自动控制原理 第二次课（3）学习资料

上次课主要内容回顾自动控制的发展开环与闭环控制自动控制系统自动控制系统分类控制系统的设计

给定控制任务：确定被控对象、被控变量和控制变量工程设计：选择执行器、传感器（测量仪表）设计控制器（控制规律）设定值r﹣控制器执行器被控对象测量、变送扰动f被控变量y反馈量

z偏差e控制变量u控制系统的分析（性能分析）

首先了解被控对象特性建立被控对象的数学模型设定值r﹣控制器执行器被控对象测量、变送扰动f被控变量y反馈量

z偏差e控制变量u第二章控制系统的数学模型主要内容：1、建立被控对象的数学模型2、控制系统的数学描述方法微分方程

传递函数

方块图

信号流图控制系统的数学模型：描述控制系统各变量间关系的数学表达式称之为控制系统的数学模型。建立系统的数学模型的三种方法：机理分析法-机理模型，白箱子模型通过对系统各部分运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。实验辨识法－辨识模型，黑箱子模型人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，得到的数学模型称为辨识模型。此方法称为系统辨识——是控制理论的一个重要分支。综合上述方法－混合模型，灰箱子模型§1控制系统的微分方程模型用微分方程描述系统输入输出变量的动态特性是建立数学模型的一种基本方法。1.1数学模型方程的建立i+-URCUcRC电路网络确定输入(自变量)和输出变量(因变量)。例2-1-1电阻和电容的串联网络，其中U为输入电压，Uc为输出，建立两者关系的微分方程。输入:U;

输出:Uc(3)消去中间变量，得到最终的方程。对第2式两边求导：若设T=RC

T:时间常数代入第1式：(2)根据基本定律，列写原始方程（欧姆定律、基尔霍夫定律）。R+-UiRCUc（2-1-1）（2-1-2）确定

输入(自变量)和输出变量(因变量)。输入:U;

输出:Uc若设T=RC, T:时间常数上式为一阶线性（常）微分方程，因此这个RC电路是一阶线性(定常)系统。T+-UiRCUc（2-1-2）例2-1-2下图是一个液体贮槽的示意图。列出液位h对流入量Qin之间的关系式。QinhAQout图2-2液体贮槽（1）确定输入输出变量输入（自变量）：Qin，输出（因变量）：h（2）利用物料（能量）平衡式：物料(能量)蓄存量的变化率=单位时间进入的物料(能量)－单位时间流出的物料(能量)（2-1-3）（3）消去中间变量QoutQout是中间变量。根据流体力学伯努利方程：（2-1-4）其中，：阀的流通面积，：阀的节流系数，设两者均为常数（β为常数）。QoutQinhA（除常数外，只含输入输出变量）把（2-1-4）代入（2-1-3）可得：（2-1-5）（2-1-3）（2-1-4）QoutQinhA是一阶非线性系统。实际物理元件或系统都是非线性的。非线性方程的求解十分复杂。A

在一定条件下，在平衡点附近以某一线性数学模型近似原有对象的非线性数学模型。线性化过程分为两步：增量化、线性化线性微分方程的求解相对简单。（4）增量化原因：①便于方程简化和求解，相当于设初始条件（稳态条件）为零。主要关心被调参数在平衡点（设定值）附近的变化情况，即参数偏离平衡点的变化量。因此，把变量转换为增量形式，构成增量方程。如：益处：②便于线性化。QoutQinhA步骤：1、把方程写成稳态方程（稳态的物料平衡式）：2、将原方程中的变量写成稳态值和增量值之和，(1)(2)代入原方程：3、改变后的动态方程式减去稳态方程(2)-(1)，得到增量方程式。（2-1-6）注意：在不引起混淆的场合，Δ号常常省略。(2)(1)(2)-(1):整理－－(5)线性化原因：工程中大多数系统都是非线性的非线性微分方程式求解复杂线性系统理论和方法比较成熟条件：变量间关系在平衡点附近的小范围内是线性的，把非线性方程局部线性化（增量化的理由）yxy0x0△x△y△y△x方法：将非线性函数y＝f(x)在平衡点()附近展开成泰勒级数，即由于增量Δx=很小，式中增量的高次项可以忽略，则上式可近似写成线性化方程：非线性特性的线性化，实质是以过平衡点的切线代替平衡点附近的曲线。和yx图2-3非线性特性的线性化y0x0△x△y△y△x根据公式，对（2-1-6）式中的非线性项（2-1-4）线性化。（2-1-7）将（2-1-7）式代入（2-1-6）式，将此式在平衡工作点(h0)处展开成泰勒级数，并忽略增量Δh的高次项:设去掉Δ号，写成标准形式，（2-1-8）K：放大倍数，T：时间常数，具有物理意义。设(6)无因次化比较RC电路模型(2-1-2)(2-1-2)(2-1-8)使用相同的微分方程（两个特征参数T和K）描述不同的物理对象和参数（电压V，液位h）。去除量纲，抽象成统一的一阶线性方程。抽去不同的物理背景，便于分析、研究共性的规律目的：方法：和一阶贮槽模型(2-1-8)式，步骤：

以一阶贮槽模型（2-1-8）式为例，①两边变量均被各自的稳态值去除根据（2-1-8）式，当时，②定义新变量代入：还可设各变量均为无因次的相对值。代入：（2-1-8）（2-1-8）例2-1-3贮槽系统，控制流出量以保证液位稳定。列出控制系统数学表达式。其流出量的方程为：（2-1-4）QinhAQout其中，：阀的节流系数，常数。：调节阀的流通面积，受调节器的控制，另一个输入变量。液位hQout设定液位测量﹢﹣控制器水槽Qin调节阀LC把（2-1-4）式线性化（2-1-9）令（R称为阻力系数），把(2-1-9)式代入得到：（各变量分别用稳态值+增量值表示）：（2-1-4）(二元的泰勒级数展开式)：ΔQout考虑到平衡关系式：上式可整理为增量化方程：（2-1-10）上述方程表示的是在流入量和调节阀开度（调节器作用）共同作用下，液位的变化关系。已转化为线性系统。建立系统数学模型的一般步骤

▲消去中间变量，列出描述系统输入与输出关系的微分方程。

▲根据物理或化学规律列出描述系统运动规律的一组微分方程。▲首先要确定系统的输入量和输出量。被控变量控制变量、干扰变量,建立系统数学模型的一般步骤

-方程处理●

列写静态方程●

将原始方程中的变量用稳态值与增量之和表示●

将上式方程与静态方程相减

线性化增量化无因次化●

每个变量除以稳态值●

定义无因次的新变量（对非线性方程，在平衡点附近做泰勒级数展开，取一阶近似）力学系统－弹簧系统如图示。列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的系统数学模型。（1）确定输入变量：MkyFiFiMFfFky图2-5弹簧-质量-阻尼器系统输入:Fi，输出：y例2-1-4（2-2-1）（2）基本定理：（2-2-1）古典力学系统符合牛顿第二定律其中，弹簧阻力壁摩擦力k是弹簧的弹性系数。f是摩擦系数。代入（2-2-1）式：（2-2-2）弹簧平移运动是一个二阶线性系统。FiyMFfFk例2-1-5系统由两个液体贮槽串联组成。Qih1A1R1Q1h2A2R2Qo二阶液体贮槽图在这个系统中，液位h2作为被控变量，调节阀的开度f是控制变量。建立模型：确定输入输出变量输入(自变量)：f：(控制量)，Qi(扰动量)输出(因变量)：h2

是一个2输入1输出的多变量系统。(2)根据物料守恒定律列出原始方程(3)消去中间变量，列出描述系统输入与输出关的微分方程由以前分析可知，经线性化后：Qih1A1R1Q1h2A2R2Qo整理：Qih1A1R1Q1h2A2R2Qo

整理：消去中间变量有：例2-1-6求下列无源网络的动态数学模型输入：u输出：UcRLC电路网络i+-URCUcLi+-URCUc根据基尔霍夫定律有：消去中间变量i(t)线性系统的特性和分析两个重要性质：可叠加性和均匀性（齐次性）线性系统可叠加性：当f(t)=f1(t)时，方程有解y1(t),当f(t)=f2(t)时，方程有解y2(t)，当f(t)=f1(t)+f2(t)时，方程解为y1(t)+y2(t)表明，两个外力同时作用于系统所产生的总输出，等于各个外力单独作用时分别产生的输出之和。被控对象被控对象f1f1f2f2y++y1y2y被控对象均匀性：当f(t)=f1(t)时，方程有解y1(t),当f(t)=Af1(t)时，A为常数，y(t)=Ay1(t)，当外作用比例增加时，输出也增加同样的倍数。线性系统分析要充分利用以上两个性质。即输出随输入同比例缩放。例2-1-3中，（2-1-10）液位受到两个变量的共同作用，根据叠加原理，可分别研究在各个变量单独作用下，液位的过渡过程，然后相加，可以得到整个液位控制系统的全部特性。可先设输入等于1，求解输出，然后输出放大若干倍。QinhAQout纯滞后特性某些对象的输出信号响应比输入信号延迟一定的时间。溶解槽中的浓度控制系统xtyt图2-4溶解槽及滞后特性一阶无纯滞后对象特性一阶纯滞后对象特性

设定值r﹣控制器执行器被控对象测量、变送扰动f被控变量y反馈量

z偏差e控制变量u任何物理系统都可以抽象表示成方块图目的是可以使用数学工具描述控制系统然后使用数学工具设计和分析控制系统还原和指导物理装置实施控制

实践－理论－实践Qih1A1R1Q1h2A2R2Qo试建立上述系统的输入输出关系第二章控制系统的数学模型主要内容：1、建立被控对象的数学模型2、控制系统的数学描述方法微分方程

传递函数

方块图

信号流图/§2控制系统的传递函数模型

RLC电路网络i+-URCUcL/§2控制系统的传递函数模型

线性非齐次微分方程的解由齐次微分方程的通解和特解组成

若有多重根，则通解还具有其它多种模态

/§2控制系统的传递函数模型

线性非齐次微分方程的解由齐次微分方程的通解和特解组成

/§2控制系统的传递函数模型

线性非齐次微分方程的解由齐次微分方程的通解和特解组成齐次微分方程通解再求满足非齐次微分方程的一个特解，求解方法也有多种，如常数变易法、待定系数法等。经过求解，该方程的特解：

/§2控制系统的传递函数模型

RLC电路网络i+-URCUcL/§2控制系统的传递函数模型RLC电路网络i+-URCUcL/§2控制系统的传递函数模型齐次方程通解非齐次方程特解系统的零输入响应，代表自由运动由方程特征根决定系统的零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解系统的输包含两个组成部分，一部分是由初始状态产生与输入无关，一部分由输入产生，与初始状态无关采用微分方程的形式描述输入输出关系，方法直观，借助于计算机可以快速而准确的求出结果。但是如果系统的结构改变或者某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析设计。/§2控制系统的传递函数模型对象微分方程：

（2-1-1）对于条件2，在工程应用中有一个看似简单但常被误解的问题：右端函数f（t）在初始时刻不连续所带来的初值跳变问题。在研究控制系统的运动时，经常遇到如下情况：系统原来静止，而在某一时刻加入输入量，即该输入量在该时刻由0跳变到某一非零值。/§2控制系统的传递函数模型对象微分方程：

（2-1-1）t0单位阶跃函数t1a0延时单位阶跃函数/§2控制系统的传递函数模型对象微分方程：（2-1-1）t0单位阶跃函数t1a0延时单位阶跃函数由于f(t)在t=0时刻不连续，则在包含点t=0的区间内没有唯一解。因此，初始时刻不连续会带来解的初值跳变问题，正确处理这一问题相当繁冗。/§2控制系统的传递函数模型Laplace变换可以得到控制系统在复数域中的数学模型，将微分方程转换为代数方程形式，便于求解，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。微分方程是系统的时域模型不便于对系统进行分析设计，难于处理初值跳变问题/§2控制系统的传递函数模型Laplace变换