一元一次不等式和一元一次不等式组（十一大题型）原卷版-2024-2025学年北师大版八年级数学下册

一元一次不等式和一元一次不等式组压轴专练

（十一大题型）

目录：

题型1:新定义（一元一次不等式组）

题型2：新定义（二元一次方程组与一元一次不等式组）

题型3：新定义（含绝对值的一元一次不等式组）

题型4：数轴的最值问题

题型5：程序框图

题型6：新定义（一元一次不等式（组）在平面直角坐标系中的应用）

题型7：在平面直角坐标系中的几何问题

题型8：绝对值不等式与分段函数

题型9：一元一次不等式（组）的实际应用（含与一次函数结合）

题型10：分类讨论一几何图形中的行程问题

题型11：三角形证明中的取值范围问题

题型1：新定义（一元一次不等式组）

1.新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相

依方程”，例如：方程尤-1=3的解为x=4,而不等式组”一；的解集为2<x<5,不难发现x=4在2<x<5

x—2<3

X-1>1

的范围内，所以方程x-l=3是不等式组X-2<3的“相依方程”.

2x-1>x+1

⑴在方程①6（X+2）-（X+4）=23：②9%-3=0；③2x-3=0中，不等式组322)X4的“相依方程”

是（填序号）

3x+l公

—>x@

（2）若关于x的方程3x-4=6是不等式组IC,的“相依方程”，求左的取值范围;

口2T②

123

1/25

x-4m[2x+3>

⑶若关于x的方程=丝=-2是关于x的不等式组,)的“相依方程”，且此时不等式组有5个

2[x-m<2m+l@)

整数解，试求冽的取值范围.

2.我们约定：不等式组冽<x<〃，m<x<n,m<x<n,机WxV〃的“长度”士匀为d=〃一掰，[m<n),不

等式组的整数解称为不等式组的“整点”.例如：-2<x<2的“长度”2二2-(-2)=4,“整点，，为尸—1,o,1,

2.根据该约定，解答下列问题：

f5x+3>3x

⑴不等式组C〜八的“长度'"=；"整点”为；

[2x-l<0

'l<x<3

⑵若不等式组”1c的“长度”d=2,求。的取值范围；

ax-3<—x+2

I2

'l<x<31

3ry+l>m

⑶若不等式组,/I)的“长度”d=[,此时是否存在实数加使得关于〉的不等式组…恰有

a<x<—a+22[ay-l<2m

4个“整点”，若存在，求出加的取值范围；若不存在，请说明理由.

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题型2：新定义（二元一次方程组与一元一次不等式组）

3.定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想

解”.

例：已知方程2x-3=l与不等式x+3>0,方程的解为x=2,使得不等式也成立,则称“x=2”为方程2x-3=l

和不等式x+3>0的“梦想解”.

（l）x=-l是方程2x+3=l和下歹!]不等式的“梦想解”：（填序号）

13„Y-1

①x—>—,②2（%+3）<4,③---<3；

222

13%—2歹=3加+2（x>y-5

⑵若关于工，歹的二元一次方程组。R和不等式组।有“梦想解”，且加为整数，求冽的

[2x-y=m-j[x-y<1

值.

[2x-3>2n-l

（3）若关于x的方程x-4=-3〃和关于工的不等式组[,有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为

10,试求〃的取值范围.

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4.定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美

解”.

例：已知方程2x—3=1与不等式x+3>。，当x=2时，2x—3=2x2—3=1,x+3=2+3=5>0同时成立，

则称“x=2”是方程2x-3=l与不等式x+3>0的“完美解”.

⑴已知①2x+l>3,②3x+7<4,③2-x>2x+l,则方程2x+3=1的解是不等式_（填序号）的“完美

解”；

[x=xfx>2

（2）若。n是方程X-3J，=5与不等式组।的“完美解”，求％+3乂的取值范围；

U=U;<1

⑶若\x="xn;"为是整数）是方程组\]小x+5；v…=a3与不等式2组x-6l；y<<114的一组“完美解”,求整数“

的值.

5.阅读理解：

定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）

的“友好解”.例如，方程2x7=1的解是x=l,同时x=l也是不等式x+l>0的解，则称方程2x7=1的解

x=1是不等式x+1>0的“友好解”.

31v-3

⑴试判断方程-2=寸+1的解是不是不等式三>0的“友好解”？不必说明理由；

⑵若关于％、>的方程组，’〈的解是不等式六-2y>7的“友好解”，求左的取值范围；

（3）当左<3时，方程3（x-l）=后的解是不等式4xT<x+27〃的“友好解”，求加的最小整数值.

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题型3：新定义(含绝对值的一元一次不等式组)

6.在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻

炼我们的思维品质.请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里

所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答.例如：解不等式|x-3]>2.解:

①当x-320,即x23时，原式化为：x-3>2,解得x>5,此时，不等式上一3|>2的解集为x>5；②当

x-3<0,即x<3时，原式化为：3-x>2,解得x<l,此时，不等式|尤-3|>2的解集为久<1；综上可知，

原不等式的解集为x>5或“<1.

⑴请用以上方法解不等式关于x的不等式：|5》-20|>10

|2x+3y=5m-10..

(2)已知关于x、N的二元一次方程组曰》+2y=15加+5的解满足卜+7区9,其中加是正整数，求加值;

n\x-3\+y=5n

（）己知关于％、的方程组

3yh..满足方程组的未知数x的值为整数，系数〃也为整数且

—\x-3\+y=-3n

5

〃WO.求满足条件的〃和工的值.

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7.若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最大值和最小值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个

范围的“湘一代数式”.例如：关于x的代数式X?,当-IWxWl时，代数式/在*=±1时有最大值，最大值为

1;在x=0时有最小值，最小值为0,此时最值1,0均在-IWxWl这个范围内，则称代数式Y是-1WXW1的“湘

一代数式

(1)若关于x的代数式同，当时，取得的最大值为一，最小值为一，所以代数式|乂_(填“是”或“不

是“)1VXV3的“湘一代数式”.

a,

(2)若关于x的代数式印1是-2WxW2的“湘一代数式”，求a的最大值与最小值.

(3)若关于x的代数式,-2|是的“湘一代数式”，求m的取值范围.

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题型4：数轴的最值问题

8.对于数轴上两条线段尸。，儿加，给出如下定义：若线段尸。的中点〃与线段上点的最小距离不超过

1,则称线段是线段的“限中距线段”.

已知：如图，在数轴上点P,M,N表示的数分别为-6,1,2.

尸............MN................”

-54-3-2-161~~3456，X

⑴设点Q表示的数为m,若线段尸。是线段"V的“限中距线段”，

①加的值可以是;

A.1B.6C.14

@m的最大值是；

⑵点尸从-6出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为/秒.

当f<6时，若线段近的“限中距线段”PQ的长度恰好与尸"+PN的值相等，求出尸。的中点〃所表示的数;

(3)点尸从-6出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段"N以每秒2个单位的速度向左运动，设运

动时间为/秒.若对于线段九W上任意一点。，都有线段尸。是线段"N的“限中距线段”，则/的最小值为

,最大值为.

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9.【问题提出】+++…+k-2023|的最小值是多少？

【阅读理解】

为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手.|。|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距

离,那么可以看作。这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作。这个数在数轴上

对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究+的最小值.

我们先看。表示的点可能的3种情况，如图所示：

如图①，。在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.

如图②，。在1和2之间(包括在1,2上)，可以看出a到1和2的距离之和等于1.

如图③，。在2的右边，从图中很明显可以看出。到1和2的距离之和大于1.

所以。至I]1和2的距离之和最小值是1.

【问题解决】

(1)|。-2|+|a-4|的几何意义是;请你结合数轴探究：-2|+,-4|的最小值是；

(2)请你结合图④探究：|"2|+|a-3|+|a-4|的最小值是,此时°为；

(3)|a-1|+|a-2|+|a-3|+|a-4|+|a-5|+1«-6|的最小值为；

(4)|a—l|+|a—2|+|a—3p----一2023怕勺最小值为.

【拓展应用】

如图⑤，已知。到-1,2的距离之和小于4,请写出。的范围为.

11.11111»1111.1I1»

-2-lo0I234-2-101a234

图①图②

"'1AA▲▲▲▲」▲

-2-10123a4-2-I0I234

图③图④

-5-4-3-2-I0I2345

图⑤

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题型5：程序框图

10.如图是一个“函数求值机”的示意图.其中〉是x的函数.下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几

组x与了的对应值.

根据以上信息，解答下列问题：

⑴当输入的x的值为6时，此时输出的了的值为；

(2)当输出的了的值满足-2V”-1时，求输入的X的值的取值范围；

(3)若输入x的值分别为阳，加+4,对应输出了的值分别为乂，力，是否存在实数加，使得%＞为恒成立？

若存在，请求出加的取值范围；若不存在，请说明理由.

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题型6：新定义（一元一次不等式（组）在平面直角坐标系中的应用）

11.在平面直角坐标系xQy中，已知点（点M不与原点。重合），将点。（x+A/j+助）（左＞0）称为

点尸（阳外关于点M的“左倍平移点”.

（1）已知点P的坐标是（4,3）,

①若点M（2,-2）,则点尸关于点M的“2倍平移点”0的坐标是」

②点N（T-2）,7（1,-2）,点M在线段NT上，过点尺上⑼作直线Ux轴，若直线/上存在点尸关于点M

的“2倍平移点”，求r的取值范围.

（2）点4（-1,-1）,5（1-1）,£（5,7）,尸（8,4）,以为边在直线4B的上方作正方形/BCD,点M（a,6）在

正方形/BCD的边上，且。＞0,b＞0,对于正方形N8CD的边上任意一点P,若线段E厂上都不存在点尸

关于点M的''左倍平移点”，直接写出发的取值范围.

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12.已知点M和图形少，。为图形少上一点，若存在点P,使得点”为线段尸。的中点（P,。不重合）,

则称点尸为图形少关于点M的倍点.如图，在平面直角坐标系x（方中，点5（-1-1）,C（l,-1）,

外

5-

4-

3-

2-

A-+-D

_____IIII>

-5-4-3-2-1O2345x

B-4-C

-2

-3

-4

⑴若点M的坐标为（2,0）,则在耳（3,0）,£（4,2）,乙（5,1）中,是正方形ABCD关于点M的倍点的是

（2）点N的坐标为（2J）,若在第一，三象限的角平分线上存在正方形关于点N的倍点，求/的取值范

围;

⑶已知点石（0,6）,F（-b,0）,若线段E尸上的所有点均可成为正方形N5CD关于其边上某一点的倍点，直

接写出点b的取值范围.

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题型7：在平面直角坐标系中的几何问题

13.如图，在平面直角坐标系中，直线43与x轴交于点8e,0),与了轴交于点4(0,。)，且

y/a+b+2+\2a-b-8\=Q,若P(加,〃)为直线上一点

(1)直接写出。=,b=,SAAOB=

(2)①求加与〃满足的数量关系为.

4

②若△4尸。的面积大于△B。。面积的彳，求加的取值范围

(3)若0(-4,4),△尸。。的面积为S.若关于％的不等式xKS有4个正整数解，直接写出加的取值范围

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14.如图，直线/|：v=-x+6与x轴，y轴分别交于点43,直线4：了=；加X-加+4与X轴，y轴分别交于

点、C,D,与直线4交于点"，点P在直线4上，过点尸作尸。〃了轴，交直线乙于点。，点。为05的中点.

(1)①求直线4的解析式；

②求△ZCM的面积；

(2)①如果线段P。的长为］0,求点尸的坐标；

②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点.如果3VPQW7,则符合条件的整点P的个数为

个.

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15.如图1,在平面直角坐标系中，已知4(0,。)，3(仇0),C(0,c),且c=j2a-8+j4-a-3,

(2)若点/加,")在线段9的延长线上，请探究羽，〃的数量关系式；

⑶如图2,把点。向右平移d(d>6)个单位长度，再向下平移(d-6)个单位长度至点£.连接成，AE,

若的面积为23,求d的值；

(4)如图3,点尸在经过点。，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为连接4尸，BF,记尸的面积为

s,当9vs<n时，直接写出/的取值范围.

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题型8：绝对值不等式与分段函数

16.［问题提出］:如何解不等式|x-l|+|x-3］>x+2?

预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象,

可以解决一系列问题.

图①中给出了函数y=x+i和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：当无>-2时，函数y=2x+3的图

象在y=x+l图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+l的解集为.

预备知识2：函数了称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的

［~x(x<0)

化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号,

比如化简卜-1|+卜-3|时，可令=0和％-3=0,分别求得x=l,x=3(称1,3分另U是卜一1|和归-3|

的零点值)，这样可以就x<l,x23三种情况进行讨论：

(1)当时，|x—l|+|x—3|=——1)—(%—3)=4—2x

(2)当］<x<3时，|x—l|+|x—3|=(x—lj—(x—3)=2；

(3)当x»3时，|x—1|+|x—3|=(x—l)+(x—3)=2x—4,

4-2x(x<1)

所以卜-l|+|x-3］就可以化简为2(l<x<3)

2x-4(x>3)

预备知识3：函数)=b(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示.

［知识迁移］

如图④，直线>=%+1与直线>6相交于点4(加,3),则关于x的不等式x++b的解集是

［问题解决］

结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式卜-1|+|》一3］>x+2..

(1)请在平面直角坐标系内作出函数了=|x-1|+|x-3|的图象；

(2)通过观察图象，便可得到不等式卜-1|+氏-3］>x+2的解集，这个不等式的解集为.

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17.［问题提出］:如何解不等式|x-l|+|x-3］>x+2?

预备知识1：

同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一

系列问题.

图①中给出了函数y=x+i和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：

当x>-2时，函数］，=2x+3的图象在J，=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+l的解集为一

预备知识2：函数W,称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的

［~x(x<0)

化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号.

比如:化简1|+,-3|时，可令=0和％-3=0,分别求得％=1,x=3(称1,3分别是k-1和|%-3|

的零点值)，这样可以就x<l,x23三种情况进行讨论：

(1)当x<l时，|x-l|+|x-3|=—(x-l)-(x—3)

(2)当］时，|x—l|+|x—3|=(x—lj—(x—3)=2；

4-2x(x<1)

⑶当x23时，,一1|+年一3|=(x—l)+(x-3)=2x-4,所以,一1|+卜-31就可以化简为<2(1<x<3)

2x-4(x>3)

预备知识3：函数>3为常数)称为常数函数，其图象如图③所示.

［知识迁移］

如图④，直线>=%+1与直线>="+人相交于点4(加，3),则关于1的不等式.工+1«。工+6的解集是_.

［问题解决］:

结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x-l|+|x-3|>x+2..在平面直角坐标系内作出函数

歹=卜-1|+卜-3|的图象，如图⑤.在同一直角坐标系内再作出直线.y=x+2的图象，如图⑥，可以发

现函数>=1|+卜-3|与y=x+2的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是_；

通过观察图象，便可得到不等式卜-1|+|工—3］>x+2的解集.这个不等式的解集为

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歹

6

_

_

_

0_

图③

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题型9：一元一次不等式（组）的实际应用（含与一次函数结合）

18.【综合与实践】根据以下信息1-3,探索完成设计购买方案的任务1-3.

信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为A,B,C三类.

信息2：若购买2份工奖品和3份2奖品共需220元；购买3份/奖品和2份2奖品共需230元.单独购

买一份C奖品需要15元.

信息3：计划获“奖品的人数要少于获2奖品的人数.购买时有优惠活动：每购买1份/奖品就赠送一份C

奖品.

任务1：求/奖品和3奖品的单价；

任务2：若获/奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得4奖品的人数超过10人，求此次购买月奖品有几

种方案；

任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获/奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买

方案.

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19.某段时间超市从产地批发/、8两种产品，/产品的批发价为13元/kg,B产品的批发价为16元/kg.其

中A产品的销售单价始终为18元/kg,B产品的销售情况如下：不超过130kg不优惠，超过130kg的部分给

予一定的优惠，其中B产品销售金额了（元）与销量x（kg）之间的函数关系如图.

（1）求B产品销售金额V（元）与销量x（kg）之间的函数关系式;

（2）若每天/、8两种产品共购进200kg,当天都能销售完（损耗不计），且超市购进/产品不低于50kg但又

不超过80kg,设销售4B两种产品的总利润为彳（元），求印与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

⑶在（2）的条件下，当购进B产品不超过130kg时，超市决定对a%的B产品按17元/kg销售让利顾客,

工产品的售价不变，要保证/、8两种产品的总利润每天不低于1060元，求加的最大值.

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20.如图，是某道路停车泊位收费公示牌.现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如下.

白天时段夜间时段

时段

级连续停放6小时封顶连续停放6小时封顶

车型

支

首小时内(15-60分钟)首小时后(60分钟后)20:00系次日8:00

路

计小型车2元/15分钟2.5元/15分钟1元/小时

时

大型车2.5元/15分钟3元/15分钟1.5元/小时

1.白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连

续停放时间为。分钟，当04。<15时不收费，当。=15时收费2元，当15<。430时收费4元，当

注

30<aV45时收费6元，当45<°460时收费8元，当60<a475时收费10.5元，以此类推.

解

2.夜间时段，不足1小时按1小时收费.

3.“连续停放6小时封顶”是指当年辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费.

(1)夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费元.

(2)白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费元.

【综合应用】

(3)白天时段,一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费25.5元，则该车最多停放了多长时

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间？(用一元一次不等式解决问题)

【深入探索】

(4)已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放加分钟，大

型车在白天时段停放〃分钟，且〃<60.当小型车的停车费高于大型车的停车费时，加随〃的变化而变化,

请直接写出〃的范围及其相应的加的范围.

21.【项目式学习】

项目主题：数学智慧拼图

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项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展.王老

师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习.

任务一：观察建模

如图1,第一小组领了8