重庆某中学2024-2025学年高二年级下册寒假测试（开学考试）数学试题（含答案）

数学测试题

一、单选题

1.已知直线Q4+4g+5=0与直线56+(Q—l)g+a=0平行，则Q=()

A.4B.春C.-4或5D.—4

2.已知等差数列｛QJ中，出+。9=24,则log2(Q3+o7)=()

A.8B.4C.16D.—4

3.一动点在圆炉+靖=i上移动时，它与定点B(2,3)连线的中点轨迹方程是()

A.(2r一2尸+(2g—3)2=1B.(4-a;)2+(6-y)2=1

C.(2+2)2+(夕+3)2=1D.(rc+2)2+(y+3)2=4

4.已知双曲线T=l(a>0,b>0)的虚轴长为2四,P为。上一点，过点P向。的两条渐近线作垂

出0

线，垂足分别为4,8区4卜9日=半，则双曲线。的方程为()

A———=iB-———10-___——1D—1

52T472TC，104-1D—20__—8T

5.已知椭圆。：考■+g=l(a>fe>0)上存在两点关于直线2c—v—1=0对称，若椭圆离心率为

a"b

乎，则上W的中点坐标为()

O

A.信总)B.(2)3)C,(1~，—十)D.(y,-y)

6.等比数列｛厮｝共有2rl项,其和为240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比g=()

A.+B.2C.1D.

7.已知函数/(0=与+mln,—2c,(0,+s)有两个极值点，则实数机的取值范围是()

A.(—co,0]B.(—co,l]C.[—1,+co)D.(0,1)

8.设/(,)=,(2—3)二若方程/㈤=%(%CR)有3个不同的根a,b,c,则abc的取值范围为()

A.(-4,0)B.(-2,0)C.(0,4)D.(0,2)

一、步J2B网

9.已知S”是数列｛飙｝的前九项和，2S”=3an—1,则下列结论正确的是()

A.数列｛册｝是等差数列B.数列｛册｝是递增数列

n-1D.$“=与」

C.an=3

10.直线l-.x—my—2—O(mER)与立轴的交点F为抛物线C:y2—2px(p>0)的焦点，若点O为坐标原点,I

与。交于两点.则()

A.p=8

[第1页(共13页)】

B.OA-OB^-12

C.以线段AB为直径的圆被y轴截得的弦长为定值

D.△OAB重心横坐标的最小值为《

O

11.若数列｛册｝满足的=1,a?=L册=a“T+O„-2(n>3,neN+),则称数列｛册｝为斐波那契数列,又称黄金

分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是

()

A.。6=8B.Q1+。3+1-0-2019+。2021=。2022

Fao2o+^2022—0-2023

C.3an=an-2+an+2(n>3)D.a2+a4+a6H---2

三、填空题

2

12.若过点P(—1,—2)作圆C:(x-1)+(沙—2)2=16的切线，切点为人,则IAP|=.

13.双曲线。:"―萼=l(a>0,6>0)的左、右焦点为耳，月，以月为圆心，Q£|为半径作圆月，过其作直线

azb

Z与圆E切于点M■.若/■在双曲线的渐近线上,则双曲线的离心率为.

14.已知抛物线。:婿=2Pmp>0)的焦点为尸，过F作直线交抛物线。于45两点,过A,B分别作准线I的

垂线，垂足分别为M,N,若■和AeFN的面积分别为8和4,则的面积为

四、解答题

15.己知函数/(2)="—41nc.

⑴求曲线沙=/0)在点(i,/(i))处的切线方程；

(2)求函数/(土)的单调区间.

16.已知等比数列｛册｝的前n项和为且数列｛Sn+2｝是公比为2的等比数歹!J.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)若鼠=.—,数列｛0｝的前几项和为£,求证：7；<J.

n(7l+1)CCn+l2

［第2页(共13页)】

17.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，A。〃BC,4B，4D,AB=BC,AD=3BC,

/&4。=45°,点七在线段40上,满足4£=2即,点?为5后的中点.

⑴证明：CF〃平面SAB；

（2）若SE，平面ABCD,求直线SB与平面SAD所成角的正弦值；

（3）在⑵的条件下,求平面SAB与平面SCD所成角的余弦值.

18.如图，已知圆月的半径为4,|母引=2,P是圆月上的一个动点，月P的中垂线交EP于点Q,以直线用用

为啰轴，用£的中垂线为沙轴，建立平面直角坐标系，

（1）求点Q的轨迹E的方程；

（2）若过点用的直线Z与轨迹E交于点4,5,

⑴若三角形的面积为*，求直线AB的方程；

（位）探究田轴上是否存在一点“，使得直线MA,MB的斜率之积为定值.若存在，求出点朋■的坐标和定

值，若不存在,请说明理由.

19.已知｛aJ是各项均为正整数的无穷递增数列，对于keN*,设集合为=｛ieN*限＜%｝,设瓦为集合Bk中

的元素个数，当a=0时，规定既=0.

（1）若a”=九2,求上，&2,瓦7的值；

（2）若册=2”,设帆的前几项和为S”,求S*；

（3）若数列｛4｝是等差数歹！J,求数列｛册｝的通项公式.

［第3页（共13页）】

参考答案

1.D

【分析】利用两直线平行的条件，列式求出Q值.

由直线a/+4g+5=0与直线5/+(Q—l)y+a=O平行，得，=手卷，

所以a=-4.

故选：。

2.B

【分析】利用等差数列的性质求解.

解：由等差数列的性质知出+。4+。9=3恁=24,

所以禽=8,

所以。3+。7=205=16,

所以log2(a3+a7)=log216=4,

故选

3.A

【分析】设出动点坐标并根据中点坐标公式代入可得轨迹方程.

设动点坐标为(0,%)，中点坐标为(工,y)；

易知(/o,%)满足就+潴=1，

可得e。+2=22因此卜=2，-2

U+3=2y…U=2y-3

代入可得(2,一2尸+(2V一3尸=1.

故选：A

4.A

【分析】先得到6和渐近线方程，并设点P(nz,n),则2W—4九2=2Q2>O,由点到直线距离公式得到

方程，求出Q2=5,得到双曲线方程.

由题意得26=22,解得6=方，

双曲线渐近线方程为y=±\~2必即ay±V2x=0,

设点P(m,n)，则鸟—片-=1,即2m2—a2n2-2a2>0，

az2

则F(m,n)到两渐近线方程的距离分别为,

/riip/iiIORI_腹—+a同—a却_12m2一(?疗|_2a?_此

所RHV^+2_a2+2

解得a2=5,

故双曲线方程为C：专一4=1.

0乙

【第4页(共13页)】

故选：A

5.A

【分析】设点河（如如、N（曲，纺），线段的中点为E（割,%），由己知条件可得出■，利用点差法以

及点石在直线如―沙―1=0上，可得出关于g、％的等式，解出这两个量的值，即可得出线段7W的中点

坐标.

（_/1+42

g—9

设点跖0,%）、以电,纺），线段皿的中点为七（%%）,则阴,

19。=\2

由题意，椭圆的离心率为e=詈=产产=J-.=T，可得营=出，

因为M\N关于直线22—?/—1=0对称,且直线27一9一1=0的斜率为2,

1

2

2

g1

I

xl--X

+b2

a2

将点M、N的坐标代入椭圆方程可得，2

遛s2

-I

+b2-X

、O?

上述两个等式作差可得再递+纥逅=0,

Wbz

可得比一蟾=%+纳.%=_生,

%或一退力1+62/1一力24'

即•（一—）=一《，即患=看，即2工o=32,

NJ/04O«Z?QO

又因为点石（g,%）在直线2力—g—1=0上，则2g—窝―1=0,

（_3_

则有[产—斐—1=°，解得&—=3故线段上W的中点为住

[2x0=3y0L,-i'42，

故选：A.

6.D

【分析】结合题意列方程组分别求出S奇，S偶，再由等比数列的性质求出结果即可.

设等比数列｛册｝的奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S偶.

由题意可得上二：

解得仁°,

所以q=M=.

故选：D.

7.D

l第5页（共13页）】

【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个变号零点可求实数m的取值范围.

r(c)=,+2_2=——2工+馆

J'/XX5

因为/(,)有两个极值点，故r0)有两个变号零点，

故22—2工+m=0在(0,+co)上有两个不同的解，故｛:1二^_47Tl>0，

所以0<m<1,

故选：D

8.C

【分析】由题可得k=abc,利用导数求出/(为的极值,当k位于极小值与极大值之间时，可使/(c)=A:有3

个不同根,即可得答案.

因方程/(①)CR)有3个不同的根a,b,c,

则/(rr)—k—(rc—a)(re—6)(rc—c)=cQ—3)?—k,经比较系数可得A;=abc,

则问题等价于，当方程八。)=k有三个不同根时，k的范围，

即/(①)图象与夕=%有三个交点时，k的范围，

注意到了(2)=2(力—3)2=砂一6炉+9x=>f'｛x｝=3x2—12x+9—3(x—3)(x—1),

令产(x)>0nrC(—oo,l)U(3,+oo)；令?(工)<0=>rc6(1,3),

则/(,)在(—8,1),(3,+8)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

则/(,)极大值为/(I)=4,极小值为/(3)=0,

则要使/(①)图象与y=k有三个交点，k需在极小值与极大值之间，即ke(0,4).

故选：C.

9.BCD

【分析】利用斯与S”的关系，结合数列增减性的判断、等比数列的通项公式与求和公式即可得解.

因为2Sn=3a”—1,

当n=1时，2sl=2al=3的一1,解得出=1/0；

当？1>2时，2S“-i—3an-i—1,则2a“=2Sn—2Sn-i=3<zn—1—(3an_i-1),

整理得斯=3厮t，则卫=3(n>2),

an-l

所以｛斯｝是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误，

则数列｛厮｝是递增数列，故B正确，

且an=3"T,S"=lxf'3n)=司舁，故61P正确.

故选：BCD.

IQ.BD

【分析】4求得直线口-机沙-2=0与c轴的交点即可；历由直线与抛物线方程联立，利用数量积运算

结合韦达定理求解即可；C：设的中点为M(xo,泱),表示以|为直径的圆的方程为(①—3)2+

(夕一为)2=号上求解；D：由重心的坐标公式求解.

4易知直线族—政一2=0与c轴交于点(2,0),即F(2,0),所以号=2,解得p=4,故A错误；

B：由选项_4知抛物线。:娟=8力,设4(力1,如,_8(力2,仍)，

由『二一.片。,得]6=。,所以卜什纳二泮

iy=82-16

得xrx2—(%"=4,所以OA,=2巡2+明。2=—12,故B正确；

[第6页(共13页)】

。:设AB的中点为则&='^匕=4m2+2,|48|=皿+工2+4=8机2+8,所以以|AB|为直

径的圆的方程为（立-工J+（y-%了=粤匚，

即（a;—4m2—2）2+（y—4m）2=16m4+32m2+16,设该圆与"轴交Rg,%）,。（窗,％），令力=0,得好―

8my-12=0,所以为+阴=8m,y3y4=-12,

所以I统一词=/（阴+统）2-47统=V64m2+48=4V4m2+3,

所以以|AB|为直径的圆被y轴所截的弦长为4VW+3,不是定值，故。错误.

D：由选项B知AOAB的重心的横坐标为°+『2=馆叫纳）+4=8m1+4>4,

OOOO

当且仅当馆=0时，等号成立，故。正确；

故选：BD

11.ABC

【分析】对A,根据递推公式即可判断;对8利用时-=册+2—厮判断；。利用数列的性质，结合斐波那契

数列的前几项和即可判断;对。，根据递推公式，即可判断.

又寸A.:G>i—1,0>2=1，0>n~~Q-n-l+。九—2（九>3,九GNQ,

所以。3=。2+=2，*=。3+电=3，恁=。4+。3=5，

期二。5+。4=8,故A正确；

对8：由Q九+2=G'n+1+Q九，

可得％+1=。n+2—%，

・，・的+。3+。5T----卜。2021

=©+（。4—电）+（。6—。4）H-----H（。2022—。202。）

=©+。4—。2+。6—。4+…+。2022—。2020

=—电+0-2022

=1—1+0-2022

=。2022,故B正确；

对。：厮=an-i+册_2（九>3,GN+）,

=a

可得册+2n+i+Q/i=2a九+an-i=3a九一％一2，

即有3%=an-2+an+2,（九>3）,故。正确；

对于。：。2+。4+a6H----F（12024=Q1+（。2+。3）+（。4+。5）H-----H（电022+。2023）=52023，故。不正确.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛:本题考查斐波那契数列的递推公式，以及其偶数项和奇数项的和的求解;处理问题的

关键是通过递推公式，找到相邻项的和与差的关系

12.2

【分析】根据两点间距离公式得到|PB|,然后利用勾股定理求\AP\即可.

由题意得圆。的圆心坐标5（1,2）,半径r=4,BA，AP,

【第7页（共13页）】

则炉日=上1—1）2+（—2—2）2=2西，

所以|AP|=J|FBF—r2=2.

故答案为：2.

13.2

【分析】根据|。制为半径作圆号得到加月，AYa从而AMF,F2=30°,不妨设M在第一象限则

”c,乎c），然后根据点刊在渐近线y="上求解.

因为飒，朋|峭|=、㈤£|=c,

所以乙MEE=30°,

因为点M■在渐近线y-^-x上,

所以2=V3,

a

所以e=Jl+（£）=2.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题.

14.8V2

【分析】设直线AB的方程为x=my+^,（东仇），由条件结合设而不求法确定m,p的关

系，由此确定结论.

过点F的斜率为0的直线与抛物线有且只有一个交点,不满足要求，

故可设直线人晶一g+5，代入抛物线方程，

消元可得y2—2Pmy-p2=0,

设"（为'%'8（啬'纺卜则y1y2=一元?1+92=2Pm,

,li/il=y(2p+^)*1如=8,

S^BFN--^\BN\­|例|=2(第+§)•⑸=4,

,2.2

S^AFM・SgFN~+今+［（优+澧）•底的

=^-(m2+l),

2

于是S^AFM-SABFN=与(m+l)=8X4=32,即?n?+1=,

4P，

•'•SZWFN=1阴—%I=晋］(yi+yj-4ylyz=p2Vm2+i==8V2.

故答案为：8A/2.

【第8页（共13页）】

15.（l）2a;+y-3=0.

（2）单调减区间是（0,2）,单调增区间是（四,+oo）.

【分析】（1）求出导函数r（M，计算导数r（i）得切线斜率,再求得AD后由点斜式得切线方程并整理成一

般式；

（2）由f（x）>0得增区间，由以x）V0得减区间.

【小问1详解】

⑺=2c—5,r⑴=2—4=—2,又/⑴=1,

所以切线方程为y—1=—2（/—1）,即2力+沙一3=0.

【小问2详解】

/⑺—X1—41113；,定义域是（0,+00）,

/，（⑴=21—*=2.一丹（,+方）,

当o</<四时,/（2）<o,当,>四时,/3）>o,

所以于㈤的单调减区间是（0,V2），单调增区间是（2,+00）.

16.（l）a„=2n

（2）证明见解析

【分析】⑴先求出数列｛Sn+2｝的通项，再根据册与S”的关系结合｛©｝是等比数列,即可得解；

（2）利用裂项相消法求解即可.

【小问1详解】

因为数列｛S“+2｝是公比为2的等比数列,

又Si+2=ai+2,所以％+2=4+2)・21.

当九>2时，由S0+2=(%+2)-2"T,得S“T+2=(%+2)

两式相减得an=(%+2)•2m>2),

又｛册｝是等比数歹U,所以詈=篙=2,所以勺2=2,解得a1=2,

所以册=2"（n>2），当?2=1时上式成立，

所以册=2九；

【小问2详解】

由⑴知心=/Zn+2=1_________1

n(n+l)-2n+1-n・2九一(n+l)-2n+1

所以黑二仇+庆+匕34----Fbn

1—1-------,---...1........-I---1-------,--,-----,-----1-I—I—•••—I-------1----------------------

22nn+1

1x22X22X23X23n-2(n+l)-2

二11

―2—(n+l)-2"+1'

［第9页（共13页）】

又g+>0，所以建<'•

17.（1）证明见解析

⑵（

Q

⑼42

【分析】（1）取点河为S4的中点，连接MB,MF,由已知可证得四边形同CB为平行四边形，则

〃F。，即可证得CF〃平面SAB；

（2）由已知可得平面S4。，平面ABCD,进而平面S4。，则直线SB与平面S4。所成角为

/BS4,设AB=BC=a,则力E=2a,可得SB=VAB2+SA2=3a,即可求得直线SB与平面SAD所成角

的正弦值；

（3）在（2）的条件下,建立空间直角坐标系，求出平面SAB的一个法向量,平面SCD的一个法向量，则利用

向量法求得平面S/LB与平面SCD所成角的余弦值.

【小问1详解】

取点M为SA的中点，连接MB,MF,

因为点尸为SE的中点，所以

又因为=AE=2ED,

又BC〃入E,则3。=2人后，

所以MF//BC,MF=BC,

所以四边形，CB为平行四边形，所以MB〃FC,

又MBU平面SAB,平面SAB,

所以CF〃平面SAB.

【小问2详解】

因为SE_L平面ABCD,SEU平面SAD,所以平面SAD±平面ABCD,

又AB_LAD,平面SADA平面ABCD=4D,所以AB_L平面SAD,

所以直线SB与平面SAD所成角为/BSA,

设AB=BC=a，则AE=2a,

因为/SAD=45°,又SE_LAD,

22

所以SE=A石=2Q,SA=2V2a,SB=VAB+SA=3a,

所以sm/LBSA=个］=，

*S±>3Q3

所以直线SB与平面SA。所成角的正弦值为日.

O

【小问3详解】

在（2）的条件下，以A为坐标原点，AB所在直线为啰轴，人。所在直线为y轴,过点A作平行于SE的直

线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

【第10页（共13页）】

ZkS

4(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),S(0,2Q,2Q),

AB=(a,0,0),AS=(0,2a,2a),CS=(—a,a,2a)，CD=(—a,2a,0)，

设平面SAB的一个法向量为nr=（劣,

唯交，即凰工…令…，所以…

设平面SCD的一个法向量为n2=（劣2,92,出）,

索&即

则亶碟普e-，所以六（2,舄），

九1•八2

设平面V42

SAB与平面SCD所成的角为仇则cos。=~12~

所以平面&4B与平面SCD所成角的余弦值为史.

个2

18.⑴亍+5=1

⑵⑴%—g—1=0或力+g—1=0；（ii）答案见解析

【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义可得点Q的轨迹是以E,后为焦点，4为长轴的椭圆,即可求解；

⑵⑴根据条件设l:x—my+1,461,%）,_6（宏2,例），联立直线与椭圆方程得到（3m2+4）婿+6my—9=0,

从而有△=144（馆2+1）>0,再利用s40AB=春Q刚%—前=学?斗=学，即可求解；⑻假设存

N3m+4（

在A/（t,0）满足题意,从而得kMA,kMB=..期+馆（］_，；：+夕）+（1钎再利用⑴中结果，可得出凶心

kMB=W（资―1J+4（1T）2'从而得到-±2，即可求解•

【小问1详解】

因为IQEI=IQPI，所以IQ为+\QFX\=\QP\+\QF{\=|P剧=4>㈤制=2,

所以点Q的轨迹是以耳,£为焦点，长轴为4的椭圆，

又2a=4,2c=2,得到a=2,c=1,所以〃=&2—02=3,

由题可知点Q的轨迹E的方程为4+程=1.

【小问2详解】

子2<7/2

⑴由⑴知E：才+*=1,砥1,0）,易知直线Z的斜率不为0,设直线l:x=my+1,4（劣（劣2,纺）,

4O

(62y2

由(4+3—1,消力得到(3M2+4)舅+6mg—9=0,

[x=my-\-l

则△=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0,由韦达定理知％+勿=，幼统=7—Mr

3m24-43m2+4

［第11页（共13页）】

42

所以S^OAB=-^-\OF^\\y1—y2\=x1x，整理得到18m—m—17=0,

NN3m2+4(

解得77?=1或7n2=—舍去)，所以山二土］,

lo

故直线AB的方程为re—y—1=0或立+9一1=0.

（位）假设存在加■（力,0）满足题意,

则卜.卜=%.重=_________幽_________=______________y曲

MAMB2

'X1-tx2-t(myx+1-1)(my2+1-i)rr^y^+m(1-1)(yj+T/2)+(1-i)

所以％,=_______________37n2+