压轴题：几何背景下的线段最值问题（3题型+解题模板+技巧讲义）含解析

压轴题解题模板03

几何背景下的线段最值问题

题型解读

题型解读：下图为二次函数图象性质与几何问题中各题

线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题型的考查热度.

的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多

考试热度

综合考查垂线段最短、”将军饮马”及旋转最值问

题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似

三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及

数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想.

此类题型常涉及以下问题：①线段和差最值问

题；②尺规作图问题；③旋转“费马点”问题；④

点到直线的距离最值问题等.

题型一垂线段最短问题

解题模板:

根据条件判断该题为垂线段最短模型

判断模型

利用模型技巧构造垂线段，确定动点位置

作垂线段

根据已知条件或勾股定理列式计算

列式计算

技巧精讲：垂线段最短模型

模型问题情境图示技巧

已知直线1外一定点A和直线1上A

过点4作48JJ于点BfAB即为所求距离

垂线段最短一动点&求4,8之间距离的最小

入的最小值

值B'BB"

A

已知44。8的内部有一定点P,在*作点P关于直线OB的对称点P',过点P'

作对称+垂线段最短OA上找一点M,在OB上找一点N,作P，MJ.O4于点M,与。8相交于点N,

0^-B

使得PN+MN的值最小P'M即为所求的最小值

【例1】如图，在RtZkABC中，ZBAC=90°且A3=3,AC=4,点。是斜边3c上的

一个动点，过点。分别作DM，A3于点“，DNLAC于点N,连接MN,则线段MN的

最小值为（）

A.工B.9C.3D.4

52

【变式1-1】如图，在Rtz\ABC中，ZC=90°,AD是NA4c的平分线，点E是A3上

任意一点.若CD=5,则DE的最小值等于（）

A.2.5B.4C.5D.10

【变式1-2］如图，在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点，点P是AC

边上一个动点，连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最

小值是（）

C.V2D.|

题型二将军饮马问题

解题模板:

根据条件判断该题为“将军饮马"模型

判断模型

利用模型技巧作对称点并连线，确定动点位置

作对称点

根据已知条件或勾股定理列式计算

列式计算

技巧精讲:

1、“将军饮马”模型

模型问题情境图示技巧

已知直线1异侧的两定点4&在直A

线1上找一点尸,使得PA+PB的值连接AB与直线l交于点PfAB即为所求的最小值

最小、B

“两定一动”

已知直线1同侧的两定点4,8,在直A

\/严作点B关于直线1的对称点"，连接4"与直线1

线1上找一点P,使得+P8的值

1交于点匕4*即为所求的最小值

最小夕

P：

已知440B内部有一定点P,在04分别作点P关于直线。4。8的对称点P',尸'，连接

“一定两动”上找一点M,在0B上找一点N,使P'P',交0A,0B于点片即为APM/V周长

得的周长最小()A的最小值

APM/V

P"

模型问题情境图示技巧

已知4408内部有两个定点P,Q,分别作P,Q关于直线0A,0B的对称点P',Q',连

“两定两动”在04上找一点M,在0B上找一点Ji接P'Q',分别交0A,0B于点M,N,PQ+PQ的值

M使得四边形PQNM的周长最小0N'AB即为四边形PQNM周长的最小值

Q,

A

已知之间的距离为d,将点4向下平移d个单位长度到点4',连接4'B交

在上分别找两点，使得4人1_I直线4于点M过点N作NM_U|于点M,4'B+

N、’2

MNJ.I,,S.AM+MN+NB的值最小MN即为所求的最小值

B

“架桥”问题已知直线/同侧的两定点A,B,在直将点A向右平移d个单位长度到点4',作点A'关

线,上找两点（M在N左侧），B于直线1的对称点4",连接*B交直线/于点N,将

I

使得MN=d,且AM+MN+NB的值点N向左平移d个单位长度到点M,A"B+MN即

最小A"为所求的最小值

2、线段差最大值问题模型:

模型问题情境图示技巧

已知直线，同侧的两定点48,在直A

连接4B并延长，与直线/交于点P,48即为所求的

同侧线1上找一点P,使得1P4-PB1的7

最大值

值最大X

已知直线/异侧的两定点4,B,在直A

作点B关于直线/的对称点8',连接并延长与

异侧线/上找一点P,使得IP4-PBI的7F'I

r直线1交于点P,AB，即为所求的最大值

值最大B

【例2】（德州中考）如图，正方形A3CD的边长为6,点E在3c上，CE=2.点M是

对角线3。上的一个动点，则£M+C般的最小值是（）

B.3遥C.2V13D.4后

【变式2-1］（苗泽中考）如图，在菱形A3CD中，AB=2,ZABC=60°,般是对角线

则的最小值为（)

C.V3D.2

【变式2-2］如图，等腰三角形A3C的底边长为6,腰AC的垂直平分线ER分别交

边AC,A3于点E,F,。为3c边的中点，M为线段ER上一动点，若△CDM的周长的

最小值为13,则等腰三角形ABC的面积为（）

【变式2-3】已知点尸在ZMON内.

(1)如图①，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H,连接OG、OH、OP、CH.

①若/MON=30。，则OGH是什么特殊三角形？为什么？

②若/MQV=90。，试判断G//与OP的数量关系，并说明理由；

(2)如图②，若/MON=30。，A、3分别是射线OM、ON上的点，ABLON于点3,点P、

。分别为。A钿上的两个定点，且QB=L5,。尸=42=2,在08上有一动点E,试求PE+QE

的最小值.

【变式2-4](2023•山东日照•统考中考真题)如图，矩形ABC。中，A3=6,AD=8,点P

在对角线8。上，过点尸作肱交边AD,3c于点M,N,过点“作MELAD交8。

于点E,连接EN,BM,DN.下列结论：①EM=EN；②四边形网©的面积不变；③当

96

AM:MD=1:2时，SE=石；④囱"肱V+ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号

是.

题型三旋转最值问题

解题模板:

根据条件判断该题为旋转最值模型

判断模型

利用已知条件寻找共端点的相等线段

根据模型技巧进行旋转作图

旋转作图

借助几何关系或勾股定理列式计算

列式计算

技巧精讲：旋转求最值模型

类别问题情境图示技巧.

A

已知a/iBc内部有一点p,连接将△4PC绕点C顺时针旋转60。,得到△EOC,连接

“费马点”问题PA,PB,PC,求PA+PB+PC日PO,BE,当8,P,0,E四点共线时,P4+PB+PC取

最小值k得最小值，最小值为BE

Bc

已知在四边形ABPC中，PB=将AABP绕点P顺时针旋转a得到连接

三角形三边

PC,AB=a,AC=b,LBPC=a,A4',当4,C"'三点共线时,AT的值最大，此时4P

关系问题

求4尸的最大值产的值最大

p

【例3】（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点后

为高上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到CP.连接AF,EF,DF,

则一CD尸周长的最小值是

【变式3-1】如图，在,ABC中，/C4B=90。，AB=AC=1,P是,ABC内一点，求以+尸3+尸。

的最小值为

p.

【变式3-2］如图，已知矩形A3CD,AB=4,3c=6,点/为矩形内一点，点E为3c

边上任意一点，则M4+MD+ME的最小值为

【变式3-3］如图，正方形"CD的边长为4,点P是正方形内部一点，求PA+2PB+有PC

的最小值.

强化训练

一、单选题

1.如图，YABCD的面积为12,AC=BD=6,AC与8D交于点。.分别过点C,。作3D,

AC的平行线相交于点F点G是O的中点，点P是四边形OCO边上的动点，则尸G的

D.3

2.已知在HACB中，ZC=90°,ZABC=75°,AB=5.点E为边AC上的动点，点/为边钻

上的动点，则线段FE+E5的最小值是（）

A.孚B.1C.75D.73

二、填空题

3.如图，P是菱形A3CD对角线3。上一点，于点E,PE=4cm,则点P到3C

的距离是cm.

4.如图，在二ABC中，NC=90o,AC=3C=6.p为边48上一动点，作尸口，5c于点D,PELAC

于点E,则DE的最小值为.

5.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=30°AC=4,按下列步骤作图：①在AC

和48上分别截取AD、AE,使=②分别以点。和点E为圆心，以大于;DE的长

为半径作弧，两弧在-R4c内交于点③作射线AM交BC于点H若点P是线段所上

的一个动点，连接CP,则CP+：A尸的最小值是.

A

'E

CF'B

6.菱形A3CD的边长为2,/ABC-45。，点P、Q分别是BC、BO上的动点，CQ+PQ的最

7.如图，在RtA4BC中，ZACB=90,AC=3C,点C在直线肱V上，NBCN=6。，点P为

AW上一动点，连接AP,BP.

(I)使AP+的取最小值的动点尸的位置在点C的侧.(填“左”或“右”).

(II)当AP+族的值最小时，请直接写出NCBP的度数..

三、解答题

8.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1,点A的坐标为(-2,3).点3

(1)作出ASC关于y轴对称的A'B'C',其中4,B',。分别是A,B,C的对应点;

(2)写出。的坐标；

⑶在x轴上找一点P,使得依+尸4的值最小.(保留作图痕迹)

9.如图1：正方形"CD的边长为3,E是直线AD上一动点，连接CE,在CE的右侧以C

为直角顶点作等腰直角三角形ECP,连接BE,DF.

图1图2

⑴当点E在线段AD上运动时，试判断3E与D尸的数量关系，并说明理由.

⑵当A£：=2ED时，求。尸的长.

(3)如图2,连接3凡则BE+3R的最小值为.

10.ABC中，48=60。.

图1图2

⑴如图1,若AC>3C,CD平分/ACB交AB于点O,且">=也加>.证明：ZA=30°；

(2)如图2,若AC<BC,取AC中点E,将CE绕点C逆时针旋转60。至CP,连接3尸并延长

至G,使BF=FG,猜想线段A3、BC、CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,若AC=3C,尸为平面内一点，将S3尸沿直线翻折至—AB。，当

BP

3AQ+2BQ+V13C2取得最小值时，直接写出亍的值.

11.如图，△ABC中，NR4C=45°,A3=6,AC=4,P为平面内一点，求20BP+非AP+3PC

最小值

12.在正方形ABCD中，点E为对角线AC(不含点A)上任意一点，AB=20；

(1)如图1,将^ADE绕点D逆时针旋转90。得到△DCF,连接EF；

①把图形补充完整(无需写画法)；②求所2的取值范围;

(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值.

图1图2

压轴题解题模板03（解析版）

几何背景下的线段最值问题

题型一垂线段最短问题

【例1】如图，在Rt^ABC中，NA4c=90°且AB=3,AC=4,点。是斜边3C上的

一个动点，过点。分别作DM,A3于点DNLAC于点N,连接MN,则线段MN的

最小值为（）

52

【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形DM4N是矩形，可得MN=AD,根据

垂线段最短和三角形面积即可解决问题.

【解答】解：'：ZBAC=90°,且R4=3,AC=4,

*'-BC=VBA2+AC2=5,

:DMLAB,DN±AC,

：.ZDMA^ZDNA=ZBAC=90°,

四边形。跖4N是矩形，

：.MN=AD,

...当AOLBC时，AO的值最小，

此时，/XABC的面积=1A3XAC=23CXA。，

22

，但ABXAC上,

BC5

...MN的最小值为理；

5

故选：A.

【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式1-1】如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AD是N3AC的平分线，点E是A3上

任意一点.若CD=5,则DE的最小值等于（）

D

AEB

A.2.5B.4C.5D.10

【分析】根据角平分线的性质即可得到即可，

【解答】解：当时，DE的值最小，

:A。是NB4c的平分线，ZC=90°,CD=5,

...DE的最小值=CD=5,

故选：C.

【点评】本题考查的是角平分线性质，关键是知道垂线段最短，本题比较典型，难度适

中.

【变式1-2］如图，在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点，点P是AC

边上一个动点，连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最

小值是（）

B.1C.V2D1

如图，CD的上方，作等边ACDM,连接PM,过点M作MHLCB于H.

ADPQ,4DCM都是等边三角形

.,.ZCDM=ZPDQ=60°

.*.DP=DQ,DM=DC,

，ADPM^ADQC（SAS）,

.*.PM=CQ.

...PM的值最小时，CQ的值最小，

当PM±MH时，PM的最小值=«1=表1）=1

ACQ的最小值为1故选:B.

题型二将军饮马问题

【例2】（德州中考）如图，正方形A3CD的边长为6,点E在3c上，CE=2.点、M是

对角线3。上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）

A.6^2B.3遥C.2^/13D.4713

【分析】要求ME+MC的最小值，ME、不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME,

的值，从而找出其最小值求解.

【解答】解：如图，连接AE交3。于M点，

VA.C关于3。对称，

：.AE就是ME+MC的最小值，

•.•正方形ABCD中，点E是上的一定点，且CE=6-2=4,

•*-AE=4铲+42—2>/13，

：.ME+MC的最小值是2g.

【点评】本题主要考查的是轴对称--路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，

明确当点A、M、E在一条直线上时，ME+M4有最小值是解题的关键.

【变式2-1］（荷泽中考）如图，在菱形A3CD中，AB=2,ZABC=60°,M是对角线

3。上的一个动点，CF=BF,则MA+MR的最小值为（)

C.V3D.2

【分析】当昭4+MF的值最小时，A、M、R三点共线,即求AR的长度，根据题意判断

△ABC为等边三角形，且尸点为3c的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度

即可.

【解答】解：当A、M,尸三点共线时，即当M点位于时，的值最小,

由菱形的性质可知,

AB=BC,

又•.♦NABC=60°,

△ABC为等边三角形,

•万点为5C的中点,AB=2,

：.AF±BC,CF=FB=1,

在RtAABF中，AF=^AB2_Bp2=如.

故选：C.

【点评】本题考查最短路线问题、等边三角形的性质和菱形的性质，确定的4+敏的最

小值为AF的长度是关键.

【变式2-2］如图，等腰三角形A3C的底边长为6,腰AC的垂直平分线ER分别交

边AC,A3于点E,F,。为3c边的中点，M为线段ER上一动点，若的周长的

最小值为13,则等腰三角形ABC的面积为（)

B.39C.42D.30

【答案】D

【详解】如图，连接A。，交EF于点M.

:AABC是等腰三角形，。是边的中点，/.AD±BC,CD=^BC=3.7所是线段

AC的垂直平分线，

•:点C关于直线EF的对称点为人AM=CM,.：此时△CDM的周长最小，

.：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13,.：AD=13-CD=13-3=10,.".SAABC=^

BCAD=-x6xl0=30.

2

【变式2-3】已知点P在ZMON内.

（1）如图①，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H,连接OG、OH、OP、CH.

①若/MON=30。，则OGH是什么特殊三角形？为什么？

②若/MQV=90。，试判断G//与OP的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若/MON=30。，A、3分别是射线0河、ON上的点，ABLON于点3,点P、

。分别为。AAB卜.的两个定点，且0B=L5,OP=AQ=2,^OB上.有一动点E,试求a+QE

的最小值.

【答案】⑴①OGH是等边三角形，理由见解析；②GH=2OP，理由见解析

⑵PE+QE的最小值为5.

【分析】（1）①由轴对称的性质可得。尸=OG=OH,ZPOM=ZGOM,ZPON=ZHON.根

据“有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，，即可得出QG"是等边三角形；②当

/MON=90。时，ZGOH=180°,G、。、“在同一直线上，由此可得G”与OP的数量关系；

（2）过。作ON的对称点Q',连接PQ',交ON于点E,连接，则PE+QE的最小值为尸。，

由已知条件可得NOAB=60。，易得AP=5,AQ=5,由此可得是等边三角形，即可

得PQ'的长，即尸E+QE的最小值.

【详解】（1）解：①OG。是等边三角形，

点P关于OM对称的点为G,

：.OP=OG,ZPOM=Z.GOM,

同理O尸,ZPON=ZHON,

：.OG=OH,

'：/MON=30。，

/.NGO〃=60。，

OGH是等边三角形.

@GH=2OP,

当/MON=90。时，ZGOH=180°,

：.G.。、H在同一直线上，OP=OG=OH.

'：GH=OG+OH=2OC,

：.GH=2OP-

(2)解：过。作ON的对称点。，连接PQ',交ON于点E,连接。E,

：.PE+QE最小值为尸Q'.

VZMON=30°,ZABO=90°,

：.ZOAB=60°.

•：AQ=OP=2,QB=1.5,

：.AB=3.5,

：.OA=2AB=7,

，AP=5.

:点。与。'关于ON对称，

QB=Q'B=1.5,

/.AQ'=5,

△AP。是等边三角形，

:.PQ'=5,

即PE+QE的最小值为5.

【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性

质.熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的

关键.

【变式2-4]（2023•山东日照•统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P

在对角线8。上，过点尸作肱交边AD,3C于点N,过点“作交8。

于点E,连接EN,BM,DN.下列结论：①EM=EN；②四边形胸D的面积不变；③当

96

3:MD=1:2时，SAMPE=—.,④3M+肱V+ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号

是.

【答案】②③④

【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP=PN,可以判断①；利用相似和勾股定理

可以得出血）=10,MN*,,利用S四边形MBND=；MNxJB。判断②；根据相似可以得到

"[MT，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④。

>DABVBDJ

【详解】解：•；EM=EN,MN1BD,

：.MP=PN,

在点尸移动过程中，不一定MP=PN,

相矛盾，

故①不正确；

延长ME交BC于点”,

则为矩形，

•*-BD=y/AB2+AD2=762+82=10

*：ME±AD,MN工BD,

：./MED+ZMDE=ZMEP+/EMN=90。,

：.ZMDE=ZEMN,

：.MHNsDAB,

.MHHNMN

**AD-AB-?

口口6HNMN

即一二^=——，

8610

g15

解得：HN=W，MN=—,

•••S四边形MBND=SBMN+$.=gMNxBP+gMNxDP=^MNxBD=xlO=得

乙乙乙乙乙乙

故②正确；

ME//AB,

/./\DME^ADAB,

.MEMD2

**AB-AD-3?

/.ME=4,

VZMDE=ZEMN,ZMPE=AA=90°,

：._MPEs&DAB,

.S小便E)2二4

••s。”[BD)259

44196

••SMPE.DAB"六X5X6X8=——,

故③正确，

BM+MN+ND=BM+ND+—,

2

即当M8+A©最小时，BM+ACV+A©的最小值，作3、。关于短)、3c的对称点4、R,

9

把图1中的CR向上平移到图2位置，使得CD=5,连接与2,即4A为MB+A©的最小值,

7

则AC=8A=],即=12,

这时B}DX={BD：+BB：=J]]+12?=y,

即BM+MV+A©的最小值是20,

故④正确；

故答案为：②③④

【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的

判定和性质是解题的关键.

题型三旋转最值问题

【例3】（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E

为高瓦）上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到CP.连接"，EF,DF,

则..CD9周长的最小值是.

BC

【答案】3+3^/373+3

【分析】根据题意，证明C3E四。进而得出F点在射线"上运动，作点C关于"的

对称点C"连接DC,设CC交AF于点0,则/AOC=90。，则当D£C‘三点共线时，FC+FD

取得最小值，即尸C+QnkC+PDnCZy,进而求得C3,即可求解.

【详解】解：•二£为高3。上的动点.

/.ZCBE^-ZABC^30°

2

：将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.ABC是边长为6的等边三角形,

CE=CF,ZECF=ZBCA=60°,BC=AC

CBE—CAF

：.ZCAF=ZCBE=30°,

尸点在射线"上运动,

如图所示，

作点C关于"的对称点C,连接DC,设CC交"于点。，则-4OC=90。

在RtAOC中，ZCAO=30°,贝l]CO=；AC=3,

则当三点共线时，尸C+FD取得最小值，即/C+FD=9C+bD=CD

<?CC'=AC=6,ZACO=NC'CD,CO=CD

：.ACO^.C'CD

：.ZC'DC=ZAOC=90°

在.C'DC中，C'D=7CC,2-CD2=V62-32=373,

/..CDF周长的最小值为CD+FC+CD=CD+DC=3+343,

故答案为：3+35

【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角

形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解

题的关键.

【变式3-1】如图，在.ABC中，ZCAB=90°,A5=AC=1,P是.ABC内一点，求Bl+PB+PC

的最小值为

【分析】将△APC绕点C顺时针旋转60。得4DFC,可得PC=PF,DF=AP,^PA+PB+PC

转化为FD+BP+PF,此时当3、P、F、。四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值

为3。的长；根据勾股定理求解即可.

【详解】解：将△APC绕点。顺时针旋转60。得△DRC,连接PR、AD,DB,过点。作

DELBA,交BA的延长线于点E；

：.AP=DF,ZPCF=ZACD=60°,PC=FC,AC=CD,

:.APCF、△AC。是等边三角形，

：.PC=PF,AD=AC=\,ZDAC=60°

PA+PB+PC=FD+BP+PF,

.•.当3、P、F、。四点共线时，PA+P3+PC的值最小，最小值为3。的长；

VZCAB=90°,ZCAD=6O°,

：.ZEAD=3Q°,

：.DE=-AD=-,

22

：.AE=>JAD2-ED2=—,

2

，BE=\+—,

2

，BD=^BE2+DE2="+3,

2

PA+PB+PC的值最小值为近上交.

2

故答案为：近±2.

2

&

【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将AAPC绕点C顺时针旋转60。得△£>",

将三条线段的长转化到一条直线上.

【变式3-2］如图，已知矩形A3CD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为3c

边上任意一点，则M4+MD+ME的最小值为.

A,D

BIEFIC

【答案】4+3g

（分析】将^AMD绕点A逆时针旋转60。得到△AM'D',则MD=MD,△AMM'

均为等边三角形，推出可得共线时最短；

由于点E也为动点，可得当。时最短，此时易求得DE=DG+GE的值；

（详解］解：将^AMD绕点A逆时针旋转60。得到△AM'D',

由性质的性质可知：MD=M'D',和△AW均为等边三角形，

：.MA+MD+ME^D'M+MM'+ME,

：.D'M.MM\ME共线时最短，

由于点E也为动点，

，当D'ELBC时最短，此时易求得D'E=D'G+GE=4+373

：.MA+MD+ME的最小值为4+3若，

故答案为：4+3石

【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属

于中考填空题中的压轴题.

【变式3-3］如图，正方形ABC。的边长为4,点尸是正方形内部一点，求PA+2P3+五PC

的最小值.

【答案】4痴

【分析】延长DC到H,使得C"=2BC=8,则BH=46，在NCB”的内部作射线即，使

得NPBJ=NCBH，使得BJ=4BP,连接PJ,JH,AH.先证明△/BPs/^c,可得PJ=2PB,

再证明APBCSAJBH,可得：HJ=&c,从而得至1」出+228+石/^=/>4+尸/+924”,

计算出的长度即可.

【详解】解：延长。C至U5,使得CH=25C=8,则BH=4石，在NCBH的内部作射线刃,

使得NPBJ=NCBH,使得BJ=麻P,连接夕，JH,AH.

•PB_BJ

一BC~BH

：.JBPsHBC,

ZBPJ=ZBCH=90°,

PJ=NBJ?-PB?=yj(y[5PB)2-PB2=2PB,

PBBC

ZPBC=ZJBH,——=——

BJBH

PBCs^JBH,

下

•.•PC—PB—,

JHBJ5

:.HJ=yf5PC

PA+2PB+75PC=PA+PJ+HJ,

PA+PJ+JH>AH,

PA+2PB+75PC>V42+122=4710,

.•.尸4+2尸3+舟。的值最小，最小值为4M.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的

性质，，正确理解费马点问题，禾烟相似构造2所与«PC,根据系数将图形扩大或缩小

构建图形是解决问题的关键.

强化训练

一、单选题

1.如图，YABCD的面积为12,AC=BD=6,AC与交于点O.分别过点C,。作8。，

AC的平行线相交于点孔点G是。的中点，点尸是四边形OCM>边上的动点，则PG的

A.1B.也C.-D.3

22

【答案】A

【分析】先证明OC=OD,四边形OCFD是菱形，如图，连接OF,GP,而点6是8的

中点，可得G为菱形对角线的交点，OFLCD,当GPLCF时，GP最小，再利用等面积

法求解最小值即可.

【详解】解：,•,YABCD,AC=BD=6,

.,.YABCD是矩形，

OC=OD,

'：OC//DF,DO//CF,

...四边形0cM>是菱形，

如图，连接OF,GP,而点6是。。的中点，

...G为菱形对角线的交点，OF1CD,

.,.当GPLCF时，G尸最小，

：YABCD即矩形ABCD的面积为12,AC=BD=6,

OC=OD=3,S.D=；X12=3,

••S菱形0cm=2sOCD=6,

•V_1-3

.•3CGF_WX6_5，

由菱形的性质可得：CF=3,

13

/.-x3xGP=-,

22

：.GP=1,即GP的最小值为1.

故选A

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂

线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键.

2.已知在放/CB中，ZC=90°,ZABC=75%AB=5.点E为边AC上的动点，点歹为边AB

上的动点，则线段FE+E5的最小值是（）

A.亭B.|C.75D.石

【答案】B

【分析】作点R关于直线A3的对称点F,如下图所示，止匕时跳再由点

到直线的距离垂线段长度最短求解即可.

【详解】解：作点/关于直线A3的对称点E，，连接NF,如下图所示：

由对称性可知，EF=EF),

止匕时EF+EB=EF'+EB,

由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，

当「时，EF+EB有最小值BFo,此时E位于上图中的Eo位置，

由对称性知，ZCAFo=ZBAC=900-75°=15°,

：.ZBAFo=3Q°,

由直角三角形中，30。所对直角边等于斜边的一半可知，

BFo=1AB=^x5=|,

/22

故选：B.

【点睛】本题考查了30。角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题

的核心思路是作点/关于AC的对称点，将ER线段转移，再由点到直线的距离最短求解.

二、填空题

3.如图，P是菱形A3CD对角线3。上一点，PELAB于点E,PE=4cm,则点P到3C

的距离是cm.

【答案】4

【分析】利用菱形对角线平分一组对角，得到3。平分NA3C,再利用角平分线的性质

可得P到BC的距离为4cm.

【详解】根据菱形对角线平分一组对角，

.•.5。平分NABC,

:•P到BC的距离=P到AB的距离，

到A3的距离为PE的长，即为4cm,

到3c的距离为4cm,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了菱形的性质和角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.

4.如图，在aASC中，NC=90o,AC=8C=6.p为边A3上一动点，作3c于点£>,PEVAC

于点E,则DE的最小值为.

【答案】3亚

【分析】连接CP,利用勾股定理列式求出43,判断出四边形CDPE是矩形，根据矩形的

对角线相等可得DE=CP,再根据垂线段最短可得CP,9时，线段DE的值最小，然后根

据直角三角形的面积公式列出方程求解即可.

【详解】解：如图，连接CP,

•*-AB=7AC2+BC2=A/62+62=6拒，

•；PD_LBC于点D,PELAC于点E,ZACB=90°,

•••四边形CDPE是矩形，

/.DE=CP,

由垂线段最短可得“，他时，线段CP的值最小，此时线段DE的值最小,

止匕时，S^ABC=^AC-BC=^AB-CP,

代入数据：，|x6x6=|x6-\/2xCP

CP=3亚,

...DE的最小值为34,

故答案为：34.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CPLAB

时，线段DE的值最小是解题的关键.

5.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,按下列步骤作图：①在AC

和A8上分别截取AD、AE,使=②分别以点。和点E为圆心，以大于的长

为半径作弧，两弧在/BAC内交于点③作射线4W交BC于点色若点P是线段AF上

的一个动点，连接CP,贝IJCP+^AP的最小值是.

【答案】26

【分析】过点P作于点Q,过点。作于点H,先利用角平分线和三角形

的内角和定理求出/BAF=30。，然后利用含30。的直角三角的性质得出尸。=；AP,则

CP+^AP=CP+PQ>CH,当C、P、Q三点共线，且与48垂直时，最小，CP+^AP

最小值为CH,利用含30。的直角三角的性质和勾股定理求出AB,BC,最后利用等面积

法求解即可.

【详解】解：过点尸作于点Q,过点C作C"J_A3于点H,

由题意知："平分/BAC,

VZACB=90°,ZABC=30°,

•IZBAC=6D°,

/.ZBAF=-ABAC=30°,

2

/.PQ=^AP,

：.CP+^AP=CP+PQ>CH,

...当C、P、。三点共线，且与A3垂直时，最小，CP+；AP最小值为S,

VZACB=90°,ZABC=3Q°,AC=4,

/.AS=2AC=8,

BC=y/AB2-AC2=473，

S=-ACBC=-ABCH,

,AABHCC22

・ACBC4x46

••CH----------=---------=2^/^,

AB8

即CP+；AP最小值为26.

故答案为：2省.

【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知

识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法.

6.菱形A3CD的边长为2,/ABC-45。，点P、Q分别是BC、8。上的动点，CQ+PQ的最

小值为.

【答案】亚

【分析】过点C作CELA3于E,交BD于G,根据轴对称确定最短路线问题以及垂线

段最短可知CE为RG+CG的最小值，当尸与点R重合，。与G重合时，PQ+QC最小，

在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，过点C作CELAB于E,交3。于G,根据轴对称确定最短路线问

题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点f重合,Q与G重合时,PQ+QC

最小，

菱形ABCD的边长为2,XABC=45°,

.'.RtBEC中，EC=—BC=42

2

・•・PQ+QC的最小值为近

故答案为：72

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段

和的最小值是解题的关键.

7.如图，在RtA4BC中，ZACB=9Q,AC=BC,点C在直线初V上，/BCN=6Q,点P为

MN上一动点，连接针，BP.

（I）使AP+3尸取最小值的动点P的位置在点C的侧.（填“左”或“右”）.

（II）当AP+3P的值最小时，请直接写出NCB尸的度数..

【答案】左15。/15度

【分析】本题考查了求将军饮马问题，轴对称的性质，等