中考数学复习重难点与压轴题型训练：圆的综合问题（学生版+解析）

专题09圆的综合问题

千硝立【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一利用圆性质求角的度数】...........................................................1

【考向二利用圆性质求线段的长度】........................................................2

【考向三利用圆性质求圆的半径】..........................................................4

【考向四利用圆性质求线段的最值】........................................................5

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积1................................................................................6

【考向五切线的证明综合应用】.............................................................6

【直击中考】

【考向一利用圆性质求角的度数】

例题：（2022秋・浙江杭州•九年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCO内接于。。，AB=CD,A为皿中

点，ZBDC=60°,则N4汨等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【变式训练】

1.（2022・湖北省直辖县级单位•校考二模）如图，一块直角三角板的30。角的顶点尸落在。。上，两边分别

交。。于A3两点，连结AQBO,则—AO3的度数是（）

2.（2022,黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，A、B、C、。四个点均在00上，ZAOD=70°,AO//DC,

3.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）如图所示，已知四边形ABCD是。。的一个内接四边形，且N3OD=110。,

贝=.

【考向二利用圆性质求线段的长度】

例题：（2022•四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测）如图，点A,B,C,。在。。上，点A为8c的中点,

交弦BC于点E.若加）C=30。，AE=1,则8C的长是（）

C.2y/3D.3A/2

【变式训练】

1.（2022•江苏盐城•盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，以A3

为直径的。。与AC相切于点A,点E在。。上，连接AE、ED、DA,连接并延长交AC于点C,

AE与BC交于点F.

⑴求证：ZDAC=ZDEA；

(2)若点E是弧3。的中点，。。的半径为3,BF=2,求AC的长.

2.(2022•内蒙古通辽•模拟预测)如图，与AABC的BC边相切于点B,与AC、A3边分别交于点。、E,

DE//OC,EB是。。的直径.

⑴求证：AC是。。的切线；

(2)若AD=2,AE=1,求CD的长.

3.(2022,湖北省直辖县级单位•校考一模)如图，。。是AABC的外接圆，AD是。。的直径，下是AD延长

线上一点，连接。。，CF,B.ZDCF=ZCAD.

(1)求证：CF是。。的切线;

3

(2)若cos2=g,AD=5,求FD的长.

4.（2022•四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测）如图，为。。的直径，AC为弦，过点C的切线与A3

的延长线交于点P,E为。。上一点，且C£=AC,连接并延长交CP于点

⑴求证：BH1CP.

(2)若AB=3#,tanZE=J,求尸77的长.

【考向三利用圆性质求圆的半径】

例题：（2022•福建福州•校考一模）如图，四边形ABCD内接于。。，NASC=135。，AC=4,则。。的半径

为（）

B

A.4B.272C.26D.4®

【变式训练】

1.（2022•福建福州•校考一模）如图，BC为。。的直径，P为CB延长线上的一点，过P作。。的切线丛,

A为切点，PA=4,PB=2,则。。的半径等于.

2.（2022•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，点A,B,C在。。上，ZAOC=90°,AB=2。BC=1,

则。。的半径为.

3.（2022•云南文山•统考三模）如图，在AABC中，ZA=90°,D、E分别是AS、BC上的点，过8、。、E

三点作。O,交。延长线于点FAC=3,BC=5,AD=1.

⑴求证：YCDEECBF；

⑵当。。与CD相切于点。时，求。。的半径;

⑶若邑CDE=3sRDF，求。方的值.

【考向四利用圆性质求线段的最值】

例题：（2022•安徽合肥•校联考三模）如图，是的直径，A5=8,点M在。。上，NM短=20。小是

股8的中点，P是直径上的一动点，若MN=2,贝!kPMN周长的最小值为（）

A.4B.5C,6D.7

【变式训练】

1.（2022•广东江门•校考一模）矩形ABCD中，AB=2,3C=6,点P为矩形内一个动点且满足=,

则线段PD的最小值为.

2.（2022•广东江门•校考一模）A/RC中，AB=AC^13,BC=24,点。为"WC的对称轴上一动点，

过点。作。。与BC相切，3D与。。相交于点E,那么AE的最大值为.

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】

例题：（2022•广东江门•校考一模）如图，正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为（）

【变式训练】

1.（2022•湖北省直辖县级单位・校考一模）如图，在半径为2,圆心角为90。的扇形内，以3C为直径作半圆,

交弦A3于点。，则图中阴影部分的面积是（）

A..71—1B.71—2C.-7T-1D.一万+1

22

3

2.（2022春•九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AB=2,BC.,尸是A5中点，以点A为圆心，AD

为半径作弧交A3于点E,以点5为圆心，砥为半径作弧交5c于点G,则图中阴影部分面积的差S-S2为

3.（2022秋•四川泸州•九年级统考期中）如图，AB,AC分别是。。的直径和弦，半径OE工AC于点。.过

点A作。。的切线与OE的延长线交于点尸，PC,AB的延长线交于点尸.

⑴求证：PC是。。的切线；

（2）若PC=2AD,AB=10,求图中阴影部分的面积.

4.（2022•江苏扬州•校考三模）如图，中，1B90?,ZC=30°,。为AC上一点，OA=2,以。为

圆心，以。4为半径作圆与相交于点尸，点E是回O与线段8c的公共点，连接OE、OF、EF,并且

/EOF=2/BEF.

⑴求证：8C是回。的切线;

⑵求图中阴影部分的面积.

5.（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，己知AB,8为O。的直径，过点A作弦AE垂直于直径8于

艮点、B恰好为DE的中点，连接3C,BE.

⑴求证：AE=BC-

⑵若AE=2由,求。。的半径；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

【考向五切线的证明综合应用】

例题：（2022湖南株洲•校考二模）如图，在菱形ABCD中，。是对角线3D上一点（8。＞DO）,OE±AB,

垂足为E,以OE为半径的。。分别交DC于点交EO的延长线于点/，EF与DC交于点G.

F

/D_GC

⑴求证：BC是OO的切线;

⑵若G是O尸的中点，OG=2,DG=1.

①求扇形的面积；

②求AD的长.

【变式训练】

1.（2022.辽宁盘锦•校考一模）如图，AABC中，AB^AC,以AC为直径的。。交8C于点。，点E为AC

延长线上一点，S.ZCDE=^ZBAC.

2

E

⑴求证：OE是。。的切线;

(2)若AB=33D,CE=2,求。。的半径.

2.（2022•广东云浮・校联考三模）如图1,回。是4RC的外接圆，AB是直径，OD//AC,0。交团。于点E,

且NCBD=NCOD.

⑴求证：BD是回。的切线；

⑵若点£为线段。。的中点，判断以。、A、C、£为顶点的四边形的形状并证明;

FG

⑶如图2,作CF1AB于点R连接AD交C/于点G,求〒的值.

专题09圆的综合问题

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目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一利用圆性质求角的度数】...........................................................1

【考向二利用圆性质求线段的长度】.........................................................2

【考向三利用圆性质求圆的半径】...........................................................4

【考向四利用圆性质求线段的最值】.........................................................5

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积1................................................................................6

【考向五切线的证明综合应用】.............................................................6

【直击中考】

【考向一利用圆性质求角的度数】

例题：（2022秋•浙江杭州•九年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于。。，至=CD,

A为中点，ZBDC=60°,则/W3等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根据AB=CD，A为中点求出==再根据圆内接四边形

的性质得到N4BC+加）C=18O。，即可求出答案.

【详解】解：0A为80中点，

团AB=A£），

SZADB=ZABD,AB=AD,

^\AB=CD,

SiZCBD=ZADB=ZABD,

回四边形ABC。内接于。。，

回ZABC+ZADC=180°,

03ZAD5+6OO=18OO,

0ZADB=4O°,

故选艮

【点睛】此题考查圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆中等弧所对的圆周角相等、相

等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补.

【变式训练】

1.（2022•湖北省直辖县级单位•校考二模）如图，一块直角三角板的30。角的顶点尸落在。。

上，两边分别交O。于A8两点，连结AO,BO,则—AO3的度数是（）

A.30°B.60°C.80°D.90°

【答案】B

【分析】根据圆周角定理解决问题即可.

【详解】解：4=30。，

又；ZAOB=2NP,

ZAOB=60°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型.

2.（2022•黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，A、B、C、。四个点均在。。上，ZAOD=70°,

AO//DC,则23的度数为__________.

【答案】55。##55度

【分析】首先连接AD，由A、B、C、O四个点均在。。上，ZAOD=10°,AO//DC,

可求得NAOO与NODC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案.

【详解】解：连接AD,

•：OA=OD,NAQD=70。，

…幽「55。,

・・•AO//DC,

:.ZODC=ZAOD=7Q0,

ZADC=ZADO+ZODC=125°,

ZB=180°-ZADC=55°.

【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质.此题比

较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

3.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）如图所示，已知四边形ABCD是。。的一个内接四边形,

且NBor>=no。，贝！JNOCE=

【答案】55。##55度

【分析】先根据圆周角定理求出/A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论.

【详解】解：,••48。。=110°,

ZA=-ZBOD=55°.

2

四边形ABCD是圆内接四边形，/DCE是四边形ABCD的一个外角，

ZDCE=ZA=55°.

故答案为：55°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理等内容，熟知圆内接四边形的任意

一个外角等于它的内对角是解题的关键.

【考向二利用圆性质求线段的长度】

例题：（2022•四川绵阳,东辰国际学校校考模拟预测）如图，点A,B,C,。在。。上，点A

为BC的中点，Q4交弦于点E.若N4DC=30。，AE=1,则8c的长是（）

【答案】C

【分析】连接OC,根据圆周角定理求得ZAOC=60。，在RtACOE中可得OE=；OC=g04,

可得OC的长度，故CE长度可求得，即可求解.

【详解】解：连接OC,

EIZAOC=60o,

OE1

在RtACOE中，=cos60°=—,

^\OE=-OC=-OA,

22

^\AE=-OC=-OA

22

团AE=1,

团OA-OC=2,

0CE=73

团点A为BC的中点，

0BC=2CE=26,

故选：D.

【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，解直角三角形,作出合适的辅助线是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•江苏盐城•盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预

测）如图，以A3为直径的。O与AC相切于点A,点。、E在。。上，连接A£\ED、DA,

连接3。并延长交AC于点C,AE与8C交于点

⑴求证：ZDAC=ZDEA；

⑵若点E是弧3。的中点，。。的半径为3,BF=2,求AC的长.

【答案】⑴见解析

（2）8

【分析】（1）根据切线的性质可得NC4D+NBAE>=90。，再由A3为。。的直径，可得

ZB+ZBAD=90°,从而得到/C4D=/3,再由圆周角定理，即可求证；

（2）根据点E是弧的中点，可得NZMEnNaiE,再由/C4D=ZB,可得NC4F=/CE4,

从而得到C4=CF,设C4=CF=尤，贝113c=x+2,在RtZVLBC中，根据勾股定理，即可

求解.

【详解】（1）证明：回。。与AC相切，

0AC1AB,即/BAC=90°,

SZCAD+ZBAD=90°,

EIAB为G）O的直径，

0ZADB=9O°,

0ZB+ZBAZ）=90°,

BZCAD=ZB,

SZAED=ZB,

^ZDAC=Z.DEA；

（2）解：回点E是弧BD的中点，

SZDAE=ZBAE,

^\ZCAD=ZB,Z.CAF=ZCAD+ZDAF,ZCFA=ZEAB+ZDBA,

SZCAF=ZCFA,

0C4=CF,

设C4=CF=x,则3c=x+2,

回。。的半径为3,

13AB=2,

在RtZXABC中，AB2+AC2=BC2,

H62+X2=（2+X）2,

解得：x=8,

即AC=8.

【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相

等求得NC4£）=NB.

2.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）如图，。。与AABC的3c边相切于点B,与AC、AB边

分别交于点。、E,DE//OC,EB是。。的直径.

⑴求证：AC是。。的切线；

（2）若AD=2,AE=1,求CD的长.

【答案】⑴见解析

（2）3

【分析】（1）连接。。，根据切线的性质得到？390?,根据平行线和等腰三角形的性质可

得ACOD=Z.COB,再利用“边角边"证明△COD^ACOB,根据全等三角形的性质得到

ZCDO=ZCBO=90°,即可证明AC是。。的切线；

（2）设。。的半径为厂，则OD=OE=O3=r,根据勾股定理解Rt/XADO求出r,进而求

出A3的长度，再根据相似三角形的性质得到3c的长度，根据全等三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接0D.

•・・。0与AASC的BC边相切于点8,£»是。。的直径,

?B90?.

•••DE//OC,

，ZDEO=ZCOB,NODE=/COD.

OD=OE,

ZDEO=ZODE,

/COD=/COB,

在△<?”>与△COB中，

OD=OB

<ZCOD=ZCOB,

co=co

,△COZ汪△CO3（SAS）,

・•.NCDO=NCBO=9伊,

二•AC是。。的切线；

（2）解：设。O的半径为厂，

•e-OD-OE=OB=r.

•/AE=1,

AO=r+1.

,/NADO=90。，

・••AD2+OD2=AO\

22+r2=（r+l）2,

3

解得：

3

AB=AE+2r=l+2x-=4.

2

vZADO=ZB=90°,ZA=ZA,

「•NADO^NABC,

.ADOD

3

2_2，

4-BC

:.BC=3,

由（1）知，△COgACOB,

CD=BC=3.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

3.（2022•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，。。是AABC的外接圆，AD是。。的直径，

厂是AD延长线上一点，连接8,CF,且/DCF=NC4D.

⑴求证：CP是O。的切线；

3

(2)若cosB=g,AD=5,求FD的长.

【答案】⑴见解析

(2)—

7

【分析】⑴连接OC,AO是。。的直径，则NACD=90。，得到/ADC+/CW=90。，由

OC=OD得到ZADC=ZOCD,又由ZDCF=ACAD得到ZDCF+NOCD=90°,即可得到

结论；

CD3CD

(2)解直角三角形得到CD=3,AC=4,得到K=再证明△FCDs”c,得至汁.

AC47lAC

FCFD315

=——=——=一，设FD=3x,FC=4x,AF=3x+5,进一步求得x=—，即可得到答案.

FAFC47

【详解】(1)解：连接OC,

团的>是。。的直径，

0ZAC£>=9O°,

0ZAr>C+ZCW=9O°,

又国OC=OD,

⑦ZADC=NOCD,

又⑦NDCF=/CAD.

0ZDCF+ZOCD=90°,

即OCLCF,

回C尸是。。的切线；

3

(2)E/B=NADC,cosB=—f

3

团cosZADC=—,

5

在Rtz^ACZ）中,

3CD

回cosADC——=,AD=5,

5AD

3

0CD=APcosZADC=5x—=3,

国AC={AD2—CD2=4'

CD3

0-----=—，

AC4

回/FCA/FAC,ZF=ZF,

团AFCDS^FAC,

「CDFCFD3

团---=---=...——，

ACFAFC4

设£C=3x,FC=4x,AF=3x+5,

又回FC?=FD・FA,

即（4%）2=3M3X+5），

解得尤=5（取正值），

45

回FD=3x=——.

7

【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等

知识，熟练掌握相关定理是解题的关键.

4.(2022•四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测)如图，A2为0。的直径，AC为弦，过点

C的切线与AB的延长线交于点P,E为。。上一点，且CE=AC,连接旗并延长交CP于

点H.

（1）求证：BH1CP.

(2)若AB=3止，tanZE-1,求P”的长.

【答案】⑴见解析

(2)半

【分析】(1)连接OC,OE,由切线的性质可知NOCP=90。,再证明E"〃OC,则

NBHP=NOCP=90。,可得BHLCP；

（2）连接OC,3C,根据A3为0。的直径得ZACB=90。，根据NA="得

tanZE=tanZA=,得AC=23C,禾!］用勾股定理AC?+3C?=43?,解得3c=3或

/1C-1

PBPCCB1

5C=—3（舍去），则AC=2BC=6,证明△尸CBS.。，则===设尸5=元，

2C-1/iCz乙

贝［J尸。=2P5=2x,PA=2PC=4x,可得4%—％=3括，解1=如，贝!］尸5=百，PC=2辨,

PHPR?,A仁

由（1）可得BH〃OC,——=——=-,从而可得尸尸。=竺2.

PCPO555

【详解】（1）解：如图①，连接OC,OE,

图①

AC=EC

在△ACO和△ECO中，\OC^OC,

OA=OE

,△ACO也△£CO（SSS）,

ZACO=ZECO,

•••OA=OC,

/.ZA=ZACO,

・•.ZA=ZECO,

又,:ZA=NCEB,

ZECO=ZCEBf

/.EH〃OC,ZBHP=ZOCP

・・•C尸与。。相切，

•.OC-LCP,

「•BH1CP.

（2）解：如图②，连接OGBC,

图②

A3为。。的直径，

ZACB=90°,

ZA=ZE,

…BC1

tanZ£=tanN7A=t=—,

AC2

AC=2BC,

vAC2+BC2=AB\

A（2BC）2+BC2=（3V5）2,解得5c=3或5c=—3（舍去）,

AC=2BC=6,

CP为切线，

•••ZOCP=ZOCB+NPCB=ZOBC+ZPCB=90°.

vA吕为。。的直径，

ZOBC+ZA=90°.

/PCB=ZA,

又「ZP=NP,

「•*CBs*AC,

.PBPC_CB_3_1

-PC-PA-AC~6~2'

设P8=无，贝lJPC=2P5=2x,PA=2PC=4xf

•••PA-PB=AB=3yf5,

4X-X=3A/5,Mx=A/5,

PB=y[5,PC=20，由（1）可得防""OC,

PHPB75_2

二正二拓二6+.F

2

•口口22/r4\/5

…PH=—PC=—x2,5=-----.

555

【点睛】此题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助

线，构造出直角三角形、全等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、

矩形的性质以及勾股定理求得结果.

【考向三利用圆性质求圆的半径】

例题：（2022•福建福州•校考一模）如图，四边形A8CD内接于ZABC=135°,AC=4,

则。。的半径为（）

B

A.4B.2A/2C.2相D.4&

【答案】B

【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出-ADC必5。，由圆周角定理得出ZAOC=90。,

根据OA=OC可得出答案.

【详解】连接。4,OC,

回四边形ABCD内接于ZABC=135°

I3/ADC=45°

MAOC=90°

由勾股定理得：O/c+OC-=AC2

I3OA=OC,AC=4

0（9A=2A/2

回。。的半径为：2后

故选：B.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相

关定理.

1.（2022•福建福州•校考一模）如图，3C为O。的直径，P为CB延长线上的一点，过尸作。O

的切线9，A为切点，PA=4,PB=2,则。。的半径等于.

【答案】3

【分析】连接。4,因为RL是。。的切线，得NRAO=90。，结合已知在放ABIO中运用勾

股定理即可求解.

【详解】连接。4,

回上4是。。的切线，

团440=90°,

PA=4,PB=2,

在用APAO中，

PO2=PA2+AO2,

即（80+2）2=42+AO2,

13（49+2）2=42+AO2,

解得49=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的运用；掌握切线的性质构造直角三角形是解题

的关键.

2.（2022,湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，点42,C在O。上，ZAOC=90°,AB=2及,

BC=1,则QO的半径为.

BC

O

【答案】亭

【分析】过点A作AELCB交CB的延长线于点E,连接AC,先求出NABC=135。，则

^ABE=45°,利用等腰直角三角形的性质得到AE=£B=2,则EC=3,利用勾股定理求出

AC的长即可得到答案.

【详解】解：过点A作交CB的延长线于点E,连接AC.

团/A0090。，

SZABC=1(360°-90°)=135°

0^ABE=45°,

回NE=90。，AB=272-

SAE=EB=2,

0BC=1,

EEC=3,

^AC=>jAE2+CE2=A/13>

0OA=OC=—AC=—.

22

故答案为：叵.

2

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等腰直角三角形

的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

3.（2022,云南文山•统考三模）如图，在44BC中，ZA=90°,。、E分别是AB、8C上的点，

过8、D、E三点作。。，交C。延长线于点尸，AC=3,BC=5,AD=1.

A

I

⑴求证：NCDE^NCBF-,

(2)当。。与CD相切于点。时，求0。的半径;

⑶若1CDE=3S.BDF，求。尸的值.

【答案】⑴见解析

⑵叵

2

(3)—A/10

【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得到/CED=NBED,即可证明；

13

(2)连接。。，过点。作OM_L8D,垂足为求出BD=3,DM=-BD=~,再证明

ADM4卫AD,从而求出求00的半径

(3)过点。作O"J_3C,垂足为过点2作3GLCF,垂足为G,利用等积法求出

DH=-,BG=-s/lQ,设。尸=河，则CE=15x,利用VCDEsyCM,即可求出。尸的

值.

【详解】(1)团四边形是回。的内接四边形，

QZBED+ZBFD=180°,

团/BED+NCED=180°,

QNCED=NBFD,

0/DCE=/BCF,

^NCDE^NCBFy

(2)连接0D,过点。作垂足为M,

DM=BM=-DB,ZOMD=90°,

2

0Z.ODM+ZMOD=90°,

团NA=90。，BC=5,AC=3,

11

:.AB=4BC-AC=4^

团AD=1,

^\BD=AB-AD=4-1=3.

13

:.DM=-BD=-

22f

在中，8=43+3=g2+12=回,

团。。与CD相切于点O,

0ZODC=90°,

0ZODM+ZADC=1800-ZODC=90°,

团NMOD=/ADC,

^ZOMD=ZA=90°f

团QMOSqj),

PHDO

'~CA~~CDf

3

.3=DO,

"3M

"巫，

2

回。。的半径为叵；

2

(3)过点。作垂足为H,过点3作BGLCF,垂足为G,

C

团△BDC的面积=工3。。〃=L3。4。=L569。,

222

◎BC•DH=BD.AC=BGCD,

:.5DH=3X3=ABG,

99/—

:.DH=—,BG=—W,

510

团S&CDE-3s&BDF，

:.-CEDH=3x-DFBG,

22

@CEDH=3DFBG,

:.-CE=3DF-—y/i0,

510

9

.OF_g_A/10

"~CE~27710"IT'

10

回设。尸=Mx,则CE=15x,

由（1）得：VCDE尔CBF,

CDCE

,CB-CF'

.Vio15%

"5"VlO+VlOx'

2

解得：％=ii，

2

经检验：％=为是原方程的根，

.-.DF=V10x=—A/10,

13

回。尸的长为卷

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆的切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题

的关键是能够根据题目的条件，进行推理证明.

【考向四利用圆性质求线段的最值】

例题：（2022•安徽合肥•校联考三模）如图，A2是。。的直径，AB=8,点M在。。上,

NAMB=20o,N是物的中点，尸是直径AB上的一动点，若MN=2,则APMN周长的最小

C.6D.7

【答案】C

【分析】根据动点最值，将军饮马模型，如图所示，作点N关于的对称点N',连接脑V'

交A3于尸，APMN局长为PM+PN+MN=2+PM+PN,由对称性知APMN周长为

=2+PM+PN^2+PM+PN',根据两点之间线段最短可知APMN周长的最小为2+MN',

利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案.

【详解】解：作点N关于的对称点N',则点N'在。。上，连接MN'交A3于P,

由对称性知PN=PN',

•••APMN周长为PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN',

根据两点之间线段最短可知APMN周长的最小为2+MM,

团点N是股B的中点，^MAB=2Q°,

@MN=NB=BN'，

回/BAN'=10°,

EZMAN'=200+10°=30°,

AMON'=60°,

回△MON'是正三角形，

SOM=ON'=MN'=-AB=4,

2

0ACV=2,

团APMN周长的最小值为2+4=6,

故选：C.

【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系

以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的

关键.

【变式训练】

1.（2022•广东江门,校考一模）矩形ABCD中，AB=2,8c=6,点尸为矩形内一个动点且

满足NPBC=ZPCD,则线段PD的最小值为.

【答案】A/13-2##-2+V13

【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得尸C=90。，所以P点应该在以BC为直径的

圆上，根据两边之差小于第三边及三点共线即可解决问题.

【详解】解：如图,

团四边形ABC。为矩形，

,\AB=CD=29ZBCD=90°,

・•.NPCD+NPCB=9。。,

♦;NPBC=NPCD,

\2PBe?PCB90?,

:"PC=90。,

回点尸在以3C为直径的。。上，

在RtZXOCD中，0c=，2C=LX6=3,CD=2,

22

由勾股定理得，OD70c2="+22=屈，

PD>OD-OP,

团当尸，。，0三点共线时，PD最小，

.•.PD的最小值为0。一。尸=而一2.

故答案为：V13-2.

【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出尸点的运

动轨迹是解题的关键.

2.（2022•广东江门•校考一模）AABC中，AB=AC=13,BC=24,点。。为的对称

轴上一动点，过点。作。。与8C相切，8。与。O相交于点E,那么AE的最大值为

【答案】6+府##府+6

【分析】设AABC的对称轴交BC于凡连接所，根据圆周角定理及题意得出点£在以8歹

为直径的圆上，由勾股定理得出=必我+/=存苫=屈，结合图形即可得出最大

值.

【详解】解：设AABC的对称轴交BC于尸，连接所,

0AB=AC,

FFLAABC的对称轴DFLBC,

回。0切BC于F,

回。户是。。的直径，

回ND砂=90°,

0ZBEF=180°-NDEF=90°,

团点E在以为直径的圆上，

0AF1BC,AB=AC=13,

EBF=CF=12,BI=FI=6,

0AF=VAB2-BF2=5>

^AI=y/AF2+FI2=V52+62=761>

fflA£nMX=AZ+EI=6+国.

故答案为：J方+6.

【点睛】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意,

作出相应辅助线是解题关键.

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】

例题：（2022•广东江门•校考一模）如图，正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为（）

B.7-1

口1

【答案】D

【分析】如图，根据金？=S扇形ABE-SVAEF,求解即可.

【详解】解:如图，

国四边形ABCD是正方形,

0ZE4F=45°,

0EF±AB,

0AABF是等腰直角三角形，

团AB=AE=2，

0AF=EF=VI，

同c_cC_45TTX221r~石_%1

回5场=、扇形ABE-SVAEF=---------]XA/2X<2=--1.

故选：D.

【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等

知识，解题的关键是学会利用分割法解决问题，属于中考常考题型.

【变式训练】

1.（2022•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，在半径为2,圆心角为90。的扇形内，以BC

为直径作半圆，交弦于点D,则图中阴影部分的面积是（）

A.n-1B.71—2C.—7tD.一"+1

22

【答案】A

【分析】已知BC为直径，贝U/CDB=90。，在等腰直角三角形ABC中，C。垂直平分AB,

CD=DB,。为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与AWC的面积

之差.

【详解】解：在Rt^ACB中，万方=20，

回BC是半圆的直径，

EIZCDB=90o,

在等腰Rt^ACB中，CD垂直平分AB,CD=BD=血,

SD为半圆的中点，

回S阴影部分=S扇形ACB_^AADC=47rX^2-2><（应）=万-1-

故选：A.

【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关

键.

3

2.（2022春•九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=-,尸是AB中点，以

点A为圆心，AD为半径作弧交于点E,以点5为圆心，8尸为半径作弧交BC于点G,

则图中阴影部分面积的差5,-邑为.

【答案】3-13万

16

【分析】根据图形可以求得郎的长，然后根据图形即可求得，-丛的值.

3

【详解】解：,•・在矩形ABC。中，AB=2,BC=~,尸是A3中点,

2

■.BF=BG=1,

,,S|=S矩衫ABC。-S扇形ADE-S扇形BGF+^2，

2

3

90•1x

2x3_______L90•%xf_§13万.

S]—s?

2360360~~L6~

故答案为：3-——

lo

【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，解本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

3.（2022秋•四川泸州•九年级统考期中）如图，AB,AC分别是的直径和弦，半径

。石1人。于点。.过点A作。。的切线与OE的延长线交于点。PC,A5的延长线交于

点、F.

⑴求证：PC是。。的切线；

⑵若尸C=2AD,Afi=10,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析

°25425万

~26~

【分析】（1）连接0C,可以证得八4。名△CO尸，根据全等三角形的性质以及切线的性质

定理可以得到NOCP=90。，即OCL尸C,即可证得PC是0。的切线；

（2）根据垂径定理得到AD=Cr>=；AC,根据切线的性质得到PA=PC,求得

ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,根据等腰三角形的性质得到NC4F=NACO=30。，根据勾股

定理得到CF=JoOC。=^/i不=f=56,根据三角形和扇形的面积公式即可得出结论.

【详解】（1）证明：连接OC,

・二9是。。的切线，A5是。。的直径,

ZPAO=90°,

•・・0石，47于点。，

AE=CE,

:.ZAOE=ZCOE,

在AAOP和ACO尸中，

AO=CO

<ZAOP=ZCOPf

OP=OP

:.AAOP^/\COP(SAS),

ZPCO=ZPAO=90°,

/.OC1PC,

・・・OC是。。的半径，

...尸。是。。的切线.

(2)解：•「O£_LAC于点。，

/.AD=CD^-AC,

2

•・・必，PC是。。的切线，

:.PA=PC,

\PC=2AD,

.\PA=PC=AC,

:.ZPAC=60°,

ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,

・.・Q4=OC,

.\ZCAF=ZACO=30°f

ZCOF=2ZCAF=60°,

N产=90。—ZCOF=30°,

.\OF=2OC=10,

在尸中，CF=JOF2—oc?=Jl()2—52=56,

.sV60・兀f_25#25〃

••J阴影—、&COF-J扇形B0C~2X，*D---~•

故答案为：空叵一空L.

26

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形

的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

4.(2022•江苏扬州•校考三模)如图，R/0ABe中，?B90?,ZC=30°,。为AC上一点，

OA=2,以。为圆心，以。4为半径作圆与A3相交于点尸，点E是国。与线段BC的公共点，

连接OE、OF、EF,并且NEOF=2NBEF.

⑴求证：8C是回。的切线;

⑵求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

(2)|■石-g"

【分析】(1)连接D尸、DE,由AD是直径，得出/O/?E+NBEE=90。，进而得出

ZBEF=ZDFE,由圆周角定理得出NEO尸=2/£ER,进而得出NBEF=NED尸，然后得

出/DFE=/EDF,再证明AODE三AOEE,得出NEOD=NEOF,再证明是等边三

角形，进而得出NEOD=60。，证明OE〃AB,即可得出OELBC,即可得出结论.

(2)先求出等边三角形△Q4F的面积为：-x2xV3=73,由(1)可得出NCOR=120。，

2

1x44__

求出扇形O