中考数学二轮复习压轴题：二次函数图象性质与几何问题（含答案）

压轴题解题模板01二次函数图象性质与几何问题

题型解读

二次函数图象性质与几何问题在中考中常下图为二次函数图象性质与几何问题中

常作为压轴题出现，多考查二次函数与几何图形各题型的考查热度。

的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊

考试热度

三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，

以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思

想。此类题型常涉及以下问题：

①求抛物线、直线的解析式；

②求点的坐标、线段长度、图形面积；

③探究几何图形的存在性问题或周长、面积

的最值问题。

题型一二次函数与最值问题

解题模板:

根据条件设出合适的解析式，再代入坐标求解

根酶件判断是线段最值问题还颗长最值问题

根据上一步条件进行构图并确定动点位置

KU用距离公式或二次函数性质列式计算

【例1】(2023•枣庄节选)如图，抛物线-炉+法+c经过A(-1,。)，c(0,3)两点,

并交x轴于另一点3,点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若点”是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求的最小值;

【变式1-1](2023•内蒙古节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+ox+c与x轴

的交点分别为A和3(1,0)(点A在点3的左侧)，与y轴交于点C(0,3),点P是直

线AC上方抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,过点尸做x轴平行线交AC于点E,过点尸做y轴平行线交x轴于点。，求

PE+PD的最大值及点P的坐标；

【变式1-2](2023•眉山)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+Z?x+c与x轴交于点A(-

3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的表达式;

(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接3P交AC于点。，如图1,当里的值最

DB

大时，求点P的坐标及曲的最大值；

DB

【变式1-3](2023•西宁)如图，在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点A(6,0),与y

轴交于点3(0,-6),抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=l.

(1)求直线/的解析式；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点尸是直线/下方抛物线上的一动点，过点尸作PCLx轴，垂足为C,交直线1于

点。，过点尸作垂足为求的最大值及此时尸点的坐标.

题型二二次函数与图形面积问题

【例2】(2023•娄底)如图，抛物线丁=尤2+法+。过点A(-1,0)、点3(5,0),交y轴于

点C.

(1)求0,c的值.

(2)点P(xo,yo)(O<xo<5)是抛物线上的动点.当xo取何值时，△PBC的面积最大?

并求出△P3C面积的最大值;

【变式2-1](2023•怀化)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线丁二④^+法-8与x轴

交于A(-4,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;

(2)点尸为第三象限内抛物线上一点，作直线AC,连接以、PC,求△%C面积的最大值

及此时点P的坐标；

【变式2-2](2023•安徽)在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线丁=以2+笈(。老0)

经过点A(3,3),对称轴为直线x=2.

(1)求a,b的值；

(2)已知点3,。在抛物线上，点3的横坐标为/，点C的横坐标为什1.过点3作x轴

的垂线交直线于点。，过点C作x轴的垂线交直线于点E.

(z)当0<f<2时，求△03。与AACE的面积之和；

(")在抛物线对称轴右侧，是否存在点3,使得以3,C,D,E为顶点的四边形的面积为3?

~2

若存在，请求出点3的横坐标f的值；若不存在，请说明理由.

【变式2-3](2023•辽宁阜新•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数

丁=-/+笈一的图象与天轴交于点4(-3,0)和点以1,0),与y轴交于点C.

图1图2

(1)求这个二次函数的表达式.

⑵如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC：y=x+3交于点。，若点M是直线AC上方抛物

线上的一个动点，求面积的最大值.

【变式2-4](2023・湖南•统考中考真题)如图，二次函数y=/+bx+c的图象与x轴交于A,B

两点，与，轴交于C点，其中3(1,0),C(0,3).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在二次函数图象上是否存在点P,使得S=SAABC?若存在，请求出尸点坐标；若不存在,

请说明理由；

题型三二次函数与图形判定问题

类型一与特殊三角形相关

解题模板:

根据条件设出合适的解析式，再代入坐标求解

利用图形的判定方法确定动点轨迹并作图

根据动点位置设出坐标，利用公式表示线段长度或点的坐标

根据图形特点进行分类讨论并列式计算

技巧精讲：

1:动点构成特殊三角形的作图方法

类别问题情境图示作图方法

“两圆一线”

已知定点力津和直线在/①以点A为圆心、线段AB长为半径作圆；

zfil

等腰三角形上找一点P,使得△P/W为②以点B为圆心、线段AB长为半径作圆；

等腰三角形③作48的垂直平分线

P\匕大p/

---'

“两线一圆”

...

已知定点4,8和直线，，在Z①过点4作48的垂线；

直角三角形上找一点P,使得为②过点B作/的垂线；

直角三角形③以线段AB为直径作圆

1

ptp;hp2

2.动点构成特殊三角形的分类讨论方法（情景同上）

类别性质分类讨论列式计算

①以2为顶角，则48=4P；（DAB2=AP2；

等腰三角形等腰三角形有两边相等②以为顶角，则B4=BP；®BA2=BP2；

③以4P为顶角，则P4=PB®PA2=PB2

①当心A4B=90°时；（DAB2+4产二BP2；

直角三角形直角三角形有一个角为90。,且三边满足勾股定理②当N48P=90。时；（2）AB2+BP2=4尸；

③当N4PB=90。时③4"+BP2=AB2

若题目考查动点构成等腰直角三角形，则先对顶点进行分类讨论，再根据等腰直角三角形的性质，将几何和代数方

说明

法相结合求解即可

【例3】(2023•随州节选)如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线丁=加+乐+<:过点A(-

1,0),B(2,0)和C(0,2),连接3C,点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过

点P作PN±x轴交直线3C于点交x轴于点N.

(1)直接写出抛物线和直线3C的解析式;

(2)如图2,连接。当△OCM为等腰三角形时，求相的值;

（图1）（图2）

【变式3-1](2023•恩施州节选)在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点，已知抛物线y=

-尹+6x+c与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B.

(1)如图，若A(0,遥)，抛物线的对称轴为x=3.求抛物线的解析式，并直接写出y

》«时》的取值范围；

(2)在(1)的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当APBC为等

边三角形时，求点P,C的坐标；

【变式3-2](2023•益阳)在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=a(x+2)(a>0)与x轴交

于点A,与抛物线E：yuqx2交于3,C两点(3在C的左边).

(1)求A点的坐标；

(2)如图1,若3点关于x轴的对称点为9点，当以点A,B1,C为顶点的三角形是

直角三角形时，求实数。的值；

类型二与特殊四边形相关

技巧精讲：

1.动点构成特殊四边形的作图方法

类别问题情境图示作图方法

p____。___.p

已知平面内不共线的4,B,C三点，求一\Z\/①过点c作4B的平行线CP1,CP,；

“三定一动”问题点P,使得4,B,C,P四个点构成平行四②过点4作BC的平行线APt,AP2；

边形\/③过点B作4c的平行线8Pz,BP,

\/①将4B上下左右平移，确定点P,Q的

已知平面内两点4,8,求两点P,Q,使A位置；

“两定两动”问题

得4,&P,Q四个点构成平行四边形V,'N②取4B的中点，旋转经过中点的直线确定

点P,。的位置

2.动点构成特殊四边形的分类讨论方法（情境同上）

类别分类讨论列式计算

①以4B为对角线；

■孙+%B=%C+孙，②凌4+%C=48+%2，③%+盯=xB+xc,

“三定一动”问题②以4c为对角线；

.力+y=y+%;x+yc=y«+%；

BcJA+%=yB+yc

③以4P为对角线

①以AB为对角线；

X+XX+XX

%+&=x+与，②AP~B+%Q,c%Q=B+孙，

P③

“两定两动”问题②以4P为对角线；,

.YA+y«=yp+y(>;•M+yp=y+yi%+为=y«+%

③以AQ为对角线BQ

若题目考查动点构成菱形、矩形、正方形，则作图方法与平行四边形类似，要注意根据特殊四边形的性质排除不

说明

符合的图形,最后根据特殊四边形的性质求出点的坐标

【例4】（2023•自贡）如图，抛物线y=-4r+bx+d与x轴交于A（-3,0）,3两点，与y

3

轴交于点C.

（1）求抛物线解析式及3,C两点坐标；

（2）以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标;

【变式4-1](2023•巴中)在平面直角坐标系中，抛物线丁=加+法+。(aWO)经过点A(-1,

0)和3(0,3),其顶点的横坐标为1.

(1)求抛物线的表达式.

(2)若直线关=m与关轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点当机取何值时，使

得AN+MN有最大值，并求出最大值.

(3)若点P为抛物线y=ax2+》x+c(aWO)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单

位长度后，Q为平移后抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点是否能与A、P、

。构成平行四边形？若能构成，求出。点坐标；若不能构成，请说明理由.

【变式4-2](2023•锦州)如图，抛物线尸-依r+fec+c交x轴于点A(-1,0)和3,交y

轴于点C(0,3我)，顶点为D

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7遥，求点E

的坐标；

(3)在(2)的条件下，若点R是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧

的抛物线上是否存在点G,使以点E,F,G,"为顶点的四边形是菱形，且NERG=60°,

如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.

【变式4-3](2022•黔西南州)如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4,0)的直线A3与

y轴交于点3(0,4).经过原点。的抛物线y=-N+Ax+c交直线A3于点A,C,抛物线

的顶点为。.

(1)求抛物线y=-j^+bx+c的表达式；

(2)M是线段A3上一点，N是抛物线上一点，当〃丁轴且MN=2时，求点”的坐标；

(3)尸是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,Q为顶

点的四边形是矩形？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

强化训练

一、解答题

1.(2023•辽宁•统考中考真题)如图，抛物线y=。％2+日久+。与》轴交于点4和点8(3.0),

与y轴交于点C(0,4),点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作PE1%轴于点E,交BC于

点、F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当4BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；

(3)当点P运动到抛物线顶点时，点。是y轴上的动点，连接BQ,过点3作直线，1BQ,连

接QF并延长交直线，于点当BQ=BM时，请直接写出点的坐标.

2.(2023・湖南张家界•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a/+

+c的图象与x轴交于点4(—2,0)和点B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点。为线段上

的一动点.

(1)求二次函数的表达式;

(2)如图1,求△a。。周长的最小值；

(3)如图2,过动点D作DPII2C交抛物线第一象限部分于点P,连接P4PB,记4。2。与4PBD

的面积和为S,当S取得最大值时，求点尸的坐标，并求出此时S的最大值.

3.(2023・四川凉山•统考中考真题)如图，已知抛物线与％轴交于4(1,0)和B(—5,0)两点，与y轴

交于点C.直线y=-3%+3过抛物线的顶点P.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若直线％=m(-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.

①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；

②当△£1/(7是等腰三角形时，求点E的坐标.

4.(2023・重庆•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12+匕％+。与％轴交

于点4B,与y轴交于点与其中B(3,0),C(0,-3).

⑴求该抛物线的表达式；

(2)点P是直线2C下方抛物线上一动点，过点P作PD12C于点D,求PD的最大值及此时点P的

坐标;

⑶在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与

y轴交于点F,Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以QF为腰的是

等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.

5.(山东东营•统考中考真题)如图，抛物线y=a%2+b%—3(ar0)与x轴交于点2(—1,0),

点B(3,0),与丁轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）在对称轴上找一点Q,使AZCQ的周长最小，求点。的坐标；

（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点”是对称轴左侧抛物线上的一点，当^PMB是以PB为

腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点”的坐标.

6.（西藏•统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线-/+桁+。与％轴交于A,3两

点.与y轴交于点C且点A的坐标为（-1,0）,点C的坐标为（0,5）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图（甲）.若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线的距离最大时，

求点P的坐标；

（3）图（乙）中，若点”是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点“使

得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点”的坐标；若不存在,

请说明理由.

7.(辽宁阜新.中考真题)如图，二次函数y-x2+bx+c的图象交x轴于点2(-3,0),5(1,0),

交y轴于点C.点P(m,0)是x轴上的一动点，PM1%轴，交直线AC于点M,交抛物线于点

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)①若点P仅在线段4。上运动，如图1.求线段MN的最大值;

②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱

形.若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

压轴题解题模板01二次函数图象性质与几何问题(解析版)

题型一二次函数与最值问题

［例1］(2023•枣庄节选)如图，抛物线y=-f+fec+c经过A(-1,0),C(0,3)两点,

并交x轴于另一点3,点“是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点。.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值；

【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；

(2)利用待定系数法可得直线AM的解析式为y=2x+2,进而可得。(0,2),作点。关

于x轴的对称点(0,-2),连接M,D'H,MH+DH=MH+D'H^D'M,即

的最小值为M,利用两点间距离公式即可求得答案；

【解答】解：(1):抛物线丁=-/+fec+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，

・f_l_b+c=0

*Ic=3'

解得：］b=2,

Ic=3

•••该抛物线的表达式为y=-f+2x+3；

(2)9•*y=~X2+2X+3=-(x-1)2+4,

・•・顶点M(1,4),

设直线AM的解析式为尸质+d,则|k+d=4,

I-k+d=O

解得：］k=2,

Id=2

/.直线AM的解析式为y=2x+2,

当x=0时，y=2,

：.D(0,2),

作点。关于x轴的对称点》(0,-2),连接力M,D'H,如图，

y

A/0：/HBx

D

则H,

：.MH+DH=MH+D'H^D'M,即MH+DH的最小值为£>'M,

"：D，M=V(1-0)2+(4+2)2=f

：.MH+DH的最小值为何；

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质,

轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用

分类讨论思想是解题的关键.

【变式1-1](2023•内蒙古节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-R+bx+c与％轴

的交点分别为A和3(1,0)(点A在点3的左侧)，与y轴交于点C(0,3),点尸是直

线AC上方抛物线上一动点.

(D求抛物线的解析式；

(2)如图1,过点P做x轴平行线交AC于点E,过点P做y轴平行线交x轴于点D,求

PE+PD的最大值及点尸的坐标；

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)先求直线AC的解析式，设P(/,-t2-2Z+3),则。(/,0),E(---23-人2什3),

可得PD+PE=-2(什$)2+理，当t=-$时，PD+PE取最大值毁，此时尸(-巨，生_)；

4848416

【解答】解：(1)把3(1,0),C(0,3)代入y=-f+fec+c得：

f-l+b+c=0

1c=3，

解得[b=2

1c=3

抛物线的解析式为y=-d-2x+3；

(2)在y=-x2-2x+3中，令y=0得0=-x2-2x+3,

解得x=-3或x=l,

AA(-3,0),

由A(-3,0),C(0,3)得直线AC解析式为y=x+3,

设P(3---2什3),则。(/,0),E(-F-23-户-27+3),

：.PD+PE=-t2-2t+3+(-尸-2/)-t=-2t2-5t+3=-2(什$)2+^-,

48

：-2<0,

当t=-2时，PD+PE取最大值理，

48

此时P(--,更)；

416

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是

解题的关键.

【变式1-2](2023•眉山)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+Z?x+c与x轴交于点A(-

3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接3P交AC于点。，如图1,当里的值最

DB

大时，求点P的坐标及型的最大值；

DB

【分析】(1)运用待定系数法，将点A(-3,0),B(1,0),C(0,3)代入丁=依2+法+的

即可求得抛物线的解析式；

(2)运用待定系数法可得直线AC的解析式为y=x+3,过点P作「£〃》轴交直线AC于

点、E,设P(K-P-2什3),则石(-P-2tf-t2-2%+3),可得PE=-I2-2t-t--P-

3t,由PE//x轴，得AEPDs^ABD,进而得出电=患=一1-此=(什旦)2+9，

DBAB44216

再运用二次函数的性质即可求得答案；

【解答】解：(1)•.•抛物线yuaf+bx+c与％轴交于点A(-3,0),B(1,0)两点，与y

轴交于点C(0,3),

9a-3b+c=0

a+b+c=0，

c=3

a=-l

解得：4b=-2，

c=3

・•・该抛物线的解析式为y=-％2-2x+3；

(2)设直线AC的解析式为丁=履+〃，则-3k+n=0,

ln=3

解得：。=1,

ln=3

直线AC的解析式为y=x+3,

过点尸作。石〃了轴交直线AC于点E,如图，

PE=-t2-2t-t=-t1-3t,

,：A(-3,0),B(1,0),

.,.AB=1-(-3)=4,

,.•PE〃x轴，

:.AEPDs丛ABD,

•PD=PE

'*DB而'

9

.♦.电包=_1(什旦)2+_9_；

DB44216

:-1<0,

4

.•.当r=-旦时，里的值最大，最大值为_L,此时点尸的坐标为(-旦，生)；

2DB1624

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，

几何图形与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一

问推出为解题关键.

【变式1-3](2023•西宁)如图，在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点A(6,0),与y

轴交于点3(0,-6),抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=l.

(1)求直线/的解析式；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点P是直线/下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C,交直线1于

点。，过点P作尸垂足为求的最大值及此时P点的坐标.

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；

(2)根据抛物线的对称轴是直线x=l,可设y=a(x-1)2+k,利用待定系数法即可求得

答案；

(3)由NPCA=90°,ZOAB=45°,可得NPDM=NADC=45°,利用解直角三角形可

得PM=®PD,设点PG,I/2-1r-6),则。(3-6),可得PD=/-6-(工户-L

24242

-6)=-工尸+当=-1(-3)2+1,利用二次函数的性质即可求得答案.

4244

【解答】解：(1)设直线/的解析式为(机W0),

•直线/与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点3(0,-6),

解得："1,

ln=-6

:,直线I的解析式为y=x-6；

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-A)2+k(aWO),

•••抛物线的对称轴是直线x=L

.,.y=a(x-1)2+k,

•抛物线经过点A,B,

•(25a+k=0

Ia+k=-6

f」

-4

解得：Z

户,2工5

•••抛物线的解析式为y=[(x-1)2一至；

-44

⑶VA(6,0),B(0,-6),

.".0A=0B=6,

在△A03中，ZAOB=90°,

：.ZOAB=ZOBA=45°,

,.•PC,无轴，PMLl,

:./PCA=/PND=90°,

在Rt^ADC中，,.•NPC4=90°,ZOAB=45°,

AZADC=45°,

：.ZPDM=ZADC=45°,

在中，/PMD=90°,ZPDM=45°,

.\sin45°=电，

PD

:.PM=®PD,

2

".'y=—(%-1)2--=—x2-—x-6,

■4442

设点P(r,—t2--t-6),

42

/.D(6t-6),

：.PD=t-6-(—Z2--/-6)=-^-t2+—t=-—(?-3)2+—,

424244

:-l<o,

4

・•.当/=3时，PD有最大值是2，此时最大，

4

PM±叵PD=®~X2=则反,

2248

当。=3时，l?-l/-6=lx9-lx3-6=-^1,

42424

：.P(3,-旦)，

4

...PM的最大值是史巨，此时点尸(3,一红).

84

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角

形等，本题难度适中，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题关键.

题型二二次函数与图形面积问题

【例2】(2023•娄底)如图，抛物线y=x2+fec+c过点A(-1,0)、点5(5,0),交y轴于

点C.

(1)求。，c的值.

(2)点P(xo,yo)(0V尤o<5)是抛物线上的动点.当xo取何值时，△P3C的面积最大？

并求出△PBC面积的最大值；

【分析】(1)由抛物线过点A,B,可直接得出抛物线的表达式为：y=(x+1)(x-5),展

开即可得出结论；

(2)过点P作PD±x轴，交线段BC于点D,则SAPBC=L0B・PD,根据二次函数的性质

2

可得结论；

(2)由题意可知PfUPE,若△PER是等腰直角三角形，则PE=PR分别表达PE及PF,

可求出xo的值，进而求出点P的坐标.

【解答】解：(1)..•抛物线y=/+Ax+c过点A(-1,0)、点3(5,0),

，抛物线的表达式为：y=(x+1)(x-5)=f-4x-5,

:.b=-4,c=-5；

(2)由(1)得，抛物线的解析式为：y=》2-4x-5,

令x=0,则y=-5；

：.C(0,-5)

，直线3C的表达式为：y=x-5,P(xo,x2-4xo-5),

如图，过点P作x轴的垂线，交线段于点。，

.*.SAPBC=1(9B*PD=1X5X(xo-5-x2+4xo+5)

22°

=-S(X0-2.5)2+期，

28

...当xo=2.5时，S的值取最大，最大值为3；

8

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的

面积计算等，本题难度不大.

【变式2-1](2023•怀化)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+fec-8与x轴

交于A(-4,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)点尸为第三象限内抛物线上一点，作直线AC,连接以、PC,求△必C面积的最大

值及此时点P的坐标；

【分析】(1)运用待定系数法，将A(-4,0)、B(2,0)代入尸加+陵-8,即可求得

抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；

(2)运用待定系数法可得直线AC的解析式为y=-2x-8,设Pt2+2t-过点P

作PF//y轴，交AC于点F,则F(/,-2?-8),进而可得SA^C=SAMF+SAPCF=2(-户

-4t)=-2(什2)2+8,运用二次函数的性质即可求得答案；

【解答】(1)解：•.•抛物线尸加+法-8与x轴交于A(-4,0)、B(2,0)两点，

・(16a_4b_8=0

I4a+2b-8=0

解得：卜=1,

lb=2

抛物线的函数表达式为y=f+2x-8,

Vy=^2+2x-8=(x+1)2-9,

.••抛物线的顶点坐标为(-1,-9)；

(2)解：•.•抛物线y=f+2x-8与y轴交于点C,

：.C(0,-8),

设直线AC的解析式为y=mx+小则1-4m+/°,

ln=-8

解得：产2,

ln=-8

・•.直线AC的解析式为y=-2x-8,

设尸(方,户+2—8),

过点P作尸歹〃丁轴，交AC于点E如图，

y

A\\o\BX

则尸(6-2z-8),

**•PF—-2t~8~(於+21-8)=-P-4b

2

SAPAC=S^PAF+S^PCF=-IFF*(t+4)+lpF*(-?)=2PF=2(---4f)=-2(什2)+8,

22

：-2<0,

・•.当/=-2时，S△如c的最大值为8,此时点P(-2,-8)；

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，

一元二次方程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得OE=LMN,得

2

出以为直径的。一定经过点E.

【变式2-2](2023•安徽)在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线丁=以2+法(0/0)

经过点A(3,3),对称轴为直线x=2.

(1)求a,b的值；

(2)已知点3,C在抛物线上，点3的横坐标为3点C的横坐标为什1.过点3作x轴

的垂线交直线于点。，过点C作x轴的垂线交直线于点E.

(z)当0<f<2时，求△03。与△ACE的面积之和；

(“)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积

为之？若存在，请求出点3的横坐标f的值；若不存在，请说明理由.

2

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；

(2)由题意得3(3-3+牝)，C(Z+l,-P+2/+3),利用待定系数法可得的解析式为

y=x,则。(Kt),E(什1,什1),

⑴设5。与％轴交于点过点A作AN1.CE则0),NH+1,3),利用S4OBD+S

△ACE=^BD'OM+^AN'CE即可求得答案；

22

(“)分两种情况:①当2<y3时，②当A3时,分别画出图象，利用S四边形DCEB=』(BD+CE)

2

•DH,建立方程求解即可得出答案.

【解答】解：(1):抛物线丁=加+法(aWO)经过点A(3,3),对称轴为直线x=2,

(9a+3b=3

解得：

lb=4

(2)由(1)得：y=-X2+4X,

.,.当时，y=-t2+4t,

当x=7+l时，y=~(?+l)2+4(7+1),即y=-户+2/+3,

:.B(t,-产+47),C(t+1,-Z2+2t+3))

设。4的解析式为y=依，将A(3,3)代入，得：3=3k,

k=1,

AOA的解析式为y=x,

：.DCt,/),E(/+1,f+1),

(z)设3。与x轴交于点航，过点A作ANLCE,如图,

—(-t2+4t-t>t+—(-f+2什3-t-1)*(3-?-1)

2222

=1(-户+3产)+1(户-3尸+4)=-户-旦户+2=2；

222222

(“)①当2</<3时，过点。作于H,如图,

则H(%+1,力，BD——e+4,-t—-P+3，，CE=t+1~(-P+2/+3)=P-1-2,DH—1+1

-t=l,

二・S四边形=1(BD+CEXDH,

2

即3T(-产+3什人L2)XI,

22

解得：片区

2

②当/>3时，如图，过点。作DHLCE于H,

则BD=t-（-产+47）=户-33CE=P-t-2,

S四边形DBCE=—（BD+CE）,DH,

2

即旦=■1（产-3什户-广2）XI,

22

解得：加=叵+1（舍去），父=-叵+l（舍去）；

22

综上所述，％的值为5.

2

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的综合应用，四

边形面积等，其中(2)(z7)分类求解是解题的关键.

【变式2-3](2023•辽宁阜新•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数

丫=一/+玄-。的图象与苫轴交于点4(一3,。)和点8(1.0),与y轴交于点C.

图1图2

(1)求这个二次函数的表达式.

⑵如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC：y=x+3交于点。，若点M是直线AC上方抛物

线上的一个动点，求面积的最大值.

【答案】(Dy—+3•

9

(2)SAMCD*大=W；

【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；

(2)作M2，AC于Q,作于尸，交AC于E,先求出抛物线的对称轴，进而求得C,

。坐标及。的长，从而得出过M的直线丫=》+m与抛物线相切时，AMCO的面积最大，根据

x+相=-*2-2x+3的△=0求得加的值，进而求得知的坐标，进一步求得8上的高M2的值，

进一步得出结果；

【详解】(1)解：由题意得，

y=—(x+3)(x—1)——尤—-2x+3；

(2)解：如图1,

图1

作MQ±AC于Q,作ME_LAB于歹，交AC于E,

OA=OC=3,ZAOC=90°,

:.ZCAO=ZACO=45°,

/.ZMEQ=ZAEF=90°-ZCAO=45°,

抛物线的对称轴是直线：x==

y=尤+3=—1+3=2,

・•・0(1,2),

C(0,3),

CD=42,

故只需△MCD的边CD上的高最大时，AMCD的面积最大,

设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m,

当直线＞=》+〃2与抛物线相切时，AMC。的面积最大，

由x+m=—x2-2x+3得，

x2+3%+(jn-3)=0,

由4=0得，

32-4(m-3)=0^f,

29

%一3="

9

x9+3xH—=0.

4

33

y=x+3=----1-3=—,

22

…1539

ME=--------=—.

424

9V29A/2

:.MQ=MEsinZMEQ=MEsin45°=-x

c_169号9

••SAMCD最大=3X,2x-^—=鼻；

Zoo

【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和

性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论.

【变式2-4］（2023・湖南•统考中考真题）如图，二次函数y=x2+M+c的图象与无轴交于A,B

两点，与y轴交于c点，其中3(1,0),C(0,3).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在二次函数图象上是否存在点P,使得工皿=5-80?若存在，请求出尸点坐标；若不存在,

请说明理由；

【答案】⑴)=/一4%+3

⑵P(2T)或尸]心,心)或彳*,4]

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据S△叽=S-,可得P到AC的距离等于B到AC的距离，进而作出两条AC的平行线,

求得解析式，联立抛物线即可求解；

【详解】⑴解：将点3(1,0),<7(0,3)代入1+法+。,得

[1+/?+。=0

[c=3

\b——4

解得:

，抛物线解析式为y=?-4x+3；

(2)Vy=？-4x+3=(X-2)2-1,

顶点坐标为(2,1),

当y=0时，X2-4X+3=0

解得：%=也=3

.•.4(3,0),则。4=3

VC(0,3),则OC=3

AOC是等腰直角三角形,

•・q_c

•°APAC-□△ABC

・••p至UAC的距离等于B至UAC的距离，

•••4(3,0),C(0,3),设直线AC的解析式为>=丘+3

3%+3=0

解得：k=-l

直线AC的解析式为y=T+3,

如图所示，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P,

设的解析式为y=-x+d,将点3(1,0)代入得,

-l+d=0

解得：d=1

直线BP的解析式为y=-x+i,

(y=-x+l

[y=x2-4x+3

x=1Px=2

解得:j=。或

y=-l

尸(2,-1),

7PA=J(3-21+12=^2,PB=J(2-l『+12=&,AB=3-1=2

P^+PB^AB2

•••一形尸是等腰直角三角形，且ZAP3=90。,

如图所