用锐角三角函数解决实际问题压轴训练（原卷版）-2024-2025学年苏科版九年级数学下册

用锐角三角函数解决实际问题6类压轴训练

01思维导图

目录

压轴题型一解直角三角形应用仰角俯角问题......................................................1

压轴题型二解直角三角形应用方位角问题........................................................9

压轴题型三解直角三角形应用坡度坡比问题.....................................................15

压轴题型四解直角三角形应用与三角形的综合..................................................22

压轴题型五解直角三角形应用与四边形的综合..................................................27

压轴题型六解直角三角形应用与其他图形的综合................................................34

02压轴题型

压轴题型一解直角三角形应用仰角俯角问题

例题：(24-25九年级上•山东聊城•期中)某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图

与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶2的仰角为54.5。，沿斜坡走13米到达斜坡

。处，测得塔顶8的仰角为26.7。，且斜坡CD的坡度i=1:2.4,其中点/,C,G,尸在同一条水平直线

上.求：

(1)点。到地面/C的距离;

(2)塔48的高.(精确到0.1米)(参考数据：tan54.5°»1.40,sin54.5°«0.81,cos54.5°«0.58,

tan26.7°®0.50,sin26.7°q0.45,cos26.7°®0.89)

1.（24-25九年级上•山东淄博・期中）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所

示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸。处的俯角为无人机沿水平线4尸方向继续飞

行50米至8处，测得正前方河流右岸。处的俯角为30。.线段的长为无人机距地面的铅直高度，点

C、。在同一条直线上.其中tana=2,MC=50百米.

ABF

\、、、

\、、

\、、

\、、

\、、

\、、

\、、

\、、

MC-------------『D-

（1）求无人机的飞行高度NM;（结果保留根号）

（2）求河流的宽度CD.（结果保留根号）

2.（24-25九年级上•上海闵行•阶段练习）嘉嘉使用桌上书架如图1所示.嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角

乙4。3=150。时，顶部边缘A处离桌面的高度/C的长为15cm,此时舒适度不太理想.嘉嘉调整书架与桌

面的夹角大小继续探究，最后发现当张角乙4'08=120。时（点4是A的对应点），舒适度较为理想.

（图1）（图2）

（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到©走过的路径长.

（2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在E处，书上有一点尸，旋转点。到点尸的距离为20cm,嘉嘉

看点尸的俯角为18。，眼睛到桌面高度为防,点。到点5的距离为25cm,求此时眼睛到尸点的距离，即E尸

的长度.（结果精确到1cm；参考数据：sinl8°«0.31,cosl8°»0.95,tanl8°«0.32）

3.(24-25九年级上•山东泰安•阶段练习)某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像

前，自C处测得雕像顶/的仰角为53。，小强站凤栖堂门前的台阶上，自。处测得雕像顶4的仰角为45。,

此时，两人的水平距离EC为0.45m,已知凤栖堂门前台阶斜坡8的坡比为，=1:3.(参考数据:

孔

子

雕

像

(1)计算台阶。£的高度;

(2)求孔子雕像的高度.

4.（23-24九年级下•江西宜春・期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保.如图1

所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座。。建在山坡。尸上（坡比，=3:4,£）£垂直于水平地

面EF,O,D,E三点共线），坡面。尸长10m,三个相同长度的风轮叶片CM,OB,OC可绕点。转动,

每两个叶片之间的夹角为120。；当叶片静止，CM与。。重合时，在坡底尸处向前走25米至点M处，测得

点。处的仰角为53。，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E,F,M,N在同一水

平线上）.

图1图2图3

⑴求叶片CM的长；

⑵在图2状态下，当叶片绕点。顺时针转动90。时（如图3）,求叶片OC顶端C离水平地面E尸的距离.（参

434

考数据：sin53°®-,cos53°«-,tan53°«-,6^1.7,结果保留整数）

压轴题型二解直角三角形应用方位角问题

例题：（2024・湖北武汉•模拟预测）某市要在东西方向M,N两地之间修建一条道路.如图，C点周围180m

范围内为文物保护区，在肱V上点/处测得C在/的北偏东60。方向上，从/向东走500m到达2处，测得

C在3的北偏西45。方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？

巩固训练

1.（24-25九年级上•重庆九龙坡•开学考试）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发,

小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在8处测得亭台D在北偏东15。方向

上，而寺庙C在8的北偏东30。方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台。处，再步行至正

东方向的寺庙C处.

北

东

（1）求小山8与亭台。之间的距离；（结果保留根号）

（2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处.（结果精确到个位，参考数据：收21.41，6。1.73,指它2.45）

2.(23-24九年级上•重庆荣昌・期末)今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心力的

正北方向的2处，其中48=2km,明明位于游客中心/的西北方向的C处.烈日当空，妈妈准备把包里的

太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60。方向缓慢前进.15分钟

后，他们再游客中心/的北偏西37。方向的点。处相遇.

A

(1)求妈妈步行的速度;

(2)求明明从C处到。处的距离.

3.（2024•湖南长沙•模拟预测）蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离

几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置/点的北偏西66。方向距/

点60cm的2点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），/点北偏东45。方向距/点20月cm的C点有一块糖，蚂蚁

（1）请求出蚂蚁所在位置3点与糖所在位置C点之间的距离；

（2）若在N点北偏东75。方向距/点40cm的。点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离.（结

果取整数，参数数据：sin45°«0.707,cos45°»0.707,sin66。士0.914,cos66°»0.407,tan660»2.246,

Ga1.732)

压轴题型三解直角三角形应用坡度坡比问题

例题：（2024・湖北•模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行

观光桥.如图，该河旁有一座小山，山高8C=80m,坡面AB的坡度i=1:0.7（注：坡度i是指坡面的铅直

高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E、厂在同一水平线上，从山顶8处测得河岸E和对岸厂的俯角分

别为ND2E=45°,/DBF=31°.（参考数据：sin31°^0.52,cos31°^0.86,tan31°®0.60）

⑴求山脚A到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽E厂的长度.（结果精确到0.1m）

巩固训练

1.(2024・山西长治•模拟预测)“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无

人机测量边靖楼的高度,测量方案如图：在坡底D处测得塔顶/的仰角为45°,沿坡比为5:12的斜坡CD

前行26米到达平台C处,在C处测得塔顶/的仰角为60。.

A

(1)求坡顶C到地面的距离;

(2)计算边靖楼48的高度.

2.(2024九年级下•辽宁•专题练习)图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由

呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示.已知台阶的坡

面DE的坡度i=坡面DE的长为2.4m.

(1)计算坡面DE的铅直身度；

(2)如图3,为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高1.64m的测角仪GH,测得

纪念碑碑身顶端/的仰角是35。，继续向纪念碑前进8.1m到达点K处，此时测得纪念碑顶端45。，求纪念

碑的实际高度NC.(结果精确到0.01,参考数据：sin35°»0.574,cos35°»0.819,tan35°»0.700)

3.（22-23九年级上•重庆•阶段练习）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从三楼到五楼

的扶梯的侧面示意图.小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37。，此时他的眼睛。与

地面的距离4D=L7m,之后他沿三楼扶梯到达顶端3后又沿瓦：（〃：〃MV）向正前方走了1.6m,发现日光灯

C刚好在他的正上方.

图⑴图⑵

已知自动扶梯48的坡度为1:2.4,48长度是13m.（参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75）

（1）求图中B到三楼地面的高度.

（2）求日光灯C到三楼地面的高度.（结果精确到整数）

压轴题型四解直角三角形应用与三角形的综合

例题：中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝.常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、

悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等.如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形,

如图2所示，已知屋檐口=6米，屋顶£到支点C的距离EC=5.4米，墙体高CF=3.5米，屋面坡角

/£CD=28。.(参考数值:sm28°«0.47,cos28°«0.88,tan280®0.53)

(

俯J3

视

方

向G

图2

(1)求房屋内部宽度尸G的长;

(2)求点A与屋面FG的距离.

巩固训练

1.露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干42搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对

称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆8,用绳子拉直CE后系在树干N8上的点/处，使得C,E在

一条直线上，通过调节点/的高度可控制“天幕”的开合，若C£=CF=3米，CDLEF于点、O

（参考数据：sin75°»0.966,cos75。它0.259,tan75°»3.732）

图1图2

⑴天晴时打开“天幕”，若乙4。斤=150。，求遮阳宽度ER（结果保留一位小数）

（2）下雨时收拢“天幕”，/ZC5由150。减小到120。，求点。下降的高度.（结果保留一位小数）

2.油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的

内涵，决定进行设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结

DH

构（其中772。618）：伞柄/〃始终平分/3ZC,AB=AC=20cm,当N8/C=120。时，伞完全打开，

AH

此时/8DC=90。.

(1)NB4D=,ZADB=

（2）求线段的长；（结果保留整根号）

（3）请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：V3«1,732）

压轴题型五解直角三角形应用与四边形的综合

例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知尸G,A,D,H,

G四点在同一直线上，测得/五EC=44=72.9。,/。=1.6m,£尸=6.2m.(结果保留小数点后一位)

(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；

(2)求雕塑的高(即点G到N3的距离).

(参考数据：sin72.9°®0.96,cos72.9°®0.29,tan72.9°»3.25)

巩固训练

1.(24-25九年级上•河北衡水•期中)某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1,四边形

为矩形，长3米，/D长1米，点。距地面为0.2米.道闸打开的过程中，边ND固定，连杆NB,CD

分别绕点N,D转动,且边3c始终与边4。平行.

图1图2

⑴如图2,当道闸打开至ZADC=45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米,求点尸到MN的距离PF

的长.

(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米.当道闸打开至/MX：=35。时，轿车能否驶入小区？请说

明理由.（参考数据：sin35°»0.5736,cos35°»0.8192,tan35°«0.7002）

2.如图⑴是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽上、

下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图（2）所示，已知每个菱形的边长均为20c%,且

AB=CD=CP=DM=20cm.

图⑴

⑴当点尸向下滑至点N处时，测得NDCE=600时

①求滑槽"N的长度；

②此时点A到直线DP的距离是多少？

（2）当点P向上滑至点/处时，点/在相对于⑴的情况下向左移动的距离是多少？

（结果精确到0.01cm,参考数据&a1.414,6a1.732）

3.某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）

所示的图形，矩形FECG可由矩形/BCD绕点C旋转得到，点E在4。上，延长ED交FG于点H.连接

BE,CH.

（1）判断四边形的形状并给予证明；

（2）若点G在水平地面上，与水平地面平行，ZBCE=48°,AB=3cm,BC=4cm,求点A到水平地面的

距离.（结果精确到0.1m.）参考数据：

sin48°a0.75,cos48°~0.67,tan48°s1.11,cos24°«0.91,tan24°«0.45

4.图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2,并测得正

方形与正方形跖GH的面积相等，且Z3=100cm,CD〃砂，ZC£)£=140°,ZCGF=25°

⑴判断四边形EFGH的形状，并说明理由.

(2)求CG的长.(参考数据：sin25°®0.42,cos25°«0.91,tan25°®0.47)

压轴题型六解直角三角形应用与其他图形的综合

例题：(24-25九年级上•山西长治•阶段练习)如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成.图2

是其截面示意图，站牌截面是矩形/BCD,边4。平行于地面"V,边CD垂直于地面MV,顶棚4E与站牌

上端的夹角功小=22。，底座CF与地面的夹角/CFM=60。.经测量

/£=195cm,4D=49cm,CD=166cm,CF=76cm.(结果精确到1cm；参考数据:

sin22°。0.374,cos22°»0.926,tan22°°0.404,73-1.73)

图1

(1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离;

(2)求棚顶边缘点E到地面的距离.

巩固训练

1.（24-25九年级上•辽宁沈阳•期中）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2

所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边4。与键盘所在面的侧边2。长均为24cm,点尸为眼睛所在位置,

。为49的中点，连接尸当刊〃/O时，称P点为“最佳视角点”，此时乙40c=120。，作尸CLO5,垂

足C在。8的延长线上，且8C=12cm.

图1

（1）求点。到08的距离；（结果保留根号）

（2）求PC的长.（结果精确到0.1cm,参考数据021.414,1.732）

2.（24-25九年级上•江苏苏州・期中）实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实

验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽

象成右侧示意图，已知试管/2=24cm,BE=；AB,试管倾斜角448G为12。.（参考数据：sinl2°«0.21；

cosl2°«0.98）

（1）求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；

（2）实验时，导气管紧靠水槽壁延长8M交CN的延长线于点尸，且KNLC尸于点N（点C,D,N,

尸在一条直线上），经测得：DE=28cm,MN=Scm,ZABM=147°,求线段DN的长度.

3.(2024•上海宝山•一模)如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱04垂直地面08,支架8与。N

交于点A,支架CGLCD交。/于点G,支架平行地面OB,篮箧E尸与支架。E在同一直线上，

OA=2.5m,/D=0.8m,ZAGC=32°.

(1)求：/G/C的度数.

(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上

篮网吗？请通过计算说明理由.(参考数据：sin32°«0.53)

4.（24-25九年级上•山东潍坊・期中）图1是我国古代提水的器具桔棒（jiegao）,创造于春秋时期.它选择

大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连