中考数学解题方法专项训练：圆之垂径切线图（原卷版+解析）

38第7章圆之垂径切线图

一、单选题

1.如图，。。的半径为2,点A为。。上一点，。。，弦3c于O,如果N3AC=60。，那么的长是（）

A.J3B."C.1

D.2

2

2.。。的直径为26cm,AB、CD是。。的两条弦，AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB和CD之间

的距离为（）cm

A.7B.5C.7,17D.5,17

3.如图，AB是。。的直径，。是圆心，弦CZJLAB于E,AB=1Q,CD=8,则的长为（）

A.2B.3C.4D.5

4.如图，已知半径为2的。O与直线1相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线1

的垂线，垂足为C,PC与。0交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x（2<x<4）,则PD・CD的最大值

是（）.

B

A.2B.3C.4D.6

5.如图，已知A（—2,0）,3为反比例函数y=V的图象上一点，以为直径的圆的圆心C在V轴上，：.C

与y轴正半轴交于。（0,4）,则上的值为（）

A.4B.5C.6D.8

6.如图，。的直径A3垂直于弦。，垂足是点E,NC4O=22.5°,OC=8,则弦。的长为（）

A.872B.4」C.8百D.473

二、填空题

7.如图，两个同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C,且AB=10,则图中阴影部分面积为

8.如图所示，抛物线y=6x+8与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在尤

轴上方），过ABC三点的。M满足NMBC=45。，则点C的坐标为.

9.如图，圆柱形水管的截面半径是加，阴影部分为有水部分，水面宽A3=1.6加，则水的最大深度是

_________m.

10.如图所示，在（0中，AB为弦，OCLAB交AB于点D,且OD=OC,尸为。上任意一点，连接

PA,PB,若C。的半径为1，则SMB的最大值为.

11.如图，AB是圆。的直径，CDLAB于点E,交圆。于点D,OFLAC于点F,BD=5,则

0F=.

12.已知PA、P5分别切.。于点AB,C为一）。上不同于48的一点，/尸=80。，则NACB的度数是

三、解答题

13.如图，已知是。。的直径，C,。是上的点，OCIIBD,交AZ）于点E,连结3C.

（1）求证：AE=ED；

（2）若AB=6,ZABC=30°,求图中阴影部分的面积.

14.已知AB是。。的直径，C是。。上的一点(不与点A,B重合)，过点C作AB的垂线交。。于点D,

垂足为E点.

(1)如图1,当AE=4,BE=2时，求CD的长度；

(2)如图2,连接AC,BD,点M为BD的中点.求证：MEXAC.

15.如图，是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为8%,为。。的劣

弧，截面有水部分的最大深度为2加，求水管半径.

16.如图已知。。的半径长为25,弦AB长为48,0C平分AB,求AC的长.

17.如图，RtZVRC中，ZABC=90°,以为直径作半圆交AC与点。，点E为的中点,

连结OE.

(1)求证：。石是半圆的切线；

(2)若4AC=30°,DE=2,求AZ)的长.

18.《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一

尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果为。。的直径，弦8，/由于石，AE=1寸，CD=10

寸，那么直径A3的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出A6的长.

19.如图，AB、C。是。。中两条互相垂直的弦，垂足为点E,且AE=CE,点尸是BC的中点，延长FE

交于点G,已知AE=1,BE=3,OE=也.

D

(1)求证：△AED咨ACEB；

(2)求证：FG±AD；

(3)若一条直线/到圆心。的距离〃=石，试判断直线/是否是圆。的切线，并说明理由.

20.如图，AB是的直径，点C,点。在上，AC=CD-AD与3c相交于点E,AF与。相

切于点4与延长线相交于点?

(1)求证：AE=AF.

3

⑵若EF=12,sinZABF=-,求。的半径.

21.如图，五边形ABCDE内接于。O,CF与。。相切于点C,交AB延长线于点F.

(1)若AE=DC,ZE=ZBCD,求证：DE=BC；

(2)若0B=4,AB=BD=DA,ZF=45°,求CF的长.

22.如图，AB为。。的直径，R为弦AC的中点，连接O尸并延长，交弧AC于点。，过点。作。。的

切线，交的延长线于点E.

E

(1)求证：AC〃DE；

(2)连接A。、CD、0C.填空

①当NQ4C的度数为时，四边形AOCD为菱形；

②当Q4=AE=2时，四边形ACDE的面积为.

23.如图，：)。中，A3是：。的直径，G为弦AE的中点，连接0G并延长交。。于点。，连接交AE

于点尸，延长AE至点C,使得尸C=BC,连接BC.

(1)求证：3c是:。的切线；

3

(2)。的半径为5,tanA=—,求FD的长.

4

24.如图，A8为。。的直径，点C在。。上，A。与过点C的切线互相垂直,垂足为D连接3c并延长,

交AO的延长线于点E.

(1)求证：AE=AB；

(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.

25.如图，AB是。的直径，点C是弧AF的中点.

(1)如图1,求证：AH=FH；

(2)如图2,若于点。，交A尸于点E，求证：AE=CE；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接3C交AF于T,连接OT,CRIIAB交AF千S、交।。于点R,

已知NOTB=45°,TH=\,求CR的长.

26.如图，A3是。。的直径，点C是。上一点，AD和过点。的切线互相垂直，垂足为点。，直线。C

与A3的延长线相交于点尸.弦CE平分NACB,交直径AB于点/，连接5E.

(1)求证：AC平分NDW；

(2)探究线段PC,尸尸之间的大小关系，并加以证明;

3

(3)若tan/PCB=w,BE=5近，求PR的长.

38第7章圆之垂径切线图

一、单选题

1.如图，。。的半径为2,点/为。。上一点，ODL勃BC千D,如果/为C=60°,那么办的长是（）

A.6B.日

C.1D.2

【答案】C

【分析】由于N物C=60°,根据圆周角定理可求N80C=12O。，又必，皮；根据垂径定理可知N仇切=60°,

在必中，利用特殊角的三角函数值即可求出必.

【详解】解：・・・切，弦比；

：.ZBDO=<dO°,

•:/BOD=/BAC=6。。,

1

：・OD=-OB=3

2

故答案选：C.

【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数计算.

2.。。的直径为26cln,AB、CD是。。的两条弦，AB〃CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB和CD之间的距离为

)cm

A.7B.5C.7,17D.5,17

【答案】C

【分析】作OELAB于E,交CD于F,连结OA、0C,如图，根据平行线的性质得OF,CD,再利用垂径定理

得到AE=-AB=12,CF=—CD=5,接着根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出0E=5,在RtaOCR中计算

22

出0F=12,然后分类讨论:当圆心。在AB与CD之间时,EF=OF+OE；当圆心0不在AB与CD之间时,EF=OF-OE.从

而可得答案.

【详解】解：作0ELAB于E,交CD于F,连结OA、0C,

由。0的直径为26cm,则。0的半径为13cm,

如图，・・，AB〃CD,

A0FXCD,

AAE=BE=-AB=12,

2

1

CF二DF二一CD=5,

2

在RtZkOA后中，・.・0A=13,AE=12,

••-0E=7OA2-AE2=5,

在Rtaoc户中，：0C=13,CF=5,

•■-0F=VOC2-CF2=12,

当圆心0在AB与CD之间时，

EF=0F+0E=12+5=17；

当圆心0不在AB与CD之间时，

EF=0F-0E=12-5=7；

即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.

故选：c.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定

理.学会运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键.

3.如图，也是。。的直径，。是圆心，弦切于£,/后10,CD=8,则必的长为（)

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先根据垂径定理得出CE的长，再根据勾股定理求出0E即可.

【详解】连接0C.

•.•直径AB=10,

.•.OC=5.

VCD±AB,AB为直径，

.•.CD=2CE=8,Z0EC=90°,

；.CE=4,

由勾股定理得：0E=,52—42=3.

故选：B.

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出CE的长是解题的关键.

4.如图，已知半径为2的。。与直线1相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线1的

垂线，垂足为C,PC与。0交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4),则PD«CD的最大值是().

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】过点。向BC作垂线OH,垂足为H,由垂径定理得到H为PD的中点，设PC=x,根据CD=PC-PD,进

而求出PD•CD,整理后得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x

的取值.

【详解】过点。向BC作垂线0H,垂足为H,

；PD是。0的弦,OHXPD,

.\PH=HD.

NCH0=NHCA=N0AC=90°，

，四边形OACH为矩形,

；.CH=OA=2,

VPC=x,

.\PH=HD=PC-CH=x-2,

CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x,

；.PD•CD=2(x-2)(4-x)=-2X2+12X-16=-2(X-3)2+2,

V2<x<4,

.•.当x=3时，PD-CD的值最大，最大值是2,

故选：A.

【点评】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、二次函数的性质，作0HLBC,利用垂径定理求解

是解答的关键.

5.如图，已知A(—2,0),3为反比例函数y=与的图象上一点，以A3为直径的圆的圆心C在V轴上，iC

与y轴正半轴交于Q(o,4),则上的值为()

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】过B点作BH，x轴于H点，由AB为直径，推出H在圆上，再由垂径定理求出0H的长，再在△COH

中由勾股定理求出圆的半径，进而求出CO,最后再求出BH,求得上的值.

【详解】解：过B点作BHJ_x轴于H点，连接CH,如下图所示：

：AB为圆的直径，且/AHB=90°

由直径所对的圆周角为90°知：

H必在圆C上.

又AHLy轴，由垂径定理知：0A=0H=2.

设圆的半径CD=CH=r,则C0=D0-CD=4-r

在RtZXCOH中，由勾股定理有：CH2=CO~+OH2

：.r2=(4-r)2+22,解得r

3

ACO=4-r=~

2

又。为AH的中点

ACO^AABH的中位线

.\BH=2C0=3

，B点坐标为⑵3）,故左=6.

故答案为：C.

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及其推论、中位线定理、反比例函数解析式的求法，属于综合

题，熟练掌握圆周角定理及推论是解决此题的关键.

6.如图，。的直径A3垂直于弦C。，垂足是点E，NC4O=22.5°,OC=8,则弦CD的长为（）

A.872B.4应C.8石D.4月

【答案】A

【分析】先根据垂径定理得到CE=DE,再根据圆周角定理得到/B0C=2/A=45°,则^OCE为等腰直角三角

形，所以CE=曰OC=40,从而得到CD的长.

【详解】解：VCDXAB,

/.CE-DE,

VZB0C=2ZA=2X22.5°=45°,

.,.△OCE为等腰直角三角形，

二CE=sin45°X0C=^X8=472.

；.CD=2CE=80.

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.也考查了垂径定理，以及锐角三角函数的知识.

二、填空题

7.如图，两个同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C,且AB=10,则图中阴影部分面积为.

O

【答案】25〃

【分析】如图(见解析)，先根据圆的切线的性质可得再根据垂径定理可得AC=5,然后利

用勾股定理可得。A?=25,最后根据阴影部分面积等于大圆面积减去小圆面积即可得.

【详解】如图，连接OA、0C,

由圆的切线的性质得：OC1AB,

由垂径定理得：AC=-AB=-xlO=5,

22

在R/AA0C中，OA2-OC2=AC2=52=25;

则图中阴影部分面积为TZ-(9A2-^OC2=7Z-(OA2-OC2)=25万，

故答案为：25乃.

【点评】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键.

8.如图所示，抛物线y=f—6x+8与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴

上方），过ABC三点的。M满足/MBC=45°,则点C的坐标为.

【答案】（5,3）

【分析】作"轴，C£d_x轴，MF1.CE,垂足分别为D、E、F,连接DF,求出CF=BD=1,

DM=MF=FE=X—3,求出CE=X-2,再由点C在抛物线上，设C（尤,V—6x+8）,可得方程

%—2=x2—6x+8＞求解方程即可.

【详解】作轴，CEJ,九轴，MF1CE,垂足分别为D、E、F,连接DF,贝i]NDMR=90°

"中，CM=BM,NMFC=ZMDB=9。。,

ZMBC=45°

:.ZBMC=90°

ZDMF=90°

:.ZBMD=ZCMF

设点C的坐标为(x,无2—6X+8)

对于丁=/一6》+8,令y=0,则%2一6%+8=0，

解得，X]=2,々=4

,-.A(2,0),B(4,0)

,-.AB=4-2=2

VMD±AB,

；.BD=1

.-.CF=BD=1

;.DM=MF=x—3

.1.EF=DM=x—3,

CE=CF+EF=x-2,

x—2=—6x+8，

解得，苞=2(舍去)，》?=5,

.1.x—2=5—2=3

C(5,3)

故答案为(5,3).

【点评】此题主要考查了圆的基本性质和抛物线上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答本

题的关键.

9.如图，圆柱形水管的截面半径是1〃?，阴影部分为有水部分，水面宽A3=L6m,则水的最大深度是

_________m.

【答案】1.6

【分析】如图(见解析)，先根据圆的性质得出水的最大深度为CD的长，再根据垂径定理、勾股定理求出

0C的长，由此即可得.

【详解】如图，设圆心为点0,过点。作于点C,延长C0交圆0于点D,连接0A

由圆的性质可知，圆的半径为。4=OD=17",水的最大深度为CD的长

由垂径定理得：AC--AB=0.8m

2

在R/VAO。中，OC=A/OA2-AC2=#-0.82=0.6(m)

则CD=OC+OD=0.6+1=1.6(m)

即水的最大深度是1.6机

故答案为：1.6.

【点评】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，理解题意，正确找出水的最大深度为CD的

长是解题关键.

10.如图所示，在；。中，AB为弦，交AB于点D,且8=OC,尸为。上任意一点，连接PA,

PB,若。的半径为1,则SPAB的最大值为.

【答案】w

【分析】如图（见解析），先根据垂径定理求出AB的长，再根据圆的性质得出AB边上高的最大值，然后利

用三角形的面积公式即可得.

【详解】如图，连接0A

0的半径为1

OD=DC

:.OD=DC=-OC=-

22

OC±AB,0C为圆的半径

:.AB^2AD

在中,AD=V<9A2-AD2=—

2

...AB=2x是=6

2

要使取得最大值，则AB边上的高需最大，即点P到AB的距离需最大

13

由圆的性质可知，当点P,。,。共线时，点P到AB的距离最大，最大值为OP+OD=1+—=—

22

则SMB=；XGX|=¥

故答案为：述

4

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识点，利用圆的性质得出AB边上的高的最大值是解题关键.

11.如图，AB是圆。的直径，CDLAB于点E,交圆。于点D,OF_LAC于点F,BD=5,贝U

OF=.

【答案】-

2

【分析】利用垂径定理可得3c=50,推出BD=BC,再根据三角形的中位线定理可得BC=20F,即可解决问

题.

【详解】,・•直径AB，弦CD,

・•・BC=BD，

・・・BD=BC=5,

VOFXAC,

.\AF=FC,

VOA=OB,

・・・OF是三角形ABC的中位线,

•9•2OF——BC——,

22

故答案为：

2

【点评】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所

对的两条弧是解答此题的关键.

12.已知。A、/>3分别切。于点A3,C为。。上不同于A3的一点，/尸=80。，则NACB的度数是

【答案】50°或130°

【分析】连接0A、0B,先确定NAOB,再分就点C在上和A3C上分别求解即可.

【详解】解：如图，连接0A、0B,

VPA,PB分别切于A、B两点,

.\ZPA0=ZPB0=90°

AZA0B=360°-90°-90°-80°=100°,

当点G在ABC上时，贝i|NACB=gNA0B=50°

当点G在ABB上时，贝iJ/AGB+/AGB=180°,即./ACB=130°.

故答案为50°或130°.

【点评】本题主要考查了圆的切线性质和圆周角定理，根据已知条件确定NA0B和分类讨论思想是解答本题

的关键.

13.如图，已知是。。的直径，C,〃是:)。上的点，OCHBD,交AD于点£,连结3C.

(1)求证：AE=ED；

(2)若AB=6,ZABC=30°,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析；⑵3万-9土百

4

【分析】⑴根据圆周角定理得到/ADB=90°,根据平行线的性质得到/AE0=/ADB=90°,即0CLAD,于

是得到结论；

(2)连接CD,0D,根据等腰三角形的性质得到/0CB=/0BC=30°,根据平行线的性质得到/0CB=/CBD=30°,

求得/A0D=120。，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】(1)证明：：AB是。。的直径，

.•.ZADB=90°,

VOC^BD,

AZAE0=ZADB=90°,即OC_LAD,

又・.・OC为半径，

AAE=ED；

(2)解：连接CD,OD,

VOC=OB,

AZ0CB=Z0BC=30°，

：.ZA0C=Z0CB+Z0BC=60°,

VOC^BD,

AZ0CB=ZCBD=30°,

AZC0D=2ZCBD=60°,ZABD=60°,

AZA0D=120°,

TAB=6,

BD=3,AD=3退,

V0A=0B,AE=ED,

13

••OE——BD——,

22

2

.ar_120^-X31.r-3_Q973

360224

【点评】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的

关键.

14.已知AB是。。的直径，C是。。上的一点（不与点A,B重合），过点C作AB的垂线交。0于点D,垂足

为E点.

（1）如图1,当AE=4,BE=2时,求CD的长度；

（2）如图2,连接AC,BD,点M为BD的中点.求证：ME±AC.

【答案】（1）4&；（2）见解析

【分析】（1）先求出半径，然后利用勾股定理求出CE的长度，最后利用垂径定理即可求出CD的长度;

（2）延长ME与AC交于点N,先利用直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质得出/CEN=/DEM=/D,

然后利用/B=/C,NB+ND=90°得出NC+NCE7V=9O°,则/CNE=90°,则结论可证.

【详解】解：（1）如图1,连接0C.

,/AE=4,BE=2,

.\AB=6,

ACO=A0=3,

AOE=AE-AO=1,

VCD±AB,

；•CE=yloC2-OE2=V32-I2=2>/2

：AB是。0的直径，CD±AB,

.\CE=DE,

CD=2CE=4^/2.

(2)证明：如图2,延长ME与AC交于点N.

VCDXAB,

AZBED=90°.

・・・M为BD中点，

1

AEM二一BD二DM,

2

・・・NDEM=ND,

NCEN=NDEM=ND.

VZB=ZC,ZB+ZZ)=90°

:.ZC+ZCEN=90°

：.ZCNE=90°,

即ME±AB.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握等腰

三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键.

15.如图，是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面36宽为8偏4?为。。的劣弧,

截面有水部分的最大深度为2），求水管半径.

【答案】5

【分析】过点。作0DJ_AB于点D,连接OA,根据垂径定理得到AD=4cm,设0A=r,贝l]0D=r-2,利用勾股定

理得到CM?即/=（「—2）2+42,求值即可.

【详解】如图，过点0作0DLAB于点D,连接0A,

V0DXAB,

AD=—AB=—X8=4cm,

22

设0A=r,则0D=r—2,

在RtaAOD中，OA2=OD2+AD2,

即/=（l—2）2+42,

解得r=5cm.

【点评】此题考查圆的垂径定理，勾股定理，再圆中，通常求圆的半径，弦的一半及弦心距三者中的一个

量，都是利用垂径定理及勾股定理解决.

16.如图已知。0的半径长为25,弦AB长为48,0C平分AB,求AC的长.

【答案】30

【分析】OC平分AB,根据圆的性质得0HLAB,通过勾股定理计算得OH,从而得到HC,再通过勾股定理计

算即可得到AC.

【详解】连接0A

VOCWAB,即H为AB的中点

.\0H±AB

在RtZ!\OAH中，OA=25,AH=24

根据勾股定理得：OH=y/o^-AH2=7

，HC=0C-0H=25-7=18

在Rt^AHC中，根据勾股定理得：

AC=yjAH2+HC2=A/242+182=30-

【点评】本题考查了圆和直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的性质,

从而完成求解.

17.如图，RtZVRC中，ZABC=9Q°,以AB为直径作半圆0。交AC与点。，点E为5c的中点，

连结DE.

(1)求证：。石是半圆。。的切线；

(2)若4AC=30°,DE=2,求AD的长.

【答案】⑴见解析；(2)6.

【分析】(1)连接0D,OE,BD,证(SSS),得N0DE=NABC=90°；(2)证△口£(：为等边三角

形，得DC=DE=2.

【详解】(1)证明：连接0D,0E,BD,

•；AB为圆0的直径,

.,.ZADB=ZBDC=90°,

在Rt/XBDC中，E为斜边BC的中点，

，DE=BE,

在和中，

OB=0D

<OE=OE,

BE=DE

AAOBE^AODE(SSS),

AZ0DE=ZABC=90°,

则DE为圆。的切线；

(2)在Rtz^ABC中,ZBAC=30°,

BC——AC,

2

,.・BC=2DE=4,

・・・AC=8,

又・・,NC=60°,DE=CE,

・•・ADEC为等边三角形，即DC=DE=2,

则AD=AC—DC=6.

【点评】考核知识点：切线的判定和性质.

18.《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一

尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果为。。的直径，弦。0，M于石，AE=1寸，CD=10

寸，那么直径的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出A3的长.

【答案】补图见解析；AB=26.

【分析】连接0D,由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设

OD=OA=x寸，则AB=2x寸，0E=(xT)寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长.

【详解】解：如图所示，连接0D.

•.•弦CDLAB,AB为圆。的直径，

.♦.E为CD的中点，

又：CD=10寸，

ACE=DE=—CD=5寸，

2

设OD=OA=x寸,则AB=2x寸，0E=(xT)寸,

由勾股定理得：0E，DE2=0D2,

即(x-1)2+52=X2,

解得：x=13,

.•.AB=26寸，

即直径AB的长为26寸.

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一

半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题.

19.如图，AB.缪是。。中两条互相垂直的弦，垂足为点£,且/£=出点尸是理的中点，延长期交/〃

于点G,已知力£=1,BE=3,0E=72-

(1)求证：XAE哙MCEB；

(2)求证：FGLAD-,

（3）若一条直线，到圆心。的距离占出，试判断直线，是否是圆。的切线，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线，是圆。的切线，理由见解析

【分析】（1）由圆周角定理得/A=/C,由ASA得出△AEDgZXCEB；

（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF=^BC=BF,由等腰三角形的性质得/FEB=/B,由圆周角定

2

理和对顶角相等证出NA+NAEG=90°,进而得出结论；

（3）作OH_LAB于H,连接0B,由垂径定理得出AH=BH=工AB=2,贝ljEH=AH7E=L由勾股定理求出OH

2

=L0B=百，由一条直线1到圆心0的距离（1=百=。。的半径，即可得出结论.

【详解】（1）证明：由圆周角定理得：AA=AC,

ZA=ZC

在△/旗和△面中，（AE=CE,:AAE蜂山CEB（ASA）；

ZAED=ZCEB

（2）证明：'JABLCD,:./AED=/CEB=9Q°,：.ZC+ZB=90°,

,点尸是优的中点，：.EF=—BC=BF,:.NFEB=NB,

2

'：ZA=AC,ZAEG=ZFEB=ZB,：.Z^+ZAFG=ZZ5=90°,

：.ZAGF=9Q°,：.FG±AD；

（3）解：直线，是圆。的切线，理由如下：作OH1AB于H,连接力，如图所示：

'：AE=\,BE=3,：.AB=AE+BE=4,

,/OHLAB,：.AH=BH=—AB=2,：.EH=AH-AE=\,

2

0H=sjoE1-EH-=7（V2）2-12=1，0B=y]BH2+OH2=^22+l2=小，

即。。的半径为逃,

•.•一条直线，到圆心。的距离d=、后的半径，，直线，是圆。的切线.

【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三

角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂

径定理是解题的关键.

20.如图，AB是：。的直径，点G点〃在。。上，AC=CD>与3C相交于点£,AF与（。相

切于点4与3c延长线相交于点尸.

（1）求证：AE=AF.

3

（2）若EF=12,sinZABF=-,求。的半径.

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据圆周角定理得到NACB=90°,根据切线性质得到/BAF=90°,由AC=C。得出/CAD=

ZCDA,结合NCDA=/ABC,证明/CAF=/CAD,从而证明4ACF会Z\ACE,即可得到结论；

（2）根据EF求出CE,结合sin/ABF=sin/CAD求出AE,再利用勾股定理算出AC,最后根据sin/ABF=——

AB

求出AB即可得到半径.

【详解】解：(1)・・・AB为圆0直径，

AZACB=90°,

・・・AF与圆。相切，

AZBAF=90°=NCAF+NCAB,

AZCBA+ZCAB=90°,

;AC=CD，

，AC=CD,

・・・NCAD=NCDA,

又TNCDA=NCBA,

AZCDA+ZCAB=ZCAD+ZCAB=90°,

・・・NCAF=NCAD,又AC=AC,ZACF=ZACE=90

AAACF^AACE(ASA),

.\AE=AF；

(2)YNABF=NADC=NCAD,

CF3

sinZABF=sinZCAD=——=—,

AE5

VAACF^AACE,EF=12,

.\CE=CF=6,

63

----,解得：AE=10,

AE5

•"•AC=7AE2-CE2=8-

.\sinZABF=——

AB-5

...圆0的半径为

3

【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正弦的定义，知识点较多，有

一定难度，解题时要注意多个知识点相结合.

21.如图，五边形ABCDE内接于。0,CF与。。相切于点C,交AB延长线于点F.

(1)若AE=DC,ZE=ZBCD,求证：DE=BC；

(2)若0B=4,AB=BD=DA,ZF=45°,求CF的长.

【答案】(1)见解析；(2)CF=4+2行.

【分析】(1)由圆心角、弧、弦之间的关系得出AE=DC，由圆周角定理得出/ADE=NDBC,证明4ADE

/△DBC,即可得出结论；

(2)连接C0并延长交AB于G,作0HLAB于H,则N0HG=N0HB=90°,由切线的性质得出/FCG=90°,

得出△CFG、△0GH是等腰直角三角形，得出CF=CG,0G=720H,由等边三角形的性质得出/0BH=30°,

由直角三角形的性质得出OH=g()B=l,OG=0,即可得出答案.

【详解】(1)证明：：AE=DC,

AE^DC

・•・NADE=NDBC.

在4ADE和ADBC中，

/ADE=ZDBC

<ZE=ZBCD.

AE=DC

AAADE^ADBC(AAS).

ADE=BC；

(2)解：连接CO并延长交AB于G,作OH_LAB于H,如图所示：则N0HG=N0HB=90°,

・・・CF与。。相切于点C,

・・・NFCG=90°.

VZF=45°,

•••△CFG、AOGH是等腰直角三角形，

.\CF=CG,OG=75OH.

•・・AB=BD=DA,

AABD是等边三角形，

・・・NADB=60°.

・•・NA0B=2NADB=120°

，

.\ZB0H=—2ZB0A=60°

.\Z0BH=30°

1

・・・0H=-0B=2.

2

・・・0G=2a.

，CF=CG=0C+0G=4+2夜.

【点评】本题主要考查了圆的综合应用，准确计算是解题的关键.

22.如图，AB为。。的直径，R为弦AC的中点，连接Ob并延长，交弧AC于点。，过点。作。。的

切线，交B4的延长线于点E.

（1）求证：AC//DE；

（2）连接A。、CD、0C.填空

①当NOAC的度数为时，四边形AOCD为菱形；

②当。4=A石=2时，四边形ACDE的面积为.

【答案】（1）见解析；（2）①30°；②2百

【分析】（1）由垂径定理以及切线的性质可得FOLAC,OD±DE,可得AC〃DE；

（2）①当/0AC=30°时，四边形A0CD是菱形，连接CD,AD,OC,由题意可证AADO是等边三角形，由等

边三角形的性质可得DF=OF,AF=FC,且ACLOD,可得四边形AOCD为菱形；

AQOFAF21

②由题意易证△AFOs^ODE,利用相似三角形的性质可得一=—=—=——=-,即0D=20F,

OEODDE2+22

DE=2AF=AC,可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积.

【详解】（1）为弦AC的中点,

.\AF=CF,且OF过圆心0,

；.FOJ_AC,

：DE是。0切线，

AODXDE,

；.DE〃AC；

(2)①当/0AC=30°时，四边形AOCD是菱形,

理由如下：如图，连接CD,AD,OC,

.\ZA0F=60°,

VA0=D0,ZA0F=60°,

*,.AADO是等边三角形，

XVAFXDO,

.\DF=FO,且AF=CF,

，四边形AOCD是平行四边形,

又•；AO=CO,

二四边形AOCD是菱形；

故答案为：30。；

②如图，连接CD,

.,.△AFO^AODE,

.AOOF_AF_2_1

**OE-OD-DE-2+2-2?

A0D=20F,DE=2AF,

VAC=2AF,

・・・DE二AC,且DE〃AC,

・・・四边形ACDE是平行四边形，

VOA=AE=OD=2,

.•.OF=DF=1,OEM,

・・•在RSODE中，="2_22=2。

S四边形ACDE=DE.DF=2若xl=2B

故答案为：2G.

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定

和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

23.如图，一）。中，AB是.。的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交；.。于点。，连接BD交AE

于点延长AE至点C,使得FC=BC,连接3C.

（1）求证：BC是。的切线;

3

⑵一，。的半径为5,tanA：,求阳的长.

【答案】（1）见解析（2）场

【分析】（1）由垂径定理可知ODLAE,由于FC=BC,所以/CFB=/DFG=/CBF,由于/D+/DFG=90°,所以

Z0BD+ZCBF=90°,从而可知BC是。。的切线；

3

（2）连接AD,根据0A=5,tanA=—,得出0G=3,AG=4,易证△DAGs^FDG,所以DG?=AG-FG,从而可求

4

出FG的长度，利用勾股定理即可求出FD的长度.

【详解】（1）,点G是AE的中点，

:.OD±AE

FC=BC

:.ZCBF=ZCFB

ZCFB=ZDFG

ZCBF=ZDFG

OB=OD

Z.ODB=ZOBD

ZODB+ZDFG=90°

:.ZOBD+ZCBF=90°

即ZABC=90°

Q03是:.。的半径，

.•.3C是］。的切线

（2）连接AD

:.OG=3,AG-4

:.DG=OD-OG=2

QAB是。的直径

:.ZADF=9Q°

ZDAG+ZADG=90°,ZADG+ZFDG=90°

:.ZDAG=ZFDG

:.ADAGAFDG

DGFG

,AG-DG

:.DG2=AGFG

.-.4=4FG,

:.FG=1

二由勾股定理可知：FD=yB

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，切线的判定

与性质等知识，本题属于中等题型.

24.如图，4?为。。的直径，点,在。。上，4）与过点，的切线互相垂直，垂足为〃连接8c并延长，交

4?的延长线于点反

（1）求证：AE=AB；

（2）若/户10,BC=6,求G9的长.

24

【答案】（1）见解析；（2）CD-.

【分析】（1）连接OC,由同旁内角互补得出AD〃0C,可得/0CB=/E,即可推出/ABE=/E,AE=AB.

⑵连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDCs/^ECA得出相似比，求出CD即可.

（1）证明：连接OC

•.•切与。0相切于。点

：.OCLCD

又・・,0_L/£

OC//AE

・・・NOCB=NE

V0(=0S

・・・NABE=NOCB

・•・NABE=NE

:•*AB

(2)连接ZC

・・・46为。0的直径

・・・NACB=90°

・•・AC=JU—6?=8

■;AB=AE,ACLBE

:・EOBO6

,/NDEC=NCEA,NEDC=ZECA

:.XEDCsgCA

.DCEC

，9~AC~~EA

变.AC」x8=%

EA105

【点评】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求

解.

25.如图，AB是。的直径，点。是弧AF的中点.

（1）如图1，求证：AH=FH；

（2）如图2,若COLAS于点。，交AF于点E,求证：AE=CE；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接3c交AF于T,连接OT,CR/IAB交AF千S、交；。于点R,

已知NO7B=45°,TH=1,求CR的长.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6

【分析】

（1）连接OF,根据等弧对等角得出ZAOC^ZFOC,再根据三线合一即可证明AH=FH.

（2）延长CD交C。于点M，连接AC,由弧长等量代换和等弧对等角，得出ZFAC=ZMCA,即可得AE=CE.

AC1

（3）连接EB,推出AT=AO,再连接AC,作。K_L3C,由AACE0ABKO推出tanN（z=—=—，再由

BC2

⑴中的信息求出BC,作RP，A3于点P,连接OR,证明RtACDO丝ARtARPO,由矩形性质即可求出CR.

【详解】

解：（1）连接