一线三等角模型 压轴题分类（解析版）-2022-2023学年人教版八年级数学上册重难点题型必刷题

专题07一线三等角模型中档大题与压轴题真题分类（解析版）

基础模型

已知:点P在线段AB上,N1=N2=N3,且AP=3D（或AC=3尸或

C

CP=PD）

结论1:AAPC^ABDP

APB

同侧一•线三等角

已知:点尸在线段A3的延长线上,N1=N2=N3,且AP=3。（或

D

工AC=BP或CP=PD）

结论2/APCZABDP

异侧一线三等角

专题简介：本份资料包含一线三等角模型常考的中档大题、一线三等角模型常规压轴题、坐标系中的三垂

直模型类压轴题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题。适合于培训机构的老师给学生作专

题复习培训时使用或者冲刺压轴题高分时刷题使用。

题型1:一线三等角模型中档大题

1.如图，ZB=NC=90。，ZBAE=ACED,且AB=CE.

（1）试说明：△"近是等腰直角三角形；（2）若NCDE=2NBAE,求NCDE的度数.

'NB=/C=90°

【解答】证明：(1)在△A2E与中，，AB=EC，.,.△ABE丝△ECD(ASA),

ZBAE=ZCED

：.AE=ED,VZBAE+ZAEB=90°,AZAEB+ZCED=90°,△AED是等腰直角三角形;

(2)•:AABE丝4ECD,：.ZAEB^ZCDE,VZAEB+ZBAE^90°,,:/CDE=2/BAE,

：.2ABAE+ZBAE=90°,AZBAE=30°,：.ZCDE=6Q°.

2.如图，在△ABC中，AC^BC,D、E分别为AB、BC上一点，NCDE=NA.若BC=BD,求证：CD=DE.

【解答】证明："：AC=BC,：.ZA=ZB,：AC=BCBC=BD,J.AC^BD,VZCDB=ZA+ZACD=

ZCDE+ZBDE,ZCDE^ZA,；.NACD=NBDE,

'/A=NB

在△AC。与△BDE中，,AC=BD，

ZACD=ZBDE

AAACD^ABDE(ASA),：.CD=DE.

3.(雅礼)如图，在△ABC中，NB=NC,点。是边3c上一点，CD=AB,点E在边AC上.

(1)若ZADE=ZB,求证：

®ZBAD=ZCDE-,

②BD=CE；

(2)若BD=CE,NB4c=70。，求Z4DE的度数.

【解答】(1)证明：①：在△ABC中，ZBAD+ZB+ZADB=180°,AZBAD=180°-ZB-ZADB,

又；/CDE=180°-ZADE-ZADB,且:.NBAD=NCDE；②由①得：/BAD=NCDE,

2B=NC

在△A8£)与△£>"中，<AB=DC，.,.AABD^ADCE(ASA),：.BD=CE；

ZBAD=ZCDE

fAB=DC

(2)解：在△AB。与△DCE中，<ZB=ZC>>,•△ABD^ADCE(SAS),：.ZBAD=ZCDE,

BD=CE

又：NAOE=180°-ZCDE-ZADB,：,ZADE=180°-ZBAD-ZADB=ZB,

在△ABC中，ZBAC=70°,NB=/C,：.ZB=ZC=1.(180°-ZBAC)=AxilO°=55°,

22

AZADE=55°.

4.如图，ZACB=90°,AC^BC,AD±CE,BELCE,垂足分别为。，E,A£>=2.5cm,求

BE=1cm,求。E的长.

【解答】解：-：AD±CE,BELCE,：.ZADC=ZE=90°,：,ZACD+ZCAD=9Q°,

VZACB=90°,；.ZACD+ZBCE=90°,：.ZBCE=ZCAD,

rZE=ZADC=90°

在△BCE和△CAO中，，NBCE=NCAD，(AA5),

CB=CA

：.CD=BE=\(cm),CE=AD=25(cm),：.DE=CE-CD=2.5-1=1.5(cm).

5.已知，如图①，在AABC中，/BAC=90。，AB=AC,直线m经过点A,BDL直线m,CEL直线m,垂足分别为

点D.E,求证：DE=BD+CE.

(2)如图②，将(1)中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D.A.E三点都在直线m上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明：若

图①图②

【解答】解：(1)DE=BD+CE,理由如下：VZBAC=90Q,：.ZBAD+ZCAE=90°,'：BD±m,CEL

m,：.ZADB=ZCEA=90°,：.ZBAD+ZABD=9Q°,AZABD=ZCAE,

rZADB=ZCEA=90°

在△AO8和△CEA中，,NABD=NCAE，•'.△ADB^ACEA(AAS),：.BD=AE,AD=CE,

AB=AC

DE=AD+AE=BD+CE；

(2)结论。E=BD+CE成立，理由如下："：ZBAD+ZCAE=1800-ABAC,ZBAD+ZABD=180°-Z

ADB,ZADB=ZBAC,：.ZABD=ZCAE,

'NADB=NCEA

在△BA。和△ACE中，＜NABD=NCAE，.,.ABAD^AACE(AAS),：.BD=AE,AD=CE,

AB=AC

DE=DA+AE=BD+CE.

6.(1)如图1,△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是过A点的一条直线，且8、C在AE的异侧，BDA.AE

于。，CEJ_AE于E,求证：BD=DE+CE.

(2)若直线AE绕点A旋转到图2的位置时(BDVCE),其余条件不变，问8。与。E、CE的关系如何?

请予以证明.

ZAEC=90°,"：ZABD+ZBAE=90°,

ZCAE+ZBAE^90°：.ZABD^ZCAE,'JAB^AC,在AABD和八CAE中,

，ZBDA=ZAEC

<ZABD=ZCAE

VIAB=AC,.•.△ABD^ACAE(AAS),:.BD=AE,AD=CE,'：AE=AD+DE,

:.BD=DE+CE；

⑵BD=DE-CE；VZBAC=90°,BDLAE,CELAE,：.ZBDA=ZAEC=90°,：.ZABD+ZDAB=

ZDEB+ZCAE,：.ZABD=ZCAE,'JAB^AC,在△4BO和ACAE中，

，ZBDA=ZAEC

-ZABD=ZCAE

VAB=AC,.'.△ABD^ACAE(A4S),：.BD=AE,AD=CE,：.AD+AE=BD+CE,

;DE=BD+CE,：.BD=DE-CE.

题型2：一线三等角模型常规压轴题

7.(1)如图工，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点4过点B、C分别作CE±m,垂足分别

是。、E.求证：BD+CE=DE；

(2)如图2,直线m经过△ABC的顶点A,AB=AC,在直线m上取两点0、E,使NAOB=NAEC=a,补

充NBAC=(用a表示)，线段B。、CE与OE之间满足BD+CE=DE,补充条件后并证明；

(3)在(2)的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件NAD8

=NAEC=(用a表示).通过观察或测量，猜想线段BD、CE与。E之间满足的数量关系，

并予以证明.

【解答】解：(1)'：BD_Lm,CE±m,：.ZDAB+ZABD^90°,ZADB=ZAEC,VZBAC=90°,

AZDAB+ZEAC=90°,/.ZABD=ZEAC,

'NADB=NAEC

在△ADB和中，<ZABD=ZEAC'.'.AADB^ACEA(A4S),：.BD=AE,AD=CE,

AB=AC

BD+CE=AD+AE=DE；

(2)补充NBAC=a,理由如下：VZADB=ZBAC=a,：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=18Q0-a,

：.ZCAE=ZABD,

rZABD=ZCAE

在△AQB和△CEA中，，ZBDA=ZCEA'(AAS),：.AE=BD,AD=CE,

AB=AC

/.BD+CE^AE+AD=DE；

(3)补充/AOB=/AEC=180°-a,理由如下：VZADB=180°-a,ZABD+ZBAD=a,

,/ZBAD+ZCAE=a,；.ZABD=ZCAE,

rZABD=ZCAE

在△48。和中，，/ADB=NAEC，.*.AABD^AC4E(AAS),：.AE=BD,CE=AD,

AB=AC

BD+DE=AE+DE=AD=CE；

8.已知RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点E为AABC内一点，连接AE,CE,CE±AE,过点B作BD±AE,

交AE的延长线于D

(图1)(图2)（图3）

(1)如图1,求证8£>=AE；

(2)如图2,点以为BC中点，分别连接EH,DH,求的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，点M为C”上的一点，连接EM,点尸为的中点，连接PH,过点。

作。交口/的延长线于点G,若GH：FH=6；5,△fWM的面积为30,ZEHB=ZBHG,求线段

由的长.

【详解】证明：(1)VCELAE,BD±AE,；./AEC=/A£>2=90°,VZfiAC=90°,

AZ.ACE+CAE=ZCAE+ZBAD=90°,AZACE=ZBAD,

ZACE=ZBAD

在△CAE与△AB。中\ZAEC=ZADB,.,.△CAE^AABD(A4S),：.AE=BD；

AC=AB

(2)连接A",'：AB=AC,BH=CH,：.ZBAH=-ABAC=1x90°=45°,/AHB=90°,

22

/.ZABH=ZBAH=45°,：.AH=BH,'：ZEAH=ZBAH-ZBAD=45°-ABAD,

ZDBH=1SO°-ZADB-ZBAD-ZAB//=45°-ZBAD,：.ZEAH=ZDBH,

AE=BD

在AAEH与△BDH中1/EAH=NDBH.♦.△AEH乌ABDli(SAS),：.EH=DH,ZAHE=ZBHD,

AH=BH

1800-90°

/.ZAHE+ZEHB=ZBHD+ZEHB=90°,即NEH£>=90°,ZEDH=ZDEH=------------=45°；

2

(3)过点M作MSLEF/于点S,过点E作ERLBH,交族的延长线于点R,过点E作ET〃2C,交HR

的延长线于点■'：DG±FH,ERLFH,：.ZDGH=ZERH=90°,：.ZHDG+ZDHG=90°

；NDHE=90°,：./EHR+/DHG=90°,：.ZHDG^ZHER

ZHDG=/HER

在ADHG与LHER中,<ZDGH=ZERH,:.△DHG/△HER(.AAS),：.HG=ER,,：ET//BC,

DH=EH

:.NETF=/BHG,ZEHB=Z.HET,ZETF=Z.FHM,VZEHB=ZBHG,：.ZHET=ZETF,

ZETF=ZFHM

：.HE=HT,在LEFT与△MFH中,\ZEFT=ZMFH,:.LEFT咨/\MFH(AAS),

EF=FM

设.GH=6k,FH=5k,则8G=ER=MS=64,

HF.MS5kSk

=30,k=-^21FH=5-^2，

/.HE=HT=2HF=1072.

图102图3

9.如图(1),己知AA5c中，ABAC=90°,AB=AC；AE是过A的一条直线，且8,。在AE的异

侧，BQLAE于。，。£，4£于£.

(1)求证：BD=DE+CE；

(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变，问3D与DE,CE的数量

关系如何？请给予证明.

(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变，问5。与。E,CE的数量

关系如何？请直接写出结果，不需证明；.

【解答】解：(1)"JBDLAE,CE±AE,：.ZADB=ZCEA=9Q°,/.ZABD+ZBAD=90°,

又：NBAC=90°,：.ZEAC+ZBAD=90°,ZABD=ZCAE,在△ABQ和中，

fZADB=ZCEA

<NABD=/CAE，•*-AABD^AACE(A45),:.BD=AE,AD=EC,:.BD=DE+CE.

AB=AC

(2)\'BD±AE,CE±AE,：.ZADB^ZCEA^90°,：.ZABD+ZBAD^90°,又•.•/BAC=90°,

AZEAC+ZBAD=90°,/.ZABD=ZCAE,

'/ADB=NCEA

在△AB。和△ACE中，,NABD=NCAE，.•.△ABD^AACE(A4S),：.BD=AE,AD=EC,

AB=AC

:.BD=DE-CE.

(3)同(2)的方法得出，BD=DE-CE.

10.如图，Rt^ACfi中，ZACB=9Q°,AC^BC,E点为射线CB上一动点，连结AE,作A产，AE

且AF=AE.

(1)如图1,过尸点作ED_LAC交AC于。点，求证：FD=BC；

(2)如图2,连结Bb交AC于G点，若AG=3,CG=1，求证：E点为中点.

A(Z

(3)当七点在射线CB上，连结跳7与直线AC交于G点，若BC=4,BE=3,则一=.(直

CG

接写出结果)

【解答】解：(1)证明：VFD±AC,.-.ZFDA=90°,/.ZDFA+ZDAF=90°,同理，ZCAE+ZDAF=90°,

NDFA=NCAE,

ZAFD=ZEAC

在AAFD和△EAC中，IZADF=ZECA,AAAFD^AEAC(AAS),.\DF=AC,VAC=BC,.\FD=BC；

AF=AE

(2)作FD_LAC于D,由(1)得，FD=AC=BC,AD=CE,

NFDG=ZBCG=90°

在4FDG和ABCG中，IZFGD=ZBGC,.-.△FDG^ABCG(AAS),.*.DG=CG=1,

FD=BC

；.AD=2,；.CE=2,：BC=AC=AG+CG=4,；.E点为BC中点;

E

4国25

(3)当点E在CB的延长线上时，过F作FDLAG的延长线交于点D,BC=AC=4,CE=CB+BE=7,

由（1）（2）知：AADF^AECA,AGDF^AGCB,；.CG=GD,AD=CE=7,；.CG=DG=L5,

AG4+1.511B、“上〜心dc=AG4-1.55

--同1T理，当点E在线段BC上时，—=

CCJ1.53CG1.53

题型3：坐标系中的三垂直模型类压轴题

11.(广益)已知：如图，在平面直角坐标系无Oy中，A(-2,0),B(0,4),点C在第四象限，AC±AB,

AC^AB.

(1)求点C的坐标及/COA的度数;

(2)若直线BC与无轴的交点为点尸在经过点C与x轴平行的直线上，求出的值.

【解答】解：（1）作CD_Lx轴于点D.,./CZM=90°.VZAOB=90°,：.ZAOB=ZCDA.：.ZDAC+

ZDCA=90°.'：AC±AB,：.ZBAC=ZBAD+ZCAD=90°,：.ZBAD=ZACD.

fZAOB=ZCDA

在△AOB和△CZM中</BAD=NACD，.".AAOB^ACDA(AAS),：.AO=CD,OB=DA.

BA=AC

VA(-2,0),B(0,4),：.OA=2,OB=4,：.CD=2,Z)A=4,：.OD=2,：.OD=CD.

:点C在第四象限，：.C(2,-2).VZCZ)O=90o,，NCO£>=45°.：.ZCOA^180°-45°=135

（2）：「＜?〃尤轴，，点尸至!］了轴的距离相等，，54尸0"=54。。”.；.5/\?。"+5^8。"=54（70"+548。”=5k8。＜7.

.4XP

♦.S&POM+S&BOM=SABOC=-----4.

2

12.（师大）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB,A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C

在x轴上方.

（1）如图1所示，若A的坐标是（-3,0）,点B的坐标是（0,1）,求点C的坐标；

（2）如图2,过点C作CO_Ly轴于D,请直接写出线段。A,OD,CD之间等量关系；

（3）如图3,若X轴恰好平分/BAC,BC与X轴交于点E,过点C作C尸J_x轴于F,问CF与AE有怎样的

数量关系？并说明理由.

【解答】解：(1)作轴于”，如图1,••,点A的坐标是(-3,0),点B的坐标是(0,1),

二。4=3,OB=1,,.'△ABC是等腰直角三角形，：.BA^BC,ZABC=90°,ZABO+ZCBH^9O0,

"：ZABO+ZBAO=90°,：.ZCBH=ZBAO,

，ZAOB=ZBHC

在△AB。和△BCW中，ZBAO=ZCBH':•AABO"ABCH,：.OB=CH=1,OA=BH=3,

AB=BC

.•.08=02+2//=1+3=4,：.C(-1,4)；

(2)OA=CD+OD.理由如下：如图2,「△ABC是等腰直角三角形，：.BA=BC,ZABC=9Q°,

：.ZABO+ZCBD=90°,VZABO+ZBAO=9Q°,：.ZCBD=ZBAO,

'NAOB=/BDC

在△ABO和△BCD中，ZBAO=ZCBD>:.AABOqABCD,：.OB=CD,OA=BD,而BD=OB+OD=

AB=BC

CD+OD,：.OA=CD+OD；

(3)CF=1AE.理由如下：如图3,CP和AB的延长线相交于点£),...NCBD=90°,

2

VCF1.X,：,ZBCD+ZD=90°,而/ZMF+/r>=90°,：,ZBCD=ZDAF,

rZABE=ZCBD

在△ABE和△CB£)中，<AB=CB，•••△ABE0△CBD(ASA),：.AE=CD,

ZBAE=BCD

:x轴平分/2AC,CP_Lx轴，；.CF=DF,：.CF^^CD^IAE.

22

13.(青竹湖)如图1,0A=2,08=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtZ^ABC.

(1)求C点的坐标；

(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，力为腰作

等腰RtAAPD,过。作DE±x轴于E点，求OP-DE的值；

(3)如图3,已知点F坐标为(-2,-2),当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作RtAFGH,始

终保持/GFH=90°,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G点

OAB+ZOBA=90°,贝!)/MAC=NOBA,

，ZCMA=ZAOB=90°

在△MAC和△OBA中，，ZMAC=Z0BA,.".AMAC^AOBA(AAS)

AC=BA

：.CM=OA=2,MA=OB=4,二点C的坐标为(-6,-2)；

(2)过。作DQLOP于。点，如图2,则OP-DE=PQ,ZAPO+ZQPD=90°ZAPO+ZOAP=90

，ZAOP=ZPQD=90°

°,则NQPD=/OAP,在△AOP和△PDQ中，.ZQPD=Z0AP

AP=PD

则△AOPgAPOQ(A45),：.OP-DE=PQ=OA=2；

(3)结论②是正确的，"2+〃=-4,如图3,过点尸分别作尤轴于S点，FTJ_y轴于T点，

，ZFSH=ZFTG=90°

则/S=fT=2,NFHS=NHFT=NFGT,在△FS//和△PTG中，＜ZFHS=ZFGT

FS=FT

则丝△fTG(A4S),贝！IGT=8S,又：G(0,M,H(M,0),点尸坐标为(-2,-2),

：.OT=OS=2,OG=\m\=-m,OH=n,：.GT=OG-OT=-m-2,HS=OH+OS=n+2,

则-2-m=n+2,贝!Jm+n=-4.

AV

J'T)

M4Io0E:,

14.（青竹湖）如图1,在平面直角坐标系中，点A（a,b）,连接OA,将OA绕点。逆时针方向旋转90。到

OB.

（1）求点2的坐标；（用字母。，6表示）

（2）如图2,延长A2交x轴于点C,过点B做交y轴于点。，求证：OC=OD；

（3）如图3,在（2）的条件下，过点。做O暇〃应＞,若3c=4,求0M的长.

斗

OXC\OXc\O]MX

、D、D

【解答】（1）解：如图1,

D0Cx

图1

作AC_Lx轴于C,作Br>_L无轴于。，*.ZACO=ZBDO=90°,ZAOC+ZA=90°,VZAOB=90°,

ZAOC+ZBOD=9Q°,/.ZA=ZBOD,

rZAC0=ZBD0

在△AOC和△08。中，＜ZA=ZBOD，•,.△AOC^AOBD(A4S),：.OD=AC=\b\,BD=OC=\a\,

OA=OB

'.B(-b,a)；

(2)证明：如图2,

设OC,BD交于点、E,:BD_LAC,：.ZBCD=ZCOD^9Q°,VZBEC=ZDEO,

ZACO=ZBDO,VZAOB=ZCOD=90°,?.ZAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,

即：ZAOC=ZBOD,\'OA=OB,：./\AOC^/\BODCASA),：.OC=OD；

延长OM至N,使MN=OM,Af。的延长线交AB于。，连接£W,'."OM//BD,BDLAB,

：.OQLAB,/AOQ=/=[NAOB=45。，4D0N=4BD0=4BCO,<OA=OB,：.AQ^BQ,

：.AM=DM,VZAMO=ZDMN,:.丛AMO”ADMN(SAS),：.ZN=ZAOM=1SO°-ZAOQ=135°,

VZABO=45°,；./OC2=135°,AZN^ZOCB,'JOD^OC,：.^\DON^/\OCB(AAS),

：.ON=BC=4,OA/=-i-Qfj=2.

15.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点A(0,3)与点8关于无轴对称，点C(〃，0)为x

轴的正半轴上一动点.以AC为边作等腰直角三角形AC。，NACD=90°,点。在第一象限内.连接BD

交x轴于点尸.

(1)如果N。4c=38°,求/。CF的度数；

(2)用含〃的式子表示点。的坐标；

(3)在点C运动的过程中，判断。尸的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由.

【解答】解：(1)VZAOC=90°,：.ZOAC+ZACO=90°,VZACD=9O°,AZDCF+ZACO=90°,

：.ZDCF=ZOAC,：NOAC=38°,：.ZDCF=38°；

(2)如图，过点。作。HJ_x轴于H,?.ZAOC=ZCHD=9Qa，:等腰直角三角形ACD,

ZACD=90°J.AC^CD,由(1)知，NDCF=/OAC,A/\AOC^/\CHD(AAS),：.OC=DH=n,AO

=CH=3,.,.点。的坐标(w+3,M)；

(3)不会变化，理由：：点A(0,3)与点2关于x轴对称，.•.49=20,又,WAB,轴是AB垂

直平分线，：.AC=BC,：,ZBAC=ZABC,又；AC=CD,：.BC=CD,：.ZCBD=ZCDB,VZACD=

90°,AZACB+ZDCB=270°,/.ZBAC+ZABC+ZCBD+ZCDB^90°,；.NABC+NCBD=45°,

VZBOF=90°,：.ZOFB=45°,：.NOBF=NOFB=45°,：.OB=OF=3,

OP的长不会变化.

16.如图，四边形O48C的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A(0,a),B(b,a),C(b,0),又

a,ba-4-V4-a+-^-^2+4^+8=0,点尸在x轴上且横坐标大于b,射线。。是第一象限的一条射

线，点。在射线。。上，BP=PQ.并连接8。交y轴于点

(1)求点A,B,C的坐标为A、B、C.

(2)当BP_LPQ时，求NA。。的度数.

(3)在(2)的条件下，若点尸在x轴的正半轴上，且。尸=34W,试求点〃的坐标.

【解答】解：(1)a-4*,\l~^-^+-^b~+4b+8=Q,yja-4-V4_3+-^-(8-4)2=0,

：.a=4,6=4,(0,4),8(-4,4),C(-4,0),

故答案为(0,4),(-4,4),(-4,0)；

(2)由(1)知，A(0,4),8(-4,4),C(-4,0),AB=BC=OC=OA=4,四边形0ABe是菱

形，；/AOC=90°,...菱形。4BC是正方形，过点。作。N_Lx轴于N,，/处0=90°,AZQPN+Z

PQN=90°,,：BPLBQ,：.ZBPQ=90°,：.ZBPC+ZQPN=90°,ZPQN=ZBPC,由(1)知，B

(-4,4),C(-4,0),：,BC=4,BC±x,:./BCP=/PNQ=90°,

rZBCP=ZPNQ=90°

在△BCP和△PN。中，,NBPC=/PQN，

BP=PQ

：./\BCP^/\PNQ(AAS),:.CP=QN,BC=PN,：.OC=PN=4,

①当点尸在x轴负半轴时，如图1、OC=CP+OP,PN=OP+ON,：.CP=ON,'：CP=QN,：.ON=QN,

VZPNQ=90°,：.ZQON=45°,：.ZAOQ=45°,

②当点尸在x轴正半轴时，如图2、OC=CP-OP,PN=ON-OP,：.CP=ON,,:CP=QN,：.ON=QN,

■:NPNQ=90°,：.ZQON^45°,：.ZAOQ^45°,即：/AOQ=45°；

(3)如图2,过点。作QVJ_x轴于N,设P(%,0)(m>0),'：OP=3AM,：.AM=^OP^l.m,

33

：.M(0,上加+4),•；点2(-4,4),；.直线的解析式为了=工〃a+工小+4,由(2)知，PN=OC=4,

3123

:.N(m+4,0),QCm+4,m+4),丁点。在直线BA/上，-^-m(m+4)+~m+4=m+4,

123

.*.m=0(舍)或m=4,.\M(0,工^).

图1图2

17.(雅礼)已知：△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC.

(1)若8(0,a),C(b,0)且。、b满足反+/-9|=0.则a=,b=；

(2)如图1,在(1)的条件下，过点A作直线/〃x轴交y轴于点E,过点(7作(7于点D.

①求证：△ABE0△CAD；

②直接写出A点坐标；

(3)如图2,过点A和点C分别作x轴和y轴的平行线相交于点。，若3C=B£>,试问器的比值是否

不变，若不变，求出比值；若变化，请说明理由.

(2)①证明：如图1,

•.•直线/〃x轴交y轴于点E,过点C作CZ)_U于点O,：.ZAEB=ZADC=90°,

「△ABC是等腰直角三角形，：.AB^AC,N2AC=90°,Z.ZABE+ZBAE^90°,ZBAE+ZCAD^9Q

rZAEB=ZCDA=90°

ZABE=ACAD,在△AEB和△CZM中，<ZABE=ZCAD，.".AAEB^ACDA(A4S).

AB=CA

②解：•；AAEB丝ACDA,:.BE=AD,AE=CD,设2E=A£>=根，B