自动控制原理 第7次课学习资料

再次总结ζ不同，决定特征根位置的不同，决定系统不同的动态特性。

取适当的阻尼时ts最小。系统一般设计在欠阻尼状态，ζ取0.4~0.8。实根：单位阶跃响应呈单调特性根具有负实部（左半平面）：过渡过程稳定、收敛；复根：振荡特性根具有正实部（右半平面）：发散，不稳定，根在虚轴：临界稳定状态。3.1.2

控制系统过渡过程的性能指标评价和设计控制系统的量化指标－性能指标。

系统希望的输出与实际输出之间误差的某个函数的积分，如：平方误差积分指标（ISE）

设■常用在最优系统的设计当中，求取使J达到最小的控制作用。●

误差性能指标—通常采用两大类的性能指标。●过渡过程的性能指标－

直接评价控制系统的单位阶跃响应曲线图3-2单位阶跃响应曲线1.50.510t以阶跃响应曲线形式表示的质量指标(1)峰值时间tp阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间。tptp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。A

最大偏差A:被控输出第一个波的峰值与输出稳态值的差，如图中的A。超调量y(∞)为过渡过程的稳态值。超调量σ％（百分数表示的最大偏差）：1.50.510tptA注意与教材的的不同处(3)衰减比n在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。如图，n=A:A’。n愈大，过渡过程衰减的越快，反之，n愈小，过渡过程的衰减程度也愈小;一般操作经验希望过程有两、三个周波结束，一般常取n=4:1~10:1。l

当n＝1时，过渡过程则为等幅振荡；0.150.050.10ttpA(4)调节时间ts阶跃响应到达稳态的时间。工程上常取在被控变量进入新稳态值的土5％或土2％的误差范围，并不再超出的时间。ts的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关，ts越短，系统响应越快。1.50.510tptAts1.50.510tptA(5)上升时间tr仅适用随动系统。第一次达到系统新稳态值所需的时间，定义为上升时间。(6)余差或稳态误差e(∞)过渡过程结束时稳态值与给定值之差，是表示控制系统精度的重要质量指标。tr对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的10％上升到90％所需的时间。tse(∞）总结：1、峰值时间tp和上升时间tr反映了系统的初始快速性。4、稳态误差反映了系统的调节精度。3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系统的平稳性。2、调节时间ts反映了系统的整体快速性。1.50.510tptAtrts3.3.3二阶欠阻尼系统的质量指标单位阶跃响应过程的质量指标和二阶系统的两个特征参数ζ和ωn值之间存在定量关系。单位阶跃响应输出为：（3-22）其中，标准二阶形式的单位阶跃响应过渡过程曲线如图3-13。ty(t)1.00Atrtpts±0.02或±0.05图3-13二阶欠阻尼系统单位阶跃响应曲线1.50.510tAtp得峰值时间tp就是式(3-17)的一阶导数等于零时所对应的最小时间。3.3.3.1峰值时间tp=(3-17)方程的解为：（3-23）因为达到第一个峰值的时间为tp，m＝1，即（3-24）

将峰值时间代入式(3-22)中，便得到第一个峰值：因为因此最大偏差（3-22）（3-26）

ζ与超调量σ%的关系超调量σ%仅为衰减系数ζ的函数，与ωn无关。ζ越大，超调量越小。超调量：00204060801000.20.40.60.81ζ超调量：问题：ζ=0，1时，σ=？1.50.510tAtp3.3.3.3衰减比n由式(3-23)可知，第三个波峰值出现的时间是：则第三个峰值为：于是因而衰减比为：衰减比与阻尼系数ζ的关系如图所示。ζ与超调量和衰减比的关系00204060801000.20.40.60.81ζ超调量：衰减比n(3-23)问题：ζ=0时，n=？2.521.50.510-0.50T2T3T4T3.3.3.4调节时间ts函数的曲线是二阶系统过渡过程曲线的包络线，系统单位阶跃响应曲线总是包含在这一对包络线之内。图3-13系统过渡过程的包络线调节时间定义为阶跃响应曲线进入最终稳态值土5％或士2％误差范围内所需时间，则：因此求出：当0＜ζ＜0.9时，可取ts的近似值：（3-30）3.3.3.5上升时间tr由方程3-22，令y(tr)=1,有因此，（3-31）(3--22)=01.50.510tptstAtr3.3.3.6余差e（∞）余差是系统稳态过程的一个质量指标，由终值定理求出。归纳（1）峰值时间tp、上升时间tr、调节时间ts与ζ和ωn有关（2）超调量σ、最大偏差A、衰减比n仅与ζ有关。为什么要计算控制系统的质量指标？(1)分析、评价控制系统：已知G(s)，即特征参数ζ、ωn，不必求系统的过渡过程，根据公式，就可知系统的质量指标，对控制系统做出评价和分析。(2)设计控制系统：给定系统的质量指标后，根据以上公式，可求出ζ和ωn，即确定系统参数。一般的做法是：由超调量等确定ζ，而由ts等确定ωn

。例3-1

已知某反馈控制系统如图所示。当R(s)为单位阶跃信号时，试决定结构参数K和τ，使得系统的阶跃响应满足动态性能指标σ=20%，tp=1s，并计算上升时间tr和调节时间ts。1+τsR(s)Y(s)﹣解：思路：1、求闭环传递函数（标准形式）2、根据σ，求ζ3、根据tp，求ωn。4、根据ζ、ωn确定k和τ。5、计算其它指标。系统的闭环传递函数为：1、2、根据给定条件利用式（3-26）和（3-24），1+τsR(s)Y(s)﹣3、(180°=π弧度)4、根据二阶系统的标准形式：1+τsR(s)Y(s)﹣5、在上述参数下，计算上升时间tr（式3-31）和调节时间ts（式3-30）：解毕。1+τsR(s)Y(s)﹣过渡过程曲线如图3-13。ty(t)1.00Atrtpts±0.02或±0.05图3-13二阶欠阻尼系统单位阶跃响应曲线3.3.3.7非标准的二阶欠阻尼系统过渡过程性能指标的计算例3-2R(s)Y(s)﹣

闭环传递函数解：转换成标准二阶系统形式：即：结论：任何分子不含零点的线性二阶系统均可表示为系数K与二阶标准系统连乘的形式。闭环传递函数﹙﹚当K≠1或阶跃输入的幅值不为1时，其阶跃响应输出的质量指标如何计算？任何线性二阶系统(分子不含零点）均可表示为以下传递函数：当输入为阶跃函数R(s)=C/s，即幅值为C的阶跃信号时，输出等于：对上式求拉氏反变换，得到输出的时域表达式：当t→∞时，系统的稳态输出为：从上式可知，此时系统阶跃响应的输出被成比例放大CK倍，包括稳态值，阶跃信号的幅值C与系统增益K对系统输出有相同的影响。因此，以下暂设C＝1，分析二阶系统的过渡过程和相应的性能指标由图可知：l

时间指标不变被标准二阶系统的特征参数唯一决定。l

反映绝对误差的最大偏差A数值不同，成比例放大。●2.521.50.5100510152032530AAAK=2K=1K=0.5trtptsl

相对指标σ和n不变说明什么？A’A’K≠1时，稳态误差不为零！<问题>对标准二阶系统，幅值不是1（非单位）的阶跃信号的质量指标？结论：阶跃信号幅值C对输出的作用与增益K相同，使阶跃响应输出成比例C放大。线性系统两个重要性质：可叠加性和均匀性因此：●最大偏差A数值不同，亦成比例C放大。●●质量指标中没有变化，符合原公式。说明稳态误差不为0吗？解：利用二阶标准系统单位阶跃响应质量指标的求解原理，求解质量指标。（第一个满足要求的时间解）已知非二阶系统的阶跃响应y(t)，如何求过渡过程的质量指标？？例题系统结构图如下：(1)已知的单位阶跃响应为，求。(2)当时，求：①

系统的稳态输出；②

系统的峰值时间tp,超调量σ%,调节时间ts，粗略绘出系统阶跃响应曲线；③

稳态误差。

解：2种解法：1、根据传递函数定义求得2、求单位脉冲响应：(1)已知的单位阶跃响应为，求。（2）解：①系统的闭环传递函数利用终值定理求系统的稳态输出。②由求出由公式：系统的稳态输出粗略绘出系统阶跃响应曲线如图：解：例题ty(t)1.111.291.21③求稳态误差ess（2）2.09已知系统的方块图如图所示。当时，在的初始条件下，试求系统单位阶跃响应的表达式；

在p＝4时，系统的闭环传递函数为非零条件下的拉氏变换：？

非零初始条件下过渡过程时域响应3.4

高阶系统的动态响应两种处理方法：1、通过因式分解，把高阶系统分解为若干个低阶系统的组合，其过渡过程是各部分曲线的叠加（线性叠加原理）；2、通过降阶，把高阶系统近似表示为低阶（一、二阶加纯滞后）系统。3.4.1高阶系统的解析分析例3-3某三阶系统的闭环传递函数为：写成零极点的形式：它包含一个闭环实数根s1=﹣3和一对共轭复根s2、3=﹣1±j，还有两个闭环零点

z1=﹣1,z2=﹣2

。(3-33)在单位阶跃信号作用下，其输出可表示为：写成部分分式的形式：其中，a是输出Y(s)在输入函数极点处的留数，值等于传递函数（式（3-33））中分子与分母常数项的比值，有：(3-33)依上式可求出:bi

(i=1,2,3)是输出Y(s)在各闭环极点处的留数，可根据复变函数中的留数定理求出：代入Y(s)的表达式：把上式后两项合并，即把复数极点用它的实部和虚部表示，得到：对上式取拉氏反变换，得到系统的单位阶跃响应：观察上式，我们注意到：(1)这个三阶系统的单位阶跃响应是由它的实数极点和复数极点以及输入函数的极点构成的响应分量叠加而成，即包括一些一阶系统和二阶系统的响应函数。s1=﹣3,s2、3=﹣1±j(2)当时间趋于无穷大时，其中的指数项均衰减为零，输出的稳态值等于输入函数极点处的留数a，即闭环传递函数中分子与分母常数项的比值。(4)闭环零点决定输出响应的形状。输出函数各部分系数（各极点的留数）的符号和大小与闭环零点密切相关。(3)输出响应的形式由闭环极点的形式决定。实数极点产生单调变化的指数分量，复数极点产生阻尼正弦曲线的分量。控制系统的一般闭环传递函数为：n阶系统，分母多项式的最高次数是n，分子多项式的最高次数是m，n≥m。因式分解：l

-zi(i=1..m)是使分子等于零的根，叫做系统的闭环零点l

-pi(i=1..n)是使分母等于零的根，称为系统的闭环极点l闭环系统的零点和极点可以是实数，也可以是共轭复数（1）Ai是极点上的留数，由复变函数的留数定理计算出。a是输出Y(s)在输入函数极点处的留数。对Y(s)取拉氏反变换，可得系统的过渡过程为：若所有闭环极点为不相同的实根，并且都分布在[S]平面的左半部（具有负实部），则系统在单位阶跃函数作用下的拉氏变换式是：（2）若既有实数极点又有共轭复数极点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换式可写成如下的一般形式：式中q+2r=n。如果闭环极点是互不相同的，则上述方程可以展开成下列部分分式：其中，系数可由复变函数的留数定理求出。Y(s)的拉氏反变换为：高阶系统的响应曲线是由一些指数曲线和阻尼正弦曲线叠加而成。当所有的闭环极点都位于s左半平面时，因此，当t→∞时，上式中所有的指数项和阻尼指数项都趋于零，因此它们是系统的暂态分量，系统的稳态输出为

y(∞)=a。3.4.2高阶系统的降阶近似分析例：设有一个高阶系统（5阶），其闭环传递函数：闭环零极点：对传递函数作拉氏反变换，得到系统的脉冲响应函数：高阶系统零极点分布及过渡过程-4-30210-2-1-612300.005-0.015-0.0100.010.00545s1s2s3s4s5z1S1,2s3S4,5y(t)闭环零极点：单位脉冲响应函数从高阶系统的单位脉冲响应曲线可知：

闭环极点s1,2离虚轴最近，引起的响应分量衰减最慢；闭环极点s3靠近闭环零点z1，构成一对偶极子，s3上的留数小（0.005)，零极点的作用互相抵消；

s4,5极点的位置离虚轴很远，留数很小，对应的瞬态响应项比较小，持续时间很短,对系统的过渡过程影响不大;总的单位脉冲响应曲线大部分时间与由s1,2引起的过渡过程曲线相同，仅在开始阶段受其它极点的分量的影响。-4-30210-2-1-6s1s2s3s4s5z112300.005-0.015-0.0100.010.00545S1,2s3S4,5y(t)结论：②离虚轴较近的闭环极点对应的过渡过程分量衰减的较慢，这些分量主要决定过渡过程形式；①从闭环极点到虚轴的水平距离（极点的实部）决定了由此极点引起的瞬态过程分量的过渡时间，两者成反比；:根的实部如二阶欠阻尼系统，③远离虚轴的闭环极点具有很大的负实部，它们对应的输出响应的指数项迅速地衰减到零值，对系统的过渡过程影响不大；④偶极子的影响可以忽略。回到本例在近似分析中，可以看出，这个高阶系统可以用一个二阶系统近似表示，s1、s2称为闭环主导极点：-4-30210-2-1-6s1s2s3s4s5z112300.005-0.015-0.0100.010.00545S1,2s3S4,5y(t)或根据稳态不变性的原则：

闭环主导极点要满足的两个条件是：l

控制系统过渡过程的形式以及性能指标主要取决于这对闭环主导极点。2、与其它闭环极点距虚轴的距离在5倍以上。1、在S平面上，距离虚轴比较近，且周围没有其它的零极点。l

一般高阶系统的动态响应都是振荡的，主导极点往往是一对共轭复根。闭环零极点：偶极子：一对靠得非常近的零点和极点，附近没有其它零极点。总结1、标准二阶系统性能指标求法2、非标准二阶系统的性能指标求法3、高阶系统时域响应分析3.6控制系统的稳定性分析控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的稳定；线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。3.6.1系统稳定性的概念及条件二阶系统：ζ>0时，系统的极点具有负实部，系统阶跃响应过程按指数衰减趋势变化，系统是稳定的；ζ＝0时，系统极点是纯虚数，阶跃响应过程等幅振荡，系统处于临界状态；ζ＜0时，系统特征根具有正实部，阶跃响应过程曲线发散，系统不稳定。一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下，其输出也是有界的。极点的实部出现在单位阶跃响应的指数项中，决定输出响应的形式，负实部使指数项衰减，最终输出恒定，正实部使指数项无限增加，最终输出发散，实部为零，指数项为0，输出等幅振荡。问题：极点虚部决定单位阶跃响应的什么部分？问题：极点实部决定单位阶跃响应的什么部分？推广结论：解析方法－求解系统的特征方程

roots(abc)→求(as2+bs+c)的根高阶系统求解困难劳斯稳定判据－不用求解系统的特征方程，就可以得知系统闭环极点的分布情况线性系统稳定的充分必要条件是系统特征根（极点）全部具有负实部。

3.6.2劳斯(E.J.Routh)稳定判据已知系统的特征方程式为：特征根全部具有负实部(3-52)(1)系统特征方程式的系数必须皆为正—必要条件；(2)劳斯行列式第一列的系数全为正—充分条件；(3)第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根的个数。劳斯行列式：系统稳定的必要且充分条件是：在系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中第一列的系数全为正号。劳斯稳定判据：例3-6利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。解：它的特征方程式是：特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，劳斯行列式：劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。实际上该系统的4个根为：例3-7若一系统的特征方程为：利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。解：特征方程的系数均为正，列写劳斯行列式：该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，系统不稳定。系统的4个根为：符号改变一次→符号改变一次→几种特殊情况（1）第一列有零值出现用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式的计算；当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的符号变化次数；若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可利用辅助方程求出；若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数。例3-8系统特征方程判断该系统的稳定性。解：劳斯行列式：ε上下符号相同，说明系统有一对共轭虚根。通过解辅助方程可知，02ε0例3-9试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：解：特征方程的系数均为正，计算劳斯行列式如下：ε→0首列整理为:系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。方程解为：05/2符号改变一次→符号改变一次→（2）某行的系数都为零l

表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根大小相等，符号相反；l

利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式P（s），然后由的系数代替零行，继续劳斯行列式的计算；l

辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以通过求解辅助方程求出那些对根。

若全零行上下符号没有变化，则说明系统具有一对纯虚根；若第一列符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数；例3-10试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为：解：计算劳斯行列式辅助多项式：00求p(s)对s的导数:导数方程的系数代入s3行。896例3-11可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：行列式第一列系数符号变化一次，说明系统有一个正实部的根，系统不稳定。辅助方程是系统特征方程的一个因子式。