云南省昆明市官渡区2024-2025学年高一年级上册期末学业水平考试数学试题（解析版）

云南省昆明市官渡区2024-2025学年高一上学期期末学业水平考试数

学试题卷

（全卷四个大题，共19个小题，共4页；考试用时120分钟，满分150分）

注意事项：

L本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试

题卷，草稿纸上作答无效.

2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题，共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

］已知集合A={Y—3<><3<3={x|y=Jx+2},则）

A.{x|x>-3}B.{x|0<尤<3}C.{x|-2<%<3}D.{x|-3<%<3}

【答案】C

【解析】

【分析】化简集合8,即可根据交集的定义域求解.

［详解］由§y=Jx+2}={小2-2},故{x\-2<x<3},

故选：C

2.已知命题p:Vx>0,x+l>l,则p的否定为（）

A.Vx>0,x+l<lB.3%>0,x+l<lC,Vx<0,x+l>1D,3x<0,x+l>1

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可求解.

【详解】命题。：Vx>0,x+l>l,

其否定为玉;>0,x+l<l.

故选：B

/、flnx,x>1

3.已知函数y（x）=计］,则/（/⑼）的值为（）

e.x<J.

1

A.1B.OC.eD.-

e

【答案】A

【解析】

【分析】由分段函数解析式代入计算可得结果.

【详解】易知/(O)=e°+i=e,

所以/V(O))=〃e)=lne=l.

故选：A

3

4.如图所示，角£的终边与单位圆在第一象限交于点尸，且点尸的横坐标为《，射线OP绕点。逆时针旋

4

D.

5

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函数定义及诱导公式即可求得结果.

3

【详解】由三角函数定义可知cosa=g,

4

又sin?cr+cos2a=1,a为第一象限角，所以sin。=—；

兀.4

又£=&+万，所以cos£=cos=一sma=——

2j5

故选：C

5.已知累函数/(x)的图象过点(2,JI),若/(I—2a)</(2),则a的取值范围为()

A.Too11££

C.D.

(22’22,2

【答案】D

【解析】

【分析】先确定幕函数解析式，再利用函数单调性解不等式.

【详解】因为幕函数=过点(2,夜)，所以/(2)=2"=血，则£=：,

所以/(%)=/在(0,+8)上是增函数，

所以不等式/(I-2a)</(2)等价于0W1—2a<2,

求解可得一.

22

故选：D.

6.求值：sin20。1an50°+6)=()

A.-1B.1C.tan40°D.-tan40°

【答案】B

【解析】

【分析】结合正切定义，两角差的正弦公式，辅助角公式，二倍角公式，诱导公式，直接化简求解即可.

【详解】sin20°(tan50°+指)=sin(50°-30°)(tan50°+石)

_瓜近50。

+-sin50°---cos50°

2cos50°222

县mjn50。一回梃

2cos5002cos50°

_2sin50°cos50°-6cosl00°_sin1000-百cos100°

2cos5002cos50°

2-sinl000--cosl00°

”22sin(100°-60°)

2cos(90°-40°)2sin40°

2sin40°

2sin400-

故选：B

7.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基

础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.

一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为九(2,0),一位顾客到店里购买

10克黄金，售货员先将5克祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克祛

码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则

顾客购得的黄金质量()

A大于10克B.小于10克

C.等于10克D.当彳>1时，大于10克；当4e(0,1)时，小于10

克

【答案】A

【解析】

【分析】设天平左臂长为。，右臂长为6(不妨设a>6),先称得的黄金的实际质量为风，后称得的黄金

的实际质量为m2.根据天平平衡，列出等式，可得叫J巧表达式，利用作差法比较班与10的大小，

即可得答案.

【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为。，右臂长为6,

所以@=2(2〉0),所以。=九方，

b

先称得的黄金的实际质量为犯，后称得的黄金的实际质量为加2.

由杠杆的平衡原理：bm^=ax5,am2=bx5.解得町=色，m2,

ba

e5b5a

贝！］町+租2=1.

ab

下面比较叫+加2与10的大小：

因为的+%)-1。3+加-*……，

'"〃ababAb22

因为2>0,所以5(1—>0,即加］+网〉10,

所以这样可知称出的黄金质量大于10g.

故选：A.

8.已知函数/(%)=tanx+|tan%］,则下列结论中正确的有()

TT

A./（%）的最小正周期为一B./（x）的值域为（—8,+8）

2

C.点序o］是/（x）图象的一个对称中心D.不等式/（x）>2省的解集为

［■|■+^7t片+^7t］（左eZ）

【答案】D

【解析】

【分析】把函数/（九）用分段函数表示，再作出了（X）的图象，观察图象即可判断选项A,B,C,解不等

式/（x）>2G即可判断选项D而作答.

兀

2tanx,xe［ku,—+左兀）,kuZ

【详解】/（x）=tanx+|tanx|=<2,

兀_

0,XG（一^+左纵左兀）,左€Z

作出了（九）的图象，如图，观察图象，

对于A,“X）的最小正周期为兀，故A错误;

对于B,7（尤）的值域为［0,+“），B错误；

对于C,7（尤）的图象没有对称中心，C错误；

对于D,不等式“%）>26，

兀

即xe[bi,—+kn)(keZ)时2tanx>243，得tanx〉6，

兀71

解得—+kji<x<—+kji.k^Z,

32

所以/(x)>2g的解集为(2+防14+版)(左eZ),故D正确.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知关于无的不等式依2+H+CWO的解集为{x|1或*22},则下列说法正确的是（）

A.a>0B.依+c>0的解集为{Tx<2}

C.cd+Z?x+a<0的解集为卜|-1<x<51D.a+b+c<0

【答案】BC

【解析】

【分析】因为不等式ax2+bx+c<0的解集为{xlx<-1或x22},结合不等式解集和韦达定理,可得a<0

b--a

和1c，然后逐个选项代换判断即可.

c=-2a

【详解】因为不等式依2+bx+c<0的解集为{削1或％22},

-1+2=1=--

/7rb=-a

所以avO,,可得<c，

—1x2=—2=£〔。=一2a

、a

则ax+c>0,即OV-2Q>0,得X-2V0,x<2,

又ex2+Zzx+av0化为-lax1-ar+av0，

可得2%2+x—lvO,解得

2

y.a+b+c=a—a—2a=—2a>0,

故A错，B正确，C正确，D错误.

故选：BC

10.下列结论正确的有()

1

A.log58-log25=-_--_-B.log62-log82=log84-log64

iog8yiog9z

b

c.(Ig2)2+21g2-lg5+(lg5)2=1D.若3。=10,log925=0,则log25=——

a-b

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得.

,,ulg8lg531g2c1lg8lg931g2。

【详解】对于A,Iog5o8」og25=^•气=-^=3;1———.息=黄=3,故A正

1g51g2lg2log89-log92lg9lg2lg2

确；

对于B,因为Iog62+log64wlog84+log82,^^log62-log82^1og84-log64,故B不正确；

对于C,(1g2)2+21g2-1g5+(1g5)2=(1g2+1g5)2=(1g10)2=1,故C正确；

fl

对于D,3=10,log925=Z?,贝ija=log310=log35+log32,Z?=log325?=log35,

blog.5[_

~=~~=l°g25,故D正确.

a-blog32

故选：ACD.

11.已知定义在R上的函数/(%)满足了[：—=+且/(—x+1)=—/(%+1),则()

A./(幻的图象关于直线x=」对称

B.7(尤+1)为奇函数

2

C./(%)的最小正周期为4D./(。)=0

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用/[g-=/1+得到函数/(%)的图象关于x=；对称，可判断A；利用/(%)的图象

关于(1,0)对称，可得/(%+1)为奇函数，可判断B；由/—=+和/(—x+l)=—/(x+1)两

者结合即可得到〃x)=/(2+x),可判断C；令x=g，可得〃0)=/⑴=。可判断D.

【详解】对于A,由—=+可知，函数/(%)的图象关于x=；对称，故A正确；

对于B,由/(一%+1)=-/(x+1)可知，函数/(尤)的图象关于(1,0)对称，

则/(%)向左平移一个单位可得/(x+1),所以函数/(九+1)的图象关于(0,0)对称,

所以y（x+i）为奇函数，故B正确;

对于C,由/=+可得：/(1-X)=/(%),

由/(-%+1)=-/(%+1)可得：-f(l+x)=/(x),

所以/(x+l)=—/(2+x),所以/(x)=—/(l+x)=/(2+x),

函数/(九)的周期是2,故C错误；

对于D,函数/(x)的图象关于(1,0)对称，所以/"(1)=0,

再令％=；,可得/（。）=/（1）=0,故D正确.

故选：ABD.

第II卷非选择题（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数y=loga（3-x）+l（a>0,且awl）的图象恒过定点.

【答案】（2,1）

【解析】

【分析】根据对数函数的性质求定点.

【详解】令X=2,则log“l+l=l恒成立，

故函数V=log“（3-x）+l（a>0,且awl）的图象恒过定点（2,1）.

故答案为：（2,1）

13.已知sin（52°-a）=）,且—120°<。<一90°，则sin（38°+a）=,

【答案】—述

7

【解析】

分析】根据平方关系求出cos（52°-a）=-孚，再利用诱导公式求解.

【详解】根据题意，-120°<a<-90\则142。<52°—c<172。,

故答案为：—域

7

CLa、A/3cos2%

14.定义运算：一=。陷4一。33，若/'(%)=，将函数y=/(x)的图象向左平移

%a41sin2x

伙夕>0)个单位长度，得到的函数为偶函数，则夕的最小值为；若尸(x)=/(x)—l在区间(0,。)内

恰好有4个零点，则a的取值范围是.

3兀13兀

【答案】①②-

26

【解析】

【分析】依题意得〃x)=2sin2x-£,根据三角函数的平移变换结合奇函数的性质可得

“1T7T।7T।1

0=-+-,k^Z,即可求出。的最小值；将问题化为Sin2x-二、在(0,。)上恰好有4个解，结合正

23I6J2

1771712571

弦函数性质有上二<2a--<^-即可得结果.

666

【详解】依题意得/(X)=ecos2x=73sin2x-cos2x=2sinf2x--1,

1sin2xI6J

/(x)图像向左平移伙夕>0)个单位得y=2sin2(x+0)-^=2sin12x+2，—2|为偶函数，

所以2夕一二=E+四,左62,所以。=」■+二•次eZ,

6223

7T

因为。>0,所以当左=0时，夕的最小值为鼻.

F(x)=/(%)-1在区间(0,。)内恰好有4个零点，即/(x)=1在区间(0,o)内恰好有4个解,

所以sin[2x-=g在区间(°，。)内恰好有4个解,

JT7T7T

因为0<x<〃，即—<2%—<2d—，

666

LLtr177r人兀/25兀._

所以-^<2。—：解得:

666

7T，3兀13兀

故答案为：一

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知集合4={兀|(%+6)(%-1)\0},3={%|m+l<x<m+6}.

(1)若m=-4,求A|J3；

(2)若XG6是xeA的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

【答案】(1)AoB={x|-6<x<2}

(2){m|-7<m<-5]

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式，根据集合的基本运算可得结果.

(2)根据条件可得8星A,利用集合的基本关系列不等式组可得结果.

【小问1详解】

由题意得，A={x|-6<x<l},

m——4->B={x|-3<%<2},

AuB={x|-6<x<2}.

【小问2详解】

..•%€6是兀€4的充分不必要条件，，5用人，

m+l>—6

,(等号不同时成立)，解得一7<?nW—5,

m+6<l

m的取值范围为{词-7<m<-5}.

16.普洱茶种植历史可追溯到1700多年前，其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐

迩，深受广大消费者青睐.实践表明，该茶用90°C〜95°C的水泡制，等到茶水温度降至60°C时，有最佳

饮用口感.研究发现：茶水温度y(°C)随放置时间x(分钟)的函数关系式为

y^kax+25(左eR,0<a<l,x>0).由测试可知a=0.9,经过1分钟后茶水的温度为88°C.

(1)求常数左的值;

(2)在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(参考数据:

1g3-0.48,1g2®0.30)

【答案】⑴左=70

(2)7.5分钟

【解析】

【分析】(1)代入即可求解，

(2)根据指对互化即可求解.

【小问1详解】

将。=0.9,x=l,y=88代入函数y-kax+25,得88=0.9左+25,

解得左=70,

所以常数左=70

【小问2详解】

由(1)知y=70x0.9*+25,根据题意可知：y=60,

所以60=70*0.9工+25，化简得：0.9*=0.5,

-1g2

将指数式化为对数式x=log。90.5=:,

21g3-l

将题目中的参考数据代入上述对数式，化简得彳=7.5,

所以，在室温下，刚泡的该茶大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.

17.函数f(x)=Acos(ox+。)[A>0,0<(y<l,-^<^<0的部分图象如图所示.

(1)求函数/(x)的解析式及单调递增区间;

4兀

(2)求函数/(%)在xe-7t,—上的值域.

17157t...71.,r

【答案】⑴/(x)=3cos—X---F44兀,F4%兀，2£Z

263----3

3

⑵-5,3

【解析】

【分析】(1)根据三角函数的图象，依次求得的值，从而求得了(力的解析式，利用整体代入法来

求得单调递增区间.

(2)根据三角函数值域的求法来求得正确答案.

【小问1详解】

兀兀11

则一g——=2kn.co=6k+—,k^Z,而OVG<1,所以G=一

3622

171

所以函数解析式为/(x)=3cos—X—

26

|兀

令一兀+2防c<—x——<2防I,keZ,

26

Sir71

所以-----1-4E<x<—+4防i,左£Z.

33

171571兀

综上函数解析式为/(x)=3cos—X---,单调增区间-----b4E,—+44兀，keZ.

2633

【小问2详解】

4TT2T兀T1兀,兀

因为工£一私3-，所以———TX——<—.

3262

|兀

当一元-：=0时有最大值为f3,

26

1jr27r3

/(-7T)</0,所以—%—：二——时有最小值为/(-7l)=—,

2632

4兀3

所以函数/(x)在XC-n,—上的值域为一万,3

2X-a

18.已知定义域为R的函数=是奇函数.

(1)求实数。的值并判断了(%)的单调性(无需证明)；

(2)解关于*的不等式/(4)+/(2—3x2)<0；

(3)当xe(0,2]时，/过1(x)<2x+l恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)a=l,单调递增

(2){x|0<x<l}

(3)(-8,8]

【解析】

【分析】(1)根据奇函数性质以及指数函数单调性即可判断得出结论；

(2)利用指数函数单调性解不等式即可得出结果；

(3)分离参数利用基本不等式计算得出最小值，即可求实数加的取值范围.

【小问1详解】

因为函数/(%)的定义域为R,且为奇函数，

20-a

所以/(°)=37f=0,解得

V.1

此时=经检验满足题意;

V-121+1-22

易知/()=-~-==1———,

X2A+12A+12X+1

由指数函数单调性可判断得于(x)在R上单调递增.

【小问2详解】

因为/(%)是奇函数，

所以/(3x2，—2)=—/(2—3x2"),所以/(4，)</(3x2工—2),

又因为/(X)在R上单调递增，所以4*<3x2*—2，即Q，)2—3x2*+2<0,

解得1<2*<2,0<X<1.

所以不等式的解集&［0<x<l}

【小问3详解】

由题设叩'—°K2*+1在％e(0,2］上恒成立，

2X+1~

因为当xe(0,2］时，2zl〉0,所以加三笆工，

2'+1-2l-1

即机《伍)+2x201在xe(0,2］上恒成立，

-2A-1

令"2—l,fe(0,3],

、几,.(Z+1)2+2(r+l)+lr+4t+4414

设g⑺=-——-----——--=--------=/+-+4>2.?--+4=8,

tttVt

当且仅当f=2时，等号成立；

即g⑺min=gQ)=8,所以实数优的取值范围是(―j8］.

19.如图所示，角终边与单位圆。交于点尸,A(L0),过尸作x轴的垂线，交x轴于〃，过A

作X轴的垂线交射线O