一元二次方程 知识归纳与题型训练（8类题型清单）原卷版-2024-2025学年浙教版八年级数学下册

《一元二次方程》知识归纳与题型训练（8类题型）

01思维导图

■一元二次方程的定义）

Y一元二次方程）一〔二次方程的一般式：渥+加+c=0（a#0））

L（一元二次方程的解）

因式继法因式分解解一元二次方程的方廊因式分解法

直接开方法;

把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然

配方法

一元二次方程的解法后用开平方法求解的方法

万能公式：厂也尸

一元二次方程

-4ac>0O方程or?+反+c=0（。#0）有两个不相等的实数根;

-48=0o方程a?+及+c=0（。*0）有两个相等的实数根；

b2-4ac<0。方程—+及+c=0（。，0）没有实数根；

一元二次方程根与系数的关系如果和/是1+及+，=0（叱0的两个根，+=--；x,«x2=-.

平均增长率问题平均增长率应用问题等量关系：原来的式1+寸=现在的

一元二次方程的应用销售问题销售类应用问题等量关系：单件利润》懒=总利润

一.动点与几何面积问题J

02知识速记

一、一元二次方程ax?+bx+c=0（aw0）

1.一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，

这样的方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.

要点诠释：

⑴、a/+bx+c=0（aW0）称为一元二次方程的一般式，其中办2、bx、。分别称为二次项、一次项和

常数项，。、6分别称为二次项系数和一次项系数；

（2）、在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项,

最后是常数项；

二、一元二次方程的解法ax?+bx+c=0(。w0)

1.因式分解法：利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法；

这种方法把解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.

2.开平方法：一般地，对于形如/20)的方程，根据平方根的定义，可得否=后，/=-6•

这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.

3.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，

这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

4.公式法：利用求根公式求解一元二次方程的根的方法叫做公式法.

对于一元二次方程a/+区+。=0(4wo),如果，那么方程〃—4ac20的两个根为：

-b+^Jb~-Aac

X-

la

根的判别式：因为方程的根的情况由代数式〃-4ac的值决定，因此〃一4四叫做一元二次方程的根的

判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：

b2-4ac>0o方程ax?+bx+c=0(a00)有两个不相等的实数根；

b2-Aac=0<^>方程ax?+bx+c=0(a00)有两个相等的实数根；

b~-4ac<0u>方程ax?+bx+c=0(a00)没有实数根；

要点诠释：

(1)、因式分解的常用方法步骤：

①提公因式，②套用乘法公式，③某些“二次三项式”用“十字相乘”法因式分解；

(2)二次项系数为1的一元二次方程，用配方法解方程时，第一步移项，第二步配方，两边同加的应是一

次项系数的一半的平方.

(3)公式法解一元二次方程写法步骤：

①分别写出a、b、c的值，并求出〃—4ac的值，

—b+b~—4ac

②分别将各部分带入求根公式》=——--------并化简，

2a

③将两个方程的解写开，得再、的值

(4)利用配方法求最值步骤：

①提取二次项的系数，②将括号内的部分配成完全平方式并配平，③根据完全平方式前

系数的正负，确定表达式的最大或最小值；

求-2/+6x-5的最大值

解析：—2x~+6x—5

T.1

当工=一时,一2一+6x-5的最大值是一一

22

三、一元二次方程的应用

1、一元二次方程应用题的解题步骤：

审题一一设元一一列方程一一解方程一一写答.

2、平均增长率应用问题等量关系：原来的x(l+x)2=现在的

3、销售类应用问题等量关系：单件利润义件数=总利润；

要点诠释：

销售类应用题在解题时，一般会有2个答案，如果一正一负，则通常负值舍去；如果两个都是正的,

没有其他范围要求，则全部可取，如果有其他要求，比如“尽量给顾客得到实惠”、“尽快减少库存”等,

一般需要舍去一个

四、一元二次方程根与系数的关系

一般地，一元二次方程的根与系数有如下关系：

如果Xi、%2是—2+bx+c=0(a，0询两个根,那么占+%2=——；xi*x2

-aa

利用一元二次方程的根与系数的关系，可以不必先求出方程的根，给计算带来方便.

03题型归纳

题型一一元二次方程的定义与一元二次方程的解

例题：

1.（2024春•温州期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x-2y=lB.x2+3=­C.x2-2j+4=0D.x2-2x+l=0

2.（2024春•婺城区期中）一元二次方程3--21-7=0的一次项系数是（）

A.3B.-2C.2D.-7

3.（2024春•堇B州区期中）若x=2是关于x的一元二次方程/+加％-2=0的一个根，则冽的值为（）

A.1B.3C.-1D.-3

4.（2024春•温州期中）若〃是关于x的方程3x2-I-1=0的一个根，则2024-6*+2〃的值是（）

A.2026B.2025C.2023D.2022

5.（2024秋•宿城区期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）

,1C

A.X3+2X=0B.x（x-3）=0C.——%=1D.y-x2=4

x2/

6.（2024春•余姚市期中）将方程（x-1）G+3）=1化成一般形式是.

巩固训练

7.（2024春•钱塘区期末）已知关于x的一元二次方程（左-2）/+3工+庐-4=0的常数项为0,则左的值为

（）

A.-2B.2C.2或-2D.4或-2

8.（2024春•衢州期末）如果关于x的一元二次方程苏+加-1=0的一个解是x=-1,则代数式2024-a+b

的值为（）

A.-2023B.-2025C.2023D.2025

9.（2024春•平湖市期末）关于x的一元二次方程办2+6X=C（acWO）一个实数根为2024,则方程cx2+6x=

a一定有实数根（）

A.2024B.2Q24C.-2024D.—2024

题型二一元二次方程解法之开平方

例题：

1.（2023秋•椒江区校级月考）方程/=4的解是（）

A.勺=4,X2=~4B.X]=%2=2

C.x]=2,%2=12D.x\1,%2=4

2.（2023春•永嘉县月考）若关于x的方程G-a）2-4=6有实数根，则6的取值范围是（）

A.6>4B.b>-4C.624D.62-4

3.（2023春•上城区期中）关于x的一元二次方程x2=a的两个根分别是2%-1与加-5,则m=.

巩固训练

4.（2024春•萧山区期中）已知关于x的一元二次方程"2（x-/?）2-k=0（加，h,人均为常数，且机W0）

的解是町=2,町=5,则关于x的一元二次方程仅（x-h+3）2=左的解是.

5.（2024春•西湖区校级期中）一元二次方程3/=27的解为：.

题型三配方法与配方法的应用

例题：

1.（2024•金东区二模）用配方法解方程x2-6x+l=0时，将方程化为（x-3）2=。的形式，则a的值是（）

A.8B.9C.10D.12

2.（2024春•温州期中）用配方法解一元二次方程x2-8x-4=0时，可将原方程配方成（%-4）2=m,则加

的值是.

3.（2024春•滨江区期末）利用Ca±b）2可求某些整式的最值.例如/-2x+2=（x2-2x+l）+1=（x-1）

2+1,由（x-l）2\o知，当x=l时，多项式/-2x+2有最小值1.对于多项式/+3x+2,当》=

时，有最小值是.

4.（2024•金平区校级一模）解方程：/+6x+2=0.

5.（2024春•西湖区校级期中）用适当的方法解下列方程:

（1）Cx-3）2-4=0；

（2）x2-4x-8=0.

巩固训练

6.(2024•定海区开学)一元二次方程2x2+3x+l=0用配方法解方程，配方结果是()

Q21o21

A-(”+，=•B.2(%--)=-

-221O21

C.(x+4)=-8D.(久+4)--=-1

7.(2024春•慈溪市期末)方程/-8x+7=0配方后写成(x+m)』的形式，则b的值为.

8.(2024秋•义乌市月考)已知任意实数满足等式x=/-4仍+4庐，y=4”86-5,则x,y的大小关系是

()

A.x=yB.x>yC.x<-yD.x^y

9.(2024春•余姚市期中)新定义：关于x的一元二次方程ai(x-c)2+k=。与a2(x-c)2+k=。称为"同

族二次方程”.例如：5(x-6)2+7=0与6(x-6)2+7=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次

方程(小+2)x~+(〃-4)x+8=0与2(x-1)2+1=0是"同族二次方程”，则代数式加/+〃工+2029的最

小值是.

10.(2023春•德清县期末)解方程：

(1)x2-9=0；

(2)x2-6x+l=0.

11.(2024春•宁波期末)配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变

形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的

意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成。2+庐(八方是整数)的形式，则称这个数为“完

美数”.例如，5是“完美数”，理由：因为5=1+22,所以5是“完美数”.

解决问题：

(1)己知10是“完美数”，请将它写成片+庐(°、6是整数)的形式；

探究问题：

(2)已知S=/+9J/+4X-12尹左(x、y是整数，左是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一

个人值，并说明理由.

拓展结论：

_7

(3)已知实数x、y满足一久2+铲+y-2=0,求5x-3y的最值.

题型四一元二次方程解法之因式分解法

例题：

1.（2024春•湖州期末）如表是某同学求代数式尤2-3x的值的情况，根据表格可知方程/-3x=0的根是

X・・・-2-10123.・・

x2-3x・・・1040-2-20・・・

A.x=3B.x—QC.无=0或x=3D.尤=1或x=2

2.（2023秋・邦州区期末）方程x2-2024x+2023=0的解为.

3.（2024春•拱墅区期末）已知0,6为常数，若方程G-1）2=°的两个根与方程G-3）（x-6）=0的

两个根相同，贝.

4.（2024春•拱墅区校级期中）解方程：

（1）x2-4x=1；

（2）2x（x-2）+x-2—0.

巩固训练

5.（2024•郸州区模拟）方程（x-2）2=2X（X-2）的解是（）

A.%1=2,X2=1B.%1=2,%2=-2

C.%i=2,工2=0D.Xj■-2>%2=11

6.（2023秋•临海市期中）三角形两边长分别为3和6,第三边长是方程/-6x+8=0的解，则这个三角形

的周长是（）

A.-11B.13C.11或8D.11和13

7.（2023秋•汕尾期末）解方程：/-4x-5=0.

8.（2024春•上城区校级期中）解下列一元二次方程：

（1）x2-4x+2=0；

（2）（x-3）2-2x（x-3）=0.

题型五一元二次方程解法之公式法

例题:

1.（2023春•金东区月考）一元二次方程J+x-1=0的根是（）

*1I/匚-1]/匚

A.x=1—V5B.x=----------C.-1+V5D.x=-----=—

2.（2024秋•路桥区期中）用公式法解方程N-3=5x时，a,b,。的值依次是（）

A.0,-3,5B.1,-3,5C.1,5,-3D.1,-5,-3

3.（2024春•宁波期末）如表，通过以上方法可将》=今二转化为方程/+尸1=0,我们规定：方程/+工

-1—0称为x=炳21的还原方程.

V5-1

X~~~

去分母，2x=V5-1

移项，2x+l=V5

两边平方，4/+4%+1=5

整理，x2+x-1=0

（1）X=浮^的还原方程是.

（2）若》=遥—1,则代数式x3+3x?-2x+l=.

4.（2023春•南岗区期末）解方程：x（2x-4）=5-8x.

巩固训练

a

5.（2024春•宁波期中）若。2+5"-〃=0,贝略的值为.

6.（2023春•新昌县期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的

问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.欧几里得的《原本》

记载，形如/+办=》（。>0,6>0）的方程的图解法是（如图）：画RtZX/BC,使//C3=90°,BC=

ClCl

5,AC=b,再在斜边上截取3。=万.则该方程的一个正根是（）

A.CZ）的长B.NC的长C.的长D.的长

7.(2023春•衢江区期末)解方程:

(1)2y2+3y-1=0；

(2)x(x-4)=-4.

题型六一元二次方程根的判别系

例题：

1.（2024秋•义乌市月考）一元二次方程x2+2x-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

2.（2024春•诸暨市校级期中）若关于x的一元二次方程依2+复-1=0有实数根，则左的取值范围是（）

A.左2-1且k¥0B.k^-1C.k>-1D.左>-1且后£0

3.（2023春•上城区期中）对于一元二次方程^开bx+cuO（aWO）,下列说法：

①若a+c—b,贝!]b1-4ac20；

②若方程a/+c=O有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c^0必有两个不相等的实根；

③若x=c是方程ox2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+l=O成立；

2

④若x=xo是一元二次方程办2+6X+C=0的根，贝必2-4ac=（2ax0+b）；

其中正确的（）

A.只有①②④B.只有①②③C.只有②③④D,只有①②

4.（2024•婺城区模拟）设关于x的一元二次方程/+6x+c=0,已知①6=2,c=l；②6=-2,c=-3；③

6=1,c=2.请在上述三组条件中选择其中一组6,c的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程.

5.（2024春•越城区期末）已知关于x的一元二次方程/-2x+2加-1=0,其中机为常数.

（1）若X=2是方程的一个根，求"2的值；

（2）当加=-1时，求该方程的根；

（3）若方程有实数根，且加为正整数，求加的值及此时方程的根.

巩固训练

6.（2024春•萧山区期中）已知关于x的一元二次方程依2一（4左-1）x+4左-3=0有两个不相等的实数根,

则实数人的取值范围是（）

11

左<二■且左

A.k<4-B.4=0

11

左〉一:•且左

C.k>--4D.4W0

7.（2024春•泗阳县期末）关于x的一元二次方程/+6x+机=0有两个相等的实数根，则加的值为.

8.（2024春•邺州区期中）若关于x的一元二次方程（4-1）尤2-2日+左-3=0有实数根，则左的取值范围

是.

9.（2023秋•临海市月考）已知关于x的方程/+亦+。-2=0.

（1）当该方程的一个根为1时，求。的值及该方程的另一根；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

10.（2024•萧山区二模）已知关于x的方程/-2（3-m）x+5-2m=0.

（1）若方程的一个实根是3.求实数加的值.

（2）求证：无论加取什么实数，方程总有实数根.

题型七一元二次方程根与系数的关系

例题：

,一c1

1.(2024春•丽水期末)已知关于X的一元二次方程2/-加X-加=0的一个根是一万，则方程的另一个根是

()

11

A.-B.--C.1D.-1

2.(2024春•诸暨市期中)若xi，x2是一元二次方程/+%-3=0的两个实数根,则2024-所-血的值为()

11

A.2025B.2023C.2024-D.2023-

3.(2024春•拱墅区校级期中)设修，也是一元二次方程/-4%-11=0的两个根，则痣+若=()

A.-11B.4C.16D.38

4.(2024春•上城区校级期中)对于一元二次方程办2+瓜+°=0(Q#0),下列说法：

①若Q+Z?+C=O,则方程必有一根为x=1；

②若方程"2+c=o有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=o无实根；

③若方程办2+乐+°=0(〃=0)两根为修，工2且满足则方程c/+bx+a=O(cWO),必有实根

11

，；

X1X2

2

④若X0是一元二次方程办2+6X+C=0的根，贝必2—4ac=(2ax0+b).

其中正确的()

A.①②B.①④C.②③④D.①③④

5.(2024•西湖区校级开学)已知关于x的一元二次方程/-(%+2)x+2%=0.

(1)求证：不论加为何值，该方程总有两个实数根；

(2)若该方程的两个实数根X[,X2满足3-1)(X2-1)=14,求加的值.

巩固训练

6.（2024春•上虞区期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将x2项的系数与常数项对换了，使得方

程也变了.他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2,另一根等于原方程的一个根.则原方程

两根的平方和是（）

3245

A.~B.~C.~D.—

ZD54

7.（2024秋•鼓楼区校级月考）若方程加什尸0的一个根大于1,另一根小于1,贝Up+g的值（）

A.不大于1B.大于1C.小于1D.不小于1

8.（2024春•海曙区期末）已知xi，皿是方程2x2+3x-7=0的两个根，则解也+问城的值为（）

2125963133

A-彳B.--C.—可D.--

9.（2024秋•义乌市校级月考）已知：方程/-21）x+2庐-12左+17=0,两根为x2,求好+成的

最大值与最小值.

10.（2024春•诸暨市期末）已知关于x的一元二次方程J+6x-加=0.

（1）若方程有两个实数根，求加的取值范围；

（2）在（1）中，设修、X2是该方程的两个根，且X1+X2-2XIX2=0,求"2的值.

题型八一元二次方程应用题

1.（2024春•西湖区校级月考）某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%,则平均每次的降价

率为（）

A.30%B.40%C.50%D.51%

2.（2024春•镇海区校级期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销

量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售

饮料获利1440元，则每箱应降价元.

3.（2024秋•江津区期中）如图，一块长12加，宽8加的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路

（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60加2,则道路的宽应为

4.（2024春•诸暨市期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产