中考数学专项复习突破：与代数、三角形、四边形、圆有关的阅读理解题含答案与解析

突破04与代数'三角形'四边形'圆有关的阅读理解题

目录一览

中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一与代数有关问题

A考向二与三角形有关问题

A考向三与四边形有关问题

A考向四与圆有关问题

岁中考解密

“阅读与思考”是近年中考出现的新题型，设题背景常结合数学文化考查，这类题改变传统的“由条件求结

果”模式，集阅读、理解、思考、应用于一体.通常是以一个新概念、新公式的形式、推导与应用的形式出

现，或提供材料，给出一定的操作程序、数学思想方法，然后运用从中学到的知识解决有关问题，考查学

生的阅读思考能力和解决问题的能力.数学阅读因其语言的高度抽象，以及文字语言、符号语言和图形语

言并存，有别于其他学科的阅读，要掌握数学阅读的方法，养成良好的数学阅读习惯，提高阅读素养.

士重点考向

A考向一与代数有关问题

’1写•①

1.（2023•宁夏）解不等式组12-3x<4-x②

下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：

解:由①得：

4-2（2x-1）>3x-1…第1步

4-4x+2>3x-1…第2步

-4龙-3x>-1-4-2

-7x>-7…第3步

尤>1…第4步

任务一：该同学的解答过程第步出现了错误，错误原因是;

不等式①的正确解集是;

任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集.

2.(2023•通辽)阅读材料：

材料1：关于x的一元二次方程ar+bx+c=0(存0)的两个实数根xi，X2和系数a,b,c,有如下关

bc

系：xi+x2=~a,xiX2=a.

材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为机，n,求的值.

解：；相，”是一元二次方程x2-X-1=0的两个实数根，

m+n=1,mn=-1.

贝!]m2n+mn2=mn(m+n)=-lxl=-1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)应用：一元二次方程2r+3尤-1=0的两个实数根为无1，尤2，则尤1+X2=，xix2=.

(2)类比：己知一元二次方程"+3尤-1=0的两个实数根为相，”，求加2+层的值；

(3)提升：已知实数s,f满足2s2+3S-1=0,2尸+3片1=0且s#,求st的值.

3.(2022•黄石)阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程(f)2-13f+36=0,如果我们把f看作一个整体，然后设尸—则原方程可化为/-

13y+36=0,经过运算，原方程的解为Xi.2=±2,x3.4=±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做

换元法.

材料2

己知实数根，a满足疗-根-1=0,n2-n-1=0,且*〃，显然相，儿是方程x2-x-1=0的两个不相

等的实数根，由韦达定理可知机+”=1,1.

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程尤4_5/+6=0的解为Xl=&,X2=-近,无3=如，X4=—M_；

(2)间接应用：

己知实数a,b满足：2a4-7a2+l=0,2/-7〃+1=0且的宏求，+"的值;

(3)拓展应用：

111

-r-2-r

己知实数“3〃满足：m+m=7,〃2_”=7且">0,求m+/的值.

4.(2022•宁夏)下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务.

—^―12

2------

(x-4-x+2)+x-2

，-----包x-2

99---

=(X-4-X-4).2…第一步

-x---x---2■x-2

=X2-42…第二步

_____22_____rx-2

=(x+2)(x-2)'2...第三步

1

=-前■…第四步

任务一：填空

①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是

②第步开始出现错误，错误的原因是.

任务二：直接写出该分式化简后的正确结果.

5.(2022・安顺)阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交

水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍.现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植

普通水稻，A块试验田比8块试验田少4亩.

(1)A块试验田收获水稻9600千克、8块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产

量各是多少千克？

(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的8块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于

17700千克，那么至少把多少亩8块试验田改种杂交水稻？

6.(2022•凉山州)阅读材料：

bc

材料1：若关于x的一元二次方程办(存0)的两个根为无1，xi,则无1+犬2=a,xixi—a.

材料2:己知一元二次方程；C2-X-1=0的两个实数根分别为加，"，求源W+7"层的值.

解：；一元二次方程％2-尤-1=0的两个实数根分别为”,

/.m+n=1,mn=-1,

贝(J苏〃+济〃2=徵〃(m+n)=-lxl=-1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

3_

(1)材料理解：一元二次方程2d-3x-1=0的两个根为Xi，X2,贝!)Xl+X2=—2—.%1%2=—Z

~2_.

n+![1

(2)类比应用：已知一元二次方程2f-3尤-1=0的两根分别为机、n,求飞”■的值.

(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2-3s-1=0,2Z2-3t-1=0,且s存，求s-T的值.

7.(2023•泰州)阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务.

小丽学习了方程、不等式，函数后提出如下问题：如何求不等式x2-尤-6<0的解集？

通过思考，小丽得到以下3种方法：

方法1方程x2-%-6=0的两根为为=-2,X2=3,可得函数-x-6的图象与x轴的两

个交点横坐标为-2、3,画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不

等式X2-x-6<0的解集.

方法2不等式6<0可变形为/〈x+G,问题转化为研究函数与y=x+6的图象关

系.画出函数图象，观察发现；两图象的交点横坐标也是-2、3；y=?的图象在y=x+6的

图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集.

_6

方法3当尤=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为x-1<X；当x<0时，不等

旦旦

式变为尤-1>1.问题转化为研究函数了="1与的图象关系…

任务：

(1)不等式％2-x-6<0的解集为；

(2)3种方法都运用了的数学思想方法(从下面选项中选1个序号即可)；

A.分类讨论

B.转化思想

C.特殊到一般

D.数形结合

(3)请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答.

8.(2023•鄂州)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究>=加(a>0)型抛物线图象.发现：如图

11

1所示，该类型图象上任意一点尸到定点尸(0,瓦)的距离PR始终等于它到定直线/：y=-瓦的

1

距离PN(该结论不需要证明).他们称：定点P为图象的焦点，定直线/为图象的准线，>=-33叫

1

做抛物线的准线方程.准线/与y轴的交点为X.其中原点。为F8的中点，9=2。尸=2a.例如，

11

【基础训练】

(1)请分别直接写出抛物线〉=瓦一的焦点坐标和准线/的方程：,；

【技能训练】

(2)如图2,已知抛物线y=4/上一点P(项，为)(x0>0)到焦点F的距离是它到x轴距离的3

倍，求点P的坐标；

【能力提升】

(3)如图3,已知抛物线y=4/的焦点为尸，准线方程为/.直线机：y=2x-3交y轴于点C,抛物

线上动点P到x轴的距离为由,到直线m的距离为d2,请直接写出di+dz的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2(a>0)平移至y=a(尸h)2+k(a>0).抛物线y

11

=a（x-h）2+k（a>0）内有一定点F（h,什4a）,直线/过点M（h,k-4a）且与x轴平行.当

动点尸在该抛物线上运动时，点尸到直线/的距离PR始终等于点尸到点尸的距离（该结论不需要证

2523

明）.例如：抛物线y=2（x-1）2+3上的动点尸到点尸（1,T）的距离等于点尸到直线/：y=W-

的距离.

请阅读上面的材料，探究下题：

3.,1

（4）如图4,点。（-1,2）是第二象限内一定点，点尸是抛物线>=4好-1上一动点.当尸。+尸。

取最小值时，请求出△尸0。的面积.

9.（2022•永州）己知关于无的函数yuo^+bx+c.

（1）若a=l,函数的图象经过点（1,-4）和点（2,1）,求该函数的表达式和最小值；

（2）若a=l,b--2,c=〃z+l时，函数的图象与x轴有交点，求切的取值范围.

（3）阅读下面材料：

设。>0,函数图象与无轴有两个不同的交点A,B,若A,B两点均在原点左侧，探究系数a,b,c应

满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：

①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以-4ac>0；

②因为A,B两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即c>0；

③上述两个条件还不能确保A,B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限

b

制抛物线的位置：即需-27<0.

综上所述，系数a,b,c应满足的条件可归纳为：

\>0

△=l>2-4ac>0

'c>0

请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：

若函数2尤+3的图象在直线x=l的右侧与无轴有且只有一个交点，求a的取值范围.

10.(2022•株洲)已知二次函数>=加+8+。(a>0).

(1)若a=l,6=3,且该二次函数的图象过点(1,1),求c的值；

(2)如图所示，在平面直角坐标系尤Oy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(xi,0)、

B(尤2，0),其中％1<0<尬、I尤1|>|尤2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形A3庄的边EP上，其对称

3.

轴与无轴、8E分别交于点加、N,BE与y轴相交于点P,且满足tan/A8E=4.

①求关于x的一元二次方程ax1+bx+c=0的根的判别式的值；

工16

2+-----

②若NP=2BP,令T=a5c,求T的最小值.

阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述

为

“当判别式A>0时，关于尤的一元二次方程ax2+bx+c—0(存0)的两个根朴松有如下关系：尤1+及=

C

a,为%2=a”.此关系通常被称为“韦达定理

A考向二与三角形有关问题

11.（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.

【作业】如图①，直线/1〃勿"BC与ADBC的面积相等吗？为什么？

解：相等.理由如下：

设/1与，2之间的距离为〃，

22

则SAABC=23。〃，ShDBc=2BC・h.

••SXABC=SADBC.

S^ABC

【探究】（1）如图②，当点。在/i,/2之间时，设点4。到直线办的距离分别为/?,h',则S&DBC

h

h^.

证明：VSAABC=2BC»/7.

S△瓯幽

（2）如图③，当点D在/1，/2之间时，连接并延长交L于点M，则S2kDBC=DM.

证明：过点A作垂足为E,过点D作。垂足为凡则/。凹0=90。.

：.AE//.

LAEMs.

AEAM

.,.DF=DM.

辽瓯

由【探究】（1）可知,ADBC=,

SAABCAM

SADBC=DM.

（3）如图④，当点D在/2下方时，连接A。交/2于点E.若点A,E,。所对应的刻度值分别为5,

,△ABC

1.5,0,贝ijS^DBC的值为

AD

hA

12.（2023•孝义市三模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应

学习任务：

怎样作直角三角形的内接正方形

如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内

接正方形.那么，怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：

如图1,在RtA43C中，NACB=90。，作

（依据1）容易证明四边形DPCE是正方形.

cc

HDNKBM

图2

用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点.

如图2,如果R3ABC的内接正方形的一边恰好在斜边上，我就可用如下方法，

第一步：过直角顶点C作垂足为D；

第二步，延长到使得连接CM；

第三步：作/2DC的平分线，交MC于点E；

第四步：过点E分别作。C,的垂线，垂足分别为P,K,EP交BC于点、F,E尸的延长线交AC交

于G；

第五步：分别过点FG作的垂线，垂足分别为N,H.

则四边形NFGH就是RtAABC的内接正方形，并且NH恰好在该直角三角形的斜边上.

理由如下：易证四边形EPOK是正方形，EG//AM.

____________________________________________________(依据2)

GP二仃EF二CF「CP

AAD=CD；丽FF.

学习任务：

(1)材料中画横线部分的依据分别是：

依据1：;依据2：.

(2)请完成图2说理过程的剩余部分.

(3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形EPDK,再将正方形

EPDK转化为正方形NFGH,转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是B(填出字

母代号即可).

A.旋转2.平移C.轴对称

A考向三与四边形有关问题

13.(2023•徐州)【阅读理解】如图1,在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得AC1=

片+从同理配吟热乂，故AC2+BZ)2=2(flW).

【探究发现】如图2,四边形4BCD为平行四边形，若BC=b,则上述结论是否依然成立？请

加以判断，并说明理由.

【拓展提升】如图3,已知8。为AABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.

【尝试应用】如图4,在矩形ABC。中，若AB=8,2C=12,点尸在边上，则尸序的最小值

刃______.

MID入A二At--------------------|D

图1和副1细

14.(2023•凉山州)阅读理解题::阅读材料：

1

如图1,四边形ABC。是矩形,AAEP是等腰直角三角形，记/BAE为a、/尸AD为B，若tana=2,

2

则tan0=3.

证明：设BE=k,

(tana^2,

・'・A3=2左，

(AAS).

：.EC=2k,CF=k,

：.FD=k,AD=3k,

DF1

/.tanp=AD=3k=3,

_12

若a+0=45。时，当tana=2,则tan[3=3.

12

同理：若a+0=45。时,当tana=3,则tan[3=2.

根据上述材料，完成下列问题：

m

如图2,直线y=3尤-9与反比例函数y=x(尤＞0)的图象交于点A,与无轴交于点8.将直线绕

点

A顺时针旋转45。后的直线与y轴交于点E,过点4作4/_1》轴于点过点A作ANLy轴于点N,

己知OA—5.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)直接写出tan/8AA/、tanNMIE的值；

(3)求直线AE的解析式.

15.(2022•南通)【阅读材料】

老师的问题：

已知：如图,AE//BF.

求作：菱形A8CD使点C,D分别在8尸，AE上.

小明的作法：

(1)以A为圆心，A8长为半径画弧，交AE于点D；

(2)以8为圆心，A8长为半径画弧，交于点C；

(3)连接CD

四边形ABCD就是所求作的菱形.

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形ABC。是菱形.

E

16.（2022•黔东南州）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题:

如图1,AABC和ABOE都是等边三角形，点A在QE上.

求证：以AE、AD.AC为边的三角形是钝角三角形.

【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC,根据已知条件，可以证明DC=AE,ZADC

120°,从而得出AADC为钝角三角形，故以AE、AD,AC为边的三角形是钝角三角形.

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

【拓展迁移】（2）如图2,四边形A8CD和四边形BGEE都是正方形，点A在EG上.

①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.

②若AE2+AG2=10,试求出正方形ABC。的面积.

16.（2023•通榆县模拟）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.

【作业】

如图①，已知正方形ABC。中，E,尸分别是A3、8c边上的点，且/EDP=45。，求证：EF=

AE+CF.

证明：如图，将△D4E绕点。逆时针旋转90°,得到△DCM,贝IDE=DM,ZA=ZDCM,ZADE=

ZMDC.

:四边形ABC。是正方形，

ZA=ZADC^ZDCB=90°,

ZEDM=ZEDC+ZMDC=ZEDC+ZADE=ZADC=9Q°.

'：ZEDF=45°,

：.ZMDF=ZEDF=45°,

又•/ZA=ZDCM=ZDCB=9Q°,

...点8,F,C,〃在一条直线上.

,:DF=DF,

：.AEDFm,

EF=MF=CM+CF=+CF.

【探究】

(1)在图①中，若正方形ABC。的边长为3,AE^l,其他条件不变，求所的长.

解：,正方形ABC。的边长为3,AE=1,

:.BE=2,CM=1.

设贝!FC=FM-CM=x-1,

：.BF=3-(x-1)=4-x.

在RtABEP中，由2?+(4-无)2=/,解得x=,即EF=；

(2)如图②，在四边形ABCD中，ZA=ZB=90°,AB=AD=6,8c=4,E是45边上的点，且

/CDE=45。,则CE=.

(3)如图③，在AABC中，ZBAC=45°,AD为8C边上的高.若BD=2,。=3,贝I]AD的长

为.

图①图②图③

17.(2023•芝景区一模)阅读下列材料：

如图1,点A、D、E在直线/上，且ZB£)A=/BAC=NAEC,

则：ZCAE+ZBAC+ZBAD=180°,

又ZABD+ZBDA+ZBAD=180°,

故

像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形.

请根据以上阅读解决下列问题：

(1)如图2,R3A8C中，ZACB=90°,AC=BC,直线经过点C,过A作AO_L即于点。，过8

作BELLED于点E.求证：ABEC”ACDA.

(2)如图3,在AABC中，点。在8C上，ZCAZ)=90°,AC=AD,ZDBA=ZDAB,AB=2弧,求

点C到A8边的距离.

(3)如图4,在平行四边形ABC。中，E为边BCk一点,尸为边上一点.若/DEF=NB,AB=

10,BE=4,EF=6,求。E的长.

A考向四与圆有关问题

18.(2022•金华)如图1,正五边形A8CQE内接于0O,阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法如图2.

1.作直径AE

2.以尸为圆心，尸。为半径作圆弧，与。。交于点N.

3.连接AM,MN,NA.

(1)求NA8C的度数.

(2)AAMN是正三角形吗？请说明理由.

(3)从点A开始，以。N长为边长，在OO上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正w边形，求

w的值.

19.(2023•盐都区三模)【阅读理解】

在平面直角坐标系尤Oy中，把点P沿纵轴或横轴方向到达点。的最短路径长记为d(P,。).

例如：如图1,点A(1,1),点8(3,4),则B)=5.

(1)①已知点C(-1,4)和点。(3,2),则d(C,D)=.

②点E是平面直角坐标系xOy中的一点，且d(0,E)=2,则所有满足条件的点E组成的图形

是.

A.一条线段

B.一个等边三角形

C.一个正方形

D.一个圆

【新知运用】

(2)已知点P(1,0),点。在线段MN上.

①如图2,已知点M(3,2)和点N(0,2),则d(P,。)的最大值是；

②如图3,已知点M(3,2)和点N(0,4),求d(P,。)的最小值.

(3)如图4,己知点P(1,0),点G(3,3),以点G为圆心，5为半径作。G,点。在。G上,

则d(P,Q)的取值范围是.

【尺规作图】

(4)如图5,请用无刻度直尺和圆规在直线/上找一点K,使得d(K,E)=d(K,F).

20.(2023•西陵区模拟)阅读以下材料，完成课题研究任务：

【研究课题】设计公园喷水池

【素材11某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心。处立着一个高为2机的实心石柱OA,

水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇

合.为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱05〃处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25;加

【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流.

【任务解决】

(1)小张同学设计的水池半径为2加，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求.

(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？

图1图2

21.(2023•灵宝市二模)阅读与思考

请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.

弥勒是德国著名数学家，他在1471年提出了著名的弥勒定理：

如图1,己知A,2是NMON的边ON上的定点，当且仅当AABC的外接圆与相切(。「与相

切于点C)时NAC2最大，此时OC2=OA・QB.

小明思考后给出如下证明:

证明：如图2,在上任取一点C，，连接AC,BC,3C与。尸相交于点。，连接AD

;点C,。在。P上，

/.ZACB=ZADB（依据①），

又；NAO3是AAC'D的一个外角,

ZADB>ZACB,

：.ZACB>ZAC'B,

即当且仅当AABC的外接圆与0M相切（OP与OM相切于点C）时/ACB最大.

如图3,过切点C作。P的直径CQ,连接8。，贝UNC8Q=90。，CQ±OM,

：.ZQ+ZBCQ=9Q°,ZBCQ+ZOCB=90°

：.ZQ=ZOCB,（依据②）

又•.•/Q=NO4C,

:.OC2^OA-OB.

任务：

（1）写出小明证明过程中的依据：

依据①：，依据②：;

（2）请你将小明的证明过程补充完整；

（3）结论应用：如图4,已知点A,3的坐标分别是（0,1）和（0,4）,C是无轴正半轴上一个动

点，当NAC8最大时，点C的坐标为.

22.（2023•朔州模拟）下面是小宁同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

x年x月x日星期日

只用无刻度的直尺也能作出已知角的余角

问题一：今天，在数学课上，老师提出了一个问题.如果要在如图1所示的。。中作NA8C

的余角NAB。，然而手上只有一把无刻度的直尺，该怎么办呢？

方法：如图2,过点C作。。的直径C。，连接8。，则即为所求.

问题二:小明在老师提出问题的基础上进一步思考，如果以A为顶点作/ABC的余角，应该

如何完成?

问题三:如图3,在图2的基础上，连接。4,0B,设AB与C。交于点E.若NA8C=30。,

480=15。，0A=V3+l,求线段0E的长.

任务：

(1)“方法”所依据的数学原理是

(2)请在图1中完成问题二，并说明理由.

(3)请直接写出问题三的答案.

问题一

突破04与代数'三角形'四边形'圆有关的阅读理解题

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中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一与代数有关问题

A考向二与三角形有关问题

A考向三与四边形有关问题

A考向四与圆有关问题

中考解密

“阅读与思考”是近年中考出现的新题型，设题背景常结合数学文化考查，这类题改变传统的“由条件求结

果”模式，集阅读、理解、思考、应用于一体.通常是以一个新概念、新公式的形式、推导与应用的形式出

现，或提供材料，给出一定的操作程序、数学思想方法，然后运用从中学到的知识解决有关问题，考查学

生的阅读思考能力和解决问题的能力.数学阅读因其语言的高度抽象，以及文字语言、符号语言和图形语

言并存，有别于其他学科的阅读，要掌握数学阅读的方法，养成良好的数学阅读习惯，提高阅读素养.

士重点考向

A考向一与代数有关问题

‘1卓》空①

1.（2023•宁夏）解不等式组2-3x<4-x（2）

下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：

解：由①得：

4-2（2x-1）>3x-1…第1步

4-4x+2>3x-1…第2步

-4x-3x>-1-4-2

-1x>-7…第3步

尤>1…第4步

任务一：该同学的解答过程第4步出现了错误,错误原因是不等式的基本性质3应用错误；

不等式①的正确解集是x<l;

任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集.

解：任务一：4,不等式的基本性质3应用错误，%<1；

任务二：-3x+x<4-2,

-2x<2,

x>-1,

.•.该不等式组的解集为-1%<1.

2.(2023•通辽)阅读材料：

材料1：关于x的一元二次方程ar^+bx+c—O((#0)的两个实数根xi,&和系数a,b,c,有如下关

bc

系：尤i+%2=-a,尤1X2=a■

材料2:已知一元二次方程X2-X-1=0的两个实数根分别为相，"，求的值.

解：•••/〃，〃是一元二次方程/-X1=0的两个实数根，

m+n=1,mn=-1.

则n-Pn+mir—mn{m+n)--lxl=-1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

3_

(1)应用：一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为尤I，X2,则X1+无2=—二2—，尤1%2=_二

~2_.

(2)类比：已知一元二次方程2/+3尸1=0的两个实数根为相，小求浮+层的值；

(3)提升：已知实数s,f满足2s2+3S-1=0,2产+3f-1=0且求st的值.

解：(1)•一元二次方程2%2+3尤-1=0的两个根为无1,X2,

3.2

•'•Xl+X2=~2,X1X2~~2；

3.2

故答案为：-2,-2；

(2)；一元二次方程2f+3x-1=0的两根分别为力,n,

31

.'.m+n--2,mn—~2,

213

nr+n2—{m+n}2-2mn—4+1=4；

(3)•.,实数s,f满足2s2+3S-1=0,2产+3f-1=0,且屏/,

f是一元二次方程2/+3尤-1=0的两个实数根，

3_1

/.s+t=-2,st=-2,

3_1Y7_

V(/-s)2=(f+s)2-4sf=(-2)2-4x(-2)=4,

V17

:.t-s=±2,

,V17

-r------

一2

/.st=st=2=±VTF.

3.(2022•黄石)阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程(%2)2-13^+36=0,如果我们把f看作一个整体，然后设y=V,则原方程可化为产一

13y+36=0,经过运算，原方程的解为也2=±2,科4=±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做

换元法.

材料2

已知实数"z,"满足Mt?-1=0,n2-n-1=0,且祖初，显然"z,〃是方程x2-%-1=0的两个不相

等的实数根，由韦达定理可知比+〃=1,mn--1.

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程尤4_5/+6=0的解为Xl=&,X2=-尤3=如，尤4=-«一；

(2)间接应用：

已知实数。，♦满足:2a4-7a2+1=0,2b4-7庐+1=0且a处,求/+/的值；

(3)拓展应用：

111

~42

已知实数根，〃满足：m+m=7,n2-九=7且〃>0,求m+层的值.

解：(1)令丁=/,则有>2一5y+6=0,

・•・(广2)(广3)=0,

；・yi=2,"=3,

・*=2或3,

==

：.xi=42，X2~V2,x3=Vs,X4~V3;

故答案为：X1=J5，%2=-J5，X3=JS，X4=-V3；

(2),:申,

层处2,

令足=m,/=〃・

：.m^n,贝12M2—7根+1=0,2/—7几+1=0,

Am,〃是方程2?-7%+1=0的两个不相等的实数根，

(7

me万

1

.m=y,

45

止匕时a4+b4=nr+n2=(tn+n)2-2mn=4.

45

综上所述，/+/=4.

1

~2〜。2

(3)令m=a,-n=b,贝!]7=0,b+b-7=0,

Vn>0,

1

m丰一n,BP蚌b,

6是方程f+尤-7=0的两个不相等的实数根,

(a+b=-l

Iab=-7,

1

故m+几2=/+〃=(〃+》)2-2ab=15.

4.（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务.

x

2--1---2-

(x-4-x+2)+x-2

22-------

(X-4-X-4).2…第一步

x-x-2x-2

=X2-42…第二步

-2

(x+2)(x-2)2…第三步

1

-x+2…第四步

任务一：填空

①以上化简步骤中，第一步是通分,通分的依据是分式的性质.

②第二步开始出现错误,错误的原因是去括号没有变号.

任务二：直接写出该分式化简后的正确结果.

解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质.

②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号.

故答案为：①一，分式的性质.

②二，去括号没有变号.

任务二:

12

x2-4--x--+--2--)4--x----2--

x-2

99------

=(x"-4-x-4).2

x-x+2

2x-2

=(x+2)(x-2).~2~

1

=酝

5.(2022•安顺)阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交

水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍.现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植

普通水稻，A块试验田比8块试验田少4亩.

(1)A块试验田收获水稻9600千克、8块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产

量各是多少千克？

(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的8块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于

17700千克，那么至少把多少亩8块试验田改种杂交水稻？

解：(1)设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2r千克，

72009600

依题意得：x-2x=4,

解得：x=600,

经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，

则2x=2x600=1200.

答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克；

(2)设把〉亩8块试验田改种杂交水稻，

7200

依题意得：9600+600(600-y)+1200y>17700,

解得：y>1.5.

答：至少把1.5亩8块试验田改种杂交水稻.

6.(2022•凉山州)阅读材料：

bc

材料1：若关于尤的一元二次方程。/+云+。=0(a^O)的两个根为无1,xi,则无i+x2=a,x\_xi—a.

材料2：己知一元二次方程x-1=0的两个实数根分别为机，n,求m2〃+加〃2的值.

解：•••一元二次方程％2-尤-1=0的两个实数根分别为机，n,

m+n=1,mn=-1,

贝加2〃+加〃2=加几(m+n)=一lxl=-1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

3_

(1)材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为X1，%2，贝Xl+X2=2.X1X2=-

1

2

n__^m

(2)类比应用：已知一元二次方程2--3x-1=0的两根分别为相、几,求7G的值.

工」

(3)思维拓展：已知实数s、/满足2--35-1=0,2P-3t-1=0,且s#,求st的值.

解：(1)•・•一元二次方程2--3%-1=0的两个根为为，x2,

^33_」」

.•・为+入2=2=2,X1X2=2=-2,

3_1

故答案为：2,-2；

(2)•・•一元二次方程2?-3x-1=0的两根分别为m、n,

3_2

m+n=2,mn=-2,

nm

-4-

mn

=inn

(m+n)2-2mn

=inn

(•f)2-2X(*

1

=~~2

13

=2；

(3)•..实数s、f满足2s2-3s-1=0,2产-3r-1=0,

；.s与r看作是方程2f-3尤-1=0的两个实数根，

2