选择中档题（四）-2024年北京高考数学复习分类汇编（解析版）

专题09选择中档题四

1.(2023•西城区校级模拟)已知2023a=2035,2035)=2023,c=log20502023,贝U()

ccab

A.a<bB.c<cC.logac>logfccD.logca>logcb

【答案】B

【详解】a=log20232035>log20232023=1,b=log20352023<log20352035=1.

因为6=---------------,c=----------，且log1=0<log„,2035<log。g2050，

2n2022339223

log20232035log20232050"°一侬

所以b>c>0,§P«>l>Z>>c>0.

由事函数的性质可知，ac>bc,故A错误；

由指数函数的性质可知，ca<cb,故3正确；

因为log〃c>log〃1=0,logac<loga1=0,所以log。cvlog/,故C错误；

由对数函数的性质可知，log-vlogc)，故Z)错误；

故选：B.

2.(2023•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C:(x-3y+(y-4)2=l上的动点.若

A(-a,0),即/,0),"0,则|A5+而|的最大值为()

A.16B.12C.8D.6

【答案】B

【详解】因为|西+而|=2|而|POU=|OC|+l=V32+42+1=6,

所以|丽+丽岛=12.

故选：B.

3.(2023•西城区校级模拟)函数/■(x)=Asin(0x+e)(0>O),在区间［a,句上是增函数，且f(a)=-A,

f(b)=A,则函数g(x)=Acos(tox+0)在［a,切上()

A.单调递增B.单调递减C.最大值为AD.最小值为-A

【答案】C

【详解】函数/(无)在区间［a,b］上是增函数，且/(a)=-A,f(b)=A,a»0,

jr-rr

则当，切时，a)x+(p^［--+lk7i,—+2k/r］(keZ).

而函数y=cosx在［-1+2版■,彳+2左万］(左€2)上先增后减，

即函数g(x)=Acos(s+°)在［a,句上先增后减，有最大值A.

故选：C.

4.(2023•西城区校级模拟)明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造

性地应用于航海，形成了一套先进航海技术--“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰

的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位.其采用的主要工具是牵星板，由

12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米(称一指)，木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的

边长约24厘米(称十二指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为

72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、

调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就

可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，贝han2a=()

星辰

牵星板/0

眼到牵星板的距离XI海平面

.空

A.UB.1CD.-

356373

【答案】A

【详解】由题意知六指为2+5x竺工=12厘米，

12-1

ma121

所以tana=—=一,

726

2xl

所以tan2a=—^-=—.

1-tan-a,135

36

故选：A.

5.(2023•房山区二模)已知圆C的圆心在抛物线丁=4尤上,且此圆C过定点(1,0),则圆C与直线x+l=0

的位置关系为()

A.相切B.相交C.相离D.不能确定

【答案】A

【详解】尸(L0)为抛物线焦点，圆心在抛物线上，由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线x=T

的距离,

即圆C与直线x+l=O相切,

故选：A.

6.（2023•房山区二模）一个高为满缸水量为匕的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满

缸水从洞中流出.若鱼缸水深为H时，鱼缸里的水的体积为V,则函数丫=/（»）的大致图象是（）

【答案】C

【详解】鱼缸水深为人时水的体积为n,.•.当/z=O时，v=%,;.A、8选项错误

根据鱼缸形状可知，随着水深的减少，体积的变化速度是先快后慢再快,

C选项正确，。选项错误,

故选：C.

7.（2023•房山区二模）已知双曲线。的方程为千-V=i,点尸，。分别在双曲线的左支和右支上，则直

线尸。的斜率的取值范围是（）

B.(-2,2)

D.(-00,-2)52，+0>)

【答案】A

【详解】如图,

双曲线。:3f-丁=1的渐近线方程为尸±21尤，

要使直线PQ与双曲线交左支于尸，交右支于。，

则直线尸。的斜率的取值范围是（-；，1）.

故选：A.

8.（2023•房山区二模）已知函数/5）=＜2/+*一3％」则“知0”是“/（x）在R上单调递减”的（

2ax2+x,x>\.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

+办一展％,1,在氏上单调递减时,

【详解】函数＜

lax2+x,x>1.

6,-4

应满足＜a<0且----„1，解得<—，即-4；

C2+〃---3-..C2a+l1

2

所以“％0”是“/（%）在H上单调递减”的必要不充分条件.

故选：B.

9.（2023•海淀区校级模拟）药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、

组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量

反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据，经研究表明，大部分注射药物的

血药浓度C⑺（单位：//近）随时间/（单位：价的变化规律可近似表示为。⑺其中C。表示

第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，人表示该药物在人体内的消除速率常数.已知某麻醉药的消除速

率常数笈=0.5（单位：/L），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为

4.5〃g/mL,当患者清醒时测得其血药浓度为0.9〃g/mL,则该患者的麻醉时间约为（）（历5«1.609）

A.3.5〃B.3.2/1C.2.2〃D.0.8〃

【答案】B

【详解】由题意得，0.9=4.5e,

即产」，

5

则0.5?=ln5,

解得f=2加5^3.2.

故选：B.

10.（2023•海淀区校级模拟）等差数列｛4｝的前〃项和为S〃，出+4+%=12,则席=（）

A.32B.42C.52D.62

【答案】C

【详解】\,等差数列｛%｝,%+q+4i=12,

3q+18d=12,「.4+6d=4,「.%=4,

..S、3~—52,

故选：C.

11.（2023•海淀区校级模拟）若非零向量万，B满足|苕|=3历|,（22+3方），方，则4与坂的夹角为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【详解】根据题意，设方与5的夹角为6,|5|=八则I源=3出|=3/,

若（2。+35）_15,则（24+3万）啰=2无1+3应=6产cosd+3/=0,

即cosd=」，

2

又由噂股4,则6=二，

3

故选：C.

12.（2023•海淀区校级模拟）已知c,/3&R,则“0=/7+左万，左eZ”是“sin2a=sin2/T'的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

［详解】①当a=2+左万，左£Z时，则2。=2/+2k兀,keZ,

/.sin2a=sin（2万+2ki）=sin24,/.充分性成立，

②当sin2a=sin2/时，驰？a=20+2k兀，keZ或2a+20=兀+2k兀,keZ,

、TC..

/.a-J3+k7r^a+/3=—+k7i,k^Z,必要性不成立，

故选：A.

13.（2023•海淀区校级模拟）设％wH,则“sin%=l"是"cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】vsin2x+cos2x=l,

①当sin%=1时，则cosx=0,.,.充分性成立，

②当cosx=0时，则sinx=±l,.•.必要性不成立，

sin光=1是cosx=0的充分不必要条件，

故选：A.

14.（2023•海淀区校级模拟）直线/处+勿=0和圆C:Y+y2_2以_2b=0在同一坐标系的图形只能是

【答案】A

2222

【详解】•・・圆。的方程可化为：(x-a)+(y-b)=a+bf

二.圆心C(Q,Z?),r=yla2+Z?2>0,

又直线/的方程可化为：y=--x,

又4个选项的圆心C都在第三象限，

:.a<Q,b<0,--<0,二排除C,D选项；

b

又圆心C到直线的距离d=尸"=荷+我=r,

y/a2+b2

直线/与圆C相切，A选项正确，3选项错误.

故选：A.

15.(2023•海淀区校级模拟)已知S“为等差数列｛%｝的前w项和，满足H=5,55=15,则数列停｝中(

)

A.有最大项，无最小项B.有最小项，无最大项

C.有最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】C

【详解】设等差数列｛an｝的公差为d,;q=S]=5,S5=5at+d=15,

解得d=-l,

cin=5+(〃-1)x(—1)—6—TI9

设。=2=j,则人=胃，

n2〃2"n+l2"+i

b7_b7--5-—--n---6-—--n-.5.—..n..—.2.(.6.—..r.i)-.n..—.7

n+ln2〃+l2〃2〃向+l2〃+l

当谈加6时，bn+1-b„<Q,即数列｛6,｝单调递减,

当〃=7时，bg—b7=0,即仇=Z>7，

当加.8时,bH+l-b„>0,即数列｛〃,｝单调递增,

综上可得，数列此,｝先减后增，在第七项和第八项处有最小项，第一项为最大项.

故选：c.

16.(2023•海淀区校级模拟)已知。是AABC的外心，外接圆半径为2,且满足2正=通+正，若丽在

品上的投影向量为。患，则而•而=()

4

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【详解】如图所示:

・.・O是AABC的外心，且满足2而=丽+尼，

「.O为的中点，ABLAC,

♦・•丽在冠上的投影向量为3/，外接圆半径为2,

4

—.BC3—•-.

:.\BA\cosB-^^=-BC,.-.|BA|cosJ3=3,

|BC|4

AdBC=(AB+Bd)BC=ABBC+2BO

=|AB|-|BC|cos(^--B)+8

=-|AB||BC|cosB+8

=—12+8=4

故选：A.

17.(2023•西城区校级模拟)如图，在同一平面内沿平行四边形两边4?,AD向外分别作正方形

ABEF,ADMN,其中AB=2,AD=1,NBAD=%,则恁•质=()

A.-20B.20C.0D.-1

【答案】C

【详解】由题意知,

AC=AB+AD,FN=FA+AN,

所以衣•丽=（荏+通）•（西+菽）

=ABFA+ABAN+AD-FA+ADAN

兀347C7C

=2x2xcos——l-2xlxcosFix2xcos——blxlxcos—

2442

=0.

故选：c.

18.（2023•西城区校级模拟）函数/（幻=0'|/"|-1的零点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【详解】由/（x）=0可得I氏v|="，，作出函数y=|欣|与〉="工的图象如下图所示:

由图可知，函数＞=|"^与〉=6一，的图象的交点个数为2,

故函数/（%）的零点个数为2.

故选：C.

19.（2023•西城区校级模拟）设片，F,分别是椭圆三+1=1（。＞匕＞0）的左、右焦点，过F。的直线交椭圆

ab

于尸，Q两点，若N£PQ=60。，|「耳|=|尸。|,则椭圆的离心率为（）

A1R22有D超

3333

【答案】D

【详解】设I因|=才，

■：\PF^PQ\,ZF｛PQ=60°,

：\PQ\=t,\F.Q\=t,

由△月PQ为等边三角形，得|£P|=|耳。I，

由对称性可知，P。垂直于x轴，

尸2为P。的中点，|P&|=g,

BEgl=*f,即2c=*r,

由椭圆定义：|尸£|+|尸乙|=2°,即2a=r+；=：r,

巴

椭圆的离心率为：6=-=^-=—.

a33

2

故选：D.

20.（2023•西城区校级模拟）已知数列｛风｝是公差为1的等差数列，且各项均为正整数，如果4=3,%=45,

那么〃+d的最小值为（）

A.13B.14C.17D.18

【答案】B

【详解】由等差数列的通项公式%=%+(〃-1)4,得

3+(H—l)d—459

(n—l)d—42=42xl=21x2=6x7,

二.只有〃-1=6,d=7,或“一1=7,d=6时，

即〃=7,d=7,或〃=8,d=6时，〃+d有最小值为14.

故选：B.

21.（2023•海淀区校级三模）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21x21大小的，即441个

点，根据0和1的二进制编码，一共有2匈种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为3x10”

秒，那么大约可以用（参考数据：lg2x03,/g3«0.5）（）

A.IO"’万年B.117万年C.万年口.205万年

【答案】A

,441

【详解】由题意大约能用一W—万年，

3x10"xlO4

,441

贝U1g3]015=44ng2-Zg3-15«441x0.3-0.5-15«117,

故选：A.

22.（2023•海淀区校级三模）若两条直线4：y=2x+7〃，（：y=2x+”与圆V+产一4龙=0的四个交点能构

成正方形，贝『机-〃|=（）

A.4行B.2回C.2A/2D.4

【答案】B

【详解】x2+y2-4x=0,（x-2）2+y2-4,

二.圆心C（2,0）,半径为2,

由题意直线/「4平行，且与圆的四个交点构成正方形，则可知圆心到两直线的距离相等且为应，

圆心C到/:y=2尤+机的距离为：4=学四=血

,1+4

加=—4,同理可得〃=-4,

又加可得|加一〃|=2^/10.

故选：B.

22

23.（2023•海淀区校级三模）已知《，F,分别为双曲线C:二-==1（。>0/>0）的左、右焦点，过F,作C

ab

的两条渐近线的平行线，与渐近线交于N两点.若cos/吗N=»,则C的离心率为（）

5

A.2B.c.百D.

3

【答案】C

【详解】由对称性知，M,N关于x轴对称,

设/町6=1，则NMKN=2a,

cos/MF[N=一，cos2a=—，得2cos2cr-l=—,

1131313

z29.442

倚Hcosa=—,sin2a=—,nntan2a=—,n即ntana=一,

131393

直线=2尤，ME,:y=--（x-c）,两式联立得，3,即加（£,处）,

a~a_be22a

A

be

±P7

22a-,即--2

tana=—=—————2.%a

32S

则离心率

故选：C.

aw

24.（2023•海淀区校级三模）已知等比数列｛氏｝的前〃项和为S“，则“6>0”是S2023>0的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】若公比q=l,则当4>0时，则$2023>0成立，

若行1,则邑。23产）

1一“

•.T-q与1一4g3符号相同，

ax与S2023的符号相同,

则“q>0"<=>“邑023>0”，

即“外>0”是“52023>0”充要条件，

故选：C.

25.(2023•北京模拟)设｛q｝是等比数列，贝「'用>1出”是“&｝为递增数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】当出<0时，由蜡>%%,得见<%,则｛。"｝不为递增数列，

当｛a/为递增数列时，%>巧，若的<0,则用<%电，

所以“抬>2是"｛g｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

26.(2023•北京模拟)(l-x)(l+x)5展开式中/的系数是()

A.0B.5C.15D.20

【答案】A

【详解】由(1-x)(l+x)5知展开式中含丁项情况为：

①IxC；=10/,

②(-幻、屐43._?=-10尤3,

所以(1-x)(l+尤),展开式中x3的系数是：10+(—10)=0.

故选：A.

27.(2023•北京模拟)已知函数/(尤)=卜一一5'X”-2,若方程/⑺=1的实根在区间已收+1),心Z上,

[xlg(x+2),x>-2

则后的最大值是()

A.-3B.-2C.1D.2

【答案】C

【详解】当X,-2时，/(X)=X2-5,当f(x)=l时，解得了=—几；

当x>—2时，/(尤)=x/g(x+2),其中/(1)=/g3<l,f(2)=2/g4=/gl6>l,

当/(x)=l时，解得xe(l,2),综上后的最大值是1.

故选：C.

28.(2023•北京模拟)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几

何模型.如图1,正方体的棱长为2,用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向

和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖(如图2).已知这个牟合方盖与正方体外接球的

体积之比为4:3辰，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为()

16

D.

~3

【答案】C

【详解】：棱长为2的正方体的外接球的直径2R=J4+4+4=2指，

半径R=6，

...牟合方盖的体积为^^'3%点(若)3=电，

3j3»33j3i33

，正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为23-皆8-+|

故选：C.

29.(2023•东城区模拟)过抛物线丁=4x的焦点F的直线交抛物线于A、3两点，若尸是线段AB的中点,

则|AB|=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】P是线段4?的中点，由抛物线的对称性，可知，ABLx轴，

抛物线V=4尤，可得p=2,

所以|AB|=2p=4.

故选：D.

30.（2023•东城区模拟）已知｛%｝为等比数列，S,为其前〃项和，若邑=3%,用=%,则$4=（）

A.7B.8C.15D.31

【答案】C

【详解】,.•｛?｝为等比数列，S,为其前〃项和，邑=34，《=%，

/q+%q=3q

,［（qq）2=请'

解得O1=1,4=2,

故选：C.

31.（2023•东城区模拟）已知非零向量a,5,则“苕与5共线”是“5-5|”II或-15||”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若万与B共线，取日方为方向相反的单位向量，贝商-6|=2,||苕|-出||=0,

\a-b\>\\a\-\b\\,充分性不成立；

若|苕一方I,,|团-|方||,则（”方）2,,（|万|一|5|）2,整理得到|矶几,不石,

若。=0或方=0,不等式成立，且m与方共线，

若@片0且方设a,B夹角为6,则0e［O,乃］,BP|a||^1„\a\-\b\cosO,BP1,,cos0,即6=0,故4

与B共线，必要性成立.

综上所述，与B共线”是“|a-5|”||刃-15||"的必要不充分条件.

故选：B.

32.（2023•东城区模拟）血药浓度（尸/as〃也Caice加阳〃力”）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内

发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位

某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

It，最低中毒浓度(MTC)

安

t)l峰浓度全

范

朝

围

斐

*

市

5-最低有效浓度(MEC)

loi6789101112,（小时）

续期*残留期

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中：

①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；

②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；

③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；

④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.

其中正确说法的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】由图可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用所以①正确；

服用该药物1单位后，药物的持续作用时间约为5.5小时，所以②错误，③正确；

首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，累计浓度会超过最低中毒浓度，会发生药物中

毒，所以④错误.

所以正确的有①③，

故选：B.

33.(2023•顺义区一模)已知a,/3&R,贝!J”存在keZ使得a=(2左+1)"+月"是"cosa+cos万=0"的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由cosa+cos尸=0,即有cosa=-cos尸,

贝Ia=(2k+1)乃±(3,左eZ,

所以“存在左eZ使得a=(2左+1)乃+尸"是"cos(z+cos£=。”的充分不必要条件.

故选：A.

34.(2023•顺义区一模)近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风

口.Pe诙e〃于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间f（单位：/?）与放电电流/（单位：A）

之间关系的经验公式：C=I"t,其中〃为尸e"给H常数.为测算某蓄电池的Pe诙常数〃，在电池容量不

变的条件下，当放电电流/=20A时，放电时间r=20/?；当放电电流/=50A时，放电时间，=5/?.若计算时

取用2。0.3,则该蓄电池的尸e诙常数〃大约为（）

A.1.67B.1.5C.2.5D.0.4

【答案】B

20X20=C,所以，n所以（厂

【详解】由题意可得20"x20=50x5,9=4,

50"x5=C2

g、i,,21g22x0.3..

所以〃=log,4=----------®-------------=1.5,

|l-2Zg2l-2x0.3

故选：B.

35.（2023•顺义区一模）在棱长为1的正方体ABC。-A4GR中，动点P在棱月耳上，动点。在线段BQ

上、若4尸=4,BQ=〃，则三棱锥A-AP。的体积（）

A.与几无关，与〃有关B.与几有关，与M无关

C.与X,"都有关D.与4,〃都无关

【答案】D

【详解】•.•正方体ABCD—A旦CQ中，G2//A4，cqu平面ABCQ,A旦仁平面A^G。，

.•.A4//平面A8CQ,

•••动点P在棱A片上，，点P到平面ABGR的距离就是直线A片到平面ABCR的距离，

•••动点。在线段BC1上，，点P到平面AQD,的距离为定值，

.•.点P到平面AQDt的距离为定值不随同尸=2的变化面变化，

设点P到平面AQ0的距离为h,过点人作A.F1AD,,

根据正方体的特征知A3,平面ADQA,

ABALAF

Afu平面，-ABIA.F,QADX=A,.1厂_平面,则有〃==+，

,:C、DJIAB,且G2=AB,四边形ABCQ为平行四边形，.•.BC|//A2，

点。到AR的距离也是BG到AR的距离，且距离为1,

「.S△做Q=：XAD|X1=9(定值)，

=—XX

V■D在P"20=^〃P-QDAAQO3△/!