圆锥曲线（6题型+高分技法+限时提升练）学生版-2025年高考数学二轮复习提升

热点11圆锥曲线

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年圆锥曲线的定义、抛物线的焦点与准线，双曲线的性质、直线与双曲

线的位置关系、离心率的计算公式，直线与圆锥曲线综合问题

2023年与曲线方程有关的新定义，抛物线的定义及其性质、离心率的求法、

椭圆与双曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的综合直线与圆锥曲线综合问题

2022年双曲线的性质，点到直线的距离公式、椭圆方程的求解、椭圆中最值

与范围等问题、直线与椭圆综合及基本不等式的应用

热点题型解读

逊1求圆锥曲线的离心率

或离心率的取值范围

题型2圆锥曲线中焦点三角形

I碱

壁3圆锥曲线中的定值、定

圆锥曲线r一点、最值问题

题型4圆锥曲线中的存在性问题

题型5圆锥曲线中的向量'可题

题型6圆锥曲线中的轨迹问题

题型1求圆锥曲线的离心率或离心率的取值范围

1.求椭圆离心率或其范围的方法

।______________________________________________________________________________________________________

：（1）直接求出Q,c,利用离心率公式e=£求解.

a

-----------I

b1

（2）由4与b的关系求离心率，利用变形公式e=1——求解.

Na?

（3）构造4,C的方程.可以不求出Q,。的具体值，而是得出4与C的关系，从而求得e.

2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量Q,b,C的方程或不等式，I

II

C

利用02=小+62和0=-转化为关于e的方程（或不等式），通过解方程（或不等式）求得离心率的值（或范围）.

a

工海詈蒲二^瀛航近尾苴箱金置囹荻旭届访常不阜无二一

2.（2024•上海•模拟预测）三角形三边长为5,6,7,则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲

线的离心率为.

3.（2025・上海•模拟预测）双曲线二-r=1（。＞0）的焦点为片、片，且r为该双曲线上一点，若归周=10,

a

|”|=6,则该双曲线的离心率为.

22

4.（2024・上海•模拟预测）椭圆三+七=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为耳与，过不作x轴的垂线交椭圆

ab

于尸,0,若△大尸。为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为.

5.（2024•上海杨浦•一模）中国探月工程又称“嫦娥工程"，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中,

月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均

以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为

变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为.（精

确到0.01）

题型2圆锥曲线中焦点三角形问题

1.椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P（Xo,为）与两焦点构成的△尸尸1/2叫做焦点三角形.如图所示，设NQP班2=夕

⑴当尸为短轴端点时，e最大,s△耳至最大.

(2)1尸B|max=a+。，|尸B|min=a—

\PFI\+\PF2\

(3)1尸尸i|•I尸尸代

2

22

(4)4c=\PFX|+\PF^-2|PFI||PF2|COS6.

⑸焦点三角形的周长为2(a+c).

2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|尸尸1|一|尸7引=2。，运用平方的方法，建立与

|尸产小|尸刈的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算

即可.

1.(2024•上海•三模)已知椭圆C的焦点片、月都在x轴上，尸为椭圆C上一点，ASE的周长为6,且

|P闻，内闾，1Pgi成等差数列，则椭圆C的标准方程为.

22

2.(2024•上海宝山•一模)过双曲线二-匕=1的左焦点尸作圆/+/=9的切线，切点为延长切线交双

916

曲线的右支于点P,。为坐标原点，点7为线段灯的中点，则1。乃=.

22

3.(2023・上海金山・一模)己知椭圆「：1+2=1(°>6>0)的左、右焦点分别为片、工.

①以巴为圆心的圆经过椭圆的左焦点片和上顶点求椭圆「的离心率；

(2)已知。=5,6=4,设点尸是椭圆「上一点，且位于x轴的上方，若《郎月是等腰三角形，求点尸的坐标;

⑶已知。=2/=右，过点鸟且倾斜角为］的直线与椭圆「在x轴上方的交点记作A,若动直线/也过点巴

且与椭圆「交于M、N两点(均不同于A),是否存在定直线/o：x=x。，使得动直线/与/。的交点C满足直线

的斜率总是成等差数列？若存在，求常数看的值；若不存在，请说明理由.

22

4（2024•上海青浦二模）已知双曲线：=F],巴分别为其左、右焦点.

⑴求片，片的坐标和双曲线「的渐近线方程；

（2）如图，尸是双曲线「右支在第一象限内一点，圆C是△用用的内切圆，设圆与尸片，PF],丹外分别切

于点。，E,F,当圆C的面积为4兀时，求直线型的斜率；

⑶是否存在过点月的直线/与双曲线E的左右两支分别交于A,8两点，且使得/片/8=/月衣4,若存在,

求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

题型3圆锥曲线中的定值、定点、最值问题

1.求解直线或曲线过定点问题的基本思路

⑴把直线或曲线方程中的变量X,V当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就

要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于X,V的方程组，这个方程

组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y—yo=­x—X。），则直线必过定点（x（）,为）；若

得到了直线方程的斜截式y=Ax+"?,则直线必过定点（0,优）.

2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

（1）求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.

⑵求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求

!得.

(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.

3.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

4.圆锥曲线中最值的求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，

求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.

I__________________________________________________________________________

1.(2024・上海•三模)阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家,

也是著名的数学家，他利用“逼近法"得到椭圆面积除以圆周率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在

22

平面直角坐标系中，椭圆C:「+q=l(a>6>0)的面积等于2兀，且椭圆C的焦距为2百.点尸(4,0)、2(0,2)

ab

分别为X轴、y轴上的定点.

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)点尺为椭圆c上的动点，求三角形尺面积的最小值，并求此时五点坐标；

(3)直线/与椭圆C交于不同的两点N、B,已知A关于了轴的对称点为8点关于原点的对称点为N,已

知尸、M,N三点共线，试探究直线/是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

2.（2024•上海黄浦•二模）如图，已知心是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，匕是以口的焦点斗且

为顶点的等轴双曲线，点Mg,?是与「2的一个交点，动点?在「2的右支上且异于顶点.

⑴求「与12的方程；

（2）若直线尸耳的倾斜角是直线尸片的倾斜角的2倍，求点P的坐标；

⑶设直线尸£,尸鸟的斜率分别为品左2,直线尸片与「1相交于点48,直线坐与和相交于点C,。,

\AFx\-\BFx\=m,\CF2\-\DF2\=n,求证：发他=1且存在常数5使得机+〃=的.

3.（2024・上海•模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆「：三+必=1的左，右焦点外别为耳匕,

设尸是第一象限内「上的一点，PFN帆的延长线分别交「于点a.

⑴求△尸片2的周长；

⑵求APFQ面积的取值范围；

⑶求-SAPBOI的最大值,

4（2。24・上海虹口•一模）已知椭圆的左、右焦点分别为叱，右顶点为A,上顶点为5,设

尸为「上的一点.

⑴当尸耳，下骂时,求户闾的值；

⑵若P点坐标为，则在「上是否存在点。使△/尸0的面积为号1■,若存在，请求出所有满足条件

的点。的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶已知D点坐标为（0,m）,过点尸和点。的直线/与椭圆「交于另一点T,当直线I与x轴和y轴均不平行时,

有行.（而+茄）=0,求实数加的取值范围.

22

5.（2024•上海金山二模）已知椭圆「:亍+?=1的右焦点为尸，直线/与椭圆「交于不同的两点"（看,乂）、

砥/，%）.

（1）证明：点M到右焦点尸的距离为2-£；

⑵设点。（0,；），当直线/的斜率为且方与西+新平行时，求直线/的方程；

⑶当直线/与x轴不垂直，且△肱VF的周长为4时，试判断直线/与圆C:尤2+r=3的位置关系，并证明你

的结论.

6.（2024•上海普陀・二模）设椭圆「:£+产=1仅＞1）,「的离心率是短轴长的包倍，直线/交：T于A、B

a4

两点，C是「上异于A、B的一点，。是坐标原点.

⑴求椭圆「的方程；

（2）若直线/过「的右焦点尸，且由=赤，CF-AB=Q，求国区的值；

⑶设直线/的方程为了=履+皿左，机eR）,且归+丽=函，求|方|的取值范围.

7.（2024・上海•模拟预测）日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆

锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点0的轨迹是以椭圆的中心为圆心，4r不（。为椭

圆的长半轴长，6为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.己知椭圆C：—+/=1.

3

⑴求椭圆C的蒙日圆的方程；

（2）若斜率为1的直线/与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M,N两点，求AOWV的面积（O为坐标

原点）；

⑶设尸为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点尸作椭圆C的两条切线，切点分别为4B,求AP/8面积的

最小值.

2

8.（2024・上海浦东新•三模）已知双曲线C:x?-q=1,点片、耳分别为双曲线的左、右焦点，留再,必）、

3（工2，%）为双曲线上的点.

（1）求右焦点月到双曲线的渐近线的距离；

(2)若丽=3@,求直线的方程；

<3)若AFJ/BF],其中/、8两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形/4月8的面积

的取值范围.

9.(2024•上海普陀•一模)设。>0,m>0,片、片分别是双曲线=1的左、右焦点，直线

a

/:x-7孙-2=0经过点片与「的右支交于A、B两点，点。是坐标原点.

⑴若点M是「上的一点，|肛|=2,求|“J的值；

(2)设;I、〃eR,点尸在直线尤=6上，若点。、A、P、8满足：OA=^BP，砺=〃不，求点尸的坐标;

⑶设/O的延长线与「交于G点，若向量次与砺满足：OA-OB>n，求△G48的面积S的取值范围.

10.(2024・上海•三模)已知抛物线「：y2=4x,P为第一象限内「上的一点，直线/经过点P.

(1)设P(4,4),若/经过「的焦点/，求/与「的准线的交点坐标；

⑵设P(l,2),已知/与x轴负半轴有交点/与「有A。两个交点，若将这三个交点从左至右重新命名

为，、B、C,有方=就，求出所有满足条件的/的方程；

(3)设尸(sj),t>0,已知/是「在点尸处的切线，过点尸作直线加使得R是加与「的另一个交点,

求出1PM关于s的表达式，并求1PM的最小值.

H.(2024•上海徐汇•一模)已知过点网3,0)的双曲线C的渐近线方程为x土gy=0.如图所示，过双曲线C

的右焦点尸作与坐标轴都不垂直的直线/交。的右支于48两点.

⑴求双曲线C的标准方程；

⑵已知点。［可，求证：^AQF=ABQF.

⑶若以为直径的圆被直线X=］截得的劣弧为疝，则疝所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出

该定值；若不是，请说明理由.

12.（2024•上海宝山•一模）已知椭圆「:三+乙=1,直线/经过椭圆「的右顶点尸且与椭圆交于另一点A,

93

设线段4尸的中点为M.

⑴求椭圆r的焦距和离心率；

（2）若自“=-；，求直线4尸的方程；

⑶过点尸再作一条直线与椭圆「交于点B,线段8尸的中点为N.若OM1ON,则直线是否经过定点？

若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

2

13.（2024•上海闵行•一模）已知圆。工+/=1,双曲线「：/一%=1,直线/：了=丘+6,其中

左£R,b>0.

（1）当6=2时，求双曲线r的离心率；

⑵若/与圆。相切，证明：/与双曲线「的左右两支各有一个公共点；

⑶设/与〉轴交于点尸，与圆。交于点A、B,与双曲线「的左右两支分别交于点C、D,四个点从左至右

依次为c、A、B、D.当左=正时，是否存在实数b,使得力.正=方.而成立？若存在，求出b的值;

2

若不存在，说明理由.

题型4圆锥曲线中的存在性问题

00混

存在性问题的解题策略

存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.

（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论.

（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.

（3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.

L（2024・上海崇明•一模）已知椭圆「｝+==1,点片、片分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点片的直线

43一

/与椭圆交于/、2两点.

⑴若直线/平行于x轴，求线段N2的长；

__.__.9

（2）若点/在了轴左侧，且44•苞/=.,求直线/的方程；

⑶已知椭圆上的点C满足|。|=口耳，是否存在直线/使得△/8C的重心在x轴上？若存在，请求出直线/

的方程，若不存在，请说明理由.

22

2.（2。24・上海•模拟预测）在平面直角坐标系皿中’已知点A为椭圆「》与=|上一点’片、耳分别为

椭圆的左、右焦点.

⑴若点A的横坐标为2,求M周的长;

⑵设「的上、下顶点分别为M、M2,记△/百片的面积为每。/此此的面积为邑，若S旧$2,求31的

取值范围

⑶若点A在X轴上方，设直线/名与r交于点5,与了轴交于点K,K与延长线与「交于点C,是否存在X轴

上方的点C,使得即+而+麻=%（项+展+城）。eR）成立?若存在，请求出点C的坐标;若不存在,

请说明理由.

3.（2024・上海•三模）已知椭圆C：：+[=：!,片、用分别为左、右焦点，直线/过心交椭圆于A、8两

点.

（1）求椭圆的离心率；

⑵当/月/8=90。，且点A在x轴上方时，求A、8两点的坐标；

⑶若直线N片交y轴于直线3月交了轴于N,是否存在直线/,使得2招=2.照,？若存在，求出直线/

的方程；若不存在，请说明理由.

22

4.（2024.上海虹口•二模）己知椭圆「:三+勺=1（。>6>0）的焦距为2vL点*0,1）在椭圆「上，动直线/

ab

与椭圆r相交于不同的两点48,且直线尸4PB的斜率之积为1.

⑴求椭圆「的标准方程；

⑵若直线PA为的法向量为n=（1,-2）,求直线/的方程；

⑶是否存在直线/,使得AP/B为直角三角形？若存在，求出直线/的斜率；若不存在，请说明理由.

22

5.（2024•上海•三模）已知椭圆。：、+方=1（。＜6＜2）,设过点/（I。的直线/交椭圆。于N两点,交直

线％=4于点尸，点E为直线x=l上不同于点A的任意一点.

（1）椭圆C的离心率为求6的值；

⑵若|/"斗，求6的取值范围；

⑶若6=1,记直线及W,EN,EP的斜率分别为左，《，右，问是否存在勺，k2,质的某种排列的，%,

心（其中也耳总人{123},使得“,ki2,心成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；

若不存在，说明理由.

6.（23-24高二下•重庆・期中）己知椭圆E:1+/=1（。＞人＞0）的离心率为日，且过点。1）.圆O:x?+/=2

的切线/与椭圆E相交于4,5两点.

⑴求椭圆E的方程；

⑵直线。8的斜率存在为左，k2,直线/的斜率存在为匕若左=《•内，求直线/的方程；

⑶直线ON,08与圆。：/+/=2的另一个交点分别为C,D,求△0/2与AOCD的面积之和的取值范围.

226

7.（2024・上海杨浦・二模）已知椭圆「q+4=l（a>6>0）的上顶点为离心率e=也■，过点尸（一2,1）

ab2

的直线/与椭圆「交于8,C两点，直线NC分别与x轴交于点M、N.

（1）求椭圆「的方程；

⑵已知命题“对任意直线/,线段的中点为定点”为真命题，求A/W的重心坐标;

⑶是否存在直线/，使得S△/的=2%刖0?若存在，求出所有满足条件的直线/的方程；若不存在，请说明理

由.（其中国/阿、S/Bc分别表示A/AW、△/BC的面积）

2

8.⑵24・上海松江二模）如图‘椭圆r：?x』的上、下焦点分另■小冷过上焦点片与，轴垂直的

直线交椭圆于M、N两点,动点P、。分别在直线"N与椭圆「上.

⑴求线段MN的长；

⑵若线段P。的中点在x轴上，求△月尸。的面积；

⑶是否存在以月尸为邻边的矩形&QEP,使得点E在椭圆「上？若存在，求出所有满足条件的点。

的纵坐标；若不存在，请说明理由.

22

9.（2024・上海长宁•二模）已知椭圆「：器+'=1。为坐标原点；

⑴求r的离心率e；

⑵设点N（l,o）,点〃在「上，求的最大值和最小值；

⑶点7（2,1）,点尸在直线x+y=3上，过点尸且与07平行的直线/与「交于43两点；试探究：是否存在常

数彳，使得|莎・丽卜,月（恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；

10.（2024•上海•二模）在△4BC中，已知B（T,0）,C（l,0）,设G,〃,少分别是△48C的重心、垂心、外心,

且存在2eR使丽二2反?.

（1）求点A的轨迹「的方程；

（2）求4ABC的外心W的纵坐标m的取值范围；

⑶设直线”少与「的另一个交点为记△/印G与AMGH的面积分别为工，邑，是否存在实数九使

S7

U=不？若存在，求出彳的值；若不存在，请说明理由.

题型5圆锥曲线中的向量问题

!00混!

II

II

J・一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一・一・一

22

1.（2024•上海闵行•一模）已知耳、月分别为椭圆±+二=1的左、右焦点，过耳的直线交椭圆于A、B两

一42

点.若福.正=0,则正•丽=.

22

2.（2023・上海崇明•二模）已知椭圆「：F+二=1加＞0,加*逝），点4台分别是椭圆「与了轴的交点（点

A在点8的上方），过点。（0,1）且斜率为后的直线/交椭圆「于瓦G两点.

（1）若椭圆「焦点在x轴上，且其离心率是,，求实数加的值；

（2）若加=左=1,求ABEG的面积；

⑶设直线/£与直线＞=2交于点a,证明：8,G,〃三点共线.

3.（2023•上海松江•一模）已知椭圆「：，+，=1（。＞6＞0）的长轴长为26，离心率为，，斜率为左的直

线/与椭圆「有两个不同的交点43.

（1）求椭圆r的方程；

⑵若直线/的方程为：y=x+/,椭圆上点关于直线/的对称点N（与“不重合）在椭圆「上,

求/的值;

⑶设尸（-2,0）,直线产工与椭圆「的另一个交点为C,直线依与椭圆「的另一个交点为。，若点和点

三点共线，求上的值.

4.（2022・上海松江•二模）已知椭圆「:[+[=1（。>6>0）的右顶点坐标为/（2,0）,左、右焦点分别为B、

ab

F2,且|B&I=2,直线/交椭圆「于不同的两点M和N.

（1）求椭圆「的方程；

⑵若直线/的斜率为1,且以为直径的圆经过点/,求直线/的方程；

⑶若直线/与椭圆「相切，求证：点B、B到直线/的距离之积为定值.

22

5.（2。22・上海黄浦二模）已知双曲线「：?=1,尸为左焦点，尸为直线、=1上一动点、，°为线段小

17^1

与「的交点.定义："（P）二焉.

⑴若点。的纵坐标为衣，求d（尸）的值；

（2）设或尸）=2，点尸的纵坐标为八试将产表示成2的函数并求其定义域;

⑶证明：存在常数加、"，使得加"（尸）=中尸|+".

22

6.（2023•上海浦东新•三模）已知椭圆土+匕=1左、右顶点分别为A、B,P是椭圆上异于A、3的任一

43

点，直线/:x=t,M,N是直线/上两点，AM、/N分别交椭圆于点。、E两点.

（1）直线尸N、尸B的斜率分别为匕、k2,求占名的值;

(2)若E、。、。三点共线，OM10N,求实数/的值；

⑶若直线。E过椭圆右焦点尸，且t=4,求面积的最小值.

2

7.(2024・上海•模拟预测)已知双曲线「/-右=1,(6>0),左右顶点分别为4,4,过点〃(-2,0)的直线/交

b

双曲线r于只。两点.

(1)若离心率e=2时，求6的值.

(2)若6=半，△朋4P为等腰三角形时，且点尸在第一象限，求点尸的坐标.

(3)连接。。，直线。。交双曲线「于另一点A,若布•衣=1,求6的取值范围.

22

8.(2024・上海徐汇•二模)已知椭圆0：二+匕=1,4、4分别为椭圆C的左、右顶点，片、匕分别为左、

43一

右焦点，直线/交椭圆C于〃、N两点(/不过点4).

⑴若。为椭圆c上(除4、4外)任意一点，求直线。4和04的斜率之积；

(2)若丽=2标，求直线/的方程；

9

⑶若直线与直线私的斜率分别是左、左2,且左色=-彳，求证：直线/过定点.

9.(2023•上海杨浦一模)已知曲线£：彳+/=1&片0)的左右焦点为片，£,P是曲线£上一动点

⑴求鸟的周长；

(2)过巴的直线与曲线E交于48两点，且/2=2月瓦求直线48的斜率；

⑶若存在过点》(0㈤俏>1)的两条直线4和4与曲线E都只有一个公共点，且求力的值.

丫2

10.(2024•上海•三模)将离心率相等的所有椭圆称为〃一簇椭圆系〃.已知椭圆从土+/=1的左、右顶点

2

分别为45,上顶点为

22

⑴若椭圆尸式+匕=1与椭圆£在“一簇椭圆系，，中，求常数S的值；

s2

(2)设椭圆G：；+/="0<X<1),过A作斜率为勺的直线4与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为

%的直线4与椭圆G有且只有一个公共点，求当几为何值时，归|+但|取得最小值，并求其最小值；

22

⑶若椭圆〃:三+。=1。>2)与椭圆E在"一簇椭圆系"中，椭圆〃上的任意一点记为C(%,%),试判断

△48C的垂心M是否都在椭圆E上，并说明理由.

题型6轨迹问题

平面内到一个定点和相应一条定直线I的距离之比为常数e的点的轨迹:

⑴当0<e<l时，轨迹为椭圆.

⑵当e>l时，轨迹为双曲线.

L（2023•上海浦东新•一模）已知平面直角坐标系中的直线（：y=3x、4：y=-3x.设到r4距离之和为2Pl

的点的轨迹是曲线G，4、4距离平方和为2P2的点的轨迹是曲线G,其中0、0>0.则G、公共点的

个数不可能为（）

A.0个B.4个C.8个D.12个

2.（2024・上海・三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，。是滑槽的

中点，短杆ON可绕。转动，长杆及W通过N处的钱链与ON连接，上的栓子。可沿滑槽N2滑动，当

点。在滑槽内作往复移动时，带动点N绕。转动，点州也随之而运动，记点N的运动轨迹为G，点M

的运动轨迹为C?.若ON=DN=1,MN=3,且4824,过C?上的点尸向G作切线，则切线长的最大值为_

3.（2024・上海奉贤•二模）点P是棱长为1的正方体/BCD-44G，棱上一点，则满足|"|+归［=2的点P

4.（2023・上海•模拟预测）正方体44G2的边长为1,点分别为3c边的中点，尸是侧面

4£1口4上动点，若直线即1与面GPN的交点位于AC『N内（包括边界），则所有满足要求的点尸构成的图

形面积为.

5.（2023・上海松江,一模）动点P的棱长为1的正方体-481GA表面上运动，且与点A的距离是

口8,点尸的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为

3

22

6.（2024・上海•三模）设4,8是双曲线〃：2=1（。>0,6>0）上的两点.直线/与双曲线，的交点为

P,0两点.

（1）若双曲线〃的离心率是右，且点（血,血）在双曲线〃上，求双曲线〃的方程；

YV2

（2）设/、3分别是双曲线X：1y-方=1（。>0,6>0）的左、右顶点，直线/平行于y轴.求直线/尸与2。

斜率的乘积，并求直线AP与2。的交点〃的轨迹方程；

⑶设双曲线Hx2-y2=l,其中｛-"I）,5（V2,1）,点M是抛物线C：x2=2y上不同于点/、3的动

点，且直线M4与双曲线X相交于另一点尸，直线M3与双曲线〃相交于另一点0,问：直线尸0是否恒

过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由.

22

7.（2024•上海嘉定•二模）如图：已知三点A、B、尸都在椭圆上+匕=1上.

->

X

⑴若点A、B、。都是椭圆的顶点，求△450的面积;

（2）若直线42的斜率为1,求弦48中点M的轨迹方程；

⑶若直线的斜率为2,设直线力的斜率为左四，直线尸3的斜率为左.，是否存在定点产，使得电+%=。

恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P,若不存在，说明理由.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、填空题

1.（2024・上海崇明•一模）双曲线--反=1的渐近线方程是_______.

4

2.（2024•上海•模拟预测）已知抛物线/=4x上有一点尸到准线的距离为9,那么点尸到x轴的距离为.

3.（2024・上海静安•一模）到点片（TO）,巴（3,0）距离之和为10的动点尸的轨迹方程为.

22

4.（2024•上海普陀•一模）设椭圆C：=+q=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳、鸟，左顶点为A,若椭

ab

圆。的离心率为1:，则I—K^I的值为______.

3|泪

5.（2024•上海•三模）过抛物线E:必=2px（0>O）的焦点厂的直线交E于点48,交£的准线/于点C,

点。为垂足.若尸是/C的中点，且刊=3,则|/8|=.

6.（2024•上海奉贤三模）若曲线得右顶点A,若对线段。/上任意一点P,端点除外,

a

在「上存在关于X轴对称得两点。、R使得三角形P0尺为等边三角形，则正数a得取值范围是.

7.（2024•上海浦东新•三模）已知点48位于抛物线r=2px（p>0）上，|/即=20,点M为线段的中

点，记点M到y轴的距离为d.若"的最小值为7,则当d取该最小值时，直线的斜率左化>。）为.

8.（2024・上海奉贤•一模）已知抛物线工2=即（“>0）上有一点尸到准线的距离为6,点尸到x轴的距离为4,

则抛物线的焦点坐标为.

22

9.（2025・上海•模拟预测）已知双曲线二-一J=l（a>0）的左、右焦点分别为斗F2.通过鸟且倾斜角为

a6—a

1的直线与双曲线交于第一象限的点H延长/玛至3使得/8=N片.若48片乙的面积为3而，则a的值

为.

10.（2024・上海普陀•一模）设feR,直线/：x+yT=0与曲线。：y=（04x44）和曲线0,：了=分

别交于尸、。两点，则|尸@的最大值是.

11.（2024・上海・三模）如图，5地在/地的正东方向，相距4km；C地在2地的北偏东30。方向，相距

2km,河流沿岸尸。（曲线）上任意一点到/的距离比它到3的距离远2km,现要在曲线尸。上选一处“建

一座码头，向/、B、C三地转运货物.经测算，从M到/、3两地修建公路费用都是10万元/km,从〃

到C修建公路的费用为20万元/km.选择合适的点可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是

万元（精确到0Q1）

Q

12.（2024・上海•模拟预测）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆。:^+/=1上，且其中至

2024-

少有两个顶点为椭圆C的顶点.这样的等腰三角形有个.

二、单选题

13.（2024•上海徐汇•一模）下列抛物线中，焦点坐标为的是（)

A.y2=LB.y2=-x

24

14.（2024•上海•模拟预测）已知直线/与椭圆「，点片,外分别为椭圆「：］+/=1的左右焦点，直线

F、MLI,F2N1l,垂足分别为点MN（MN不重合），那么"直线/与椭圆「相切”是