中考数学难点突破与训练：全等三角形中的倍长中线模型（原卷版+解析）

专题07全等三角形中的倍长中线模型

【模型展示】

B

\/

\/

V

E

已知：在小ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD,连接AE则：BC平行

且等于AE.

特点

【证明】

延长BD到E,使DE=BD,连接CE,

,：AD是斜边5c的中线

：.AD=CD

•:ZADE=ZBDC

：./\ADE^/\BDC（SAS）

：.AE=BC,ZDBC=ZAED

：.AE//BC

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，

则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证

结论

明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中

线的时候）。

【模型证明】

又・.・NA4E=N£>,

：.ZF=ZD.

：.CF=CD.

fZAEB=ZFEC

・・・<ZF=ZBAE,

BE=CE

・•・AABE^AFCE.

：.AB=CF.

：.AB=CD.

【题型演练】

一、解答题

1.如图，_ABC中，是2C边上的中线，E,尸为直线上的点，连接BE,CF,且3E〃CF.

⑴求证：BDE沿一CDF；

⑵若AE=15,Ab=8,试求DE的长.

2.如图，在RdABC中，/ACB=90。，点。是4B的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全

等，就可以测量与A8数量关系.请根据小明的思路，写出C。与A8的数景关系，并证明这个结论.

3.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，OA=OB,OC=OD,

ZAOB=ZCOD=90°,回答下列问题:

B

P

(1)求证：△O4C和△是兄弟三角形.

(2)“取2。的中点尸，连接。尸，试说明AC=20P”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲

的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题.

①请在图中通过作辅助线构造4BPE必DPO,并证明BE=OD；

②求证：AC=2OP.

4.【发现问题】

小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：

如图1,是AABC的中线，若AB=8,AC=6,求的取值范围.

【探究方法】

小强所在学习小组探究发现：延长至点E,使连接BE.可证出AAOC与△即B,利用全等

三角形的性质可将已知的边长与转化到同一个AABE中，进而求出AD的取值范围.

方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种

方法叫做倍长中线法.

【应用方法】

(1)请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AO的取值范围的过程；

【拓展应用】

(2)已知：如图2,是△ABC的中线，3A=BC,点E在BC的延长线上，EC=BC.写出与AE之

间的数量关系并证明.

B

D

图1

图2

5.［问题背景］

①如图1,CD为△ABC的中线，则有&&。=必氏工）；

②如图2,将①中的/AC2特殊化，使NACB=90。，贝1）可借助“面积法”或“中线倍长法”证明AB=2C。；

［问题应用］如图3,若点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），CGLBG,若AGxBC=16,则4BGC

面积的最大值是（）

图3

A.2B.8C.4D.6

6.先阅读，再回答问题：如图1,己知△ABC中，AD为中线.延长至E,使。E=AO.在△AB。和△EC。

中，AD=DE,NADB=/EDC,BD=CD,所以，△A3。名△EC。（SAS）,进一步可得到A8=CE,AB//CE

等结论.

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算

或证明题.

解决问题：如图2,在△ABC中，是三角形的中线，尸为上一点，S.BF^AC,连结并延长B尸交AC

于点E,求证：AE=EF.

A

7.(1)如图1,若AABC是直角三角形，NBAC=90。，点D是BC的中点，延长AD到点E,使DE=AD,

连接CE,可以得到△ABD04ECD,这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证：△ACE是直

角三角形

(2)如图2,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，

且DE_LDF.试说明BE2+CF2=EF2；

(3)如图3,在(2)的条件下，若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.

8.(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：

①延长AD到Q,使得DQ=AD；

②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条

件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.

（3）思考：已知，如图2,AD是AABC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=90°.试探究线段

AD与EF的数量和位置关系并加以证明.

图I图2

9.在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在AABC中，AB

=8,AC=6,点。是8c边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长AD到点E,使AD=DE,

AD=DE

然后连接BE（如图①），这样，在AADC和AEDB中，由于＜/ADC=/EDB,:.△ADCdEDB,：.AC

BD=CD

=EB,接下来，在△48E中通过AE的长可求出AD的取值范围.

请你回答：

图①图②图③

（1）在图①中，中线的取值范围是.

（2）应用上述方法，解决下面问题

①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是边上的一点，作。交AC边于点R连

接ER若BE=4,CF=2,请直接写出所的取值范围.

②如图③，在四边形ABC。中，ZBCD=150°,NAOC=30。，点E是AB中点，点尸在。C上，且满足

CF,DF=AD,连接CE、ED,请判断CE与区＞的位置关系，并证明你的结论.

10.阅读材料，解答下列问题.

如图1,已知△ABC中，AD为中线.延长AD至点E,使DE=AD.在4ADC和小EDB中，AD=DE,

ZADC=ZEDB,BD=CD,所以，4ACD出LEBD,进一步可得到AC=8E,AC//8E等结论.

图1图2

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算

或证明题.

解决问题：如图2,在△ABC中，是三角形的中线，点F为上一点，且8F=AC,连结并延长交

AC于点E,求证：AE=EF.

11.(1)如图1所示，在&ABC中，。为3c的中点，求证：AB+AO2AD

甲说：不可能出现△钿£>/△ACD,所以此题无法解决；

乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD至点E,使得QE=AQ，

连接应、CE,由于BD=DC,所以可得四边形ABEC是平行四边形，请写出此处的依据

________________________________________(平行四边形判定的文字描述)

所以AC=3E,AABE中，AB+BE>AE,

AB+AC>2AD

请根据乙提供的思路解决下列问题：

(2)如图2,在一ABC中，。为BC的中点，AB=5,AC=3,AD=2,求ABC的面积；

(3)如图3,在［ABC中，。为8C的中点，〃为AC的中点，连接交AD于尸，若=求证:

BF=AC.

12.(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在△ABC中，AB=8,AC=6,

求BC边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图2),

E

图1图2图3

①延长到使得。

②连接通过三角形全等把AB、AC、2AO转化在中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB-BM<AM<AB+BM,从而得到AD的取值范围

是;

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

(2)请你写出图2中AC与8M的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)深入思考：如图3,是△ABC的中线，AB^AE,AC^AF,ZBAE^ZCAF^90°,请直接利用(2)

的结论，试判断线段与EF的数量关系，并加以证明.

13.【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在sMC中，AD是2c边上的中线,

若延长AD至E,使DE=AD,连接CE,可根据5AS证明/△ECD,则AB=EC.

(1)【类比探究】如图②，在£>£尸中，DE=3,£>歹=7,点G是EF的中点，求中线OG的取值范围；

(2)【拓展应用】如图③，在四边形ABCD中，AB//CD,点E是2C的中点.若AE是ZBAD的平分线.试

探究AB,AD,DC之间的等量关系，并证明你的结论.

14.阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1,△ABC中，AB=6,AC=4,点D为BC的中点，求

AD的取值范围.

p

(1)小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题.他的做法是：如图2,延长AD到E,使DE=

AD,连接BE,构造ABED会Z\CAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：AD的取值范围是.

(2)参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3,△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，

连接PE并延长交BC于点D.求证：PA«CD=PC*BD.

15.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法.

(1)如图1,AD是ABC的中线，AB=1,AC=5求AO的取值范围.我们可以延长AD到点M■，使=

连接BM,易证△ADCZ&WDB,所以3M=AC.接下来，在上ABM中利用三角形的三边关系可求得40

的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是.

⑵如图2,AD是.ABC的中线，点E在边AC上，BE交AO于点F,S.AE=EF,求证：AC^BF■,

16.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线.

(1)如图1,AD是AABC的中线，43=7,4?=5,求40的取值范围.我们可以延长4。到点加，使0胡=4>

连接易证AADCMAMDB,所以3M=AC.接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AM的

取值范围，从而得到中线AD的取值范围是;

A

(2)如图2,AD是ABC的中线，点E在边AC上，BE■交AO于点尸，且AE=£F,求证：AC=BF；

(3)如图3,在四边形ABCD中，AZJ//BC,点E是的中点，连接CE,ED且CELDE,试猜想线段

8C,CD,AO之间满足的数量关系，并予以证明.

17.问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是3c的中点，点A在。E上，

^.ZBAE=ZCDE.求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质.本题中要证相等的两条

线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而AB与CO所在的两个三角形不全等.因此，要

证AB=CD,必须添加适当的辅助线构造全等三角形.以下是两位同学添加辅助线的方法.

第一种辅助线做法：如图②，延长DE到点F，使DE=£F,连接BF；

第二种辅助线做法：如图③，作CGLOE于点G,所，上交。E延长线于点反

D

4

图③

(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：

方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线

构造全等三角形来解决问题.

(2)方法运用：如图④，AD是ABC的中线，BE与交于点/且求证：BF=AC.

专题07全等三角形中的倍长中线模型

【模型展示】

B

\/

\/

V

E

已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD,连接AE

特点贝hBC平行且等于AE.

【证明】

延长BD到E,使DE=BD,连接CE,

\'AD是斜边BC的中线

：.AD=CD

'：ZADE=ZBDC

:.AADE/ABDC（SAS）

：.AE=BC,ZT）BC=ZAED

J.AE//BC

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接

相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法

结论

多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是

原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【模型证明】

方法一：

解决方

案已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且/BAE=/CDE,贝hAB=CD.

fZAEB=ZFEC

ZF=ZBAE,

BE=CE

/.AABE义AFCE.

：.AB^CF.

：.AB^CD.

【题型演练】

一、解答题

1.如图，ABC中,4。是2C边上的中线,EI为直线AD上的点，连接BE,CE且助〃CF.

⑴求证：BDE沿CDF-,

⑵若A£=15,AF=8,试求。E的长.

【答案】（1）见解析；

【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；

（2）由（1）结论计算线段差即可解答；

⑴

证明：■:BE//CF,：.ZBED=ZCFD,

•:NBDE=NCDF,BD=CD,

:.ABDE2ACDF（AAS）；

（2）

解：由（1）结论可得。E=OR

'：EF=AE-AF=15-8=1,

7

：.DE=~；

2

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的

判定和性质是解题关键.

2.如图，在放AABC中，NAC8=90。，点。是的中点，小明发现，用已学过的“倍长中

线”加倍构造全等，就可以测量与4B数量关系.请根据小明的思路，写出CD与的

数景关系，并证明这个结论.

【答案】CD=：AB,证明过程详见解析

【分析】延长8到点E,使助=8,连接BE,根据全等三角形的判定和性质即可求解.

【详解】解：CD=^AB,证明：如图，延长C。到点E,使a=8,连接3E,

在45OE1和△ADC中，

BD=AD

<ZBDE=ZADC

ED=CD

：.ABDE^AADQSAS),

：.EB=AC,ZDBE=ZA,

J.BE//AC,

•・•ZACB=90°,

・•・ZEBC=180°-ZACB=90°,

；・NEBC=NACB,

在aEC3和△ABC中，

EB=AC

<ZEBC=ZACB

CB=BC

：.AECB^AABQSAS),

:・EC=AB,

：.CD=^EC=^AB.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线.

3.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，

=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,回答下列问题:

⑴求证：△CMC和△是兄弟三角形.

(2)“取的中点尸，连接0P,试说明AC=20P.”聪明的小王同学根据所要求的结论，想

起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列

问题.

①请在图中通过作辅助线构造^BPE冬ADPO,并证明BE=OD；

②求证：AC=2OP.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②见解析

【分析】(1)证出NAOC+N8OO=180。，由兄弟三角形的定义可得出结论；

(2)①延长0P至E,使PE=OP,证明△8PE四△OP。(SAS),由全等三角形的性质得出

BE=OD；

②证明△EBOgZXCOA(SAS),由全等三角形的性质得出OE=AC,则可得出结论.

(1)

证明：VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC+ZBOD=36Q°-ZAOB-ZCOD=360o-90°-90°=180°,

5L'：AO=OB,OC=OD,

08。是兄弟三角形；

(2)

①证明：延长OP至E,使尸E=OP,

：.BP=PD,

又；/BPE=/DPO,PE=OP,

:.ABPE名ADPO(SAS),

：.BE=OD；

②证明：:LBPE咨ADPO,

.".ZE=ZDOP,

：.BE//OD,

：.ZEBO+ZBOD=\SO0,

又,:ZBOD+ZAOC=ISO°,

：.ZEBO=ZAOC,

;BE=OD,OD=OC,

：.BE=OC,

^•：OB=OA,

:.XEBO叁XCOk(SAS),

OE=AC,

又：OE=2OP,

：.AC=2OP.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确

作出辅助线是解题的关键.

4.【发现问题】

小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：

如图1,是AABC的中线，若AB=8,AC=6,求的取值范围.

【探究方法】

小强所在学习小组探究发现:延长AO至点E,^ED=AD,连接BE.可证出△ADC^AEDB,

利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到同一个△ABE中，进而求出AD的取值

范围.

方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角

形，我们把这种方法叫做倍长中线法.

【应用方法】

(1)请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程；

【拓展应用】

(2)已知：如图2,是AABC的中线，BA=BC,点E在的延长线上，EC=BC.写

出与AE之间的数量关系并证明.

图1

图2

【答案】(1)1<AD<7；(2)2AD=AE.理由见解析

【分析】(1)延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,证明△BDE^△CDA(SAS),得出AC=BE=6,

由三角形三边关系可得出答案；

(2)延长至尸，使。尸=40,由SAS1证明△8O/Wz^CD4,利用已知条件推出/尸B4=/ACE,

再由SAS证明△ACE四△FBA即可得到2A

【详解】(1)证明：延长AO至E,使。E=AZ),

是边上的中线，

：.BD=CD,

在48£)£和4CDA中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDA,

DE=DA

：./\BDE^/\CDA(SAS),

：.AC=BE=6,

在小ABE中,AB-BE<AE<AB+BE,

.,.8-6<2AD<8+6,

：.1<AD<1；

(2)2AD=AE.理由如下：

证明：延长A£)至尸，使DF=AD,

E

〈AO是的中线，

：.BD=CD,

在/和△CD4中，

BD=CD

<ZBDF=ZCDA,

DF=DA

:・ABDF咨ACDA(SAS),

：.AC=BFfZCAD=ZF,

：.AC//BF,

：.ZFBA+ZBAC=180°,

,：BA=BC,

:・/BAC=/BCA,

NACE+N3cA=180。，

J/FBA=/ACE,

9：BA=BC,EC=BC,

：.BA=EC,

在△FR4中，

CE=BA

<NACE=NFBA,

AC=BF

：.^ACE^/\FBA(SAS),

：.AE=AF,

*：2AD=AFf

：.2AD=AE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判

定方法是解题的关键.

5.［问题背景］

①如图1,CD为AABC的中线，则有QACD=S〃BC。；

②如图2,将①中的NACB特殊化，使NAC2=90。，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明

AB=2C£>；

［问题应用］如图3,若点G为小ABC的重心（△ABC的三条中线的交点）,CG±BG,若AGxBC

=16,则△8GC面积的最大值是（）

A.2B.8C.4D.6

【答案】［问题背景］①见解析；②见解析；［问题应用］C

【分析】［问题背景］①设A3边的高长为九可得548=34。*九588=；2。'〃，再由

AD=BD,即可求证；

②延长CD至点E,使£>E=CD连接AE,BE,根据AZ）=B£）,可得四边形AC2E是平行四

边形，再由NACB=90。，可得到四边形AC2E是矩形，即可求证

［问题应用］如图，过点G作GHLBC于点〃，根据题意可得点。是BC的中点，AG=2DG,

从而得至lJOG=gBC,得至!!AG=BC,再由4GxBC=16,可得至U4G=8C=4,再由GH_L8C,

可得GHSDG,从而得到当G8=OG时，ABGC面积的最大，即可求解.

【详解】解：［问题背景］①设AB边的高长为人，

SACD=；ADxh,SBCD=；BDxh,

,.•CD为△ABC的中线,BPAD=BD9

,・•0qACD.—uvBCD；

②如图，延长CO至点E,使DE=CD,连接AE,BE,

•••CO为△A3C的中线，

：.AD=BDf

■:DE=CD,

四边形ACBE是平行四边形,

NACB=90。，

四边形AC8E是矩形，

：.AB=CE,

'：DE=CD,

：.AB=CD+DE=2CD；

［问题应用］如图，过点G作GHLBC于点H,

图3

:点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点）,

...点D是BC的中点，AG=2DG,

:CGLBG,

：.DG=-BC,

2

：.AG=BC,

,：AGxBC=16,

：.AG=BC=4,

：.DG=2,

"SGHLBC,

：.GH<DG,

：.GH<2,

.,.当GH=2,即G8=£）G时，ABGC面积的最大，最大值为

-£>GxBC=-x2x4=4.

22

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，重心的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理，

重心的性质是解题的关键.

6.先阅读，再回答问题：如图1,已知AABC中，为中线.延长AD至E,®DE=AD.在

△48。和4E0）中，AD=DE,NADB=NEDC,BD=CD,所以，△4800△EC。（SAS）,

进一步可得到A8=CE,A8〃CE等结论.

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决

一些相关的计算或证明题.

解决问题：如图2,在△ABC中，AD是三角形的中线，尸为上一点，且研=AC,连结

并延长交AC于点E,求证：AE=EF.

A

【答案】证明见试题解析.

【分析】延长A。到G,使DF=DG,连接CG,得到BD=DC,根据SAS推出△BDF会ACDG,

根据全等三角形的性质得出BP=CG,ZBFD^ZG,求出CG=AC,推出

ZG=ZCAF,求出ZAFE=ZCAF即可.

【详解】解：延长AD到G,使DF=DG,连接CG,

是中线，

：.BD=DC,

在小8。尸和4CZJG中，

;BD=DC,NBDF=/CDG,DF=DG,

：.ABDFm丛CDG,

,BF=CG,NBFD=NG,

:ZAFE=ZBFD,

：.NAFE=NG,

,；BF=CG,且已知BP=AC,

CG=AC,

：.ZG=ZCAF,

，ZAFE=ZCAF,

：.AE=EF.

【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的

关键是借助阅读材料中提供的方法延长到G,使。尸=。6,进而构造三角形全等.

7.(1)如图1,若△ABC是直角三角形，/BAC=90。，点D是BC的中点，延长AD到点

E,使DE=AD,连接CE,可以得到△ABD丝AECD,这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍

长中线法”.求证：AACE是直角三角形

(2)如图2,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、

AC边上的点，且DE_LDF.试说明BE2+CF2=EF2；

(3)如图3,在(2)的条件下，若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)—.

4

【分析】(1)根据全等三角形的性质和直角三角形的判定解答即可；

(2)延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,根据全等三角形的判定和性质进行解

答；

(3)连接AD,根据全等三角形的判定和性质和三角形的面积公式解答即可.

【详解】(1)VAABD^AECD

/.ZECD=ZB

•?ZBAC=90°

ZB+ZBCA=90°

ZBCE+ZBCA=90°,ZACE=90°

/.△ACE是直角三角形

(2)延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,

VDE=DG,DF±DE,

・・・DF垂直平分DE,

/.EF=FG,

•・・D是BC中点，

ABD=CD,

在^BDE和^CDG中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDG,

DE=DG

AABDE^ACDG(SAS),

ABE=CG,NDCG=NDBE,

VZACB+ZDBE=90°,

AZACB+ZDCG=90°,即NFCG=90。,

,.,CG2+CF2=FG2,

.\BE2+CF2=EF2；

(3)连接AD,

图2

TAB=AC,D是BC中点，

.•.ZBAD=ZC=45°,AD=BD=CD,

,ZZADE+ZADF=90°,ZADF+ZCDF=90°,

ZADE=ZCDF,

在^ADE和^CDF中，

/BAD=/C

<AD=CD,

ZADE=ZCDF

AAADE^ACDF(ASA),

AAE=CF,BE=AF,AB=AC=17,

S四边形AEDF=]SaABC,

.'.SAAEF=—X5X12=30,

2

，ADEF的面积=：SAABC-SAAEF=——.

24

【点睛】考查全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等

是解题基础，将待求线段转化成求等长线段是解题的关键.

8.(1)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：

①延长AD到Q,使得DQ=AD；

②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形,

把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.

(3)思考：已知，如图2,AD是AABC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=

90。.试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明.

图1图2

【答案】(1)2<AD<7；(2)AC//BQ,理由见解析；(3)EF=2AD,ADLEF,理由见解

析

【分析】(1)先判断出8r>=C£>,进而得出△QDBgzXAOC(&4S),得出8Q=AC=5,最

后用三角形三边关系即可得出结论；

(2)由(1)知，△QDB^/\ADC(SAS),得出即可得出结论；

(3)同(1)的方法得出ABDQ0aCZM(SAS),则/。2。=NACZ),BQ=AC,进而判断

出进而判断出△ABQgZXEAR得出ZBAQ^ZAEF,即可得

出结论.

【详解】解：(1)延长至!I。使得连接8。，

：4£>是44BC的中线，

:,BD=CD,

BD=CD

在△QD3和△AOC中，\ZBDQ=ZCDA,

DQ=DA

：./\QDB^AADC(SAS),

：.BQ=AC=5,

在△AB。中，AB-BQ<AQ<AB+BQ,

：.4<AQ<14,

：.2<AD<7,

故答案为2VADV7；

(2)AC//BQf理由：由(1)知，△QDB^/\ADC,

：.ZBQD=ZCAD.

：.AC//BQ；

(3)EF=2AD,ADA.EF,

理由：如图2,延长AO到。使得3Q=AO,连接5Q,

由(1)知，△BDQ^/XCDA(SA5),

：.ZDBQ=ZACD,BQ=AC,

9

：AC=AFf

：.BQ=AFf

在△ABC中，ZBAC+ZABC+ZACB=180°,

・•・ZBAC+ZABC+ZDBQ=180°,

・・・NBAC+A3Q=180。，

VZBAE=ZMC=90°,

.\ZBAC+ZEAF=180°,

ZABQ=ZEAF,

AB=EA

在△A8Q和△£4尸中，IZABQ=ZEAF,

BQ=AF

：./\ABQ^/\EAF,

：.AQ=EF,ZBAQ=ZAEF,

延长D4交所于尸，

,：ZBAE=90°,

：.ZBAQ+ZEAP=90°f

：.ZAEF+ZEAP=90°,

：.ZAPE=90°,

J.ADLEF,

'CAD^DQ,

：.AQ=2AD,

'：AQ^EF,

:.EF=2AD,

即：EF=2AD,ADLEF.

Q

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等

三角形是解题的关键.

9.在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在

△ABC中，48=8,AC=6,点。是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以

延长到点E,使AZ）=QE,然后连接BE（如图①），这样，在AAOC和AEDB中，由于

AD=DE

<NADC=/EDB,AADC^/^EDB,J.AC^EB,接下来，在△A2E中通过AE■的长可求

BD=CD

出AO的取值范围.

请你回答：

图①图②图③

（1）在图①中，中线的取值范围是.

（2）应用上述方法，解决下面问题

①如图②，在AABC中，点D是BC边上的中点，点E是A2边上的一点，作。交

AC边于点P,连接所，若3E=4,CF=2,请直接写出跖的取值范围.

②如图③，在四边形ABC。中，ZBC£>=150°,N4OC=30。，点E是A2中点，点产在。C

上，且满足BC=CRDF=AD,连接CE、ED,请判断CE与即的位置关系，并证明你的

结论.

【答案】(1)1<AD<7；(2)①2<EF<6；@CELED,理由见解析

【分析】(1)在△ABE中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；

(2)①延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN,由SAS证得NVDC三AEDB,得出

BE=CN=4,由等腰三角形的性质得出£F=7W,在ACFN中，根据三角形的三边关系定

理即可得出结果；

②延长CE与DA的延长线交于点G,易证DG〃BC,得出/G4E=NCBE,由ASA证得

AGAE=ACBE,得出GE=CE,AG=BC,即可证得CD=GD,由GE=CE,根据等腰三角

形的性质可得出CELEZ).

【详解】(1)在△ABE中，由三角形的三边关系定理得：AB-BE<AE<AB+BE

8—6<AE<8+6,即2<AE<14

.­.2<2AD<14,gpi<AZ)<7

故答案为：1<AD<7；

(2)①如图②，延长ED到点N,使ED=DN,连接CN、FN

•.,点D是BC边上的中点

:.BD=CD

CD=BD

在4NDC和4EDB中，<ZCDN=ZBDE

DN=ED

:.ANDC=AEDB(SAS)

：.BE=CN=4

DF±DE,ED=DN

是等腰三角形，EF=FN

在ACFN中，由三角形的三边关系定理得：CN-CF<FN<CN+CF

:.4-2<FN<4+2,即2<网<6

:.2<EF<6；

②CELED；理由如下：

如图③，延长CE与DA的延长线交于点G

・・•点E是AB中点

:.BE=AE

ZBCD=150°,ZADC=30°

:.DG//BC

.\ZGAE=ZCBE

ZGAE=ZCBE

在AGAE和ACBE中，|AE=BE

ZAEG=ZBEC

:.AGAE=ACBE(ASA)

:.GE=CE,AG=BC

BC=CF,DF=AD

:.CF+DF=BC+AD=AG+AD,即CD=GD

GE=CE

s.CELED.(等腰三角形的三线合一)

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的

判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

10.阅读材料，解答下列问题.

如图1,已知AABC中，AD为中线.延长AD至点E,使DE=AD.在AAOC和AEQB中，

AD=DE,/ADC=NEDB,BD=CD,所以，4ACD%MEBD,进一步可得至UAC=B£,AC//BE

等结论.

图1图2

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决

一些相关的计算或证明题.

解决问题：如图2,在AABC中，AO是三角形的中线，点E为AO上一点，且8QAC,连

结并延长8歹交AC于点E,求证：AE=EF.

【答案】详见解析

【分析】延长AD到M,使DM=AD,连接BM,根据SAS推出△BDMg/\CDA,根据全

等三角形的性质得出BM=AC,NCAD=NM,根据BF=AC可得BF=BM,推出NBFM=NM,

求出NAFE=NEAF即可.

【详解】如图，延长AD至点〃，使得=并连结旅，

是三角形的中线，

，BD=CD,

在Al〃出和"OC中，

BD=CD,

<ZBDM=ZCDA,

DM=DA,

：.^MDB^AADC,

AAC=MB,ZBMD=ZCAD,

,/BF=AC,

：.BF=BM,

；•ZBMD=ZBFD,

VZBFD=ZEFA,ZBMD=ZCAD,

：.ZEFA=ZEAF,即AE=EF.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查

学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形.

11.(1)如图1所示，在“LBC中，。为BC的中点，求证：AB+AC>2AD

图1图2图3

甲说：不可能出现丝△ACD,所以此题无法解决；

乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD至点E,

使得DE=AD,连接3E、CE,由于HZ)=£)C,所以可得四边形是平行四边形，请写

出此处的依据（平行四边形判定的文字描述）

所以AC=BE,AABE中，AB+BE>AE,

即AB+AC>2AD

请根据乙提供的思路解决下列问题：

（2）如图2,在ABC中，。为2C的中点，AB=5,AC=3,AD=2,求ABC的面积；

（3）如图3,在ABC中，。为2C的中点，”为AC的中点，连接交AO于尸，若

AM=MF.求证：BF=AC.

【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）6；（3）见解析.

【分析】（1）根据题意，DE=AD,=即可得四边形的对角线相等，根据平行四边形

的判定定理即可写出；

（2）根据倍长中线法，延长AO至点G,使得DG=AD,可以求得AG,AC,GC,再根据勾

股定理的逆定理可知，AGC为Rd,继而即可求得面积

（3）根据倍长中线法，延长AD至点N,证明四边形ABNC是平行四边形，由=即可

证明取=AC.

【详解】解：（1）DE=AD,BD=DC

四边形ABEC是平行四边形

依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（2）如图，根据倍长中线法，延长4。至点G,使得OG=A£>,

由（1）可知，四边形ABGC是平行四边形

\GC=AB,AC//BG

AB=5,AC=3,AD=2

:.AG=4,GC=5

AC2+AG2=32+不=25

CG2=52=25

AC2+AG2=CG2

.•.△AGC是Rr

AC//BG

・••SZXMC=5"欧=gAC-AG=gx3x4=6

(3)如图，根据倍长中线法，延长AO至点N,使AD=DN,

由(1)可知：四边形ABNC是平行四边形，

ACIIBN、AC=BN

:.ZMAF=ZBNF

AM=MF

:.ZMAF=ZMFA

X-ZMFA=ZBFN

:"BNF=NBFN

BF=BN

BF=AC

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等角对等边，运用倍长

中线法是解题的关键.

12.(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在AABC中，

AB=8,AC=6,求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下

的解决方法(如图2),

E

图1图2