-2=嗫得"去

•••关于y的分式方程有整数解,

，7"—2=±1或〃7—2=±2或〃7—2=±4或加一2=±3或%—2=±12或力2—2=±6

12

・.•加为整数,且5K加<14,m-2^0,----。3

m-2

m丰2,m丰6

m=5,m=S

那么符合条件的所有整数加的和为5+8=13,

故答案为：13.

15.46g

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，弧与圆周角的关系，等腰三角形的性质，勾

股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键；连接BE,先证明四边形C£B尸是平行四边形，

进而证明△APGs/VWE得出/G=4,连接AC,OC,过点C作CHLAF得出

AC=BE=CF=6,在Rt^CHO,RtaFCH中，勾股定理表示出AC,进而建立方程，解

方程，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接3E,

设=

：AB是直径

ZAEB=90°

答案第8页，共27页

：.ZABE=90°-a

又•・,AE^CD

：.ZAFG=90°-a

：.DC//BE

'：AB//CE

・・・四边形CEBF是平行四边形，

：.BE=CF

FG//BE

・•・/\AFG^/\ABE

.AFFG

・•法一拓

•:BF=2OF,^OA=OB=r,则=工厂

3

14

AF=r+—r=—r

33

又BE=FC=FG+CG=FG+2

4

・・・铲二FG

2r~FG+2

解得：FG=4

：.BE=6,

如图所示，连接AC,OC,过点。作

u：AB//CE

：.ZACE=ZBAE=a

•'­M=SE

：.AC=BE=CF=6

答案第9页，共27页

AH=HF=-r

3

HO=HF-OF=-r--r=-r

333

在RtAC”。中，HC2=OC2-HO2^2--r2^-r2,

r99

在中，HC2=CF2-HF2=62-Q=36-^r2

•••史守守

解得：r=3币（负值舍去）

AB=2r=6#)

故答案为：4,6出1.

16.98716894

【分析】本题考查了完全平方数，整式的加减，二元一次方程组的解，整除；根据题意最大

的方数前两位为98,再找132,根据98+71=169=132,求得最大的“方数”；根据①M各数

位上的数字互不相等且均不为0；②5a+4A+6c+4d是7的倍数，③lO（a+c）+0+d）是一

个完全平方数，得出10（a+c）+（6+d）=144,121,100,81,64,49,进而找到最大的"和最小的

M,即可求解.

【详解】解：依题意，一个四位数M各数位上的数字互不相等且均不为0,

最大的方数前两位为98,

又；98+76=176>169,

98+71=169=132

•••9871是最大的“方数”；

,.TOa+b+4（10c+d）+100a+106+c

=110a+llZ?+41c+4J

=105。+5。+76+46+35。+6。+4<7是7的倍数，

5。+4b+6c+4d是7的倍数，

当M=9871时，5x9+4x8+6x7+4x1=123不是7的倍数，

,•,〃=砺是一个“方数”，

答案第10页，共27页

则lOa+6+lOc+d即10（a+c）+（6+d）是一个完全平方数，M各数位上的数字互不相等且均

不为0,

A10（tz+c）+（Z?+rf）=144,121,100,81,64,49

当M=144时，a+c=14,b+d=4或。+。=131+1=14

经检验，a=9,c=5,b=3,d=\,满足〃+c=14,Z?+d=4

且5a+4〃+6c+4d=5x9+4x3+6x5+4xl=91是7的倍数，贝!JM最大为9351

当"=49时，a+c=4,b+d=9,经检验，没有满足条件的值，

当M=64时，a+c=5,b+d=14,经检验，没有满足条件的值，

当Af=81时，a+c=7,b+d=ll,

经检验，a=2,c=5,b=4,d=Q,满足a+c=4,Z?+d=9

且5a+48+6c+4d=5x2+6x5+11x4=84是7的倍数，贝最小为2457

・••满足条件M的最大值与最小值的差是9351-2457=6894

故答案为：9871,6894.

17.⑴5+3百

2「

（2）------;-A/2

〃+1

【分析】本体考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键；

（1）根据二次根式的性质化简，根据零指数幕与负整数指数幕进行计算即可求解；

（2）先根据分式的混合运算进行计算，再将°=应-1代入化简结果进行计算即可求解.

【详解】（1）解：（-1）2025+^-173-2|+-（7T+V2）0

=-1+273-（2-73）+9-1

=-1+26-2+6+9-1

=5+3A/3

+2a+1

（2）解:

ci—3

(a+1)(a-3)-a?+1a-3

3(a+l)2

答案第11页，共27页

Q?-2〃-3-a?+1

（61+1）2

_-2（tz+l）

（〃+1『

__2

〃+1

2L

当4=&-］时，原式=一石^^7=一也.

18.（1）98,93,10

（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析

⑶450

【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众

数，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）根据中位数，众数的定义求得。力，进而得出评分在B的人数，求得优的值；

（2）根据中位数和众数分析，即可求解；

（3）用400和500分别乘以评分在。组的占比，即可求解.

【详解】（1）解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67,77,79,83,89,91,98,

98,98,100.

98出现最多，贝1］。=98,

根据统计表可得满分的有10*50%=5人，则中位数为第5和第6个数据，10名男生对《哪

吒2》的评分分数在C组的数据是：82,83,86.

则按从小到大排列，第5个数据为86,第6个数据为100,

根据扇形统计图可得评分分数为A和8的人数和为10-10x50%-3=2,且A8的人数都不

为0，

评分分数为A和8的人数都是1人

M％=100%=10%,则机=10

故答案为：98,93,10.

（2）男生更喜欢《哪吒2》，理由如下：

根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》

答案第12页，共27页

(3)400x—+500x50%=200+250=450(人)

10

19.(1)见解析

(2)BO=DO；CF=OD；CF//OD；NDOC=90。；菱形

【分析】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，作一个角等于已知角，熟练掌

握以上知识是解题的关键；

(1)根据题意用尺规在CD右侧作=在CE上截取=并连接DF,

即可求解.

(2)根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空，进而根据矩形的性质与菱形的判定定理

证明OCED是菱形，即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，

(2)证明：四边形ASCZ)是菱形，

:.AC±BD,BO=DO.

:"DOC=90。.

CF=OB,

CF=OD.

/DCE=/BDC,

：.CF//OD.

四边形OCFD是平行四边形，

ZDOC=90°.

四边形OCFD是矩形.

米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形A2CD改为矩形A2CD,其余作图过程均不变,

则四边形OCED的形状是菱形，理由如下

四边形ABCD是矩形，

/.AC=BD,BO=DO.

OD=OC

答案第13页，共27页

CF=OB,

CF=OD.

ZDCE=ZBDC,

CF//OD.

，四边形OCFO是平行四边形,

OD=OC.

，四边形OCFD是菱形.

20.（1）哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元；

⑵加的值为1

【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关

键；

（1）设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为1.3尤元，根据题意列出分式方程，解

方程，即可求解；

（2）由（1）得出计划购买敖丙手办20个，哪吒手办34个，根据题意列出关于加的一元二

次方程，解方程，即可求解.

【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为尤元，则哪吒手办的单价为L3x元，根据题意得，

解得：x=50

经检验x=50是原方程的解，且符合题意,

1.3%=1.3x50=65（元）

答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元；

（2）解：由（1）可得计划购买敖丙手办鬻=20个，哪吒手办20+14=34个

据题意得，（65-3〃?）（34+2M）+（50-祖）（20+2）=2210+1000+100

解得：机=1或机=0（舍去）

答：加的值为1

—x+—（0<x<2）

21.（l）y=P5

（2）见解析

答案第14页，共27页

71

⑶心飞或左=一万

【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，动点问题的函数图象：

4

（1）先利用勾股定理求出AC=5,贝。sinC=M，再分点P在AB和AC上两种情况，过点尸

作POL8c于。，解直角三角形求出PO,进而根据三角形面积计算公式求解即可；

（2）根据（1）所求画出对应的函数图象，进而写出对应的函数图象性质即可；

（3）根据（2）的图象，分两种情况讨论，进行求解即可.

【详解】（1）解：：在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,

AC=yjAB2+BC2=5,

3四）

AC5

•；CE=3

：.AE=AC-CE=5-3=2；

当04%K2,即点尸在AC上时，过点尸作于。,

由题意得：PE=x,

4

:・PC=PE+CE=3+x,PD=PCsinC=-（3+^）

：.y=-CB-PD=-x3x-（3+x}=-x+—-,

-225V755

当2<x«6,即点尸在AB上时,

PB=AE-]-AB-x=2-]-4-x=6-x

113

y=-PBBC=-（6-x）x3=--x+9；

6

-x+y（O<X<2）

5

综上所述，，=

3

——x+9（2<x<6）

[2

（2）解：列表格如下:

答案第15页，共27页

X026

18

60

yy

如图所示，即为所求;

由函数图象可知，当尤=2时，y有最大值6；

(3)如图所示，

当弘=区+7经过(2,6)时，一次函数％=履+7的图象与y的图象有且仅有1个交点，

即6=2%+7,解得—=—

2

当％=区+7经过(6,0)时，一次函数％=履+7的图象与y的图象有且仅有1个交点，

7

即0=6左+7,解得％=—

6

7

根据函数图象，可得当乙时，一次函数必=履+7的图象与y的图象有且仅有1个交点，

6

71

综上所述：女《-》或无=-；；时，一次函数必=履+7的图象与y的图象有且仅有1个交点

62

22.(1)200+400"米

(2)9.2分钟

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角以及三角函数的定义是解题的关

答案第16页，共27页

键；

（1）过点C作于点E,过点B作3PLCZ）于点尸，分别求得CE,C尸，即可求解;

（2）小亮和小明分别位于点G,，，设f分钟后，小亮已跑过点B且在小明的南偏东15。方向

上，根据题意得出。G=DH,进而表示出两人的路程，建立方程，解方程即可求解.

【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点E,过点B作成，CD于点尸，

北

依题意，四边形CEB尸是矩形，ZCAE=45°,ZFBD=6Q°,C4=800m

BF=CE,

在RtACE中，CE=AC.sin/CAB=800x^l=400Mn,

2

BF=C£=400V2m.

在RtACBF中，CF=^CB--BF2=^6002-（400>/2J=200m,

在RtBFD中,DF=BF-tanZFBD=400A/2x73=400V6m

CD=CF+FD=200+400A/6（米）

（2）如图所示，小亮和小明分别位于点G,〃，设f分钟后，小亮已跑过点B且在小明的南

偏东15。方向上,

北

依题意，Z£>=30°,ZDGH=90°-15°=15°

：.NGHD=75°=ZDGH

：.DG=DH,

设DG=DH=am

在RtBFD中,BD=2BF=800gm，

：.BH=（800V2-<7）m

答案第17页，共27页

小明的路程为：120t=CD-DG,即120/=200+400面一a,

解得：a=200+400指一120f

小亮的路程为：180r=CB+BH=600+80072-a=600+80072-(200+400面-120r)

即180r=600+800后-(200+400n-120。

解得：=4。♦+2。-2。«，9.2分钟

3

11八

23.(l)y=-x9--x-3

(2)PE+冬叵AE的最小值为g

132

-a、，(39V<363、

⑶M的坐标为|---|或|

IZo)1Z4U)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可;

(2)求出C(0,-3),得出OC=OB=3,进而可得/OCB=45。，求出直线8C的解析式为

y=x-3,作Z)K_LOC于K,则DK=C。•sin/DCO=受CD,设

2

-；根-3卜0<〃7<3),则£)(加，加一3)。？=-3疗+|.〃2,DK=m,表示出

PD+^CD=PD+DK=--(m-^\+—,由二次函数的性质可得当m=』时，

22(2)82

PD+变C。的值最大，为3,此时尸号寻，作OV，直线x=-2于N,直线x=—2

28U8；

于H,PGJ_直线x=-2于G,求出//E=AE-sin/EA8=M^AE,得到

13

PE+M®AE=PE+HE,由两点直线线段最短并结合垂线段最短可得，当尸、E、H在同

13

一直线上，且PG直线x=—2时，PE+冬叵AE的值最小，为PG=9-(-2)=g,即可得解；

132''2

1Q3

(3)求出新抛物线的解析式为丁=-：/+**+2,得出新抛物线的对称轴为直线x=；,

再分两种情况：当△AOC平移后的△AQG的直角边在新抛物线上时，此时直线。。।交新

抛物线的对称轴于Mi；当AAOC平移后的△AUG的斜边在新抛物线上时，此时直线。O?

交新抛物线的对称轴于加2；分别求解即可.

【详解】(1)解：：抛物线>=++弧一3(4*0)与x轴交于点A(-2,0),8(3,0),

答案第18页，共27页

J4a-2。-3=0

[9a+3b-3=0

1

a=——

7

解得：，

b=——

[2

.••抛物线的解析式为y=一;x-3；

(2)解:在y=g/-gx-3中，当x=0时，>=-3,即C(0,-3),

OC=OB=3,

：.ZOCB=45°,

设直线BC的解析式为y=kx+bl,

3k+b=0

将C(0,-3),8(3,0)代入解析式可得1

b、=—3

...直线BC的解析式为y=x-3,

如图，作OKJ_OC于K,则DK=05.sin/OCO=^C。,

2

设P^m,-^m2-^m-3j(0<m<3),则Z)(m,m-3),

<11)13

DP=m-3-\—m2——m-3=——m2+—m,DK=m,

(22)22

PDH-----CD=PD+DK=——m2+—m+m=——m2+—m=——m——H,

222222\2J8

答案第19页，共27页

2

当相4时，9+孝。的值最大，为g此时%-2一3一|,即「59

2，-8

作CN1•直线％=-2于N,EH_L直线尤=-2于H,PG_1_直线％=-2于G,

VC(0,-3),4-2,0),

CN=2，AN=3，

AC=ylCN2+AN2=V13，

.CN2

sin/CA