重庆市某中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题（含解析）

重庆市第一中学校2024——2025学年九年级下学期第一次月考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列四个数中，无理数是（）

A.1B.1C.0D.一近

2.如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）

A.三棱锥B.圆锥C.三棱柱D.四棱锥

3.下列运算结果等于/的是（）

A.a2+aB.a-a2C./+/D.（-a）3

4.如图，AB//CD,若/1=65。，Z2==120°,则N3的度数是（）

:点B

A.45°B.50°C.55°D.60°

<?（尤）在反比例函数'=的图象上，则马的大

5.若点A（%,-2）,5（^,1）,3,2-33,

X

小关系是（）

A.Xj<x2<x3B.9〈工3〈玉

C.x3<x2<xxD.x2<x1<x3

6.一个多边形有14条对角线,那么这个多边形的边数是（）

A.5B.6C.7D.8

7.将一组数出，瓜，3,2。,，后，…，技，…，按以下方式进行排列，则第六行左

起第3个数是（）

第一行73

第二行763

第三行2否A/153A/2

A.3A/5B.4A/3C.5D.3娓

8.如图，为矩形ABCD的对角线，AB=1,BC=拒,以点C为圆心，以BC长为半径

画弧鹿，交8。延长线于点E,则图中阴影部分的面积为（）

8y----------1c

35/3小4兀3石n6

A.71-—B.兀一-----C.D.71

42----------------------32---------------------------2

9.如图，在正方形ABC。中,点E是边CD的中点，连接AE,将沿AE折叠至正方形

内部，得到线段AF,延长AF交3c于点G,延长砂交BC于点8,若AB=4,连接CP,

则团-CF的长为（）

AD

S

BHGC

A82百口846„102&104亚

35353535

10.定义两个新运算4（%生，，见㊉耳也，，2)=(4+。2++an)(Z?1+Z?2++2)，

巩qq,.,c“⑤4&，；：',且4+4++4,片0,下列说法正确的有（）

ciyI-0^2~I--I-a■葭

①若A,—3㊉〃,4)=0,则机=3或九=-4；

②若B(2a(8)/?,c)=_B(2Z?0a,c)=_B(2c(8)〃,/?)=左,贝!|左=1

若A]X㊉—x,—T,S1=M,,%2,x+1区2x,2x2)=N,

当时，贝!J5WM+2NW8；

④若A(l,2,,9㊉—1,—2,,一,—9)=〃，B(^013,23,.,93)=q,则|x+pl+|x-ql+|x+pgl的

最小值为2025.

试卷第2页，共10页

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

12.中国四大名著分别是《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》和《三国演义》，现将背面完全

一样，正面分别写有四大名著名字的4张卡片洗匀后放在桌面上且背朝上，小明同时抽取两

张，则恰好抽到《西游记》和《水浒传》这两张卡片的概率是.

13.如图，在VA3C中，AB^AC,点。是线段8C上的一点，连接AD,将线段AD绕着

点A顺时针旋转得到线段AE,S.ZBAC=ZDAE,连接BE,DE.若黑=|■且。石=4,

AE2

则NBDE的周长为

有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程

2-言二矢的解为整数,则所有满足条件的整数”的和是——

15.如图，。是VABC的外接圆，AE是，:。的直径，与，。相切，且与8C的延长线

交于点过点C作C/〃AD分别交AB,AE于凡G两点，若AF•AB=25,则AC=

3

且tanZABC=-,则EG=.

16.规定：一个四位正整数M的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足千位数字

是百位数字的2倍，个位数字比十位数字大3,则称这个四位数M为“贰叁数”.若将M的

千位数字与百位数字组成的两位数记为叫，将M的十位数字与个位数字组成的两位数记为

rn2,例如：当"=2169时，/为21,啊为69.记歹（M）=叫;％,若一个“贰叁数”M的

千位数字为。，百位数字为6,十位数字为。，个位数字为d,当下（加）为整数时，则

b+c=；且2尸（/）+4（。-1）-24为完全平方数，则所有满足条件的正整数M之和

是.

三、解答题

17.计算：

(l)(2x-y)z+(x-y)(x+y)+(6xy2-3/)^(-3y)；

1m2+m(、mm2-4m+4

（2）先化简，再求值:-----------------+1----------其中7M=A/3.

m+1m-2Im+2m2-4

18.春回大地，万物复苏，某中学开展了“趣味自然”知识竞赛.现从该校八、九年级学生中

各随机抽取10名学生的知识竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用尤表

示，共分成四组，A：80Vx<85；B：85Vx<90；C：90Vx<95；D：95<x<100）,下

而给出了部分信息：

八年级10名学生的知识竞赛成绩分别是：81,85,98,97,90,95,98,83,89,92；

九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90,94,91,93.

八、九年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表

八年九年

年级

级级

试卷第4页，共10页

平均

90.890.8

数

中位

91b

数

众数C97

九年级抽取的学生知识竞赛成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中。=,b=,c=.

(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生在“趣味自然”知识竞赛中的成线更

好？请说明理由(写出一条理由即可)；

(3)该校八年级有55。名学生，九年级有600名学生参加了此次知识竞赛，估计该校八、九

年级参加此次知识竞赛成绩优秀(xN95)的学生人数是多少？

19.在学习了特殊平行四边形的性质了之后，小明发现：对于夹在两条平行线之间的线段,

作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行

线的两个交点所构成的四边形是菱形.小明证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等

知识得到此结论，根据他的想法和思路，完成以下作图和填空：

(1)如图，AB//CD,连接A£).用尺规作图：作线段4)的垂直平分线EG,分别交48,AD

和于点E,尸和G,连接DE和AG(不写做法，保留作图痕迹)；

⑵已知：AB//CD,连接AD.线段的垂直平分线EG分别交AB,和C。于点E,

F和G,连接OE和AG.求证：四边形AEDG是菱形.

证明：•①

:.ZEAF=ZGDF.

EG垂直平分A£)

二届工仞且②一，

在AAEF和△DG尸中，

ZEAF=ZGDF

<AF=DF

③

AEF咨DGF(ASA)

:.EF=GF,

则四边形AEDG是④」

EGA.AD

.•・四边形血心是菱形.

进一步思考，如果ZADC=45。，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形A匹G是

⑤」

试卷第6页，共10页

20.2025年春节，随着《哪吒2》电彩的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办.已

知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办

和2个“敖丙”手办共需540元.

⑴每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？

(2)由于电影角色深受大家喜爱，所以玩具公司决定对两款手办进行降价促销，若降价后每

个“敖丙”手办的售价是每个“哪吒”手办售价的1.3倍，且用800元购买“哪吒”手办的数量比

用520元购买“敖丙”手办的数量多5个，求降价后每个“哪吒”手办的售价为多少元？

21.如图，在四边形ABC。中，AB//CD,ZADC=90°,AB=3,A£>=4,CD=8,连接

BD,动点尸从点A出发沿折线A-3-D方向运动，动点0从点C出发沿C-O方向运动，

动点P,。的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点。时，P,。两点时同时停止

运动，连接。P,BQ.设运动的时间为x秒(。〈尤<8),记ZW3P的面积为外,△3CD的面

积与△BC。的面积之比为为.

(1)请直接写出％,为分别关于》的函数表达式，并注明自变量x的取值范围;

⑵在给定的平面直角坐标系中画出函数%,%的图象，并写出X的一条性质；

（3）结合函数图象，请直接写出口〈%时x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过

0.2）.

22.如图，某景区平面地图中景点。在出发点A的正北方向900米处，观景台8在出发点A

的西北方向且在景点D的西南方向，在出发点A的北偏东30。方向有一条栈道AC通往游客

中心C,游客中心C在是点。的北偏东75。方向上.（参考数据：73^1.73）

⑴请求出栈道AC的长度（结果保留根号）；

（2）小明计划从出发点A前往景点。，可以选择路线①沿A-3-。慢跑，也可以选择路线②

沿A-C-O骑滑板车，小明慢跑的速度为每分钟120米，骑滑板车的速度比慢跑的速度每分

钟快60米，请问小明应该选择哪条路线可以先到达景点。？（结果保留小数点后一位）

试卷第8页，共10页

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=办2+版+2(。*0)交_¥轴于4(-1,0),8(3,0)两

点，连接BC.

⑴求抛物线的表达式；

(2)点P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点尸作垂足为点£>,点M,N为

直线8C上的两个动点(点M在N的左侧)，且MN=叵,连接PN.当线段尸£)的

2

长度取得最大值时，求OM+MN+NP的最小值；

(3)将该抛物线沿CB方向平移,使得新抛物线y'经过点8且与直线BC相交于另一点K,点Q

为新抛物线了上的一个动点，当N@Q-NO8C=45。时，请求出所有符合条件点。的坐标

(写出必要的求解过程)

24.在等边VABC中，点。，E分别在边AB,AC上，连接CO,BE.

图1图2图3

⑴如图1,CO交BE于点凡BD=CE,ZCBF.ZECF=1:3,若。/=若+1,求线段BC的

长；

(2汝口图2,连接OE,过点A作AF1DE交BC于点R若NACD+/ABE+/ECF=120。，

用等式表示线段AF,OE的数量关系，并证明；

(3)如图3,AB=6,若点D为AB中点，点E为线段AC的三等分点(AE>CE),在直线CO

上有一动点P,连接R4,将以绕点P顺时针旋转60。得到尸。，在平面内有一点F,满足

CF=CE,连接防，若点N为9中点，当EQ+N。的值最小时，请直接写出谶区的面

积.

试卷第10页，共10页

《重庆市第一中学校2024——2025学年九年级下学期第一次月考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCBCBCDADA

1.D

【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数.有理数是整数与分数

的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定

选择项.

【详解】解：A、1是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；

B、；是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；

C、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；

D、一0是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意.

故选：D.

2.C

【分析】本题主要考查棱柱和棱锥，熟练掌握棱柱和棱锥的特点是解题的关键.根据有两个

三角形作为顶面和底面，即可判断几何体的形状.

【详解】解：则该几何体是三棱柱.

故选C.

3.B

【分析】本题主要考查同底数幕的计算，熟练掌握同底数幕的乘法和除法运算法则进行计算

是解题的关键.根据运算法则计算出答案进行判断即可.

【详解】解：/和。不是同类项，不能计算，故选项A不符合题意；

心/="3,故选项B符合题意；

a^a2=a2,故选项C不符合题意；

(-a)3=-a3,故选项D不符合题意；

故选B.

4.C

【分析】本题主要考查三角形的外角性质以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题

的关键.根据平行的性质得到NACD=65。，再由三角形外角的定义求出答案即可.

【详解】解：AB//CD,Zl=65°,

答案第1页，共30页

.\ZACD=Z1=65°,

ZACD+N3=N2,

/.Z3=Z2-ZACD=120。—65°=55°.

故选C.

5.B

【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题

的关键.根据反比例的函数图像进行求解即可.

【详解】解：左=~4<0,图像在二、四象限，

故y随兀的增大而增大，

-2<1<2

x2<x3<xlt

故选B.

6.C

【详解】略

7.D

【分析】本题考查了探究规律一数字类型,二次根式;前五行的数的个数为1+2+3+4+5=15,

第六行左起第3个数是第18个数，即可求解；能找出规律是解题的关键.

【详解】解：由题意得

前五行的数的个数为1+2+3+4+5=15,

二第六行左起第3个数是第18个数，

当〃=18时，

岛=J3xl8=3

故选：D.

8.A

【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，本题中能够将不规则图形的面积进行转换成规则

图形的面积差是解题的关键.

连接CE,过点C作CF1.BE,垂足为尸，结合解直角三角形求得=30。，然后根据

等腰三角形的性质和扇形面积公式分析计算.

【详解】解：连接CE,过点C作CF1.3E,垂足为F，

答案第2页，共30页

E

H

由题意可得N3CD=90。，AB=CD=1,

DC1_V3

在RtA5CD中,tanZ.DBC=

・•・ZDBC=30°,

在RtVBCV中，sinZFBC=—=-,cosZFBC=-,

."W*BC2BF2

BC=EC,

：.ZDBC=ZBEC=30°fBE=2BF=3

：.ZBCE=120°,

120%x(@

图中阴影部分的面积=S_s工3速*空，

u扇形uBCE

360224

故选：A.

9.D

【分析】过/作FMLCD交于M,连接EG,由相似三角形的判定方法得EFMsEHC,

由相似三角形的性质得FM黑=§FM《=若EF，由正方形的性质及折叠的性质，同理可证

HCECEH

要==警，设3G=x，可得AG2=f+i6，由HL可判定RtEFG^RtECG,由全

HGFGHF

等三角形的性质得尸G=CG=4-x,由勾股定理得CF=J~02+Q02,即可求解.

【详解】解：过尸作7^，8交于连接EG,

EFMsEHC,

答案第3页，共30页

.FMEM_EF

,法一正一而‘

四边形ABC。是正方形，

:.AB=BC=AD=CD=4,

ZB=ZD=ZBCD=90°f

£是CD的中点，

:.DE=CE=2,

由折叠得：

ZAFE=ZD=90°,

EF=DE=CE=2,

AE=AD=4，

ZGFH=ZEFG=90°,

:./B=/GFH,

ZABG=ZHFGf

ABG^HFG,

.AG_BG_AB

'HG~FG~HF"

设BG=x,

:.CG=4-x,

/.AG2=BG2-^-AB2

=x2+16,

在RtZXEFG和RtECG中

jEF=EC

[EG=EG9

RtEFG乌RtECG(HL),

,\FG=CG=4-x,

:.AG=AF+FG

—8—xj

(8-x)2=x2+16,

解得：x=3,

「.5G=3,

答案第4页，共30页

FG=CG=\,

AG=5,

.5_3_4

..诟―1一库,

解得：HG=",

HF=~,

3

:.CH=CG+HG

_8

-3,

EH=EF+HF

」+2

3

_10

=,

3

.FMEM_2

3~3

Q

解得：FM=-,

EM=|,

：.CF=-JFM2+CM2

5

EH-CF

10A亚

~~3一-5-

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的

判定及性质，勾股定理等；正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三

角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键.

10.A

答案第5页，共30页

【分析】本题主要考查新定义运算，熟练掌握新定义是解题的关键.根据题中的新定义得出

(m-3)(n+4)=0,然后求出根、〃的值即可判断①；根据题中的新定义得出

2(a+/?+c)=Z:(2a+2Z?+2c),然后分a+Z?+cwO,a+/?+c=O讨论求出女，即可判断②；

根据新定义可求出M+2N=-f+6x,然后根据二次函数的性质即可判断③；先根据新定义

求出p=—2025,q=-l,然后分当％<—2025,-2025<x<l,x=l,l<x<2025,%之2025讨

论，利用不等式的性质和绝对值的意义求出|x-2025|+|%-l|+|x+2025|的取值范围，即可

判断④.

【详解】解：A(肛—3㊉〃,4)=0,

即(加一3乂〃+4)=0,则机=3或〃=-4,故①正确;

B(2a®b,c)=B(2b®a,c)=B{2c®a,b)=k,

la2b2c.

即Rn----=----=----=k,

b+ca+ca+b

:.2a=k(b+c),2b=k(a+c),2c=k(a+b),

gp2(a+Z?+c)=左(2a+2Z?+2c),

当a+Z?+cwO时,

k=l9

当Q+Z?+C=0时，b+c=-a,

aar

/.kT=------=——=-1,

b+c—a

综上，人的值为-1或2,故②错误；

㊉—x,—^-,5^=M.,+]区2%,2x?)=N,

:.M=x[-x-\+s\=-x1--+5x,N="+'+x+l

{x2Jx2x+2x2

:.M+2N

%3+%?+九+1

=-x2--+5x+2

X2x+2x2

/+尤2+%+1

=-x1--+5x+

Xx+x2

2TSAI?)"：】)

X尤(％+l)

答案第6页，共30页

=—X2---1--Fu5%H--八--十--工--

XX

21c1

XX

=—x2+6x

=_(尤_3)。9,

抛物线开口向下，

3一1>4—3,

•・・当x=3时，M+2N有最大值为9,当尤=1时M+2N有最小值为5,

:.5<M+2N<9,故③错误；

若4(1,2,,9㊉一1,—2,,-9)=p,B(p0l3,23,,93)=q,

z、/、/、2(1+9)x9

.”=(1+2+…+9)(—1一2—…-9)=一(1+2+…+9)=-$—=-2025,

p-2025-20251

a—..........................=--------------------=---------=—1,

13+23+...+9313+23+...+932025

Ix+p\-3t-\x-q\+\x+pq|=|x—20251+1x—l\+1x+20251,

当兀<-2025时，

|x-20251+1x-11+1x+20251=2025-x+l-x-x-2025=-3x+l,

A-3x4-1>6076；

当-2025vxvl时，

|x—20251+1%—11+1x+20251=2025—x+1—%+尤+2025=4051—x,

・•・4050<4051-x<6076；

当x=1时，I%—20251+1龙一11+1%+20251=2024+0+2026=4050；

当lvxv2025时，

|x—20251+1x—11+1x+20251—2025—x+龙-1+龙+2025=%+4049,

工4050<A:+4049<6074,

当无22025时，

|x-20251+1x-11+1x+20251=2025+%-1+%+2025=3%-1,

3x-l>6074,

综上，|%-20251+1x-11+1x+20251>4050,当x=l时，|%-2025|+|%-1|+|%+2025|有最

小值为4050,故④错误.

答案第7页，共30页

故选：A.

11.V3-2

【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值以及负整数指数幕，熟练掌握运算法则是解题的

关键.根据运算法则进行计算即可.

【详解】解：原式=2x走-2=若-2.

2

故答案为：依-2.

12.-

6

【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.根据题

意列表，再由概率公式进行求解即可.

【详解】解：设《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》和《三国演义》的卡片分别为A、B、C、D,

ABcD

A(B,A)(C.A)(AA)

B(A3)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(AD)(B,D)

共有12种等可能的情况，根据题意一共有2种情况满足题意,

故答案为：—.

6

13.10

【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质,

结合旋转的性质判定则进一步证明贝|

A5Be

—=—,即可求得2C,那么，VBDE的周长为£B+Br>+ED=OC+3r)+£E)=CB+£D

AEED

即可.

【详解】解：■■■ABAC=ZDAE,BPZBAD+ZDAC=ZDAB+ZEAB,

ZDAC=ZEAB,

答案第8页，共30页

由旋转得/场=A£>,

：AB=AC,

DAC^£AB(SAS),

DC=EB,

ABAE

-ZBAC=ZDAE,

ACAD

・•.ABAC^AEADf

ABBC

AEED

AB3

DE=4,

~AE2

BC—6,

则VBDE的周长为EB+5D+£Z)=r)C+5r)+ED=CS+£D=4+6=10,

故答案为：10.

14.13

【分析】本题考查了含有参数的一元一次不等式组及含参数的分式方程，解不等式组得

112

---<x<5,解分式方程得y=—,根据不等式组及分式方程解的情况，即可求解；

2fl25-a

能熟练解含有参数的一元一次不等式组及含参数的分式方程，能根据解的情况确定参数是解

题的关键.

【详解】解：解不等式组得：|a-1<x<5,

不等式组有且只有两个奇数解，

22

解得：3<tz<7,

••—2<5—a<2,

2

解分式方程得：y=--,

5-a

分式方程的解为整数，

「.5—ci—il—2，

解得：〃=4或6或7；

aw4,

答案第9页，共30页

，〃=6或7；

6+7=13；

故答案为：13.

15.5—

102

【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，

连接CE,根据切线的性质和圆周角定理得出=由平行线的性质可得

ZDAC=ZACF,从而得出NB=/ACF,再证明ACF-ABC,根据相似三角形的性质得

3

出AC=5；由NB=NACF得tanNACF=《，设AG=3x,则CG=5x,在RtACG中，由勾

股定理得天=士叵，PT^AG=^^,CG=^^,连接OC,设OC=R,得

343434

OG=R-^-j34,由勾股定理得R=3庖，从而可求出EG.

346

【详解】解：连接无，如图，

：.ZAEC=ZABC,

是。的直径，

・•・NACE=90。，

.・.ZAEC+ZCAE=90°,

TA。是。的切线，

NDAE=90。,

ZDAE+ZCAE=90°,

・•・ZAEC=ZDAC,

：.ZABC=ZDAC,

・.・CF//AD,

：.ZACF=ZDAC,

：.ZABC=ZACF,

答案第10页，共30页

又NCAF=NBAC,

：.CAF^BAC,

,AC_AF

"AS"AC'

AC2^AFAB=25,

，AC=5（负值舍去）；

VtanZABC=-=—,

5CG

.•.设AG=5x,贝UCG=5x,

在RtACG中，CG2+AG2=AC2,

：.（54+（3x）2=52,

解得国，

AG=—V34,CG=—,

3434

连接OC,设OC=R,

OG=R-—y/34,

34

在RtAOCG中，CG2+OG1=OC2，

解得，R=3扃,

o

/.AE=2R=）5,

3

EG=AE-AG=-A/34-—V34=—734,

334102

故答案为：5；J^-A/34.

16.712694

【分析】①根据千位数字是百位数字的2倍，个位数字比十位数字大3,可得。=%,

d=c+3,所以有lWb<5,l<c<7,且6、。均为整数，所以可得：

尸（出）=处产=丝詈9，根据能被5整除的数的个位是0或5,可知216+llc的个位

数为2或7,又因为四位正整数”的各个数位上的数字均不为0且互不相同，所以可知

216+11c的个位数为7；

答案第11页，共30页

②把2“加）+4（。-1）一2d整理可得：2尸（河）+4（0-1）-21=经上手上，根据能被5整

除的数的个位数是。或5,可知8乃+12c的个位数是4或9,又因为6的值为1、2、3、4,

c的值为1、2、3、4、5、6,可知826+12c的个位数不能是9,只能是4,又因为

2尸（/）+4（。-1）-2d为完全平方数，所以只有当6=2、c=5和当6=4,c=3时满足条件，

求出此时的Af即可.

【详解】①解：M的千位数字为。，百位数字为6,十位数字为。，个位数字为d,

..a—2b，d=c+3,

则有1VZ?<5,l<c<7,且6、c均为整数，

/.g=10a+b=10x2b+b=21b,m2=10c+d=10c+c+3=llc+3,

.网⑷=%+色=216+11C+3,

为整数，

r.2仍+11C+3的个位数为0或5,

21Z?+llc的个位数为2或7,

；.6+c=2或7,

四位正整数河的各个数位上的数字均不为0且互不相同，

.•.216+11c的个位数为7,

:.b+c=l；

②解：-2pM+4（"］）_24=2（2仍］1卜+3）+4（21）_2,+3）为完全平方数,

整理得：2网町+4（a—I）—2d=82「+1；44,

二826+12。-44的个位数是0或5,

82b+l2c的个位数是4或9,

b的值为1、2、3、4,。的值为1、2、3、4、5、6,

若82Hl2c的个位是4,

—44

当6=1,c=6时，2F（M）+4（a-l）-2d=—--------=22,

22不是完全平方数，

，不符合题意；

当6=2,c=5时，2网町+4伍_1）_2d=82义2+12><544=36,

答案第12页，共30页

,36是完全平方数，

符合题意，

此时。=26=4,d=c+3=8,

...M=1000。+1006+10c+4=4258；

当Z?=3,c=4时,

82x3+12x4-44“

2F（M）+4（＜7-l）-2t/=-----------------------=5（J,

5

,50不是完全平方数,

不符合题意;

当b=4,c=3时,

82x4+12x3-44-

2F（M）+4（＜z-l）-2rf=----------5----------=64,

64是完全平方数,

止匕时a=2b=8,d-c+3=6,

=1000。+1006+10c+d=8436；

82b+l2c是偶数，

.-.82&+12C的个位不可能是9,

符合条件的M有4258和8436,

所有满足条件的正整数”之和是4258+8436=12694.

故答案为：①7；②12694.

【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算、完全平方数，

解决本题的关键是根据千位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字大3,得到：a=25,

d=c+3,列出关于6、。的代数式.

17.（l）5x2—6xy+y2

.771+2i—

⑵力，一

【分析】本题主要考查完全平方公式，平方差公式以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则

是解题的关键.

（1）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可;

（2）先根据分式的化简运算法则进行化简，再代数求值即可.

【详解】（1）解：原式=4/一4孙+/+Y-/一2孙+/

答案第13页，共30页

=5x2—6xy+y2；

/、古力1m(m+l)m+2m)(m+2)(m-2)

⑵解：原式二=1.7丁+m+2m+2J(m-2)2

m2(m+2)(m-2)

m-2m+2(m-2)2

_m+2

m-2'

将根=6代入，

原式=熏=-7-4瓜

18.(1)30,92,98

(2)九年级，理由见详解

(3)估计400人

【分析】本题考查了众数和中位数的定义，并利用众数和中位数进行决策，样本估计总体等；

(1)九年级10名学生的竞赛成在。组中的数据个数为10-10xl0%-10x20%-4,即可求

出。，由中位数的定义得中间两个数为91,93,即可求出6,由众数的定义可求。，即可求

解；

(2)比较中位数，即可求解；

(3)先求出八年级10名学生的知识竞赛成绩中优秀所占百分比，由样本估计总体，即可求

解；

理解中位数、众数的定义，能用中位数、众数进行决策，会用样本估计总体是解题的关键.

【详解】(1)解：九年级10名学生的竞赛成在。组中的数据个数为：

10-10xl0%-10x20%-4=3,

3

<2%=—X100%=30%；

10

将九年级10名学生的竞赛成绩在c组中的数据从小到大排列为：

90,91,93,94.

九年级10名学生的竞赛成绩的中间两个数为91,93,

.-.Z?=l(91+93)=92；

八年级10名学生的知识竞赛成绩最多的是98,

.,.<?=98,

故答案为：30,92,98；

答案第14页，共30页

(2)解：九年级；

理由：平均成绩相同，而八年级成绩的中位数为91分低于九年级成绩的中位数92分;

(3)解：八年级10名学生的知识竞赛成绩中优秀所占百分比为：

4

—X100%=40%,

10

550x40%+600x30%=400(人),

答：估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩优秀(xN95)的学生人数400人.

19.(1)图形见解析

(2)AB//CD,AF=DF,ZAFE=/DFG,平行四边形，正方形.

【分析】本题主要考查全等三角形的判定，垂直平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握性质

定理是解题的关键.

(1)根据垂直平分线的作图步骤画图即可；

(2)根据垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质证明△AEF名△OGP(ASA),即

可得到结论.

【详解】(1)

(2)解：AB//CD,

:.ZEAF=ZGDF.

.EG垂直平分AD

;.EG_LAD且=厂,

在aAEF和ADGF中，

ZEAF=ZGDF

<AF=DF

ZAFE=NDFG

:“.AEF咨ADGF(ASA)

：.EF=GF,

则四边形AEDG是平行四边形,

答案第15页，共30页

EGLAD

.•・四边形皿心是菱形.

进一步思考，如果2ADC=45。，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形AEDG是

正方形.

四边形AEDG是菱形，

AG=DG

/ADCM5°,

../GAD=45°

/AG。=90°,

故菱形AEOG是正方形.

故答案为：AB//CD,AF=DF,ZAFE=/DFG,平行四边形，正方形.

20.(1)每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是100元、120元

⑵降价后每个“哪吒”手办的售价为80元

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用；

(1)等量关系式：每个“敖丙”手办的售价-每个“哪吒”手办的售价按售价便宜=20元，购

买3个“哪吒”手办的费用+2个“敖丙”手办的费用=540元，列方程组，即可求解；

(2)等量关系式:用800元购买“哪吒”手办的数量-用520元购买“敖丙”手办的数量=5个，

列方程，即可求解；

找出等量关系式是解题的关键.

【详解】(1)解：设每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是x元、y元，由题意得

(y-x=20

13无+2y=540'

答：每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是100元、120元;

(2)解:降价后每个“哪吒”手办的售价为。元，由题意得

8005200

=5,

a1.3。

解得：a=80,

经检验：〃=80是所列方程的根，且符合题意；

答案第16页，共30页

答：降价后每个“哪吒”手办的售价为80元.

2x

8

21.(1)Ji=S648,%=一

—x~\x

[55

(2)见解析，当0<xV3时，y随x的增大而增大

(3)0<x<2或7.1<x<8

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，掌握一次函数与反比例函

数综合应用是解题的关键.

(1)由勾股定理得到8。=5,当点P在A5上时，S=尤x4=2元，

12

当点尸在8。上时，过点A作AELfiD于E,根据等面积法求出AE=f,则

S=1x(8-x)xy=-|x+y,再求出SBCD=；C£>XA£)=Jx8x4=I6,

SBCQ=CQxAD=-^-xx4=2x,由止匕可求出％;

(2)根据(1)所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可；

(3)求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数％图象在函数为图象下方方时自变量

的取值范围即可.

【详解】(1)解：：AB〃CD,

/.ZADC+ZDAB=1?,O°,

'：ZADC=90°,

：.ZDAB=90°,

在RtZXABD中，AB=3,AD=4,

BD=\lAB2+ADr=A/32+42=5，

如图1,当0<xV3时,AP=x，如图1,

S=：AP-A£)=；xx4=2尤,即％=2x(0<x<3)；

当3Vx<8时，如图2,过点A作

答案第17页，共30页

B

-ADAB

AE=^~--------4x312

-BD5

2

而DP=3+5—x=8-x

：.SMP尸•4石=1(8_彳)乂乜=_9尤+竺，即y=_£尤+里

如22V7555-155

2x(0<x<3)

综上，％=<-|^+y(3<^<8)

CD=8,AD=4

SBCQ=gCQxAD=；xx4=2x,

,•OBCD=-CDxAD=-x8x4=16,

22

168

,,%二五

x

2x(0<x<3)

(2)解：①画648/c°、的图象:

——x+(3<x<8)

列表:

X1238

y2460

描点，连线，如图:

答案第18页，共30页

Q

画％=2的图象，

X

列表得,

X1245

y8421.6

描点，连线，如图:

性质：当Ov%K3时，y随X的增大而增大;

y=2x

(3)解：联立方程组8，

y=-

X

JCr.——2

解得,A（舍去）

.%=-4

648

y=——x+——

55

联立方程组

8

y=一

X

70

整理得，x2-Sx+—=0,

解得，了=4+^^。7.1或x=4-^^

33

由函数图象可知，当0<x<2或7.1V%<8时，必<%.

22.(1)450+450如米

(2)路线②

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质；

(1)过。作。E2AC交于E,由直角三角形的特征得。E=^AD=450AE=AZ).cos/ZME,

2

由等腰三角形的性质求出CE,即可求解；

(2)①由等腰三角形的判定及性质及三角函数得AB=3r>=AZ>sin45。，求出此条路线是

CE

时间；②CD=.求出此条路线是时间，即可求解；

smZCDE

能熟练利用三角形函数解直角三角形是解题的关键.

【详解】(1)解：过。作DE1AC交于