中考数学复习重难点与压轴题型训练：相似三角形的综合问题（学生版+解析）

专题11相似三角形的综合问题

千硝立【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一（双）A字型相似】..................................................................1

【考向二（双）8字型相似】.................................................................3

【考向三母子型相似】.....................................................................5

【考向四旋转相似】.......................................................................7

【考向五K字型相似】.....................................................................11

【直击中考】

【考向一（双）A字型相似】

例题：（2022・上海・九年级专题练习）如图，在0ABe中，点。在边4B上，点£、点/在边AC上，且。E〃

AFAE

BC,

FE~EC

(1)求证：DF//BE-

(2)如且A尸=2,EF=4,AB=6』.求证0ADEEBAE3.

【变式训练】

1.（2022•江苏•九年级专题练习）如图，在中，ZACB=90°,AC=BC=6,。是AB上一点，点E

在BC上，连接CD,AE交于点F若/。石=45。,应＞=24）,则CE=.

2.(2023秋•安徽六安•九年级校考期末)如图，在AABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.求证:

NACB^NAED.

3.(2021秋•山东济宁•九年级校考阶段练习)

RSABC中，NC=9O。，AC=20cm,BC=15cm,现有动点尸从点A出发，沿AC向点C方向运动，动

点。从点C出发，沿线段C2也向点8方向运动，如果点P的速度是4on/s,点。的速度是2c”〃s,它们同

时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为f秒.

(1)求运动3时间为多少秒时，P、。两点之间的距离为10c加？

(2)若A。。的面积为S,求S关于f的函数关系式.

(3)当f为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与AABC相似？

4.(2023•全国•九年级专题练习)如图，AA5c中，点。在AC边上，且NBOC=90。+1.

2

BB

E

(1)求证：DB=AB；

(2)点E在BC边上，连接AE交8。于点尸，且ZAED=ZABC,BE=CD,求—ACB的度数.

(3)在(2)的条件下，若BC=16,△钻尸的周长等于30,求■的长.

【考向二(双)8字型相似】

例题：(2023•全国•九年级专题练习)如图，在菱形ABC。中，0AOE、国。尸分另U交BC、A2于点E、F,

DF交对角线AC于点M,且0AZ)E=EIC。凡

(1)求证：CE=AF；

(2)连接ME,若乌=型，AF=2,求的长.

BECE

【变式训练】

1.(2022春•九年级课时练习)如图，在平行四边形ABC。中，点£是上一点，AE=2ED,连接8E交

AC于点G,延长BE交C。的延长线于点尸，则学的值为(

GF

CIDI

2.(2022春•陕西渭南•八年级统考期末)如图在平行四边形ABC。中，E是的中点，厂是AE的中点,

C尸交BE于点G,若BE=8,贝UGE=

3.(2022秋•北京房山•九年级统考期中)如图，与BC交于。点，ZA=ZC,BO=4,DO=2,AB=3,

求CD的长.

4.(2023秋•安徽六安•九年级校考期末)如图1,在R/fflABC中，a4cB=90。，AC=BC=1,。为A3上一点,

连接C。，分别过点A、B作AN3C。，BMSCD.

(1)求证：AN=CM；

(2)若点D满足BD：AD=2；1,求。/的长；

(3)如图2,若点E为A8中点，连接EM,设s而ENAO=左，求证：EM=k.

5.（2022•广东佛山,校考三模）如图1,AD,3。分别是AABC的内角/A4C、NABC的平分线，过点A作

AE±AD,交3D的延长线于点E.

⑴求证：ZE=1ZC；

（2）如图2,如果AE=AB,且BD：r）E=2:3,求cos/ABC的值；

s

⑶如果/ABC是锐角，且AABC与AADE相似，求/ABC的度数，并直接写出产的值.

【考向三母子型相似】

例题：（2022秋,全国•八年级专题练习）定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足N1=N2,则称

点尸为这个三角形的"理想点".

C

图①图②

⑴如图①，若点。是AABC的边AB的中点，AC=2五,AB=4,试判断点。是不是AABC的"理想点",

并说明理由；

⑵如图②，在RRABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若点D是AABC的"理想点"，求CD的长.

【变式训练】

1.（2022秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考期中）如图，AABC中，点。在45上，/B=2/BCD,若BD=2,

BC=5,则线段C£＞的长为.

2.（2022秋•安徽蚌埠•九年级校考期中）如图，在ABC中，。为BC边上的一点，且AC=2面，CD=4,

BD=2,求证：△ACDH32cA.

3.（2022秋•安徽蚌埠•九年级校考期中）如图，在AABC中，ZACB^9Q°,8为AB边上的高，NABC的

平分线BE分别交CD,AC于点尸，E.

⑴求证：ACBF~^ABE；

⑵若AB=10,BC=6,求VCBb的面积,

⑶若5c=5，请直接写出胃的值为

4.（2022•江苏•九年级专题练习）如图：在矩形A8CD中，AB=6m,BC=8m,动点尸以2m/s的速度从

A点出发，沿AC向C点移动，同时动点。以lm/s的速度从点C出发，沿C3向点8移动，设尸、。两点

移动的时间为/秒（0</<5）.

(1)AP=m,PCm,CQ=m（用含f的代数式表示）

（2）f为多少秒时，以P、。、C为顶点的三角形与AABC相似？

（3）在P、。两点移动过程中，四边形尸与△的面积能否相等？若能，求出此时f的值；若不能,

【考向四旋转相似】

例题：（2022秋•贵州贵阳•九年级校考期中）如图1,在Rt^ABC中，48=90。,48=4,3。=2,点。,E分

别是边8C,AC的中点,连接DE.将ACDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为c.

⑴问题发现

AE

①当2=0。时,

茄

AF

②当夕=180。时，一

BD

⑵拓展探究

试判断当0。＜。＜360。时，窃的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明;

BD

⑶问题解决

当ACDE绕点C逆时针旋转至AB,E三点在同一条直线上时，求线段3D的长.

【变式训练】

1.(2023•浙江宁波•校考一模)如图1,在AABC中，/BAC=90o,AB=6,AC=8,D,E分别是ABIC的

中点.把△友组绕点B旋转一定角度，连结AZ),AE,Cr),CE.

⑴如图2,当线段在内部时，求证：八BAD^ABCE.

⑵当点。落在直线AE上时，请画出图形，并求CE的长.

(3)当AABE面积最大时，请画出图形，并求出此时VADE的面积.

2.（2022•山东枣庄•校考模拟预测）如图1,在等腰直角三角形A£>C中，ZADC=90°,AD=4.点E是AD

的中点，以DE为边作正方形DEFG,连接AG,CE.将正方形DEFG绕点。顺时针旋转，旋转角为a

(00<«<90°).

图1图2图3

⑴如图2,在旋转过程中，

①判断△AGO与△CED是否全等，并说明理由；

②当CE=CD时，AG与EF交于点、H,求G”的长.

（2）如图3,延长CE交直线AG于点P.求证：AG±CP；

3.（2022•山东济南■统考二模）⑴【方法尝试】

如图1,矩形ABPC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90。所得的图形，CB、矶）分别是

它们的对角线.则CB与匹数量关系，位置关系;

（2）【类比迁移】

如图2,在RtAABC和RtaADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AC=9,AB=6,AE=3,AD=2.将AZME绕

点A在平面内逆时针旋转，设旋转角，54E为a（0。We<360。），连接CE,3D.请判断线段CE和3。的

数量关系和位置关系，并说明理由；

—E_______r上

B

CADQ------------A

图1图2

（3）【拓展延伸】

如图3,在Rt/XABC中，ZACB=90°,AB=6,过点A作A尸〃3C,在射线AP上取一点。，连接8,使

得tanZA3“请求线段9的最大值.

C

AB

图3备用图

4.（2023秋・河南南阳•九年级校考期末）如图，将AABC绕点A逆时针旋转a后，AABC与VADE构成位似

图形，我们称AABC与VADE互为"旋转位似图形”.

A

图2图3

⑴知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形—（填"是"或"不是"）"旋转位似图形";

如图1,AABC与VADE互为“旋转位似图形”，

①若e=26°,ZB=100°,ZE=29°,则N3AE=

②若45=6,DE=8,AB=4,贝|3C=_；

⑵知识运用：

如图2,在四边形ABCD中，ZA£)C=90°,AELBD于E,NDAC=NDBC,求证：AACD和互为“旋

转位似图形"；

⑶拓展提高：

如图3,AABC为等腰直角三角形，点G为AC中点，点厂是A3上一点，。是G尸延长线上一点，点E在

线段Gb上，且△ABD与AAGE互为"旋转位似图形"，若AC=6,AD=242,求出DE和的值.

【考向五K字型相似】

例题：(2022•山东济南•山东师范大学第二附属中学校考模拟预测)如图，在MBC中，点。、E分别是边BC、

AC上的点，且/ADE=NB.

⑴如图1,若NB=NC,求证：ABCE=BDCD-,

(2)若AB=8,3C=10,NB=2ZC.

①如图2,当AT)=DE时，求BD的长；

②如图3,当BD=CE时，直接写出8。的长是

【变式训练】

1.(2021秋•湖南永州•九年级校考阶段练习)(1)如图，点C在线段A3上，点DE在直线AB的同侧,

ACAD

ZA=ZDCE=ZB,求证:

BE~BC

(2)如图，点C在线段A3上，点"E在直线A3的同侧，ZA=NDCE=NCBE=90。,ZADC=ZABD,

AC=3,BC=},求tan/CDB的值;

(3)如图，△ABD中，点C在AB边上，且NA£>C=/B,AC=3,BC=可，点E在边上，连接CE,

12BE

ZBCE+ZBAD=180°,CE=y,求而的值.

2.(2022春•全国•九年级专题练习)如图1,在AABC中，ZBCA=^0°,AC=3,BC=4,点尸为斜边A3上一

点，过点尸作射线PDLPE,分别交AC、8C于点。，E.

⑴问题产生团若尸为AB中点，当POLAC,尸ELBC时，—=

⑵问题延伸：在（1）的情况下，将若回。尸E绕着点尸旋转到图2的位置，▼的值是否会发生改变？如果

PE

不变，请证明；如果改变，请说明理由；

⑶问题解决：如图3,连接DE,若△PDE与AABC相似，求3P的值.

3.（2022•山东济南•校考三模）已知AABC中，0ABe=90。，点。、E分别在边8C、边AC上，连接。E,

口ABDE,

DF^DE,点、F、点C在直线。E同侧，连接PC,H.-----=........-k.

BCDF

图4

⑴点。与点3重合时,

①如图1,（=1时,AE和PC的数量关系是，位置关系是

②如图2,左=2时,猜想AE和尸。的关系，并说明理由;

⑵8O=2C。时，

①如图（时,

3,=1若AE=2,SACDF=6,求FC的长度;

②如图4,左=2时,点〃、N分别为功和AC的中点，若A8=10,直接写出MN的最小值.

专题ii相似三角形的综合问题

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目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一（双）4字型相似】.................................................................1

【考向二（双）8字型相似】..................................................................3

【考向三母子型相似】......................................................................5

【考向四旋转相似】........................................................................7

【考向五K字型相似】.....................................................................11

【直击中考】

【考向一（双）4字型相似】

例题：（2022•上海•九年级专题练习）如图，在a48c中，点。在边上，点E、点F在边

AFAE

AC上，且。E〃BC,

FE-EC

（1）求证：DF//BE-

(2)如且AF=2,EF=4,AB=6退.求证EADEEBAEB.

【答案】（1）见详解；（2）见详解

Ar）Ar4/74n

【分析】（1）由题意易得第==，则有〒=言，进而问题可求证；

BDECFEBD

（2）由⑴及题意可知空="=1,然后可得4D=2®,进而可证丝=丝=3，最

BDEF2ABAE3

后问题可求证.

【详解】解：（1）SDE//BC,

ADAE

团----=----,

BDEC

AFAE

团---------，

FEEC

AFAD

0一=

FEBD

^\DF//BE；

(2)财尸=2,EF=4,

ADAF

团由（1）可知,AE=6

BD-EF-2f

她5=6右,

团AD=—AB=2^3,

3

回6_73AD_2A/3_^

AB-6V3-V9V

AEADA/3

1r2a1------=-------=------,

ABAE3

的4二胤4,

^\ADE^\AEB.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•江苏•九年级专题练习）如图，在RtA45C中，ZACB=90°,AC=BC=6,D是AB

上一点，点E在BC上，连接CD,AE交于点R若/3£=45。,3。=24）,则CE=

【答案】2

【分析】过。作D”垂直AC于X点，过。作DG〃AE交BC于G点，先利用解直角三角

形求出8的长，其次利用ACDG^ACB。，求出CG的长，得出BG的长，最后利用

△BDGS.BAE,求出BE的长，最后得出答案.

【详解】解：如图：过。作斯垂直AC于X点，过。作£>G〃AE交8C于G点，

团在RGABC中，AC=BC=6,

团AB=，AC2+BC2=6五,

又回BD=2AD,

团4。=2后，

团在等腰直角三角形中，AH=DH=2,

007=6-2=4,

在及KHD中,CD7cH2+DH?=2后，

团。G〃AE,

国NCFE=/CDG=45。,4=45。，

国NCDG=NB,

又国NDCG=NBCD,

回ACDGS^CBD,

CDCG

0----=-----，

CBCD

ECD2=CGCB,

即20=6CG,

HCG=—,

3

ino

BBG=BC-CG=6——=-,

33

又回。G〃AE,

国ABDGS^BAE,

又国3D=2AD,

BDBG2

团==-9

BABE3

Q

又BG、，

3

国BE=BGx—=4,

2

0CE=6—4=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关

键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案.

2.（2023秋・安徽六安•九年级校考期末）如图，在"LBC中，BD、CE分别是AC、AB边

上的高.求证：7ACBWAED.

E,D

B

【答案】见详解

【分析】先证明AACEsAAgn,即有喋=与，再结合ZA=ZA,即可证明VACBsyAED.

ADAB

【详解】回B。、CE分别是AC、AB边上的高，

^\ZAEC=ZADB=90°,

0ZA=ZA,

0AACES^ABD,

「AEAC

ADAB

又团NA=NA,

^NACB^NAED.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的

关键.

3.（2021秋•山东济宁•九年级校考阶段练习）

RbABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点尸从点A出发，沿AC向点C

方向运动，动点。从点C出发，沿线段CB也向点2方向运动，如果点尸的速度是4cMs,

点。的速度是2CH7/S,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运

动时间为f秒.

（1）求运动时间为多少秒时，P、。两点之间的距离为10cm?

（2）若ACP。的面积为S,求S关于f的函数关系式.

（3）当f为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与AABC相似？

【答案】（1）3秒或5秒；（2）S=（20/-4r2）cm2；（3）r=3或f

【分析】（1）根据题意得到A尸二4和徵，CQ=2tcm,AC=20cm,CP-（20-4/）cm,根据三角形

的面积公式列方程即可得答案；

(2)若运动的时间为ts,则CP=(20-4?)cm,CQ-2tcm,利用三角形的面积计算公式，即

可得出5=20力4尸，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；

(3)分①RfACPQsRtACAB和②RtACPQsRfACBA,利用相似三角形得出比例式,

建立方程求解，即可得出结论.

【详解】(1)解：由运动知，AP=4tcm,CQ=2tcm,

0AC=2Ocm,

团。尸二(20-4/0cm,

在放△CPQ中，

CP2+CQ2=PQ2,

即(20-旬2+⑵)2=1。2；

回2=3秒或，=5秒

(2)由题意得AP=4『，CQ=2tf则CP=20—小，

因此R/ACPQ的面积为S=1x(20-4r)x2r=(20r-4r2)cm2；

(3)分两种情况：

①当氏人才。6尺人■8时，§=詈，即纥史=当解得公3;

CACB2015

②当Rr^CPQs心△CBA时，—=^,即空凸=且，解得:”.

CBCA152011

因此7=3或/=五时，以点C、尸、。为顶点的三角形与AABC相似.

【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

4.(2023•全国•九年级专题练习)如图，AABC中，点。在AC边上，且/BDC=9(T+LZA8。.

2

(1)求证：DB=AB；

(2)点E在8c边上，连接AE交3。于点F,且NAFD=N/WC,BE=CD,求NACB的

度数.

(3)在(2)的条件下，若2c=16,△反/的周长等于30,求AF的长.

【答案】(1)见解析；(2)NACB=60。；(3)AF=11

【分析】(1)根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出NA=ZBDA,

证得r)g=AB；

(2)作CH=BE,连接。X,根据角的数量关系证得/£AC=/C,再由三角形全等判定得

B1BDHB1B1ABE,最后推出前CW为等边三角形，即可得出—ACB=60。；

(3)借助辅助线A。团CE,构造直角三角形，并结合平行线构造&8尸瓦回2。8，建立相应的

等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出A尸的值.

【详解】(1)证明：EB8OC=9O°+；0AB。，^\BDC=SABD+^A,

0她=90。—

00Br>C+0BDA=18O",

00BDA=18OO-0B£)C=9O--1-a4BD.

0EL4=0B£»A=9O°-1-EL4B£).

^DB=AB.

解：(2)如图1,作CH=BE,连接。”，

EEA尸£)=0A8C,B1AFD=BIABD+BIBAE,^ABC^tSABD+lSDBC,

WAE=SDBC.

El由(1)知，^BAD^SBDA,

又EBEAC=E18A。一EIBAE,SC=^ADBSDBC,

00CA£=fflC.

t2L4E=CE.

^\BE=CH,

⑦BE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

朋3=30,

^\BDH^ABE,

@BE=DH.

^\BE=CD9

团CH=DH=CD.

瓯。CH为等边三角形.

函4C3=60°.

(3)如图2,过点A作AO团CE垂足为O.

A

^CAE=^CDH=60°9^AEC=^DHC=60°.

题ACE是等边三角形.

i&AC=CE=AE=x,贝!J5E=16—x,

即汨

^BFE^\BDH.

BFBEEF16—x

团----------

BDBHDH-x

16—Xnc16—X-

0BF=-----BD=-----AB,

16-x（16-xV

EF=-----DH=\-----」

xx

配L4B厂的周长等于30,

即AB+BF+AF=AB+AB+L（--无）二30,

%x

X

解得AB=16一3.

O

在RWCO中，AC=-,40=叵

22

x

团8。=16——.

2

在的480中，AO2+BO2=AB2,

即5犬+116-5：=116-[I

解得玉=0（舍去）%=等.

0AF=11.

【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性

质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三

角形的能力.

【考向二（双）8字型相似】

例题：（2023•全国•九年级专题练习）如图，在菱形ABC。中，MOE、13c刀尸分别交BC、AB

于点E、F,。/交对角线AC于点M,S^DE=^\CDF.

（1）求证：CE=AF；

（2）连接ME,若笠=孚，AF=2,求ME的长.

BECE

【答案】（1）见解析（2）2

【分析】（1）通过已知条件，易证EIAZ）flfflC£）E,即可求得；

（2）根据唾=总，易求得BE和8居根据已知条件可得望=g=坐，证明

BECEBECEAF

^AMF^\CMD,——=——=—,再证明财8C〜回MEC,即可求出ME.

AFAMBE

【详解】解：（1）回四边形A5C。是菱形，

^\AD=CD,国DAF=@DCE,

又回她。£=团。。/，

^1ADE-国EDF=ECDF-团EOR

^\ADF=^\CDE,

在妫。尸和团C。石中，

ZADF=ZCDF

<AD=CD,

ZDAF=ZDCE

^\ADF^\CDE,

^CE—AF.

（2）团四边形ABC。是菱形,

^\AB=BCf

由（1）得：CE=Ab=2,

⑦BE=BF,

设BE=BF=x,

CECD

回AF=2,

~BE~CE

7Y-L?

回4=*,解得了=行-1,

x2

⑦BE=BF=^-T,

CE

回——，＞CE=AF,

BECE

CECDCD

0—=一=一

BECEAF

^CMD^^AMF,^DCM^^AMF,

^BAMFmCMD,

CDCM

0=，

AFAM

CDCMCE

团==且她Cg=SAC。

AFAMBE

的45c〜[WEC,

^\CAB=^CME=BACB,

^\ME=CE=2.

【点睛】本题主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性质，熟练它们的判定和

性质是解答此题的关键.

【变式训练】

1.(2022春•九年级课时练习)如图,在平行四边形ABCD中，点E是A。上一点，AE=2ED，

连接砥交AC于点G,延长的交C。的延长线于点八则票的值为()

C-I»1

【答案】A

【分析】先根据平行四边形的性质得到A8EIC。，则可判断△ABGEECPG,△ABE00DFE,于

是根据相似三角形的性质和AE=2ED即可得结果.

【详解】解：回四边形ABC。为平行四边形,

0A施CD,

m^BG^CFG,

BGAB

0一=——

GFCF

m^BE^DFE,

「AEAB

DEDF

^\AE=2ED,

^AB=2DFf

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握

相似三角形的判定和性质进行解题.

2.（2022春•陕西渭南•八年级统考期末）如图在平行四边形ABC。中，E是的中点，F

是AE的中点，CF交BE于点G,若巫=8,贝IJGE=—.

DEC

【答案】2

【分析】延长CR交于根据已知条件得出CE=《DC,根据平行四边形

的性质得出。CBAB,OC=AB,根据全等三角形的判定得出回CE/迥0M4E根据全等三角形

的性质得出CE=AM,求出BM=3CE,根据相似三角形的判定得出国CEGfflMBG,根据相

似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可.

【详解】解：延长CP、54交于

DE

SE是CD的中点，尸是AE的中点,

0£F=AF,CE=；DC,

团四边形ABCD是平行四边形,

团。CWA3,DC=ABf

[7]CE=yAB,0ECF=[?]M,

在[3CE尸和IWAb中

ZEFC=ZAMF

<ZECF=NM,

EF=AF

mCEF^IMAF(A4S),

^CE=AM,

的0=3CE,

回。CWA5,

瓯"G鼬03G,

CEEG1

0——二

BMBG3

回BE=8,

GE1

S

8—GE3

解得：GE=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三

角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

3.（2022秋•北京房山•九年级统考期中）如图，与BC交于。点，NA=NC,BO=4,

DO=2,AB=3,求CD的长.

【答案】1.5

【分析】由Z4=NC,NAQ5=NCOD可得出利用相似三角形的性质可得

出代入_BO=4,DO=2,AB=3,即可求出CD的长.

【详解】解：财。与5c交于。点,

^\ZAOB=ZCOD.

0ZA=ZC,

0小AOBsqjD.

ABBO

回一=

CD~DO

回80=4,00=2,AB=3,

ECE>=1.5.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例

列式.

4.(2023秋•安徽六安•九年级校考期末)如图1,在RZBABC中，0ACB=9O°,AC=BC=1,

。为48上一点，连接C。，分别过点4、2作AA0C£>,BM5\CD.

(1)求证：AN=CM；

(2)若点D满足BD：AD=2：1,求。M的长；

(3)如图2,若点E为AB中点，连接EM,设$讥回乂4。=匕求证：EM=k.

图1图2

【答案】(1)见解析；(2)35；(3)见解析

15

【分析】(1)证明朋(A4S),由全等三角形的性质得出AN=CW；

(2)证明0ANZ)回SBM。，由相似三角形的性质得出处=生=42=2，设AN=x,则3M

BMDMBD2

=2x,由(1)知AN=CM=x,BM=CN=2x,由勾股定理得出％=当，则可得出答案；

(3)延长ME,A7V相交于点用证明ELVffiEBBME(A4S),得出证得HN=MN,

过点E作EG0BM于点G,由等腰直角三角形的性质得出答案.

【详解】(1)证明：EAW3CD,BMB\CD,

EBANC=90°,WMC=9Q°,

又EAC2=90°,

^EACN+^BCM=BBCM+SCBM=9Q°,

SSACN^CBM,

又a4c=BC,

0BACA00CBM(4AS),

0AN=CM；

(2)解：^EAND^SBMD,SADN=SBDM,

mAND^iBMD,

回-A-N----D-N---A--D——1

BM~DM~BD2'

设AN=x,则8M=2x,

由(1)知A7V=CM=x,BM=CN=2x,

^AN2+CN2=AC2,

*+⑵)2=12,

Br=—,

5

EICM=立，CN=地，

55

0W=亚，

5

SDM=-MN=-x—=^-;

33515

(3)解：延长ME,AN相交于点X,

图2

SE为AB的中点，

^\AE—BE,

00AW=9O°,回BMN=90°,

mHAE=^\MBE,^AHE=^\BME,

(AAS),

^AH=BM,

又喇f=CN,CM=AN,

团CN=A”,

⑦MN=HN,

团团HMN=45°,

回的08=45°,

过点E作EG02M于点G,

^\sin^\NAD=kfIWLD=团EBG,

FG

^sin^EBG=—=k,

BE

又0AC=3C=1,

(ZL45=y/2,，

0BE=—,

2

^EG=—k,

2

0£A/=5/2EG=-J2x^-k=k.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等

腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的

判定与性质是解题的关键.

5.(2022•广东佛山•校考三模)如图1,AD,8。分别是AABC的内角/BAC、NABC的平

分线，过点A作AELAD,交的延长线于点E.

⑴求证：ZE=1ZC；

(2)如图2,如果AE=AB,且3O:Z)E=2:3,求cosNABC的值；

⑶如果/ABC是锐角，且AABC与AADE相似，求—ABC的度数，并直接写出乎况的值.

»AASC

【答案】⑴见解析

(暇

(3)30°,2-相或45。，2-72

【分析】(1)由题意：ZE=900-ZADE,证明ZA£>E=9(T-；NC即可解决问题.

(2)延长AD交3C于点尸.证明AE〃3C,可得N?WE=NE4D=90。，—,由

AEDE

BFBF2

BD:DE=2:3,可得cosNA5C=——=——=-.

ABAE3

(3)因为AABC与AADE相似，ZDAE=90°,所以/ABC中必有一个内角为90。因为/ABC

是锐角，推出NABCW90。.接下来分两种情形分别求解即可.

【详解】(1)证明：如图1中，

图1

■：AE^AD,

:.ZDAE=90°,ZE=900-ZADE,

•.•AD平分NBAC,

ZBAD=-ABAC,同理ZABD=-ZABC,

22

ZADE=ZBAD+ZDBA,ABAC+ZABC=180°-ZC,

ZADE=1(ZABC+ABAC)=90°-1zC,

ZE=90°-(90°--ZC)=-ZC.

22

(2)解：延长AD交3C于点F.

图2

-.-AB=AE,

:.ZABE=ZE,

班平分/ABC,

:.ZABE=ZEBC,

:.ZE=ZCBE,

：.AE//BC,

BF_BD

:.ZAFB=ZEAD=90°,

AE-DE

­,BD:DE=2:3,

;.8sZABC=^=吧q

ABAE3

(3)•••AABC与A4DE相似，ZDAE=90°,

：./ABC中必有一个内角为90。

•/NABC是锐角,

.\ZABC^9O0.

①当NB4C=ND4E=90。时，

ZE=-ZC,

2

/.ZABC=ZE=-ZC

2f

QZABC+ZC=90°,

/.ZABC=30°,止匕时1^=2—

3AABC

②当NC=NZME=90。时，ZE=1ZC=45°,

:.ZEDA=45°,

•.■AABC与AADE相似，

:.ZABC=45°,此时设小=2一四.

综上所述，ZABC=30°,乎里=2一8.ZABC=45°,当造=2一0.

^AABC

【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质,

锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

【考向三母子型相似】

例题：（2022秋•全国•八年级专题练习）定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足

Z1=Z2,则称点P为这个三角形的"理想点".

⑴如图①，若点D是“1BC的边AB的中点，AC=2五,AB=4,试判断点。是不是“LBC

的"理想点"，并说明理由；

⑵如图②，在HAABC中，NC=90。，AB=5,AC=4,若点。是44BC的"理想点”，求

CD的长.

【答案】⑴。为AABC的理想点，理由见解析

129

”或I

\rAD

【分析】(1)由已知可得去=黑，从而AACDSAABC,ZACD=ZB,可证点。是AABC

ADAC

的“理想点”；

(2)由。是AABC的"理想点"，分三种情况：当。在AB上时，CO是A3边上的高，根据

面积法可求CD长度；当。在AC上时，ABOC-AABC,对应边成比例即可求CD长度；。不

可能在BC上.

(1)

解：点。是AABC的"理想点”，理由如下：

•.■。是AB中点，AB=4,

:.AD=BD=2,ADAB=8,

AC=20，

AC2=8,

AC2=ADAB,

,ACAB

"AC'

•.•ZA=ZA,

:.AACD^AABC,

ZACD=NB,

.・.点。是AABC的"理想点”；

(2)

①。在A3上时，如图：

•.•。是AABC的"理想点”，

ZACD=ZB或ZBCD=ZA,

当NACD=/3时，

ZACD+ZBCD=90°,

:./BCD+ZB=90°,

:.ZCDB=90°,即C£＞是AB边上的高,

当N3CL>=NA时，同理可证/CDB=90。，即8是AB边上的高,

在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,

BC=ylAB2-AC2=3,

=-ABCD=-ACBC,

MBC22

:.CD=g

②•.♦AC=4,BC=3,

:.AC>BC^ZB>ZA,

；・"理想点”。不可能在BC边上,

③。在AC边上时，如图：

•.•。是AABC的"理想点”,

:.ZDBC=ZA,

又NC=NC,

ABZX?^AABC,

129

综上所述，点。是AABC的"理想点"，。的长为三或二.

54

【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解"理想点”的定义.

【变式训练】

1.（2022秋,黑龙江哈尔滨•九年级校考期中）如图，AABC中，点。在A3上，=2/BCD,

若瓦＞=2,BC=5,则线段CD的长为.

B

D

C

【答案】V14

【分析】延长CB到E,使BE=BD,连接DE,可得等腰右3田和等腰ACED,CD=ED,

再证明AEDB〜AECD,利用相似三角形对应边成比例即可求出ED.

【详解】解：如图所示，延长CB到E,使3E=BD,连接DE,

团NE=NEDB

回ZDBC=2/BCD,NDBC=ZE+/EDB,

冷E=NDCB=ZEDB,

团AEDB〜皿D,CD=ED

EDEBED2

E一=一，BRnP------=一

ECED2+5ED

解得：ED=CD=M，

故答案为：A/14.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系

①构造等腰ABED和②构造等腰AC£D是解题关键.

2.（2022秋・安徽蚌埠•九年级校考期中）如图,在A4BC中，。为8c边上的一点,且AC=276，

CD=4,BD=2,求证：△AC。团团3cA.

【答案】证明见解析.

【分析】根据AC=2指，0=4,BD=2,可得三=三，根据回CWC,即可证明结论.

nCAC

【详解】解：a4c=2"，cr>=4,BD=2

cAC2娓迷CD4屈

BC4+23AC2V63

ACCD

回一=

BCAC

团团。二团C

^EACDSSBCA.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，