中考数学难点突破与训练：全等三角形中的截长补短模型（原卷版+解析）

专题06全等三角形中的截长补短模型

【模型展示】

\•

、■♦・

、■■■

E

如图，在ZkABC中，若A8=I2,AC=8,求5c边上的中线AO的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：

延长4。到点E使DE^AD,再连接BE,把AB.AC.2AD集中在AABE中，利用三角形三

边的关系即可判断中线AO的取值

【证明】

延长AO至E,ftDE=AD,连接BE,如图所示，

特点

'：AD^.BC边上的中线，

：.BD=CD

在4BDE和4CDA中，

BD=CD

ZBDE=ZADC

DE=AE

:.ABDE名ACDAgAS)

：.BE=AC=8

在AA5E中，由三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE

：.12-8<AE<12+8

：.2<AD<10

截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某

结论条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用

全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.

【模型证明】

如图，在△ABC中，。是8c边上的中点，OE_LZ>尸于点O,OE交A5于点E,Z)尸交AC于点

居连接E尸，求证：BE+CF>EF.

【证明】

延长尸。至点M使OAf=O居连接如图所示，

同上例得4BMD^ACFD(SAS)

：.BM=CF

'：DEVDF,DM=DF

：.EM=EF

在A3ME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM

解决方案

如图，在四边形A8CD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C为顶点作一个70°角，

角的两边分别交48队。于瓦尸两点连接ER探索线段BE,。£所之间的数量关系，并加以证明.

【证明】

延长A3至点N,使BN=DF连接CN,如图所示

ZABC+ZD=180°,ZNBC+ZABC=180°

：.ZNBC=ZD

在4NBC和^FDC中

BN=DF

ZNBC=ZD

BC=DC

:•△NBCQXFDC(SAS)

:.CN=CF,ZNCB=ZFCD

VZBCD=140°fZECF=70°

：.ZBCE+ZFCD=70°

：.ZECN=70°=ZECF

在^NCE和^FCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

：.△NCE"AFCE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF.

【题型演练】

一、解答题

1.阅读下面文字并填空：

数学习题课上李老师出了这样一道题:“如图1,在.ABC中,AD平分ZBAC,ZB=2NC.求证：AB+BD=AC.

（图1）

李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截

长法’如图2,在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证89=即可，这就将证明线段和差问题

为证明线段相等问题，只要证出，.,得出NB=NAED及BD=

，再证出N=Z,进而得出£D=EC,则结论成立.此种证法的基础是，己

知AD平分将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处，成为可能.

E

（图2）

方法二:“补短法”如图3,延长AB至点F,使=RD.只要证AF=AC即可.此时先证Z=ZC,

再证出。,则结论成立.”

“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法.

2.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线

段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

(1)如图1,ABC是等边三角形，点。是边3C下方一点，ZB£)C=120°,探索线段ZM、DB、DC之

间的数量关系.

解题思路：延长0c到点E,使CE=BD,连接AE,根据/54。+/班心=180。，可证=易

证得ABD沿、ACE,得出ADE是等边三角形，所以AD=DE,从而探寻线段D4、DB、OC之间的数

量关系.

根据上述解题思路，请写出ZM、DB、0c之间的数量关系是,并写出证明过程；

【拓展延伸】

(2)如图2,在咫ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,若点D是边BC下方一点,ZBDC=90°,探索线段

DA.DB、0c之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为2c机的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距

离尸。的平方为多少？

3.如图，在等边△ABC中，点尸是BC边上一点，ZBAP=«(30°<«<60°),作点8关于直线AP的对

称点。，连接。C并延长交直线AP于点E,连接BE.

(1)依题意补全图形，并直接写出/AE8的度数；

(2)用等式表示线段AE,BE,CE之间的数量关系，并证明.

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……

②通过截长补短，利用60。角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的.

请根据上述分析过程，完成解答过程.

4.阅读材料：

“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系.截长，即在长线段上截

取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，

使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段.

依据上述材料，解答下列问题：

如图，在等边「ABC中，点E是边AC上一定点，点。是直线8C上一动点，以DE为边作等边一DEF,连

接CF.

(1)如图，若点。在边上，试说明CE+B=CZ)；(提示：在线段C。上截取CG=CE,连接EG.)

(2)如图，若点。在边8c的延长线上，请探究线段CE,B与C。之间的数量关系并说明理由.

A

5.在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其

中有“截长补短”作辅助线的方法.

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

请用这两种方法分别解决下列问题：

己知，如图，在△ABC中，AB>AC,Zl=Z2,P为AD上任一点，求证：AB-AC>PB~PC

6.例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长就

是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而

解决问题.

(1)如图1,△48C是等边三角形，点。是边BC下方一点，ZBZ)C=120°,探索线段D4、DB、0c之间

的数量关系.

解题思路:将4ABD绕点A逆时针旋转60。得到△ACE,可得AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

根据NB4C+/8DC=180。，可知NABD+NACD=180。，贝！ZAC£+ZACD=180°,易知△AOE是等边三角形，

所以从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段ZM、DB,OC之间的等量关系是；

(2)如图2,RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点。是边8C下方一点，ZBDC=90°,探索三条线段D4、

DB、0c之间的等量关系，并证明你的结论.

7.阅读材料并完成习题:

在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如图1,在四边形ABCD

中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四边形ABCD的面积.

解：延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明△BAE^^DAC,根据全等三角形的性质得

AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,贝UNEAC=/EAB+/BAC=/DAC+/BAC=/BAD=90°,得S四边形

ABCD=SAABC+SAADC-SAABC+SAABE=SAAEC＞这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积.

(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2.

(2)请你用上面学到的方法完成下面的习题.

H

如图2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五边形FGHMN的面积.

8.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线

段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题.

(1)如图①，△ABC是等边三角形，点。是边下方一点，连结ZM、DB、DC,且N3OC=120。，探

索线段ZM、DB、OC之间的数量关系.

解题思路：延长。C到点E,使CE=BD,连接AE,根据4AC+9C=180。，则/ABO+/ACD=180。，

因为NACD+NACE=180。可证/ABD=NACE,易证得△AfiD四△ACE,得出△ADE是等边三角形，所

以AD=DE,从而探寻线段94、DB、DC之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出D4、DB、DC

之间的数量关系是；

【拓展延伸】

(2)如图②，在R3ABC中，ABAC=90°,AB=AC.若点。是边BC下方一点，NBDC=90°,探索线

段ZM、DB、OC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

p

(3)如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30。所对直角边等于斜边一半,

则PQ的长为cm.(结果无需化简)

9.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线

段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

数量关系.

解题思路：延长。C到点E,使CE=B。，连接AE,根据N8AC+N2Z)C=180。，可证NACE易证

得AABD义LACE,得出△AOE是等边三角形，所以从而探寻线段ZM、DB、OC之间的数量关

系.根据上述解题思路，请直接写出D4、DB、OC之间的数量关系是；

【拓展延伸】

(2)如图2,在RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若点。是边BC下方一点，ZBDC=90°,探索线段D4、

DB、OC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离

PQ的长为cm.

10.现阅读下面的材料，然后解答问题：

截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法.在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广

泛的应用.截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等.补

短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段.

请用截长法解决问题(1)

(1)已知:如图1等腰直角三角形ABC中，/3=90。，AD是角平分线，交边于点。.求证：AC=AB+BD.

图1

请用补短法解决问题(2)

(2)如图2,已知，如图2,在AABC中，ZB=2ZC,AD是AABC的角平分线.求证：AC=AB+BD.

11.数学课上，小白遇到这样一个问题：

如图1,在等腰RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD=AE,求证NABK=NACD；

在此问题的基础上，老师补充：

过点A作盛于点G交BC于点F，过厂作FPL8交3E于点P,交CD于点H,试探究线段3尸，FP,

AF之间的数量关系，并说明理由.

小白通过研究发现，/位必与二小十有某种数量关系；

小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出

结论.

阅读上面材料，请回答下面问题：

(1)求证NABE=NACD；

(2)猜想/4FB与的数量关系，并证明；

(3)探究线段FP,AF之间的数量关系，并证明.

12.【初步探索】

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长就是在长

边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问

题.

(1)如图1,AABC是等边三角形，点D是边8C下方一点，120°,探索线段ZM、DB、DC之间

的数量关系;

(2)如图2,AABC为等边三角形，直线a〃A8,。为8c边上一点，/AOE交直线a于点E,且/AOE

=60°.求证：CD+CE=CA；

图2

【延伸拓展】

(3)如图3,在四边形ABC。中，ZABC+ZADC=180°,AB=AD.若点E在C8的延长线上，点尸在CD

的延长线上，满足跖=BE+ED,请直接写出NEAP与/。4B的数量关系.

图3

13.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略.截长就是

在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解

决问题.

(1)如图1,△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，ZBDC=120°,探索线段DA、DB、DC之

间的数量关系.

解题思路：延长DC到点E,使CE=BD,根据NBAC+NBDC=180。，可证NABD=NACE,易证

AABD^AACE,得出△ADE是等边三角形，所以AD=DE,从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；(直接写出结果)

(2)如图2,R3ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点D是边BC下方一点，ZBDC=90°,探索三条线

段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论.

S1困2

14.【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系.截长法：

将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等.补短法：延长较短两条线段中的一条，

使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等.

【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，ZCAD=ZCBD=90°,组成一个四边形AC9,以。为顶

点作交边AC、于M、N.

⑴若ZACD=30。，ZMDN=60°,证明：AM+BN=MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补

短法，延长CB到点E,使=连接OE,先证明DAM^DBE,再证明,即可

求得结论.按照小红的思路，请写出完整的证明过程；

⑵当NACD+4®N=90。时，AM,MN、8N三条线段之间有何数量关系？(直接写出你的结论，不用证

明)

⑶如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在C4、3c的延长线上，完成图③,其余条件不变，则A"、MN、BN

之间有何数量关系？证明你的结论.

专题06全等三角形中的截长补短模型

【模型展示】

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、*

■*■・

•、■・

如图，在AABC中，若48=12,AC=8,求边上的中线4。的取值范围。

解决此问题可以用如下方法：

延长AO到点E使DE=AD,再连接BE,把AB.AC、2AD集中在△ABE中，

利用三角形三边的关系即可判断中线40的取值

【证明】

特点延长至E,<DE=AD,连接5E,如图所示，

是边上的中线，

：.BD=CD

在4BDE知&CDA中，

BD=CD

ZBDE=ZADC

DE=AE

ABDE沿八CDA(SAS)

：.BE=AC=8

在AABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB+BE

：.12-8<AE<12+8

：.2<AD<10

截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体

结论的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之

与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.

【模型证明】

,So

\

M

如图，在△ABC中，。是5c边上的中点，DEVDF于点D,DE交AB于点E,DF

交AC于点居连接EK求证：BE+CF>EF.

【证明】

延长歹。至点的使居连接如图所示，

同上例得4BMD^ACFD(SAS)

：.BM=CF

'：DE±DF,DM=DF

：.EM=EF

在ABME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM

D

A

解决方

案Z^\

AEBN

如图，在四边形ABC。中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C为顶点

作一个70。角，角的两边分别交ABAD于E,F两点连接探索线段BE,DF,EF之

间的数量关系，并加以证明.

【证明】

延长A8至点N,使BN=DF,连展CN,如图所示

ZABC+ZD=180°,NNBC+NABC=180。

：.NNBC=ND

在^NBC和八FDC中

BN=DF

NNBC=/D

BC=DC

:ANBC空△FDC(SAS)

CN=CF,ZNCB=ZFCD

'：ZBCD=140°,ZECF=70°

・・・NBCE+NFCD=70。

：.ZECN=70°=ZECF

在^NCE和aFCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

：.△NCEmAFCE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF,

【题型演练】

一、解答题

1.阅读下面文字并填空：

数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1,在ABC中，AD平分44C,ZB=2ZC.求

证：AB+BD=AC.

-D----------------C

（图1）

李老师给出了如下简要分析：“要证=就是要证线段的和差问题，所以有两个方

法，方法一：‘截长法’如图2,在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证即

可，这就将证明线段和差问题为证明线段相等问题，只要证出__________坦X

,得出NB=ZAED及BD=，再证出N=Z,

进而得出£D=EC,则结论成立.此种证法的基础是，已知AD平分ZBAC,将沿直

线AD对折，使点B落在AC边上的点E处，成为可能.

（图2）

方法二：“补短法”如图3,延长AB至点F,使BF=BD.只要证AF=AC即可.此时先证

z=ZC,再证出二,则结论成立.”

“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法.

【答案】方法一：CE；转化；ABD；AED；DE；EDC；C；方法二：F；AFD；ACD

【分析】方法一:在AC上截取=由SAS可证AABDMAAED可得4=NA£D,BD=DE,

根据等角对等边得到CE=DE,即可求证；

方法二：延长AB至点F,使BF=BD,由AAS可证AAFO二AACD,可得AOAF,即可证

明.

【详解】方法一：在AC上截取A八AB,连接DE,如图2

「AD平分ZS4C,

ZBAD=ZDACf

在AA5D和AAED中

AE=AB

</BAD=ADAC,

AD=AD

AABD=/\AED,

：.ZB=ZAED,BD=DE,

ZB=2ZC,

ZAED=2ZC

而ZAED=NC+ZEDC=2NC,

・・・NEDC=NC,

.'.DE=CE,

AB+BD=AE+CE=AC,

故答案为：CE；转化；ABD；AED；DE；EDC；C；

方法二：如图3,延长AB至点F,使BF=BD,

ZF=ZBDF

ZABD=NF+ZBDF=2ZF

：.ZABD=2ZC

：.ZF=ZC

在A47D和AACD中

ZFAD=ZCAD

<ZF=ZC,

AD=AD

：.AAFD=AACD,

AAC=AF,

AAC=AB+BF=AB+BD,

故答案为：F；AFD；ACD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中

的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式.

2.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边

上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，

从而解决问题.

(1)如图1,ABC是等边三角形，点。是边3C下方一点，ZBDC=nO°,探索线段ZM、

DB、DC之间的数量关系.

解题思路：延长OC到点E,使CE=BD,连接AE,根据/3AC+N30c=180。，可证

ZABD=ZACE,易证得.A3D0sACE,得出ADE是等边三角形，所以=从而

探寻线段加、DB、DC之间的数量关系.

根据上述解题思路，请写出加、DB、DC之间的数量关系是,并写出证明过程；

【拓展延伸】

(2)如图2,在用ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,若点。是边3c下方一点，ZBDC=90°,

探索线段D4、DB、0c之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为2c机的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直

角顶点之间的距离尸。的平方为多少？

【答案】(1)DA=DC+BD,见解析；(2)2AD2=(DC+B£>)2；见解析；(3)2+6

【分析】(1)由等边三角形知AB=AC,ZBAC=60°,结合N8£)C=120。知ZABD+ZACD=180°,

由NACE+NAC£)=180。知ilAABD^AACE^AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再证△是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,先证△ABD/AACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,

据此可得NZME=/BAC=90。，由勾股定理知。1+入序二^序，继而可得2AD2：(OC+8D)2；

22

(3)由直角三角形的性质知QV=3MN=1,MQ=y]MN-QN=73,利用(2)中的结论知

2PQ2=(QN+MQY,据此可得答案.

【详解】解：(1)DA=DC+BD,理由如下：

是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=6Q0,

'：ZBDC=120°,

：.ZABD+ZACD=3600-ZBAC-ZBDC=180°,

又；ZACE+ZACD=180°,

/ABD=NACE,

在△ABO和△ACE中，

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

：.^ABD^AACE(5AS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

VZABC=60°,即NBA0+NDAO600,

・•・ZZ)AC+ZCAE=60°,即ZDAE=60°,

・・・ZkAOE是等边三角形，

:・DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=DC+DB,

故答案为：DA=DC+BD；

22

(2)2AD=(DC+BD)f如图2,延长。。到点E,使CE=BD,连接AE,

图2

VZBAC=90°,ZBDC=90°,

：.ZABD+ZACD=360°-ZBAC-ZBDC=180°,

ZACE+ZAC£>=180°,

ZABD=ZACE,

U：AB=AC,CE=BD,

在△ABO和△ACE中，

AB=AC

<ZABD=ZACE,

BD=CE

：.AABD^AACE(SAS),

：.AD=AE.NBAD=NCAE,

：.ZDAE=ZBAC=9Q°,

J.D^+AE^DE2,

：.2A£>2=(£>c+幽2；

(3)如图3,连接P。,

图3

,:MN=2,ZQMN=30°,ZMQN=9Q°,

：-QN=WMN=\,

MQ=^MN--QN-=V22-l2=73，

由(2)知MQ?=(QN+A/Q)2.

••・陪=370)2=岑匚+/

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角

的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

3.如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，NBAP=a(30°<«<60°),作点8关

于直线AP的对称点。，连接。C并延长交直线AP于点E,连接BE.

(1)依题意补全图形，并直接写出/AEB的度数；

(2)用等式表示线段AE,BE,CE之间的数量关系，并证明.

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性

质……

②通过截长补短，利用60。角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的

目的.

请根据上述分析过程，完成解答过程.

B

【答案】(1)图见解析，ZAEB=60°；(2)AE=BE+CE,证明见解析

【分析】(1)依题意补全图形，如图所示：然后连接先求出NEP=60。-c,然后根

据轴对称的性质得至,AD=AB=AC,/AEC=NAEB,求出ZCAD=2a-60°,

即可求出NACD=ZADC^1(180°-ZC4D)=120°-a,再由

ZEAC+NAEC=ZACD=120°-a进行求解即可；

(2)如图，在AE上截取EG=BE,连接BG.先证明△BGE是等边三角形，得至I]

=EG,ZGBE=6Q0.再证明NABG=NCBE,即可证明△ABG也ZiCBE得到AG=CE,贝U

AE=EG+AG=BE+CE.

【详解】解:(1)依题意补全图形，如图所示：连接A。，

「△ABC是等边三角形，

AZBAC=60°,AB=AC,

"：ZBAP=a,

：.ZCAP=GO0-a,

。关于AP对称，

:.NPAD=/BAP=a,AD=AB=AC,ZAEC=ZAEB,

：.ZCAD=ZPAD-ZCAP=a-(60°-«)-60°,

ZACD=ZADC=1(180°-ZC4T>)=120°-6Z

ZEAC+ZAEC=ZACD=nO0-a,

ZAEC=60°

NAEB=60°.

A

(2)AE^BE+CE.

证明：如图，在AE上截取EG=BE,连接BG.

NAEB=60。，

...△BGE是等边三角形，

：.BG=BE=EG,ZGBE=60°.

「△ABC是等边三角形，

：.AB=BC,ZABC=60°,

ZABG+NGBC=NGBC+NCBE=60。,

：.ZABG=ZCBE.

在AABG和ACBE中，

AB=CB,

<NABG=NCBE,

BG=BE,

.♦.△ABG段ACBE(SAS),

；.AG=CE,

：.AE=EG+AG=BE+CE.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等

腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题

的关键

4.阅读材料:

“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系.截长,

即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补

短，即延长其中一条短线段,使延长部分等于另一条线段,再证明延长后的线段等于长线段.

依据上述材料，解答下列问题：

如图，在等边一ABC中，点E是边AC上一定点，点。是直线BC上一动点，以。E为边作

等边DEF,连接CF.

(1)如图，若点。在边BC上，试说明CE+CF=CD；(提示：在线段C。上截取CG=CE,

连接EG.)

(2)如图，若点。在边5c的延长线上，请探究线段CE,CP与之间的数量关系并说明理

【答案】(1)证明见解析

(2)FC=CD+CE

【分析】(1)在C。上截取CG=CE,易证△CEG是等边三角形，得出EG=EC=CG,证

明AOEG名△BEC(SAS),得出£)G=CR即可得出结论；

(2)过。作DGA2,交AC的延长线于点G,由平行线的性质易证/GDC=NOGC=60。，

得出△GCZ)为等边三角形，则DG=CD=CG,证明△EGD^AFCD(SAS),得出EG=FC,

即可得出FC=CD+CE.

(1)

证明：在CD上截取CG=CE,如图1所示：

图1

「△ABC是等边三角形,

.,.ZECG=60°,

:•△CEG是等边三角形，

:・EG=EC=CG,NCEG=60。，

尸是等边三角形，

：.DE=FE,NDEF=60。,

ZDEG+ZGEF=ZFEC+ZGEF=60°,

：・NDEG=NFEC,

在^/EC中，

DE=FE

<ZDEG=ZFEC,

EG=EC

:•△DEG会XFEC(SAS),

：・DG=CF,

：.CD=CG+DG=CE+CF,

：.CE+CF=CD；

(2)

解：线段CE,C尸与CO之间的等量关系是尸C=CD+CE；理由如下:

・・・ZiABC是等边三角形，

・•・ZA=ZB=60°,

过。作。G;A3,交AC的延长线于点G,如图2所示：

：.ZGDC=ZB=60°,ZDGC=ZA=60°,

：.ZGDC=ZDGC=60°,

•••△GCO为等边三角形，

：.DG=CD=CG,NGOC=60。，

•・•△皮正为等边三角形，

:・ED=DF,NEDF=NGDC=6。。,

:・/EDG=NFDC,

在4^7。和4FC。中,

ED=DF

<ZEDG=ZFDC,

DG=CD

.•.△EG。丝△尸CO(SAS),

:.EG=FC,

：.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形

的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键.

5.在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅

助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法.

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

请用这两种方法分别解决下列问题：

己知，如图，在△ABC中，AB>AC,Zl=Z2,尸为上任一点，求证：AB-AOPB

-PC

【答案】见解析

【分析】截长法：在A2上截取A7V=AC,连结PN,可证得△APNgZVIPC,可得到PC=PN,

4BPN中,利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至使连结

PM,证明AAB尸思ZVIMP,可得PB=PM,在APCAf中，利用三角形的三边关系，即可求

证.

【详解】解：截长法：在上截取AV=AC,连结PN,

在AAPN和△APC中

'：AN=AC,Z1=Z2,AP=AP,

：./\APN^/\APC,

：.PC=PN,

'：ABPN中有PB—PNVBN,

即PB-PC<AB-AC；

补短法：延长AC至M,使连结RW,

在△ABP和△AM尸中，

'：AB=AM,Z1=Z2,AP=AP,

：.△ABPg△AMP,

：.PB=PM,

又：在△PCM中有CM>PM~PC,

即AB-AOPB-PC.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是

解题的关键.

6.例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一

种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式

使两条短边拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,△ABC是等边三角形，点。是边8C下方一点，ZBDC=120°,探索线段D4、

DB、OC之间的数量关系.

解题思路：将△A3D绕点A逆时针旋转60。得到△ACE,可得CE=BD,

ZABD=ZACE,ZDAE=60°,根据Na4C+NBDC=180。，可知则

ZACE+ZACD=180°,易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE,从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段D4、DB、0c之间的等量关系是；

(2)如图2,R/AA8C中，ZBAC=9Q°,AB=AC.点。是边BC下方一点，ZBDC=9Q°,探

索三条线段D4、DB、OC之间的等量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)DA=DB+DC;(2)&DA=DB+DC,证明见解析.

【分析】⑴由旋转60。可得AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,根据

ZBAC+ZBDC=1SQ°,可知/ABD+/ACZ)=180。，贝I]ZACE+ZACD=180°,易知△ADE是

等边三角形，所以AO=DE,从而解决问题.

⑵延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,由已知可得NABD+NACD=180°,根据

ZACE+ZACD=180°,可得ZABD=ZACE，可证」ABD=ACE,进而可得AD=AE,

/BAD=ZCAE，可得ZDAE=ABAC=90°,由勾股定理可得：DA2+AE2=,进行等量代

换可得结论.

【详解】⑴结论：DA=DB+DC.

理由：:△ABD绕点A逆时针旋转60。得到△ACE,

・•・AE=AD,CE=BD,NABD=NACE,ZDAE=60°,

VZBAC+ZBDC=180°,

.\ZABD+ZACD=180o,

.*.ZACE+ZACD=180°,

・・・D,C,E三点共线，

VAE=AD,ZDAE=60°,

:•△ADE是等边三角形，

AAD=DE,

:.AD=DC+CE=DB+DC;

⑵结论：&DA=DB+DC,

证明如下：

如图所示，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,

•・•ABAC=90°,ZBDC=90°,

ZABD+ZACD=180°,

VZACE+ZACZ)=180°,

ZABD=ZACE,

VAB=AC,CE=BD,

：..ABD=„ACE(SAS),

・・・AD=AE,ZBAD=ZCAE,

ZDAE=ABAC=90°,

••D/^+AE2=DE\

：.2DA2=(DB+Z)C)2,

・•・72DA=DB+DC.

【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作

出辅助线找到全等三角形是解题的关键.

7.阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如图1,

在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四边形ABCD的面积.

解：延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明△BAEgZYDAC,根据全等

三角形的性质得AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,则

ZEAC=ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC=ZBAD=90°,得S四边形

ABCD=SAABC+SAADC=SAABC+SAABE=SAAEC＞这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三

角形EAC面积.

(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2.

(2)请你用上面学到的方法完成下面的习题.

如图2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五边形FGHMN的面积.

【答案】(1)2；⑵4

【分析】(1)根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；

(2)延长MN到K,使NK=GH,连接FK、FH、FM,由(1)易速.-FGH”aFNK,则有

FK=FH,因为HM=GH+MN易证二月欧空司团，故可求解.

S+SS+SS=AC：22

【详解】(1)由题意知鼠边形.s=ABCADC=ABCABE=.AEC^=

故答案为2；

(2)延长MN到K,使NK=GH，连接FK、FH、FM,如图所示：

H

‘二

K

FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,

/.ZFNK=ZFGH=90°,：._FGH空,FNK,

••.FH=FK,

又•.FM=FM,HM=KM=MN+GH=MN+NK,

FMK^FMH,

.•.MK=FN=2cm,

S五边形FGHMN=SFGH+SHFM+SMFN-2sFMK-2x2FN-4"

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的

运用.

8.【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边

上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等,

从而解决问题.

（1）如图①，△ABC是等边三角形，点。是边3C下方一点，连结D4、DB、DC,且

ZBDC=120°,探索线段04、DB、DC之间的数量关系.

解题思路：延长。C到点E,使CE=BD,连接AE,根据NBAC+3DC=180。，则

ZABD+ZACD=180°,因为NACO+NACE=180。可证NAB。=NACE,易证得△ABD^/\

ACE,得出△ADE是等边三角形，所以AD=DE,从而探寻线段ZM、DB、0c之间的数

量关系.根据上述解题思路，请直接写出D4、DB、DC之间的数量关系是

【拓展延伸】

（2）如图②，在R3ABC中，ABAC=90°,AB^AC.若点。是边下方一点,

ZBDC=90°,探索线段ZM、DB、DC之间的数量关系，并说明理由;

【知识应用】

P

图①

（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30。所对直角

边等于斜边一半，则PQ的长为cm.（结果无需化简）

【答案】（1）DA=DB+DC-.（2）猜想：y/2AD=DC+DB证明见解析；（3）*J.

3

［分析］(1)由等边三角形知AB=AC,ZBAC=60°,结合/8£)。=120。知ZABD+ZACD=180°,

由NACE+NAC£)=180^D/ABD=/ACE,ilAABD^^ACE^AD=AE,ZBAD=ZCAE,

再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延长0c到点E,使CE=BD,连接AE,先证△ABOgZXACE得AD=AE,