旋转重难点模型（5大类型）解析版-2024学年人教版九年级数学上册重难点题型突破

专题3旋转重难点模型(5大类型)

_国重金喜鉴致蛙侬_____________________

【题型1手拉手模型】

【题型2“半角”模型】

【题型3构造旋转模型解题】

【题型4奔驰模型】

【题型5费马点模型】

至理型交度___________________________________________

模型一：“手拉手”模型

模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。

模型说明：如图1,AABE,AACF都是等边三角形，可证AAEC丝^ABF。

如图2,AABD,AACE都是等腰直角三角形，可证▲ADCgAABE

如图2,四边形ABEF,四边形ACHD都是正方形，可证▲ABDg^AFC

模型二：“半角”模型

模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼出特殊角”

模型说明：

(1)如图，在正方形ABCD中，NEAF=45°,将AADF绕点A顺时针旋转90°,得至UAABG

可证^AEF之AEG,所以可到DF+BE=EF

(2)如图，在等腰直角AABC中，ZMAN=45°,将▲ACN绕点A顺时针旋转90°,得到

▲ABQ,可证▲AMNg^AMQ,所以可得CM+BM?=MM

(3)如图，等腰AABC中，AB=BC,NDBE=)/。及］将ACBD绕点B逆时针旋转/CBA

的度数得到AABD'可证▲DBEVAD'BE。

BH

模型三：构造旋转模型解题

方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋

转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形.

常见图形旋转：

(1)“等边三角形”的旋转

方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形

的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形.通过旋

转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题

得以解决.

模型四：奔驰模型

如图，等边aABC,PA=3,PB=4,PC=5,

则①NAPB=150。，②SAABC=^AB2=2!”

44

模型五：费马点模型

【费马点问题】

问题：如图1,如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

图文解析：

如图1,把△APC绕C点顺时针旋转60。得到△APC,连接PP\贝必CPP，为等边三角形,

CP=PP',PA=P'A',

；.PA+PB+PC=P'A'+PB+PPBC'.

:点A，可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60。而得的定点，BAr

为定长

...当B、P、P\X四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.最小

值为BA/

园满台分珠

【题型1“手拉手”模型】

【典例1】(2022春•西安期末)如图，在△ABC中，BC=5,以AC为边向外作等边

以为边向外作等边△ABE,连接CE、BD.

(1)若AC=4,ZACB=30°,求CE的长；

(2)若NABC=60°,48=3,求8。的长.

【解答】解：(1);△ABE与△ACC是等边三角形,

：.AC=AD,AB=AE,

J.ZDCA^ZCAD=ZEAB=60°,

ZEAB+ZBAC=ZCAD+ZBAC,

即/£AC=/BAO.

在△EAC和△540中，

，AE=BA

<ZEAC=ZBAD>

AC=AD

.".△EAC^ABAD(SAS),

：.EC=BD,

又二上AC3=30°，

ZDCB=ZACB+ZDCA=90°,

'：CD=AC=4,BC=5,

:,BD=JBC2KD2=“25+16=V41，

.•。=旧；

(2)如图，作EK垂直于CB延长线于点K.

△ABE与△ACO是等边三角形，

：.AC=AD,AB=AE,

：.ZDCA=ZCAD=ZEAB=6Q°,

ZEAB+ZBAC=ZCAD+ZBAC,

即/EAC=/BA。.

在△EAC和△BAO中，

'AE=BA

，ZEAC=ZBAD-

AC=AD

/.AfAC^ABAO(SAS),

：.EC=BD,

VZABC^60°,ZABE^60°,

/.ZEBK=60°,

：.ZBEK=30°,

.•.BK=_1BE=2,

22

EK=7EB2-BK2=而|=萼■'

EC=VEK2+KC2==7'

：.BD=EC=1.

【变式1-1]（2022秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB,AC为边分别作正方形

正方形ACGR连接。C,BF.

（1）CO与B尸有什么数量与位置关系？说明理由.

（2）利用旋转的观点，在此题中，△AOC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到

的.

【解答】解：(1)且COLBE理由如下：

四边形ABED和四边形ACGF都是正方形，

：.AD=AB,AC=AF,ZDAB=ZCAF=90°,

又：ZDAC=ZDAB+ZBAC,ZBAF=ZCAF+ZBAC,

：.ZDAC=ZBAF,

在AD4c与△BA尸中，

，AD=AB

<ZDAC=ZBAF>

AC=AF

：./\DAC^/\BAF(SAS),

：.DC=BF,

：.ZAFB=ZACD,

又〈NAFN+NANF=90°,NANF=/CNM,

：.ZACD+ZCNM=90°,

AZNMC=90°,

J.BFLCD-,

(2)'：AD=AB,AC=AF,CD=BF,ZDAB=ZCAF=90°,

AADC可看成是△ABB绕点A顺时针旋转90°得到的.

【变式1-2]（2022九上•吉林期末）如图①，在AABC中，ZC=90°,AC=BC=V6,

点D,E分别在边AC,BC上，豆CD=CE=&,此时力D=BE,AD1BE成立.

图①图②图③

(1)将4CDE绕点C逆时针旋转90。时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；

(2)当ACDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，2。与BE的数量关系和位置关系是

否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；

(3)将ACDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A,D,E三点在同一条直线上

时，请直接写出⑷5的长度.

【答案】(1)解：如图所示，

(2)解：AD=BE,力。1BE仍然成立.

证明：延长4。交BE于点H,

/.ACD=^ACB-乙BCD,

乙BCE=乙DCE-乙BCD,

：.^ACD=乙BCE,

又,：CD=CE,AC=BC,

**•△ACD=△BCE9

：.AD=BE,zl=42,

在Rt△力BC中，zl+z3+z4=90°,

Az2+z3+z4=90°,

：zAHB=90°,

：.AD1BE.

（3）AD=VS-1或4。=A/5+1

【题型2“半角”模型】

【典例2】（秋•锦江区期末）在AABC中，A8=AC,点E,尸是边8C所在直线上与点8,

C不重合的两点.

（1）如图1,当NBAC=90°,NEAP=45°时，直接写出线段BE,CF,所的数量关

系；（不必证明）

（2）如图2,当NBAC=60°,ZEAF=30°时，已知8E=3,CF=5,求线段E尸的长

度；

（3）如图3,当NA4C=90°,NEA尸=135°时，请探究线段CE,BF,跖的数量关系，

【解答】解：（1）结论：EF2=BE2+CF2.

理由：VZBAC=90°,AB=AC,

.•.将AABE绕点A逆时针旋转90°得△ACG,连接FG,如图1中,

：.AG^AE,CG=BE,ZACG^ZB,ZEAG=90°,

：.ZFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=9O°,

：.FG2=FC2+CG2=8^+FC2；

又：/胡尸=45°,

而/EAG=90°,

ZGAF=90°-45°=45°,

：.ZEAF=ZGAF,

'：AF=AF,AE=AG,

：.AAEF^AAGF(SAS),

：.EF=FG,

:.EF2=B^+CF2.

(2)如图2中，VZBAC=6Q°,AB=AC,

.,.将△ABE绕点A逆时针旋转60°得△ACG,连接PG,作GHLBC交BC的延长线于

H.

图2

VZBAC=60°,ZEAF=30°,

/.ZBAE+ZCAF=ZCAG+ZCAF=ZFAG=30°,

：.ZEAF=ZFAG,

'：AF=AF,AE=AG,

：.AAEF^AAGF(SAS),

：.EF=FG,

在RtZ\CGH中，,:CG=BE=3,NGC8=60°,

.*.ZCGH=30°,

:.CH=LCG=3,GH

22

在RtZXFGH中，FG

：.EF=FG=1.

(3)结论：EF2^EC2+BF2

理由：如图3中，将△AEC绕点A顺时针旋转90°,得至QABG,连接FG.

C

：.ZABC=ZACB=45°,

AACE^AABG,

：.ZCAE=ZBAG,EC=BG,ZACE=ZABG=45°,

：.ZCAB=ZEAG=90°,ZGBF=90°,

ZMG=360°-ZEAF-Z£AG=360°-135°-90°=135

：.ZFAE=ZFAG,

'：FA=FA,AG=AE,

：./\FAE^/\FAG(SAS),

:.EF=FG,

在Rt△尸BG中，VZFBG=90°,

：.FG1=BG2+BF2,

'：FG=EF,BG=EC,

：.EF2^EC1+BF2.

【变式2-1】(春•金牛区校级期中)类比探究：

(1)如图1,等边△ABC内有一点P,若AP=8,BP=15,CP=17,求/APB的大小；

(提示：将绕顶点A旋转到△ACP处)

(2)如图2,在△A8C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、E为8C上的点，1,Z£AF=

45°.求证：EF1=BEr+FC1^

(3)如图3,在△A8C中，ZC=90°,NABC=30°，点。为△ABC内一点，连接A。、

BO、CO,且/4。。=/。。2=/8。4=120°,若AC=1,求0A+02+0C的值.

却图2图3

【解答】解：（1）如图1,将绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP,

图1

A△ACP,mAABP,

：.AP'=A尸=8、CP'=BP=15、ZAP'C=ZAPB,

由题意知旋转角/必尸'=60°,

.,.△APP,为等边三角形，

：.PP'=AP=8,ZAP'P=60°,

■:PP'2+P'C2=82+152=172=PC2,

：.ZPP'C=90°,

AZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°

(2)如图2,把△A8E绕着点A逆时针旋转90°得到△ACE',

贝ijAE'=AE,CE'=CE,ACAE'=/BAE,

'：ZBAC=90°,ZEAF=45°,

ZBAE+ZCAF=ZCAF+ZCAE'=ZFAE'=45°,

：.ZEAF=ZE'AF,S.AE=AE,AF=AF,

：.△A£F^AAE,尸(SAS),

：.EF=E'F,

VZB+ZACB=90°,

ZACB+ZACE'=90°,

AZFCE'=90°,

：.E'F1=CF2+CE'2,

.\EF2=BE2+CF2；

:在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=3Q°,

：.AB=2,

=22

BCVAB-AC=a'

VAAOB绕点B顺时针方向旋转60°,

:.MNO'8如图所示；

NA'BC=ZABC+600=30°+60°=90°,

VZACB=90°,AC=1,NA8C=30°,

.,.AB=2AC=2,

,.•△AOB绕点2顺时针方向旋转60°,得到O'B,

B=AB=2,BO=BO',A'O'=AO,

：.^BOO'是等边三角形，

；.BO=OO',ZBOO'=NBO'0=60°,

VZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

：.ZCOB+ZBOO'=ZBO'A'+ZBO'0=120°+60°=180°,

：.C,0、A'、O'四点共线,

在RtZXA'2C中，A'C=7BC2+A7B2=)

：.OA+OB+OC=A'O'+00'+OC=A'C=47-

【变式2-2](2022春•西山区校级月考)如图，已知正方形ABC。，点E、/分别是A3、

BC边上,且/即尸=45°,将△ZME绕点。逆时针旋转90°,得到△OCM.

(1)求证：△EDFZAMDF；

(2)若正方形A8CZ)的边长为5,AE=2时，求EP的长？

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，

AZA=ZB=ZDCF=90°,AO=AB=BC=5,

由旋转得：

ZA=ZDCM=90°,DE=DM,ZEDM=9Q°,

：.ZDCF+ZDCM=180°,

：.F,C、M三点在同一条直线上，

VZ£DF=45O,

/FDM=/EDM-NEDC=45°,

/EDF=FDM,

,:DF=DF,

:AEDF经AMDF(SAS)；

(2)设CF=x,

：.BF=BC-CF=5-x,

由旋转得：AE=CM=2,

BE=AB-AE=3,FM=CF+CM=2+x,

■:△EDF^AMDF,

：.EF=FM=2+x,

在中，BE2+BF2^EF2,

；.9+(5-x)2(2+x)2

..•八丫=—15,

7

C.EF—1+x—-^-,

7

.,.斯的长为

7

【变式2-3](2022春•路北区期末)如图，在边长为6的正方形4BC。内作/EAE=45°,

AE交BC于点E,AF交CD于点、F,连接EE,将△AOP绕点A顺时针旋转90°得到△

ABG.

(1)求证：GE=FE；

【解答】(1)证明：•.•将绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,

AADF^AABG,

：.DF=BG,ZDAF=ZBAG,

VZ£)AB=90°,ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZEAB=45°,

：.ZBAG+ZEAB^45°,

：.ZEAF=ZEAG,

在△EAG和△£>1/中，

'AG=AF

-ZEAG=ZEAF>

AE=AE

.,.△EAG^AEAF(SAS),

:.GE=FE,

(2)解：设BE=x,贝！|GE=BG+BE=3+x,CE=6-x,

.9.EF=3+x,

■:CD=6,DF=3,

ACF=3,

VZC=90°,

/.(6-x)2+32—(3+x)2,

解得，x—2,

即BE=2,

【变式2-4](2022秋•山西期末)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点

构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：

如图1,在正方形ABCZ)中，以A为顶点的/EAF=45°,AE、AF与BC、C£＞边分别交

于£、尸两点.易证得EF=BE+FD.

大致证明思路：如图2,将尸绕点A顺时针旋转90°,得到由NH8E=180°

可得”、B、E三点共线，/HAE=NEAF=45°,进而可证明故EF=

BE+DF.

图1图2图3

如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBA£)=120°,以4为顶点

的/EAF=60°,AE,AB与BC、CO边分别交于£、P两点.请参照阅读材料中的解题

方法，你认为结论EF^BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，

请说明理由.

【解答】解：成立.

证明：将绕点A顺时针旋转120°得到

ZABM=ZD=90°,ZMAB=ZFAD,AM=AF,MB=DF,

：.NMBE=ZABM+ZABE^180°,

：.M,B、E三点共线,

AZMAE=ZMAB+ZBAE^ZFAD+ZBAE=ZBAD-ZEAF=60",

：.ZMAE=ZFAE,

'：AE=AE,AM=AF,

：.AMAE^AME(SAS),

：.ME=EF,

：.EF=ME=MB+BE=DF+BE.

【题型3构造旋转模型解题】

【典例3】（九上•江津期中）请阅读下列材料：

问题：如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=V3,PC=1、求/BPC

度数的大小和等边三角形ABC的边长.

李明同学的思路是：将ABPC绕点B逆时针旋转60。，画出旋转后的图形（如图2）,

连接PP',可得△P'PB是等边三角形，而APP，A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理

可证），所以NAP，B=150。,而/BPC=NAP，B=150。,进而求出等边△ABC的边长为V7,

问题得到解决.

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3,在正方形ABCD内有一

点P,且PA=芯，BP=V2,PC=1.求NBPC度数的大小和正方形ABCD的边长.

将ABPC绕点B逆时针旋转90。，得ABP'A,则ABPC丝ZXBP'A.

.\AP,=PC=1,BP=BP，=V2;

连接PP\

在RtABPT中,

,.,BP=BPf=V2，NPBP，=90。，

：.PP'=2,ZBPT=45°；

在△APT中，AP，=1,PP，=2,AP=V5,

•；12+22=（遮）2,即Ap，2+pp，2=Ap2；

APT是直角三角形，即NAP，P=90。，

?.ZAP'B=135°,

.,.ZBPC=ZAP,B=135°.

过点B作BE±AP\交AP，的延长线于点E,

，NBEP，=90。，

：ZAP'B=135°,

，NEP'B=45°,

...△BEP，是等腰直角三角形，

；BP，=V2,

.,.EP,=BE=1,

.,.AE=AP,+EP,=2；

.•.在R3ABE中，由勾股定理，得AB=V^；

.,.ZBPC=135°,正方形边长为V5.

【变式3-1］（九上•南昌月考）如图，在等边三角形ABC内有一点P,且24=2,PB=

V3,PC=1,求乙BPC的度数和等边三角形ABC的边长.

【解答】解：•••ZMBC是等边三角形

/.LABC=60°

将ABPC绕点B顺时针选转60°,连接BP'

X

.\AP'=CP=1,BP'=PB=点，ZBPC=£.P'BA,乙AP'B=LBPC

■:乙PBC+乙ABP=/.ABC=60°

，乙ABP'+4ABp=乙4BC=60°

J.AP'PB是等边三角形

:.PP'=陋，£.PP'B=60°

'CAP'=1,AP=2

-'-AP'2+PP'2=AP2

：.^PP'A为直角三角形

J./-BPC=乙AP'B=150°

过点B做BMJ.AP',交AP'的延长线于点M

:.乙MP'B=30°,BM=彩

Ia

.".PM=|

-'-AM=1+|=|

由勾股定理得：AB=7AM2+BM2=V7

.••等边三角形ABC的边长为V7.

【变式3-2】(九上•德州期中)当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分

绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的.

(1)如图1,等腰直角三角形ABC内有一点P,连接AP,BP,CP,ZAPB=135°,

为探究AP,BP,CP三条线段间的数量关系，我们可以将AABP,绕点A逆时针旋转

90°得到AACP',连接PP',则PP'=AP,△CPP'M三角形，AP,

BP,CP三条线段的数量关系是.

(2)如图2,等边三角形ABC内有一点P,连接AP、BP、CP,NAPB=150。，请

借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系.

(3)如图3,在四边形ABCD中，AD〃BC,点P在四边形的内部，且PD=PC,

ZCPD=90°,ZAPB=135°,AD=4,BC=5,请直接写出AB的长.

【解答】(1)应；直角；PC2=BP2+2AP2

(2)解：如图所示，将△ABP绕点B顺时针旋转60。得到&CBP',连接PP',

由旋转的性质可得：BP'=BP,Z-CP'B=乙4PB=150°,乙PBP'=60°,AP'=

AP,CP'=AP,

/.△BPP'是等边三角形，

：.BP=PP',乙BP'P=60°,

:.乙PP'C=LCP'B—乙BP'P=90°,

•'•PC2=PP'2+P'C2，

/.PC2=BP2+AP2；

(3)解：AB=V41

【题型4奔驰模型解题】

【典例4】(2023•崂山区模拟)阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1,在正三角形ABC内有一点P,且必=3,PB

=4,PC=5,求NAP3的度数.

小伟是这样思考的:如图2,利用旋转和全等的知识构造C,连接PP,

得到两个特殊的三角形，从而将问题解决.

请你回答：图1中NAP5的度数等于150。.

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

(1)如图3,在正方形ABCD内有一点P,且m=簿，PB=1,PD=A，

则NAP3的度数等于135°,正方形的边长为石

(2)如图4,在正六边形A3CDER内有一点P,且必=2,PB=1,PF=yfl3,

则NAP3的度数等于120°,正六边形的边长为

V7.

【答案】见试题解答内容

【分析】阅读材料：把AAPB绕点A逆时针旋转60。得到△ACP,根据旋

转的性质可得PA^PA,P'C=PB,APAP'=60°,然后求出△APP是

等边三角形，根据等边三角形的性质求出PP'=PA=3,ZAP'尸=60°,再

利用勾股定理逆定理求出NPPC=90°,然后求出NAPC,即为NAP3的

度数；

(1)把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP,根据旋转的性质可得P

A=PA,P'D=PB,NPAP，=90°,然后判断出△APP是等腰直角三角形，

根据等腰直角三角形的性质求出PP',ZAP'P=45。，再利用勾股定理逆

定理求出NPP。=90°,然后求出NAPD,即为NAP3的度数；再求出点

P、P、3三点共线，过点A作AELPP于E,根据等腰直角三角形的性质

求出AE=PE=』PP,然后求出BE,在RtZXABE中，利用勾股定理列式求

2

出即可；

(2)把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△Af'P,根据旋转的性质可得

P'A=PA,P'F=PB,ZPAP'=120°,然后求出△APP是底角为30°

的等腰三角形，过点A作AA/LPP于设PP与AP相交于N,求出AM

=1,再求出PP,ZAP'P=30°,再利用勾股定理逆定理求出NPPF=

90°,然后求出NAPE即为乙4PB的度数；根据PGAM的长度得到P

F=AM,利用“角角边”证明△AMN和△EPN全等，根据全等三角形对应

边相等可得AN=RN,P'N=MN,然后求出航N,在RtaAMN中，利用勾股

定理列式求出AN,然后求出Ab即可.

【解答】解：阅读材料：把aAPB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP,

由旋转的性质，P'A=FA=3,P'D=PB=4,ZPAP'=60°,

AAAPP'是等边三角形，

：.PP'=必=3,ZAP'P=60°,

"：PP'2+p1=32+42=25,PC2=52=25,

：.PP'2+P'—PC2,

：.ZPP'C=90°,

AZAP'C=NAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故NAPB=NAPC=150°；

(1)如图3,把绕点A逆时针旋转90°得到△ADP,

由旋转的性质，P'A=B4=2&,P'D=PB=LZPAP'=90°,

：.AAPP'是等腰直角三角形，

：.PP'=61PA=近1乂2®=4,ZAP'P=45°,

'：PP'2+P'D2=42+l2=17,PD2=V172=17,

：.PP'2+P'D2=PD2,

：.ZPP'0=90°,

AZAP'D=ZAP'P+ZPP'D=45°+90°=135°,

故，ZAPB=ZAP'£)=135°,

ZAPB+ZAPP'=135°+45°=180°,

.•.点P、P、3三点共线，

过点A作AELPP于E,

则AE=PE=1PP=1X4=2,

22

：.BE=PE+PB=2+1=3,

在RtAABE中，AB=+gg2=J22+32=；

(2)如图4,•.•正六边形的内角为工X(6-2)*180°=120°,

6

...把△APB绕点A逆时针旋转120°得至UZXAFP,

由旋转的性质，P'A=PA=2,P'F=PB=1,ZPAP'=120°,

AZAPP'=ZAP'P=X(180°-120°)=30°,

2

过点人作人”，/3。于M,设PP与AR相交于N,

则AAf=』B4=』X2=l,

22

P'M=PM="\/PA2-AM2=V22-l2=>

：.PP'=2PM=243,

■:PP‘2+pp=(2A/3)2+12=13,PF2=V132=13,

：.PP'2+p尸2=尸尸2,

：.ZPP'F=90°,

AZAP'F=ZAP'P+ZPP'尸=30°+90°=120°,

故，ZAPB=ZAP'尸=120°,

,:P'F=AM=1,

「△AAW和△f'PN中，

'/PP'F=ZAMN=90°

<NP'NF=ZANM，

P，F=AM

AAAMN^AFP'N(44S),

：.AN=FN,P'N=MN=1P'M=®,

22

在RtA4MN中，AN=7AM2+MN2=^12+(^)=*,

【变式4-1](2023春•广东期中)18.如图，P是正三角形ABC内的一点，且

PA=6,PB=8,PC=10.若将△出C绕点A逆时针旋转后，得至U△的钻.

(1)ZMAP=60°,连接PM,则6；

（2）求NAP3的度数.

【答案】（1）60,6；（2）150°.

【分析】（1）连接根据等边三角形的性质得AB=AC,ZBAC=6Q°,

再根据旋转的性质得AA/=AP,ZMAP=ZBAC=60°,BM=CP=10,则可

判断△AMP为等边三角形；

（2）根据旋转可以得到MP=AP=6,ZAPM=6Q°,在中通过计算

得到PM2+PB2=BM2,根据勾股定理的逆定理得/87%?=90°,然后利用/

APB=ZAPM+BPM进行计算即可.

【解答】解：（1）如图，连接

ZSABC为等边三角形，

：.AB^AC,ZBAC=60°,

C绕点A逆时针旋转后，得到△M43,

：.AM=AP,ZMAP=ZBAC=60°,BM=CP=10,

△AMP为等边三角形，

：.MP=AP=6,ZAPM=60°；

故答案为：60,6；

（2）在中，PM=6,BM=10,PB=8,

V62+82=102,

:.PM2+PB2^BM2,

：.ZBPM=9Qa,

ZAPB=ZAPM+BPM=600+90°=150°.

【变式4-2]（2023春•古田县期中）阅读材料，解决问题：

（1）如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点43、C的距离分别为5,

12,13,求NAPB的度数.为了解决本题，我们可以将△A3P绕顶点A旋转

到△ACP处，止匕时△ACP咨AABP,这样就可以利用旋转变换，将三条线

段以、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出BAPB=150°；

(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题，已知如图②，△

A3C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、R为3c上的点且NEAR=45°,求证：

EF2=B^+FC2.

【分析】(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，

全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

(2)把AABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',根据旋转的性质可得

AE'=AE,CE'=CE,NC4E'=/BAE,/ACE'=ZB,ZEAE'=90°,

再求出NE'AF=45°,从而得到NE4R=NE'AF,然后利用“边角边”证

明△E4R和ARAR全等，根据全等三角形对应边相等可得E'F=EF,再利

用勾股定理列式即可得证.

【解答】解：(1)VAACPZ^AABP,

：.AP'=AP=5.CP'=BP=12、ZAP'C=ZAPB,''

由题意知旋转角NHP=60°,

.,.△APP为等边三角形，

PP'=AP=5,ZAP'P=60°,

在APP，C中，PP'=5,CP'=12,PC=13,

而52+122=132,

:.△PP'C为直角三角形，且NPPC=90°,

AZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案为：150°；

(2)证明：如图，把△A5E绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，,

由旋转的性质得，AE'=AE,CE'=BE,NCAE'=/BAE,NACE'=N

B,ZEAE'=90°,

VZEAF=45°,

AZE'AF=ZCAE'+ZCAF=ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZEAF=90°-45°

二45。，

：.NEAF=NE，AF,

在△E4R和ARAb中，

'AE=AE'

-ZEAF=ZEyAF，

AF=AF

AAEAF^AE1AF(SAS),

：.E'F=EF,

"：ZCAB=9Q°,AB=AC,

ZB^ZACB=45°,

ZE'CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，E'F2=CE'^FC2,

即EF2=BE2+FC2.

【变式4-3］（2023春•市南区期中）如图，点。是等边△ABC内一点，。是△

A3C外的一点，ZAOB=100°,ZBOC=a,将△BOC绕点C顺时针旋转

60°得△ADC,连接0D

（1）当a=150°,ZODA=90°；

（2）当a为多少度时，△A。。是等腰三角形？说明理由.

A

【答案】(1)ZODA=90°；(2)a=100°,a=130°,a=160°△A。。

为等腰三角形.

【分析】(1)由旋转可以得出OC=DC,ZDCO=60°,就可以得出△ODC

是等边三角形，就可以得出NODC=60°,从而得出NA。。；

(2)由条件可以表示出N49C=260°-a,就有NAOD=200°-a,ZADO

=a-60°,当ZDAO=ZDOA,ZAOD=ADO或ZOAD=ZODA时分别求

出a的值即可.

【解答】解：(1)..•△50C绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,

AABOC^AADC,△ODC为等边三角形，

AZBOC=ZADC=150°,ZODC=60°

：.ZADO=150°-60°=90°；

故答案为：NOD4=90°；

(2)VZAOB=100°,ZBOC=a,

：.ZAOC=260°-a.

,.,△OCD是等边三角形，

AZDOC^ZODC=6Q°,

AZADO=a-60°,ZAOD=200°-a,

①当ND4O=NZXM时，

2(200°-a)+a-60°=180°,

解得：a=160°

②当NAOD=A。。时，

200°-a=a-60°,

解得：a=130。，

③当时，

200°-a+2(a-60°)=180°,

解得：a=100°,

.,.a=100°,a=130°,a=160°△AOD为等腰三角形.

【变式4-4](2023春•金牛区校级月考)如图，在等边△ABC中，点。为△ABC

内的一点，ZADB=120°,ZADC=90°,将AD绕点A逆时针旋转60°得

AE；

(1)求证：AABD/AACE；

(2)求NDCE的度数；

(3)若BD=1,求AD,CD的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)ZDCE=9Q°；(3)AD=2,DC=43-

【分析】(1)利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出△ADE是等边三

角形即可；

(2)利用四边形的内角和即可求出结论；

(3)先求出8,再用勾股定理即可求出结论.

【解答】(1)证明：•••将AD绕点A逆时针旋转60°得AE,

ZDAE=60°,

/XADE为等边三角形，

,/ZVIBC为等边三角形，

：.AD=AE,BA=CA,NB4c=60°,

NEAC=/DAB,

在△ABD和△ACE中，

'AD=AE

-ZEAC=ZDAB-

CA=BA

...△ABZ汪△ACE(SAS)；

(2)解：VAABD^AACE,

AZAEC^ZADB=120°,

而NADC=90°,ZDAE=6Q°,

AZDCE=360°-ZADC-ZAEC-ZDAE=90°；

(3)解：•.,△ADE为等边三角形，

AZADE=60°,

ZCDE=ZADC-/ADE=30°,

又,：/DCE=90°,

：.DE=2CE=2BD=2,

:.AD=DE=2,

在Rtz\DCE中，DC=\DE2-CE2=,

【变式4-5](2022春•侯马市期末)如图①，△A3C和△ADE中，ZBAC=Z

DAE=9Q°,点。、E分别在边A3、AC上，ZABC=ZADE=45°.

(1)如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若NB4D=30°,求

/BAE的度数；

(2)如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转过程中，当旋转角度a=45°或

225°时,直线AC与DE垂直(0°<a<360°)；

(3)如图③，△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接3D,且AD=4,AB=

10,求3。的最大值和最小值.

(2)45°或225°；

(3)5。的最大值是14,最小值是6.

【分析】(1)根据ND4E=90°,即可得NA4E的度数；

(2)分两种情况画出图形，根据角的和差即可求解；

(3)当AD旋转到射线BA的延长线上时，BD最大；当AD旋转到线段AB

上时，8D最小，分别画出图形即可求解.

【解答】解：（1）'：ZBAD=30°,ZDAE=9Q°,

：.ZBAE=ZBAD+ZDAE=300+90°=120°.

（2）①垂足在线段AC上时，

AZDAC=45°,

VZBAC=90°,

ZBAD=45°,即旋转角度a=45°；

②垂足在线段AC延长线上时，

'：AC±DE,ZADE=45°,

AZDAH=45°,

VZBAC=9Q°,

二旋转角度a=90°+180°-45°=225°；

故答案为：45°或225°.

(3)当A0旋转到线段24的延长线上时，BD最大,此时5O=AB+AD=10+4

当旋转到线段A3上时，3。最小，止匕时AD=10-4=6.

：.BD的最大值是14,最小值是6.

【题型5费马点模型解题】

【典例5】（秋叶B江区期末）背景资料：

在已知△ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最

小.

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，

所求的点被人们称为“费马点”.

如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点尸在△ABC内部，此时

ZAPB=ZBPC=ZCFA=120°,此时，的值最小.

解决问题：

（1）如图②，等边AABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别

为3,4,5,求NAP3的度数.

为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到△ACP处，此时△ACP

^AABP,这样就可以利用旋转变换，将三条线段以，PB,PC转化到一个三

角形中，从而求出NAP3=150°；

基本运用：

（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

如图③，△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E,R为3c上的点，且NE4R

=45°,判断BE,EF,PC之间的数量关系并证明；

能力提升：

（3）如图④，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，点P为

RtA4BC的费马点，连接AP,BP,CP,求必+P3+PC的值.

图③图⑷

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，

全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

(2)把AABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',根据旋转的性质可得

AE'=AE,CE'^CE,ACAE'=/BAE,/ACE，=NB,/EAE'=90°,

再求出NRAF=45°,从而得到/EAF=/E'AF,然后利用“边角边”证

明△EAR和ARAR全等，根据全等三角形对应边相等可得E'F=EF,再利

用勾股定理列式即可得证.

(3)将绕点5顺时针旋转60°至P'3处，连接PP',根据直

角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC,即3的长，

再根据旋转的性质求出△3PP是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相

等可得BP=PP',等边三角形三个角都是60°求出NBPP=/BP'P=

60°,然后求出C、P、4、P四点共线，再利用勾股定理列式求出4C,

从而得至UB4+P3+PC=A'C.

【解答】解：(1)VAACP1SABP,

：.AP'=AP=3、CP'=BP=4、ZAP'C=NAPB,

由题意知旋转角NR1P=60°,

P为等边三角形，

PP'=AP=3,ZAP'P=60°,

易证C为直角三角形，且NPPC=90°,

AZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案为：150。；

(2)EF2=BE2+FC2,理由如下：

如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',

由旋转的性质得，AE'=AE,CE'