自动控制原理（7-4）学习资料

自动控制原理朱亚萍zhuyp@杭州电子科技大学自动化学院第七章线性离散系统的分析7.1引言7.2信号的采样与保持7.3z变换理论7.4离散系统的数学模型7.5离散系统的稳定性和稳态误差7.6离散系统的动态性能分析

7.5

离散系统的稳定性和稳态误差1.从s平面到z平面的映射关系由z变换的定义若令则有一、离散系统的稳定性可见：虚轴映射为单位圆（实部为零）左半平面映射为单位圆内（实部小于零）右半平面映射为单位圆外（实部大于零）s平面上虚轴在z平面上的映象系统的特征根为即为闭环传递函数极点2.z域的稳定条件和稳定性判据对于下图所示的采样控制系统，其特征方程式为结论：闭环采样系统稳定的充分必要条件是，系统特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内，或者所有根的模均小于1，即在分析连续系统时，曾应用劳斯稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。对于采样系统，也可用劳斯判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用劳斯判据。双线性变换可建立z平面单位圆与变换后坐标系虚轴之间的对应关系。

3.双线性变换（w变换）则同时令可见，对于w平面上的虚轴，实部u=0，即—z平面上单位圆的方程令和单位圆内x2+y2＜1，对应于w平面上实部u为负数，即为w平面的左半平面；单位圆外x2+y2＞1，对应于w平面上实部u为正数，即为w平面的右半平面。可见，离散系统稳定的充分必要条件，由特征方程1+GH(z)=0的所有根位于z平面的单位圆内，转换为特征方程1+GH(w)=0的根位于w平面的左半平面。因此，可以直接应用劳斯稳定判据判断离散系统的稳定性——w域中的劳斯稳定判据。例7-20设采样系统如下图所示，采样周期T=0.25s，求能使系统稳定的K值范围。解：开环传递函数为：开环脉冲传递函数为：闭环脉冲传递函数为：特征方程为：令，T=0.25s，代入上式得整理后得：要使系统稳定，必须使劳斯表中第一列各项大于零，因此得：劳斯表为：对于本例的二阶系统，如果没有采样作用，则不论K取何值，系统都是稳定的；但引入采样以后，系统可能不稳定。4.采样周期与开环增益对稳定性的影响连续系统的稳定性取决于系统的开环增益K、系统的零极点分布和传输延迟等因素。影响离散系统稳定性的因素，除与连续系统相同的因素外，还有采样周期T的值。例7-21

设有零阶保持器的离散系统如下图所示，试求：

(1)当采样周期T分别为1s和0.5s时，系统的临界开环增益Kc；

(2)当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1s，1s，2s，4s时，系统的输出响应c(kT)。离散系统解

系统的开环脉冲传递函数闭环特征方程：整理得：当T=1s时，有令z=(w+1)/(w－1)

，得w域特征方程根据劳斯判据，得Kc=2.4。当T=0.5s时，w域特征方程根据劳斯判据，得Kc=4.37。可见，采样周期减小，临界开环增益增大。闭环系统脉冲传递函数为当输入r(t)=1(t)，即R(z)=z/(z－1)时，可求得C(z)表达式。令K=1，T分别为0.1s，1s，2s，4s，可由C(z)的反变换求出c(kT)，分别画于下图中。离散系统在不同采样周期下的阶跃响应由例可见，K与T对离散系统稳定性有如下影响：当采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定；当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统失去稳定性。由于离散系统没有唯一的结构图形式，所以误差脉冲传递函数Φe(z)也给不出一般的计算公式。离散系统的稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。设单位反馈误差采样系统如下图所示。系统采样误差信号的z变换函数为：二、离散系统的稳态误差在离散系统中，也可把开环传递函数G(z)具有z=1的极点数，作为划分系统型别的标准。把G(z)中ν=0，1，2…的系统称为0型、Ⅰ型和Ⅱ型（离散）系统等。在连续系统中，如果开环传递函数G(s)具有ν个s=0的极点，则由z=eTs可知相应G(z)必有ν个z=1的极点。设闭环系统稳定，根据终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差终值：1.单位阶跃输入时的稳态误差式中称为静态位置误差系数。当系统输入为单位阶跃函数r(t)=1(t)时，其z变换函数为：稳态误差为：对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp≠∞，从而e(∞)≠0；对I型、II型以上的离散系统（有一个或一个以上z=1的极点），则Kp=∞，从而e(∞)=0。因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似！2.单位斜坡输入时的稳态误差称为静态速度误差系数。式中当系统输入为单位斜坡函数r(t)=t时，其z变换函数为：稳态误差为：对0型离散系统，则Kv=0，从而e(∞)=∞；对I型离散系统，则Kv≠∞，从而e(∞)≠0；对II型及II型以上的离散系统，则Kv=∞，从而e(∞)=0。因此，0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用；I型离散系统在单位斜坡函数作用下，在采样瞬时存在速度误差；II型或II型以上的离散系统，在采样瞬时没有速度误差。3.单位加速度输入时的稳态误差称为静态加速度误差系数。式中当系统输入为单位加速度函数r(t)=t2/2时，其z变换函数为：稳态误差为：对于0型及I型离散系统，Ka=0，从而e(∞)=∞；II型离散系统的为Ka≠∞

，从而e(∞)≠0；

III型及III型以上系统的，Ka=∞，从而e(∞)=0。

0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用；II型离散系统在单位加速度函数作用下存在加速度误差，只有III型及III型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时的加速度误差。系统型别位置误差r(t)=1(t)速度误差r(t)=t加速度误差r(t)=t2/20型1/Kp∞∞Ⅰ型0T/Kv∞Ⅱ型00T2/KaⅢ型000单位反馈离散系统的稳态误差采样周期为0.2s，求在输入信号r(t)=1+t+t2(t>0)的作用下，系统的稳态误差。例7-22已知系统的结构如下图所示，其中采样系统的闭环特征方程为：解采样系统的开环脉冲传递函数为：w域的闭环特征方程为：可见，该离散系统稳定。因此，在输入r(t)=1+t+t2作用下的稳态误差为在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零，静态加速度误差系数为7.6离散系统的动态性能分析在已知离散系统结构和参数情况下，应用z变换法分析系统动态性能时，通常假定外作用为单位阶跃函数1(t)。如果可以求出离散系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)=C(z)/R(z)，其中R(z)=z/(z－1)，则系统输出量的z变换函数：一、离散系统的时间响应将上式展成幂级数，通过z反变换可以求出输出信号的脉冲序列c*(t)。由于离散系统时域指标的定义与连续系统相同，故根据单位阶跃响应曲线c*(t)可以方便地分析离散系统的动态和稳态性能。如果无法求出离散系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)，但由于R(z)是已知的，且C(z)的表达式总是可以写出的。例7-23

设采样系统如下图所示，采样周期T=0.1s，大致绘出系统阶跃响应曲线。

解闭环脉冲传递函数为

系统的阶跃响应为用长除法得

输出信号的脉冲序列将c*(t)在各采样时刻的值用“*”标于图上，光滑地连接图中各点，便得到了系统输出响应曲线c(t)的大致波形。由该波形曲线可得，注意：由于离散系统的时域性能指标只能按采样周期整数倍采样值来计算，所以是近似的。二、采样器和保持器对动态性能的影响例7-24

设采样系统如下图所示，采样周期T=1s，K=1，试分析采样器和保持器对系统性能的影响。

解：(1)如果没有采样器和零阶保持器，则成为连续系统，其闭环传递函数为：单位阶跃响应为：(2)只有采样器而没有零阶保持器，则系统的开环脉冲传递函数为：相应的闭环脉冲传递函数为：代入R(z)=z/(z－1)，得系统输出z变换：(3)既有采样器又有零阶保持器，则系统的开环传递函数为：开环脉冲传递函数为：代入R(z)=z/(z－1)，得系统输出z变换：闭环脉冲传递函数为：连续与离散系统的时间响应曲线曲线1为连续系统；曲线2为只有采样器而无保持器的离散系统；曲线3为既有采样器又有保持器的离散系统。上图中：系统类型时域指标连续系统离散系统（只有采样器）离散系统（有采样器和保持器）峰值时间/s3.63.04.0调节时间/s5.35.012超调量/%16.320.740.0振荡次数0.50.51.5连续与离散系统的时域指标采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但超调量增大，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。然而，在某些情况下，例如在具有大延迟的系统中，误差采样反而会提高系统的稳定程度。零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和振荡次数也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。可见，采样器和保持器对系统动态性能的影响有：三、闭环极点与动态响应的关系设闭环脉冲传递函数为：式中，zi(i=1,2,…,m)为Φ(z)的零点；pk

(k=1,2,…,n)为Φ(z)的极点。当r(t)=1(t)时；离散系统输出的z变换将C(z)/z展开成部分分式，有式中常数于是上式中等号右端第一项的z反变换为M(1)/D(1)是c*(t)的稳态分量；第二项的z反变换为c*(t)瞬态分量。1.正实轴上的闭环单极点设pk为正实数，pk对应的瞬态分量求z反变换得若令，则若pk>1，闭环单极点位于z平面上单位圆外的正实轴上，有a>0，故动态响应ck(nT)是按指数规律发散的脉冲序列；若pk=1，闭环单极点位于z平面上单位圆周上，有a=0，故动态响应ck(nT)=ck，为等幅脉冲序列；若0<pk<1，闭环单极点位于z平面上单位圆内的正实轴上，有a<0，故动态响应ck(nT)是按指数规律收敛的脉冲序列，且pk越接近原点，|a|越大，ck(nT)衰减越快。若pk<－1，闭环单极点位于z平面上单位圆外的负实轴上，则动态响应ck(nT)为交替变号的发散脉冲序列；若pk=－1，闭环单极点位于z平面上单位圆周上，ck(nT)为交替变号的等幅脉冲序列；若－1<pk<0，闭环单极点位于z平面上单位圆内的负实轴上，ck(nT)为