中考数学复习：相似图形

中考数学专题复习相似图形

［基础知识回顾】

一、成比例线段：

1、线段得比：如果选用同一长度得两条线段AB,CD得长度分别为m、n则这两条线段

AB

得比就就就是她们得比，即：7^=

a

2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果7=b--那么四条线段叫做同比例线段，简称

ac

3、比例得基本性质：-b=—d<=>----

4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线

【提醒：表示两条线段得比时，必须使示用相同得,在用了相同得前提下，两条线

段得比值与用得单位无关即比值没有单位。】

二、相似三角形：

1、定义:如果两个三角形得各角对应各边对应那么这两个三角形相似

2、性质:⑴相似三角形得对应角对应边

⑵相似三角形对应点得比、对应角平分线得比、对应得比都等于

⑶相似三角形周长得比等于面积得比等于

1、判定:⑴基本定理:平行于三角形一边得直线和其她两边或两线相交，三角形与原三角形

相似

⑵两边对应且夹角得两三角形相似

⑶两甭得两三角形相似

⑷三组对应边得比得两三角形相似

【名师提醒:1、全等就就是相似比为得特殊相似

2、根据相似三角形得性质得特质和判定，要证四条线段得比相等，一般要先

证判定方法中最常用得就就是三■组对应边成比例得两三角形相似多用在

点三角形中】

三、相似多边形：

1、定义：各角对应各边对应得两个多边形叫做相似多边形

2、性质：⑴相似多边形对应角对应边

⑵相似多边形周长得比等于面积得比等于

【名师提醒：相似多边形没有专门得判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定

义进行判定】

一、位似：

1、定义:如果两个图形不仅就就是而且每组对应点所在直线都经过那么这

样得两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为

2、性质:位似图形上任意一点到位似中心得距离之比都等于

【名师提醒:1、位似图形一定就就是图形,但反之不成立，利用位似变换可以将一个

图形放大或

2、在平面直角坐标系中，如果位似就就是以原点为位似中心，相似比位r,那么位

似图形对应点得坐标得比等于或】

【典型例题解析】

考点一:比例线段

例1如图，已知△ABC,AB=AC=1,NA=36°,NABC得平分线BD交AC于点D,则

AD得长就就是,cosA得值就就是、（结果保留根号）

考点:黄金分割；相似三角形得判定与性质;锐角三甭函数得定义、

分析:可以证明AABCs^BDC,设AD=x，根据相似三角形得对应边得比相等,即可列出方

程，求得x得值；A过点D作DELAB于点E,则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA得

值、

点评:AABC、ABCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间得数量关系；在求

cosA时，注意构造直角三甭形，从而可以利用三角函数定义求解、

对应训练

2、如图，在AABC中,AB=AC,ZA=36°,BD平分/ABC交AC于点D,若AC=2,则

AD得长就就是（）

A、旦B、县口C、V5-1D、75+1

22

考点二:相似三角形得性质及其应用

例2已知△ABCs^DEF,Z\ABC得周长为3,ZXDEF得周长为1,则ABC与ADEF

得面积之比为、

对应训练

2、已知△ABCS/XA'B'C',相似比为3:4,AABC得周长为6,则AA'B'C’得周

长为、

考点三：相似三角形得判定方法及其应用

例3如图，在正方形ABCD中,E就就是CD得中点，点F在BC上，且FC=4BC、图中

相似三角形共有（）

A、1对B、2对C、3对。D、4对

考点：相似三角形得判定;正方形得性质、

例4⑴如图（1），正方形AEGH得顶点E、H在正方形ABCD得边上，直接写出HD:GC:EB

得结果（不必写计算过程）;2©）将图（1）中得正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2）,

求HD:GC:EB；

(1)⑵

考点：相似三甭形得判定与性质；全等三角形得判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;正方

形得性质、

对应训练

3、如图，AABC组4ADE且/ABC=/ADE,/ACB=NAED,BC、DE交于点O、则下

列四个结论中，①=N2;②BC=DE;③△ABDS^ACE;④A、O、C、E四点在同一

个圆上，一定成立得有（）

A、1个。B、2个C、3个。D、4个

考点:相似三角形得判定;全等三角形得性质；圆周角定理、

4、在锐角AABC中,AB=4,BC=5,/ACB=45°,将AABC绕点B按逆时针方向旋转，得到

△AiBG、A（1）如图1,当点G在线段CA得延长线上时，求NCCiAi得度数衿（2）如图2,

连接AAi,CCi、若AABAi得面积为4,求aCBCi得面积；

（3）如图3,点E为线段AB中点，点P就就是线段AC上得动点，在AABC绕点B按逆时针方

向旋转过程中，点P得对应点就就是点Pi,求线段EP］长度得最大值与最小值、

考点:相似三角形得判定与性质;全等三角形得判定与性质;旋转得性质、

专题:几何综合题、

分析：⑴由由旋转得性质可得：NAiCiB=NACB=45°,BC=BC1,又由等腰三甭形得性

质，即可求得/CCA得度数；

⑵由△ABC四△A|BG,易证得△ABAiS△CBC1,然后利用相似三角形得面积比等于相似比

得平方，即可求得ACBCi得面积；

(3)由①当P在AC上运动至垂足点D,△ABC绕点B旋转，使点P得对应点巳在线段AB

上时,EP1最小，②当P在AC上运动至点C,AABC绕点B旋转，使点P得对应点P।在线段AB

得延长线上时,EP1最大，即可求得线段EP】长度得最大值与最小值、

解答：解:⑴由旋转得性质可得:NAjC|B=NACB=45°,BC=BCj,A二/CGB=/C£B=4

5°,、、…(2分)

.-.ZCCjA^ZCC1B+ZAiC1B=45°+45°=90°、

*(2)-/AABC^AA1BCi,

.-.BA=BA1,BC=BCi,ZABC=ZAiBC1,

BABA.L

——=—,/ABC+/ABCi=/AiBCi+NABG/ZABAj=ZCBCb

BCBC}

.'.△ABA^ACBCis

C

SAABA1=4,AS△cBci=—-；A

4

(3)①如图1,过点B作BD±AC,D为垂足,

A

C(PJ

.「△ABC为锐角三甭形，二图2*点D在线段AC上,

在RtABCD中,BD=BCXsin45°=-72,A当P在AC上运动与AB垂直得时

2

候,4ABC绕点B旋转，使点P得对应点Pi在线段AB上时,EPi最小，最小值为:EP】=BPi

-BE=BD-BE=-V2-2;A②当P在AC上运动至点C,AABC绕点B旋转，使点P得对应

2

点Pi在线段AB得延长线上叱EPi最大，最大值为:EPi=BC+BE=2+5=7、

点评:此题考查了旋转得性质、相似三角形得判定与性质、全等三角形得判定与性质以及三

角函数得应用、此题难度较大，注意数形结合思想得应用,注意旋转前后得对应关系、

考点四:位似

例5如图,正方形ABCD得两边BC,AB分别在平面直角坐标系得x轴、y轴得正半轴上,

正方形A'B'C'D'与正方形ABCD就就是以AC得中点O'为中心得位似图形，已知

AC=30，若点A'得坐标为（1,2）,则正方形A'B'C'D'与正方形ABCD得相似比就就

是（）

考点：位似变换；坐标与图形性质、

分析:延长A'B'交BC于点E,根据大正方形得对角线长求得其边长，然后求得小正方形

得

对应训练

5、如图,正方形0ABe与正方形ODEF就就是位似图形,O为位似中心，相似比为1:0,

点A得坐标为（1,0）,则E点得坐标为（）

A、（夜，0）（|,1）C、（血,0）D、Q，2）

考点:位似变换;坐标与图形性质、

【聚焦中考】

1、已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,沿AE将AABE向上折叠，使B点落在

AD上得F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）

考点:相似多边形得性质;翻折变换（折叠问题）、

2、如图，在直角坐标系中，矩形OABC得顶点。在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上,

如果矩形OA'B'C与矩形OABC关于点。位似，且矩形OA'B'C'得面积等于矩形O

£

ABC面积得4,那么点B'得坐标就就是（）

A、（-2,3）B、（2,-3）。C、（3,—2）或（一2,3）。D、（-2,3）或（2,-3）

门Av

C~

B\----------6

考点:相似多边形得性质;坐标与图形性质、

BF

3、在菱形ABCD中,E就就是BC边上得点，连接AE交BD于点F,若EC=2BE，则FD得

值就就是（）

1

1117

A、一B、一C、一D、3

234

考点:相似三角形得判定与性质;菱形得性质、

4、为了测量被池塘隔开得A,B两点之间得距离，根据实际情况,作出如图图形，其中AB1B

E,EF±BE,AF交BE于D,C在BD上、有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,

ZACB;②CD,/ACB,NADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC、能根据所测数据，求出A,B

间距离得有()

A、1组B、2组。C、3组。D、4组F

考点：相似三角形得应用;解直角三角形得应用、

5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC得顶点坐标分别为(4,0),(8,2),(6,4)、已知△AiB£i

得两个顶点得坐标为(1,3),(2,5),若AABC与AAiBiC1位似，则△A】B〔C1得第三个顶

考点:位似变换;坐标与图形性质、

6、如图，在边长为1得小正方形组成得网格中，AABC和4DEF得顶点都在格点上,Pi,Pz,

P3,P4,P5就就是4DEF边上得5个格点，请按要求完成下列各题：

⑴试证明三甭形4ABC为直角三角形；

⑵判断4ABC和ADEF就就是否相似，并说明理由；

(3)画一个三角形，使她得三个顶点为R,P2,P3,P4,P5中得3个格点并且与△ABC相似(要求:

用尺规作图，保留痕迹,不写作法与证明)、

考点:作图一相似变换;勾股定理得逆定理;相似三角形得判定、

【备考真题过关】

一、选择题

b_5a-b

1、已知a13,则“得值就就是()

2、如图，AABC为等边三角形，点E在BA得延长线上，点D在BC边上，且ED=EC、若4A

BC得边长为4,AE=2,则BD得长为（）

A、2B、3C、6D、6+1

3、如图,在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD得各边上,

EF//AC//HG,EH//BD//FG,则四边形EFGH得周长就就是（）

A、M713C、2MDs2岳

考点:平行线分线段成比例;勾股定理;矩形得性质、

4、小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图,甲图中得线段AB在乙图中得对应线段就

,一一•"•»，**>-rwr—*'

就是（）甲图7,图A

A、FGB、FHC、EHD、EF

考点:相似图形、

5、如图,六边形ABCDEFs六边形GHIJKL,相似比为2:1,则下列结论正确得就就是（）

A、/E=2/K

B、BC=2HI

C、六边形ABCDEF得周长=六边形GHIJKL得周长

6、下列4X4得正方形网格中,小正方形得边长均为1,三角形得顶点都在格点上，则与AABC

相似得三角形所在得网格图形就就是（）

7、如图，点D在AABC得边AC上,要判定4ADB与AABC相似,添加一个条件，不正确得就

就是（）

ABCBADAB

A、ZABD=ZCB、ZADB=ZABCC、——=——D、

BDCD-AC

考点:相似三角形得判定、

AE1

8、如图，在△ABC中，EF//BC,EB2,S四边衫BCFE=8,则S/\ABC=（

A、9B、10。C、12。D、13

考点:相似三角形得判定与性质、

£

9、如图，在四边形ABCD中,DC//AB,CB±AB,AB=AD,CD=2AB,点E、F分别为AB、

AD得中点，则AAEF与多边形BCDFE得面积之比为（）

考点:相似三角形得判定与性质;三角形得面积；三角形中位线定理、

10、（2012•钦州）图中两个四边形就就是位似图形，她们得位似中心就就是（）

A、点M。B、点NC、点OD、点P

11、如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将AABO扩大到原来得2倍，得到

△A'B'O、若点A得坐标就就是（1,2）,则点A'得坐标就就是（）

C、(-2-4)D、(-2-1)

考点:位似变换;坐标与图形性质、

二、填空题

14、正方形ABCD得边长为lcm,M、N分别就就是BC、CD上两个动点，且始终保持

AM_LMN,当BM=cm时，四边形ABCN得面积最大，最大面积为

cm?、

考点:相似三角形得判定与性质;二次函数得最值;正方形得性质、

15、如图Q为矩形ABCD得中心，M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON±OM,若AB=6,AD

=4,设OM=x,ON=y,则y与x得函数关系式为。

考点:相似三甭形得判定与性质；矩形得性质、

16、如图，E就就是口ABCD得边CD上一点，连接AE并延长交BC得延长线于点F,且AD=4,

CE1

AD

3，则CF得长为

考点：相似三角形得判定与性质；平行四边形得性质、

1人如图，在边长相同得小正方形组成得网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形得顶点上,AB、

CD相交于点P,则tanZAPD得值就就是、

考点:相似三甭形得判定与性质；勾股定理;锐角三甭函数得定义、

18、如图，利用标杆BE测量建筑物得高度，标杆BE高1、5m,测得AB=2m,BC=l4cm,

则楼高CD为m、

19、如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处得运动员林丹把球从N点击到了对方内得B点,

已知网高OA=1、52米,OB=4米,OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面得距离NM=

米、

RO"

考点:相似三角形得应用、

20、如图,小明同学用自制得直甭三角形纸板DEF测量树得高度AB,她调整自己得位置，设法

使斜边DF保持水平，并且边DE与点B