中考数学复习专项提升：菱形的性质与判定（练习）原卷版

第五章四边形

第25讲菱形的性质与判定

口题型14根据菱形的性质与判定解决多结论问题

模拟基础练口题型15与菱形有关的新定义问题

口题型16与菱形有关的规律探究问题

口题型01利用菱形的性质求角度

口题型17与菱形有关的动点问题

口题型02利用菱形的性质求线段长

口题型18与菱形有关的最值问题

口题型03利用菱形的性质求周长

口题型19含60°角的菱形

口题型04利用菱形的性质求面积

口题型20菱形与函数综合

口题型05根据菱形的性质求点的坐标

口题型21与菱形有关的存在性问题

口题型06利用菱形的性质证明

口题型22与菱形有关的材料阅读类问题

口题型07菱形的折叠问题

口题型08添加一个条件使四边形是菱形重难创新练

口题型09证明四边形是菱形

口题型10根据菱形的性质与判定求角度

口题型11根据菱形的性质与判定求线段长真题实战练

口题型12根据菱形的性质与判定求周长

口题型13根据菱形的性质与判定求面积

模拟基础练।

□题型01利用菱形的性质求角度

1.（2024.广东.模拟预测）如图所示，在菱形4BCD中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交BC,BD于

点、M,N,再分别以点M,N为圆心，大于|MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接BP并延长交CD于点

Q.若NC=40°,则NDQB=°.

2.（2024.重庆•模拟预测）如图，在菱形ABC。中，ZB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足，连接。尸.若

ABAD=a,贝为（）

B.-aC.180°--aD.180。-2a

3.（2024・浙江•模拟预测）如图，点E为菱形力BCD中ZB边上一点，连结DE,DE=DA,将菱形沿DE折叠,

点A的对应点厂恰好落在BC边上，则N&的度数为.

4.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）如图，已知四边形4BCD为菱形，以4B为直径作。。，过点4作。。的切线交

CD于点E.若乙4BC=50。，贝!UC4E的度数为.

/—D

□题型02利用菱形的性质求线段长

5.（2024・安徽六安•模拟预测）如图，在菱形4BCD中，/-ABC=120°,点M和N分别是4B和力。上一点,

沿MN将AAMN折叠，点A恰好落在边BC的中点E上.若=4,贝MM的长为（）

MB

A.2.4B.2.8C.3D.3.2

6.（2024・广东深圳•模拟预测）如图，菱形ABCD中，点E,F分另U在边BC,CD上，AAEF=90°,^AFE=ZD,

7.（2024.山东临沂.模拟预测）菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性和

实用性，活动角a的取值范围宜为60。120。（如图2）,亮亮选购了折叠后如图3所示的伸缩衣架，则

其拉伸长度4B的适宜范围最接近（）

优COO|3

图1图2图3

A.30<XB<45B.45<XB<45V3

C.45<AB<30V3D.30<AB<45V3

8.（2024•山西・模拟预测）如图，在边长为4的菱形ABCD中，^ABC=60°,,对角线4C,BD交于点O,点

£是。8的中点，点P是的中点，连接EF交AC于点G,则线段GF的长为—

AD

□题型03利用菱形的性质求周长

9.（2024・云南曲靖•一模）菱形力BCD的一条对角线长为8,边4B的长是方程/―7x+10=0的一个根，则

菱形4BCD的周长为（）

A.16B.20C.16或20D.32

10.（2024•贵州黔东南•一模）如图，菱形4BCC中,NB=60。，E,F分别是BC,CO的中点,连接4E,EF,

AF,AAEF的周长为3旧cm,则菱形4BCD的周长为（）

C.4V3cmD.8cm

11.（2024.江苏南京•三模）如图，菱形ABC。的顶点B,C,。在。。上，且48与。。相切，若。。的半径为

12.（2024.四川乐山.二模）如图，菱形的周长为24cm,相邻两个的内角度数之比为1:2,则较长的对角线长

度是（）

A.6cmB.6V3cmC.12百cmD.12cm

□题型04利用菱形的性质求面积

13.（2024•江西吉安•模拟预测）已知菱形4BCD的边长是5,两条对角线AC、BD交于点O,且A。、B。的长

分别是关于x的方程/+（2m-l）x+m2+3=0的两根.

⑴求功的值;

（2）求菱形48CD的面积.

14.（2024・陕西西安・模拟预测）如图，已知菱形4BCC的周长为40,对角线AC、BD交于点O,且4。+B。=14,

则该菱形的面积等于（）

B

A.24B.56C.96D.48

15.（2024•黑龙江哈尔滨.模拟预测）已知：菱形4BCD的对角线AC,BD交于点O,AC=8,BD=6,将线

段4。绕点A旋转，使点。落在菱形2BCD的边上，点。的对应点为点尸，连接BP,CP,则ABCP的面积

为.

16.（2024•河北沧州•模拟预测）将矩形4BCD和菱形4FDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍,

则下列结论正确的是（）

A.4EAF=60°B.AB=AFC.AD=2ABD.AB=EF

□题型05根据菱形的性质求点的坐标

17.（2024・山西・模拟预测）如图，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，以。为原点，建立如图平面直角坐

标系，若4D||x轴，AD=8,乙4=60。，点C的坐标是（）

A.（5V3,5）B.（5V3,-5）C.（4,2遍）D.（6,-273）

18.（2024•山东临沂・三模）如图，在直角坐标系中，菱形。4BC的顶点4的坐标为（-2•0）,乙4OC=60°.将

菱形。ABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形。‘4B'C',其中点》的

坐标为（）

A.(1-3A/3,2)B.(-2V3,V3)C.(-3,⑹D.(-3,3-⑹

19.(23-24八年级下•山西临汾•阶段练习)如图，反比例函数y=：(k40)的图象与正比例函数y=的图

象相交于点4(a,2),D.

(1)<2=,k=,点D坐标为.

(2)不等式」>的解集是_____.

x3

(3)已知AB||x轴，以48,2。为边作菱形4BCD,求菱形4BCD的面积.

20.(2024・山东济宁.二模)如图，在平面直角坐标系中，点A,B在第一象限，点C在久轴正半轴上，且2C与

OB互相垂直平分，D为垂足，连接。4AB,BC.反比例函数y=其％>0)的图象经过点D，与04相交于E.若

点B的坐标为(8,4),则点E的坐标是()

B.QV3,;V3）

D.（宿萍）

□题型06利用菱形的性质证明

21.(2024・贵州・模拟预测)如图，在菱形2BCD中，4EJ.CD交CD于点E,延长4E交BC的延长线于点F,且

E为4F的中点，连接AC,BE.

⑴求证：AC=CD；

(2)求煞的值.

BE

22.（2024・云南昆明•模拟预测）如图所示，菱形4BCD的对角线4c和8。交于点0,分别过点C、。作

DEWAC,CE和DE交于点E.

（1）求证：四边形ODEC是矩形；

⑵当N4DB=60°,AD=2鱼时，求生的值.

AE

23.（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，在菱形4BCD中，对角线AC,BD相交于点O,以点C为圆心，BC长

为半径画弧交BC的延长线于点E,连接DE.

(2)若4B=4,^ABC=60°,求48DE的周长和面积.

口题型07菱形的折叠问题

24.（2024.广东•模拟预测）如图，在菱形48CD中，乙4=60°,AB=6,E是4B上一点，把四边形ADCE沿

CE折叠后得到四边形4»CE,CD'1CD,则BE的长为（）

A.|B.3C.6-3V3D.3百-3

25.（2024・浙江•模拟预测）如图，在菱形4BCD中，^ABC=120°,将菱形折叠，使点4恰好落在对角线BD上

的点G处（不与B,D重合），折痕为EF,若DG=2,BG=4,则点E到BD的距离为.

D.C

G(A')

AEB

26.（2024・海南海口•模拟预测）如图，在菱形4BCD中，乙4BC=60°,点尸是边BC上一动点，连接2P,WAABP

沿着2P折叠，得到AAEP,连接DE,若NB4P=16。，贝此4。5=；若点F是DE的中点，AB=4,则

CF的最小值为.

27.（2023•河南信阳•模拟预测）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动.

第一步：每人制作内角不同，边长都为2的菱形若干个，四个顶点为4B,C,D（为保持一致，活动中,

小组内制作图形各点名称命名规则相同）；

第二步：对折找到一条对角线BD并展开；

第三步：将边48折叠到对角线8。所在直线上，顶点4的落点为F,所得折痕与边4。交于点E；

（1）小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过乙4的度数，计算得到NFED和NFDE的度数.如

图①，若一位同学制作的菱形中乙4=30°,请你给出此时NFDE和4FED的度数：kFDE=°,

乙FED=°；

（2）若乙4<60。，请探究乙4的度数为多少时，ADEF为等腰三角形，并说明理由；

（3）请直接写出△DEF为直角三角形时。F的长.

□题型08添加一个条件使四边形是菱形

28.（2024•甘肃兰州•模拟预测）如图，在团4BCD中（4D>AB）,“BC为锐角，将△ABC沿对角线AC方向

平移，得到夕C，，连接和LD,在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形49C勿是菱形，只需添

加的一个条件是

29.（2024・湖南•模拟预测）已知四边形4BCD的对角线BD垂直平分对角线AC于点。，要使四边形48CD为菱

形,则可添加的条件是.（添加一个条件即可，不添加其他的点和线）.

30.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，平行四边形4BCD的对角线相交于点O,过O的直线分别交AD、BC于

点、M、N.

(1)求证：OM=ON

（2）连接BM,DN.请添加一个条件，使四边形BNDM为菱形.（不需要说明理由）

31.（2024湖北武汉.模拟预测）如图，BE是△ABC的角平分线，点。在48上，且DE||BC.

（1）求证：DB=DE；

（2）在BC上取一点F,连接EF,添加一个条件，使四边形BDEF为菱形，直接写出这个条件.

口题型09证明四边形是菱形

32.（2024・广东•模拟预测）如图，4D是AABC的角平分线，过点。分别作AC和AB的平行线，交4B于点E,

交AC于点尺试判断四边形4EDF的形状，并给出证明.

33.（2024湖北黄冈•模拟预测）如图，在忸4BCD中，AELBC,垂足为E,AF1CD,垂足为F,BD与AE,

AF分别相交于点G,H,AG=AH.求证：四边形4BCD是菱形.

34.（2022九年级.上海・专题练习）如图，在矩形48CD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、。不重合）,

过点4作交边CB的延长线于点尸，连接EF交边4B于点G,连接4C.

（1）求证：△AEFSADAC；

（2）如果FE平分连接CG,求证：四边形4GCE为菱形.

35.（2024.湖南•二模）如图，3,是团OBCQ的对角线,在△（BC和ACDB中,DE,BF分别是边4B,CO的中

线，EF1BD.

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）求证：AABD是直角三角形.

□题型10根据菱形的性质与判定求角度

36.（2024.河南南阳・二模）如图，四边形ABC。内接于。0,E为BC延长线上一点，连接。D,0B,若。0I8C,

且。。=BC,贝叱8。。的度数是（）

A.60°B.115°C.130°D.120°

37.（2024•陕西榆林・二模）如图，在。。中，作正方形ABCD和等边ACDE,其中点4、B、E三点在。。上,

则劣弧施所对的圆心角为（）

A.135°B.150°C.120°D.105°

38.（2023•黑龙江哈尔滨•中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上,

连接4E,EF,DE=BF,BE=BC.

（1）如图①，求证△4ED三ZXEFB；

（2）如图②，若28=4。，AE手ED,过点C作CHII&E交BE于点H,在不添加任何辅助线的情况下，请直接

写出图②中四个角（NB4E除外），使写出的每个角都与NB4E相等.

□题型11根据菱形的性质与判定求线段长

39.（2023・广东深圳•三模）如图，在4BCD中，以点。为圆心，的长为半径作弧交4。于点G,分别以点C,

G为圆心，大于的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线DE交BC于点F,交CG于点。，若AB=13,GC=24,

则DF的长为（）

AG：D

A.10C.12D.6.5

40.（2024・贵州遵义•模拟预测）如图，在AaBC中，AB=6,BC=4,点D在边BC上，点E在边4B上，将4BDE

沿直线OE翻折，点B恰好落在边AC上的点尸处，若DF||AB,则CD的长为（）

A

B.2C.2.4D.3

41.(2024・湖南长沙•模拟预测)如图，在四边形4BCD中，AB||DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点0,

AC平分AB4D,过点C作CELAB交AB的延长线于点E,连接。E.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若4B=V5,BD=2,求。E,CE的长.

42.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)如图，在平行四边形2BCD中，。是对角线力C,BD的交点，延长边CD到

点足使DF=DC,过点/作EFII4C,交。D的延长线于点E,连接。F,EC.

图1图2

(1)求证：AODC王4EDF；

(2)连接4F,若。。=DC且ABEC=45。，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为&04的

所有线段.

□题型12根据菱形的性质与判定求周长

43.(2024・湖南长沙•模拟预测)如图，矩形2BC0的对角线AC,80相交于点O,DE\\AC,CE\\BD.

(1)求证：四边形OCED是菱形;

(2)若BC=3,。4=苧，求四边形。CED的面积和周长.

44.(2024•山东青岛.二模)如图，四边形4BCD是正方形，BEWDF,分别交对角线4C于点E,F,连接ED,

BF.

⑴求证：四边形BEDF是菱形:

(2)若4E=2,CE=6,求菱形BEDF的周长和面积.

45.(2024・江西抚州・一模)如图1,△4BC是。。的内接三角形，AB=AC,是△ABC的一个外角，AE

(1)求证：4E是。。的切线；

(2)如图2,过点C作。。的切线交4E于点F,若AF=BC.

①请判断四边形ABCF的形状，并说明理由；

②当4B=2时，求图中阴影部分的周长.

□题型13根据菱形的性质与判定求面积

46.(2024・吉林长春•一模)如图，矩形4E8。的对角线48、0E交于点R延长4。到点C,使。C=。4延

长B。至U点。，使0D=0B,连接2。、DC、BC.

(1)求证:四边形4BCD是菱形.

(2)若。E=20,/.BCD=60°,则菱形48C。的面积为

47.(2024•江西南昌•模拟预测)定理证明：

(1)如图1,PA,PB是。。的两条切线，切点分别为4B,求证：PA=PB-,

定理应用：

(2)如图2,△ABC是。。的内接等腰三角形，AB=AC=2,z£>=60°,DC是。。的切线，若04IIBC,

求四边形4BCD的面积.

48.(2024.贵州贵阳・一模)如图，在RtAABC中，乙4cB=90°,ZX5C=60。，。为4B的中点，过点。作DE||BC,

5.DE=BC,连接CD,BE.

A

(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；

(2)若BC=2,连接AE,EC,求AAEC的面积.

49.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)在△ABC中，4B=AC,点M在B4的延长线上，点N在BC的延长线上,

平分Z.G4M,CD||AB.

图1图2

（D如图1,求证：四边形是平行四边形；

（2）如图2,当N4BC=60。时，连接BD,交AC于点O,过点。作DE1BD,交BN于点E,在不添加任何辅

助线的情况下，请直接写出图中与△CDE面积相等的4个三角形.

□题型14根据菱形的性质与判定解决多结论问题

50.（2024•内蒙古・二模）如图.在菱形4BCD中，对角线AC,BD交于点E,延长BC至！J点F,使CF=BC,连

接AF,DF,4F分另IJ交CD,BD于点G,0,则下列结论：①四边形4CFD是平行四边形@BD2+FD2=

2

BF@BD=4OE@SAGE0=^ShAD0.其中正确的结论是_______（填写所有正确结论的序号）.

4

BCF

51.（2024•福建福州•模拟预测）如图，在菱形4BCD中,乙4=60。，点M,N是边ZD,AB上任意两点，将菱形

ABCD^MNM，点4恰巧落在对角线BD上的点E处，下列结论：

①AMEDFENB；②若NDME=15。，贝UNENB=105。；③若菱形边长为4,M是4D的中点，连接MC,

则MC=2g；④若DE:BE=2:5,则AM:AN=3:4,其中正确结论是.

eNB

52.（2024•天津河西•二模）已知菱形ABC。，AB=10cm,乙4=60。，点、E,F,G,H分别在菱形4BCD的

四条边上，AH=AE=CG=CF.连接EF,FG,GH,HE.有下列结论：①四边形EFG”是矩形；②4E长

有两个不同的值，使得四边形EFGH的面积都为10cm2；③四边形EFGH面积的最大值为25次cm2.其中，

正确结论的个数是（）

B

A.0B.1C.2D.3

53.（2024.山东枣庄•二模）如图，0aBe是平行四边形，对角线。B在y轴正半轴上，位于第一象限的点2和

第二象限的点C分别在双曲线y=5和y="的一个分支上，分别过点儿C作久轴的垂线段，垂足分别为点

M和点N,给出如下四个结论：①翳=圜；②阴影部分的面积是|（|句+|句）；③当乙4"=90。时，

也|=隹1；④若。ABC是菱形，则灯+@=0；以上结论正确的是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①④

54.（2024.全国.模拟预测）如图，在菱形2BCD中，^BAD=120°,对角线4C,BD交于点。，动点P在边BC上

（不与点C重合），连接AP,4P的垂直平分线交4P于点E,交BD于点F,连接FP,CE,OE,现有以下结论：

①点4E之间的距离为定值；@FP=2FE；③器的值可以是:；④NEOF=30。或150。.其中正确的

BC3

是.（写出所有正确结论的序号）

口题型15与菱形有关的新定义问题

55.（2024•山东荷泽・一模）将菱形的两个相邻的内角记为血。和嗔血>n），定义:为菱形的“接近度”，则当“接

近度”为时，这个菱形就是正方形.

56.（2023・江苏盐城•一模）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点距离相等，则这个四边形叫做等距

四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点.

I___

图1图2图3

（1）判断：一个内角为60。的菱形等距四边形.（填“是”或“不是”）

（2）如图2,在5x5的网格图中有4、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、。两个格点，使得以

4B、C、。为顶点的四边形以4为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并写出

该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长.端点均为非等距点的对角线长为.

（3）如图，在海上4B两处执行任务的两艘巡逻艇，根据接到指令4B两艇同时出发，4艇直接回到驻地0,

B艇到C岛执行某项任务后回到驻地。（在C岛执行任务的时间忽略不计），已知4B,C三点到。点的距离

相等，AO||BC,BC=100km,tanX=|,若4艇速度为65km/h,试问B艇的速度是多少时，才可以和4艇

同时回到驻地？

57.（2024•湖南长沙•一模）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”.

⑴若回ABC。是圆的“奇妙四边形”，贝胆48CD是（填序号）：

①矩形；②菱形；③正方形

（2）如图1,已知。。的半径为R,四边形4BCD是。。的“奇妙四边形”.求证：AB2+CD2=47?2；

（3）如图2,四边形4BCD是“奇妙四边形”，尸为圆内一点，"PD=Z.BPC=90°,^ADP=4PBC,BD=4,

且AB=何?C.当DC的长度最小时，求箓的值.

58.（2024・四川达州•一模）数学活动：某数学兴趣小组想探究任意四边形的中点四边形的形状与原四边形

的边、对角线的关系；

HM

DD

E

定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

［操作］如图1,点E,RG,X分别是四边形各边的中点，顺次连接点E,F,G,X得到中点四边形EFGH.

［猜想］(1)填空：任意一个四边形的中点四边形是；

［证明］(2)请补全以下求证内容，并完善证明过程；

已知：点、E,F,G,X分别是四边形4BCD各边的中点，顺次连接点E,F,G,H得到中点四边形EFGH.

求证：.

证明：

［应用］(3)如图2,在四边形4BCD中，AB,BC,CD,D4的中点分别为P,Q,M,N,在AB上取一点

E,连接DE,CE,和ABCE恰好是等边三角形，当点A到点C的距离为2时，求四边形MNPQ的周

长.

□题型16与菱形有关的规律探究问题

59.(2024•广东汕尾•模拟预测)如图，已知菱形4BC1D1的边长AB=lcm,^DrAB=60°,连接对角线4Q,

以4G为边作第二个菱形使4。24。1=60°.连接4。2，再以4Q为边作第三个菱形AC2c3。3，使

Z£>34C2=60。…按此规律所作的第〃个菱形的边长是.

60.(2024•山东泰安•二模)含60。角的菱形4/1QB2,A2B2C2B3,A3B3C3B4,……，按如图所示的方式放

置在平面直角坐标系xOy中，点A2,A3,……，和点Bi，B2,B3,B4,……，分别在直线y=履和无轴

上.已知4(2,0),B2(4,0),根据所给图形，可以依次求出点4,&，&3,…，则图中点4024的坐标是()

B.(3X22023,V3x22023)

D.(3x22024,V3x22025)

61.（23-24九年级上.山东青岛•期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连

接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1,则第"个矩形的

面积是.

62.（2024•河南郑州•三模）综合实践

【问题】小张、小王、小袁在《解析与检测》中发现这样一道题：如图1,在矩形28C。中，。为对角线BD的

中点，UBD=60°,动点E在线段08上，动点F在线段0。上，点瓦尸同时从点。出发，分别向终点8,。运动,

且始终保持0E=0F.点E关于的对称点为位42；点F关于BC,CD的对称点为a,尸2,在整个过程中,

四边形瓦曷6尸2形状的变化依次是什么？

【探究】（1）小张觉得在点E,F运动的过程中，四边形瓦曷尻&的两组对边分别相等，所以四边形第曷尻尸2

形状必定为

（2）小王觉得小张说的不全面，于是三人继续探索:

①小王看到四边形第七出尸2的四边分别经过了原矩形的四个顶点，并说道：在图1中，连接DE1和OF2，只

要能说明NE1DF2为180。即可，其余三条边都可以用这个方法证明.请你根据小王的说法，证明边当尸2经过

点、D.

②小王发现，点民F在点。时，四边形E1E26F2为菱形；点瓦尸分别运动到终点B,D时，四边形E1E2&F2为菱

形；并猜想点及F在运动过程中，四边形场％尻尸2能为矩形.请你利用图2判段点民尸在运动过程中，四边

形均邑反尸2否能为矩形？若能请找到点尸的位置并证明此时四边形E1E2&F2为矩形；若不能，也请说明理由.

【应用】（3）经过探索，三人得出了四边形位石20尸2形状的变化依次是菱形、平行四边形、矩形、平行四边

形、菱形的结论.如图3,在原题的基础上，将条件乙4BD=60。变为AB=6,AD=8,其余条件不变，小

袁发现在点E,F运动过程中，四边形曷与&尸2依然能够形成矩形和菱形，请你直接分别写出形成的菱形和矩

形的周长.

□题型17与麦形有关的动点问题

63.（2024・贵州•模拟预测）综合与探究：在四边形2BCD中，P为对角线BD上的动点，点E,F分另U在AD,CD

上.

（1）【动手操作】

如图①，若四边形28CD为正方形，P为对角线4C,8。的交点，E,F分别为AD,CD的中点时，连接PE,PF,

根据题意在图①中画出PE,PF,则NEPF为度;

⑵【问题探究】

如图②，四边形4BCD为菱形，AADC=120°,P为对角线AC,8。的交点，且NEPF=60。，探究线段DE,

DF,4D之间的数量关系，并说明理由；

（3）【问题解决】

如图③，在（2）的条件下，若点P在对角线BD上，菱形4BCD的边长为8,PA=7,DF=1,求DE的长.

64.（2024・湖南长沙•二模）如图，在菱形4BCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接4E交

BD于点G.

BEBE

善用图

(1)若AE1BC,4BAE=18°,求NBGE的度数;

⑵若4G=BG,求证BE?-GE2=AG-GE；

（3）过点G作GM||BC交4B于点M,记.5闻佑为S「S四边形DGEC为52,BC=xBE,|=y

①求证：―+―-—；

JBEADMG

②求y与x之间的函数关系式.

65.（22-23九年级上•福建三明•期中）如图1,点。是团4BCD的对角线AC,BD的交点，过点。作。H1AB,

0M1BC,垂足分别为X,M,若0H20M,我们称2=”是团48。。的中心距比.

图2图3图4

⑴如图2,当4=1,求证：EL48C。是菱形；

（2）如图3,当乙4BC=90°,且4B=OB,求团4BCD的;I值；

（3：）如图4,在A4BC中，ZC=90°,AC=BC=6,动点尸从点8出发.沿线段BC向终点C运动，动点。自

C出发，沿线段G4向终点A运动，P、。两点同时出发，运动速度均为每秒1个单位，连结PQ,以PQ、4Q为

邻边作团4QPE,若回4QPE的中心距比4=求点P的运动时间.

口题型18与菱形有关的最值问题

66.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知菱形4BCD的面积为12百，E是边BC上的中点，P是对角线BD上的动点，

连接4E,若力E平分NB4C,则PE+PC的最小值为.

67.（2024・吉林长春•二模）如图，在菱形4BCD中，AC=16,BD=12,E是CD边上一动点，过点E分别作

EF1OC于点F,EG1。。于点G,连接FG.

（1）求证：四边形OGEF为矩形.

（2）求GF的最小值.

68.（2024・贵州遵义•模拟预测）如图，菱形4BCD的边长为2,ZDXB=60°,M,N分别是AD,AC上的两

个动点，则DN+MN的最小值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

69.(2024•江西九江.二模)课本再现

如图1,四边形48CD是菱形，^ACD=30°,BD=6.

(1)求AB,4C的长.

应用拓展

(2)如图2,E为4B上一动点，连接DE,将DE绕点。逆时针旋转120。，得到D凡连接EF.

①直接写出点。到EF距离的最小值；

②如图3,连接OF,CF,若AOCF的面积为6,求BE的长.

□题型19含60°角的菱形

70.(2024•湖北武汉•模拟预测)如图，在菱形2BCD中，AE1BC于点E,AF1CD于点/，连接EF.

(1)求证：AE=AF；

(2)若NB=60°,求N4EF的度数.

71.(2024•浙江台州•模拟预测)如图，四边形2BCD为菱形，过点。分别作4B,BC的垂线，垂足为E,F.

(1)求证AADE"CDF；

（2）若NED尸=60°,DE=V3,求AB的值.

72.（2024・湖北黄冈•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形4BCD的顶点A,B,C在坐标轴上，若

点8的坐标为（1,0）,^BCD=120°,则点。的坐标为（）

A.(-2,2)B.(-2,V3)C.(遮,2)D.(-3,73)

73.（2024•河南商丘•模拟预测）在菱形48CD中，^BAD=120°,E为对角线BD的中点，歹为4。边上一点,

且DF=B.若ADE尸为等腰三角形，则菱形4BCD的边长为

口题型20菱形与函数综合

74.（2024・辽宁大连•二模）如图1,△ABC中，^ABC=60°,。是BC边上的一个动点（不与点B,C重合）,

DEIMB交4C于点E,EFIIBC交4B于点F.设BD的长为》,四边形BDEF的面积为y.

A

B

图1

【初步感知】

（1）经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图2所示的图像，其顶点坐标是（2,3）,请根据图像信息,

求y关于x的函数表达式.

【延伸探究】

（2）①当四边形BDEF的面积为3时，求BD的长度;

②当四边形BDEF的面积最大时，求ACDE的面积.

（3）如图3,当四边形BDEF是菱形时，求BD的长度.

75.（2024•安徽六安•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形04BC为菱形，点A的坐标为（1,百）.点

M从点。出发，以每秒1个单位沿x轴向右移动，过点M且垂直0a的直线与菱形的两边分别交于P,Q两点,

设AOPQ的面积为S,则S与点M移动的时间t之间的函数关系的图象大致为（）

D.

76.(2024•湖北武汉•三模)如图1,在菱形4BCD中，AB=4,NB=60。，点尸为CD边上的动点.

(1)E为边40上一点，连接EF,将AOEF沿EF进行翻折，点。恰好落在BC边的中点G处,

①求DE的长；

②tan/GFC=_.

(2)如图2,延长CD到M,使DM=DF,连接BM与与4F交于点N,连接DN,设DF=x(x>0),DN=y,

求y关于％的函数表达式.

77.(2024.甘肃平凉.二模)如图，抛物线y=a/+b久+4与x轴交于点4(2,0)、B(3,0)两点，与y轴交于

点C,点。是x轴负半轴上一点，AD=5,连接CD.

(2)请在图1中将线段CD向右平移至点。与点A重合,CD平移后对应线段所在直线交抛物线于点E,连接CE,

判断四边形4ECD的形状，并说明理由；

⑶在(2)的条件下，如图2,连接DE,交y轴于点P,过点P作PM1CD于点点N从E点向D点运

动，连接CN、MN,求ACMN周长的最小值.

□题型21与菱形有关的存在性问题

78.(2024•山东泰安・二模)如图，抛物线y=a/+b尤+4经过点4(一2,0),点B(4,0),与y轴交于点C,过

点C作直线CD以轴，与抛物线交于点D,作直线8C,连接4C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)E是抛物线上的点，求满足NECD+ACAO=90。的点E的坐标；

(3)点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线8C上方抛物线上一点，是否存在点N使

四边形CMPN为菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标.如果不存在，请说明理由.

79.(23-24九年级上.江苏苏州・期末)如图，已知直线y="+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线

y=a/+bx+4经过A,C两点，且与无轴的另一个交点为8,对称轴为直线x=-1.

(1)求抛物线的表达式；

(2)〃是第二象限内抛物线上的动点，设点。的横坐标为加，求四边形4BCD面积S的最大值及此时。点的

坐标；

(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P,Q,使以点A,C,P,。为顶点的四边形是以4C为对角线的

菱形？若存在，请求出P,。两点的坐标；若不存在，请说明理由.

80.(2024•江苏苏州•一模)如图，二次函数、=一/+6-1)%+小(其中血＞1)的图像与无轴交于2、B两

点(点4在点B左侧)，与y轴交于点C,连接AC、BC,点。为△ABC的外心.

⑴填空：点4的坐标为^ABC=_°；

(2)记△2CD的面积为Si，AABD的面积为S2，试探究&-S2是否为定值？如果是，求出这个定值；

(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点E,使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则巾=_.

81.(2024.河南开封.一模)如图，△ABC的顶点坐标分别为2(0,次)，C(2,V3),反比例函数y=

：(x＞0)的图象经过点C.

(1)求人的值.

(2)点。在反比例函数丫=B。＞0)的图象上，且BD1AC于点E,DE=BE,请说明四边形4BCD是菱形.

（3）是否存在除点D外可与A,3,C三点共同组成菱形的点P?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

口题型22与菱形有关的材料阅读类问题

82.（2024•山西朔州•模拟预测）阅读与思考

下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

作矩形的最大内接菱形的方法

顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形

纸片中翻作出一个最大的内接菱形”实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法.

方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀将到一个直角三角形，展开后就是菱形

EHGF（如图1）.则四边形EHGF是矩形4BCD的内接菱形.

方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形2ECF.则

四边形4ECF也是矩形4BCD的内接菱形，（如图2）

方法三：通过尺规作图，作矩形4BCD的对角线4C的垂直平分线EF,与4D边交于点E.与BC边交于点尸，

连接4F,CE,则四边形4ECF是矩形4BCD的内接菱形.

实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形.

图I图2图3

任务：

（1）填空：通过“方法一”能得到的菱形，它的依据是.

（2）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程，（保留作图痕迹，不要求写作法）

（3）若矩形4B=4,BC=10,请你根据日记中三种方法，计算此矩形的内接菱形的面积最大值为.

83.（2024・湖南长沙•模拟预测）阅读短文，解决问题.

若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的

这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形例如：如图1,在平行四边形

AEFD中，NB4C与ACME重合，点F在BC上，则称平行四边形4EFD为△4BC的“相依四边形”.

图1图2图3

⑴如图1,平行四边形4EFD为AABC的“相依四边形”，4F平分NB4C,判断四边形4EFD的形状，并进行证

明.

⑵在（1）的条件下，如图2,ZB=90°.

①若AC=6,FC=V6,求四边形AEFD的周长；

②如图3,M,N分别是DF,AC的中点，连接MN,若MN=|,求4。2+。尸2的值.

84.（2024•山西晋城•二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务.

利用尺规在锐角三角形纸片上作菱形在数学兴趣课上，老师提出一个问题：利用尺规在锐角三角形纸片4BC

上作菱形4EDF,且点E,尸分别在BC,AB,4C边上，同学们以小组为单位展开了讨论.

勤学小组展示了他们的作法：如图1,以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交ZB,4C边于点G,

H；分别以点G,X为圆心，大于［GH的长为半径画弧，在AABC内部交于点£；连接4并延长，交BC边

于点以点8为圆心，任意长为半径画弧，两弧分别交AB,BC边于点M,N；以点。为圆心，BN长为

半径画弧，交BC边于点尸；以点尸为圆心，MN长为半径画弧，交前弧于点Q；连接OQ并延长，交4C边于

点B以点A为圆心，4F长为半径画弧，交AB边于点E；连接OE,DF.则四边形4EDF为菱形.

勤学小组进行了以下证明：

证明：根据尺规作图，得4D平分ABAC,ZFDC=ZB,AE=AF.

：.^BAD=/.CAD,FDWAB.

.\Z-ADF=/-BAD.

••Z-ADF=Z.CAD.

•-AF=DF.（依据1）

.'.AE=DF.

四边形4EDF是平行四边形.（依据2）

5L-：AE=AF,

四边形4EDF是菱形.

善思小组也展示了他们的作法：如图2,以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交4B,AC边于点R,S；

分别以点R,S为圆心，大于^RS的长为半径画弧，两弧交于点T；连接27并延长，交BC边于点O；分别以

(1)填出证明过程中的依据.

依据1:;

依据2：.

(2)请根据善思小组的作法，求证：四边形4EDF是菱形.

(3)如图3,请