自动控制原理 第三次课（3）学习资料

第二章控制系统的数学模型主要内容：1、建立被控对象的数学模型2、控制系统的数学描述方法

微分方程

传递函数

方块图

信号流图第二章控制系统的数学模型主要内容：1、建立被控对象的数学模型2、控制系统的数学描述方法微分方程

传递函数

方块图

信号流图/§2控制系统的传递函数模型

RLC电路网络i+-URCUcL/§2控制系统的传递函数模型RLC电路网络i+-URCUcL/§2控制系统的传递函数模型齐次方程通解非齐次方程特解系统的零输入响应，代表自由运动由方程特征根决定系统的零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解系统的输出包含两个组成部分，一部分是由初始状态产生与输入无关，一部分由输入产生，与初始状态无关采用微分方程的形式描述输入输出关系，方法直观，借助于计算机可以快速而准确的求出结果。但是如果系统的结构改变或者某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析设计。/§2控制系统的传递函数模型对象微分方程：

（2-1-1）对于条件2，在工程应用中有一个看似简单但常被误解的问题：右端函数f（t）在初始时刻不连续所带来的初值跳变问题。在研究控制系统的运动时，经常遇到如下情况：系统原来静止，而在某一时刻加入输入量，即该输入量在该时刻由0跳变到某一非零值。/§2控制系统的传递函数模型对象微分方程：

（2-1-1）t0单位阶跃函数t1a0延时单位阶跃函数/§2控制系统的传递函数模型对象微分方程：（2-1-1）t0单位阶跃函数t1a0延时单位阶跃函数由于f(t)在t=0时刻不连续，则在包含点t=0的区间内没有唯一解。因此，初始时刻不连续会带来解的初值跳变问题，正确处理这一问题相当繁冗。/§2控制系统的传递函数模型Laplace变换可以得到控制系统在复数域中的数学模型，将微分方程转换为代数方程形式，便于求解，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。微分方程是系统的时域模型不便于对系统进行分析设计，难于处理初值跳变问题/§2控制系统的传递函数模型Laplace变换可以得到控制系统在复数域中的数学模型，将微分方程转换为代数方程形式，便于求解，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。微分方程是系统的时域模型不便于对系统进行分析设计，难于处理初值跳变问题/§2控制系统的传递函数模型Laplace变换可以简化微分方程的求解拉普拉斯变换复习Laplace变换把实数域中的积分、微分计算变换成复数域中的代数运算，类似对数运算。

求阶跃函数的Laplace变换：求指数函数的Laplace变换：求单位脉冲函数的Laplace变换：利用拉氏变换求解微分方程：

求下式的Laplace反变换，并求解原函数

其中：查表：利用拉氏变换求解微分方程：

求下式的Laplace反变换，并求解原函数

其中：查表：拉普拉斯变换常用基本性质：微分定理若初始条件为零，则有……位移（滞后）定理终值定理初值定理初始条件为零时，积分定理拉普拉斯变换常用基本性质：试求下列微分方程的拉氏变换，并利用拉氏反变换求出时域解。第一步：对时域微分方程两端求拉氏变换，将时域方程转换为复数域的代数方程第二步：整理代数方程，建立输出量与输入量之间的关系第三步：采用部分分式展开法或其他相关方法将代数方程展开第四步：查表得到拉氏反变换/§2控制系统的传递函数模型初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。记作定义：2.1传递函数/§2控制系统的传递函数模型初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。记作定义：2.1传递函数/§2控制系统的传递函数模型初始条件为零的线性定常系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。记作定义：2.1传递函数对于初始条件为0的常微分线性方程：其传递函数可以写为：对于初始条件为0的常微分线性方程：其传递函数可以写为：

2.2典型环节的传递函数一个系统的传递函数可以由它的微分方程式经拉氏变换得到。1、比例环节：2.2典型环节的传递函数一个系统的传递函数可以由它的微分方程式经拉氏变换得到。1、比例环节：杠杆，分压器，运算放大器，气动阀2、一阶惯性环节：几种典型环节的传递函数：TsY(s)+Y(s)=kX(s)TsY(s)+Y(s)=kX(s)2、一阶惯性环节：几种典型环节的传递函数：RL电路，液位系统，气体储罐+-UiRCUc一阶惯性环节传递函数：3、二阶惯性环节：几种典型环节的传递函数：as2Y(s)+bsY(s)+cY(s)=kX(s)(as2+bs+c)Y(s)=kX(s)3、二阶惯性环节：几种典型环节的传递函数：RLC电路网络i+-URCUcL传递函数：二阶惯性环节4、高阶环节：两端进行拉氏变换得通式总有n≥m，真分式；n=1，一阶系统；n=2，二阶系统；n≥3，高阶系统。几种典型环节的传递函数：5、积分环节：6、微分环节：几种典型环节的传递函数：7、PID环节：几种典型环节的传递函数：8、纯滞后环节和带有纯滞后的一阶环节：拉氏变换的位移定理几种典型环节的传递函数：ytxt注意：2、传递函数分母中s的最高次幂表示系统的阶次。1、微分方程与传递函数是一一对应的，典型环节的传递函数要牢记。3、含项，表示带有纯滞后特性。由于拉氏变换是一种线性积分运算，因此经过拉氏变换得到的传递函数仅适用于线性定常系统；传递函数只与系统的自身结构参数有关，与输入量，初始条件无关；（为什么?）传递函数只描述系统的输入输出关系，不能反映系统的物理组成，因此物理结构完全不同的系统，可以有相同的传递函数；实际系统的传递函数分母多项式的阶次与分子多项式的阶次应满足；（为什么？）传递函数的性质传递函数分母多项式是系统的特征多项式，它的阶次代表了系统的阶次。为什么？传递函数分母多项式是系统的特征多项式，它的阶次代表了系统的阶次。传递函数是复变量的有理分式，分子、分母多项式中的各项系数均为实数，是由系统的物理参数决定的，若传递函数具有复数零、极点，则其必然共轭出现。第二章控制系统的数学模型主要内容：1、建立被控对象的数学模型2、控制系统的数学描述方法微分方程

传递函数

方块图

信号流图第二章控制系统的数学模型主要内容：1、建立被控对象的数学模型2、控制系统的数学描述方法微分方程

传递函数

方块图

信号流图2.3系统方块图G1(s)G2(s)H(s)Y(s)E(s)X(s)-方块图：应用传递函数方块描述信号在控制系统中流通过程的图解表示法

◆

系统每一环节用一个方块表示，里面写上它的传递函数

◆各变量用它的拉氏变换式表示G1(s)H(s)Y(s)◆方块之间的连接按控制信号的作用关系（信号流向而不是工艺流程）用有向线段（箭头）画出。◆

输入信号指向方块图，输出信号从方块图指出。◆

输出信号Y(s)是输入信号与方块内传递函数运算的结果：Y(s)=G2(s)U(s)G1(s)G2(s)H(s)Y(s)E(s)X(s)-注意：画图规范，箭头、加减号、变量符号（2）相加点±X1X2Y(比较器)G1(s)X1G2(s)X2±Y（3）分支点：相同的信号送到不同的地方Y1X1Y21、方块图中的基本符号（1）环节与通道G(s)X(s)Y(s)2、方块图的基本连接形式(1)

串联G1(s)X(s)Y1(s)G2(s)Y2(s)G3(s)Y(s)串联环节总的传递函数等于各环节传递函数的乘积。(2)

并联G1(s)X1(s)Y1(s)G2(s)X2(s)Y2(s)X(s)±Y(s)并联环节总的传递函数等于各环节传递函数之和。(3)反馈G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－X(s)Y(s)负反馈：Y(s)G(s)H(s)Y(s)+若正反馈：G(s)：前向通道传递函数，H(s)：反馈通道传递函数，G(s)H(s)：开环传递函数，1+G(s)H(s):系统的闭环特征多项式，1+G(s)H(s)=0：系统的闭环特征方程。当H(s)=1时，称为单位反馈系统

G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－例2-2-1

求(1)求Y(s)/X(s)设F(s)=0,Y2(s)=0,Y(s)=Y1(s)G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋被控对象XF++Y1Y2被控对象Y(2)求Y(s)/F(s)设X(s)=0，E(s)=0-Z(s)=-Z(s)X(s)G(s)E(s)H(s)Z(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋(3)求E(s)/X(s)总结(单回路):传递函数的分母相同，,分子是从输入到输出（按箭头方向）前向通道的传递函数。G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋设F(s)=0,F(s)Y2(4)求E(s)/F(s)(5)(6)G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋例2-2-2求在X(s)、F(s)共同作用下的Y(s)。利用线性叠加原理，此时Y(s)等于两输入单独作用之和。G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋＋Y(s)=例2-2-2求在X(s)、F(s)共同作用下的Y(s)。利用线性叠加原理，此时Y(s)等于两输入单独作用之和。G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋＋Y(s)=3、方块图的等效变换规则利用方块图的等效变换规则，化简系统至基本连接形式，便于传递函数的计算。（1）在无函数方块的支路上，相加点可以交换XYX1X2＋＋－＋XYX1X2＋＋＋－Y=X＋X1－X2

Y=X－X2＋X1（2）在无函数方块的支路上，分支点可交换XYY1Y2XYY1Y2（3）分支点、相加点不能互换YX1X2＋Y1YX1X2＋Y1相同性质的点可以交换，不同性质的点不可交换。X=Y1=Y2=YX=Y2=Y1=YY1=X1+X2Y1=X2（4）相加点变位

XYX1X2＋＋＋XYX2X1＋＋＋＋Y=X＋X1＋X2

Y=X＋X2＋X1（5）相加点跨越方块，（a）后移：YX1X2＋GYX1X2＋GGY(s)=X1(s)G(s)+X2(s)G(s)Y(s)=X1(s)G(s)+X2(s)G(s)后移乘G（b）前移：YX1X2＋GY(s)=G(s)X1(s)+X2(s)Y(s)=G(s)X1(s)+X2(s)YX1X2＋G（5）相加点跨越方块，后移乘G；前移除G；（6）分支点跨越方块,

（a）后移：YX1GY1YX1GY1Y(s)=G(s)X1(s)Y1(s)=X1(s)Y(s)=G(s)X1(s)Y1(s)=X1(s)后移除G,（b）前移：YX1GY1YX1GY1GY(s)=G(s)X1(s)=Y1(s)Y(s)=G(s)X1(s)=Y1(s)（6）分支点跨越方块,后移除G，前移乘G;总结：（1）尽量利用相同性质的点可以交换这一点，避免不同性质的点交换（绝不可以）；（2）相加、分支点需要跨越方块时，需要做相应变换，两者交换规律正好相反：（3）变换后，转换为单回路的串、并联或反馈回路，利用公式计算。后移→前移←相加点×分支点×÷÷X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)例2-2-3求

方法1.相加点3前移，讨论：有？种变换方法－与相加点2交换4除G1（s）,Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)例2-2-3

方法2.分支点4后移，与分支点5交换除G3（s）,1/G3Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653例2-2-3

方法3.相加点2后移，与相加点3交换。乘G1（s）,Y(s)X(s)－＋＋G1G2G3G1H1H2－＋Y(s)X(s)－