新高考数学专项突破：函数的概念（解析版）

第03讲函数的概念

【知识点总结】

一、函数的概念

设集合48是非空的数集，对集合A中任意实数尤按照确定的法则/集合B中都有唯一确

定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作了=/（尤）

xGA其中x叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值°,

则由法则/确定的值y称为函数在。处的函数值，记作y=/（a）或y|x=2,所有函数值构成

的集合C=｛y|y=/（x）,xeA｝叫做该函数的值域，可见集合c是集合B的子集.

注函数即非空数集之间的映射

注构成函数的三要素

构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所

以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和

对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.

二、函数的定义域

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幕或负指数次塞的底数不为零；

（5）三角函数中的正切丁=10!11的定义域是｛%1%€尺,且》7+ezj；

（6）已知/（%）的定义域求解/'[g（x）]的定义域，或已知/[g（x）]的定义域求/（龙）的

定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则J下，括号内式子

的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的

定义域.

三、函数的值域

求解函数值域主要有以下十种方法：

（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数

法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.

需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.

四、函数的解析式

求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解,

先设出/（x），再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的

系数；

（2）换元法：主要用于解决已知复合函数/[g（x）]的表达式求/（x）的解析式的问题，令

g（x）=f,解出心然后代入/[g（x）]中即可求得了⑺，从而求得〃x）,要注意新元的取

值范围；

（3）配凑法：配凑法是将/[g（x）]右端的代数式配凑成关于g（尤）的形式，进而求出的

解析式；

（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法

是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.

【典型例题】

例1.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/'⑴在定义域R上单调，且尤e(0,+s)时均有

/(/(x)+2x)=l,则〃-2)的值为()

A.3B.1C.0D.-1

【答案】A

【详解】

根据题意，函数/(x)在定义域尺上单调，且xe(0,+8)时均有/(/(x)+2x)=l,

贝U/(x)+2x为常数，设/'(无)+2x=f,则/(x)=-2x+g

则有/(，)=-2/+f=1,解可得/=—1,贝[]f(x)=-2x—1,故/(-2)=4-1=3；

故选：A.

例2.(2022.全国•高三专题练习)函数/⑺=<“<°，若实数。满足/(。)=/(«，

则叫卜()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【详解】

由题意可得H尤)=/…的定义域为(T+8),

/(%)=而1在(-1,0)上单调递增,〃x)=2x在[0,”)上单调递增,

若/⑷=/(〃—1),所以,可得

^>0

由f(a)=f(a-1)可得«a-l)+l=2a,解得：。=；,

所以/[「=/(4)=2X4=8,

故选：D.

例3.(2022•全国•高三专题练习)函数的y=，一尤2_6x-5值域为()

A.[0,+co)B.[0,2]

C.[2,+oo)D.(2,+oo)

【答案】B

【详解】

令〃二一%2一6%-5,贝iJ〃N0且y=4

又因为"=-x?-6x—5=—(x+3)'+4<4,

所以0V〃(4,所以y=&e[0,2],

即函数的y=7-%2-6%-5值域为[0,2],

故选：B.

(多选题)例4.(2022・湖南•雅礼中学高三阶段练习)下列说法正确的有()

A.式子>=万+G万可表示自变量为x、因变量为y的函数

B.函数y=7(x)的图象与直线x=l的交点最多有1个

c.若〃x)=n—国，则巾助=1

D./(x)=d-2x与g(f)=r-2r是同一函数

【答案】BCD

【详解】

,------.-------fx-l>0

对于A选项，对于函数y=+G万，有1、八，此不等式组无解，A错；

[-%-1>0

对于B选项，当函数y=/(x)在彳=1处无定义时，函数y=〃x)的图象与直线x=l无交点，

当函数y=〃x)在x=l处有定义时，函数y=〃x)的图象与直线x=l只有1个交点，

所以，函数y=/(x)的图象与直线x=l的交点最多有1个，B对；

对于C选项，因为/(力=卜一1|一国，则4!)=0,故4m〃0)=l,C对；

对于D选项，函数/(x)=V-2x与g(f)=产-2r的定义域均为R,且对应关系相同，

故〃x)=3-2x与g(/)=»—2/是同一函数,D对.

故选：BCD.

例5.(2022・全国•高三专题练习)已知集合尸={x|0SE4},2={^|0<y<2},下列从P到。的

各对应关系了不是函数的是.(填序号)

@f-x-y=gx；②于:x—y=gx；(3)f：x^y=-|x；@f：x—y=&

【答案】③

【详解】

①②④满足函数的定义，所以是函数，

2Q

对于③，因为当x=4时，y=-x4=-^Q,所以③不是函数.

故答案为：③

例6.(2022•全国•高三专题练习)函数/(x)=ln(l-6^)的定义域为.

【答案】(2,3]

【详解】

HK*fl—A/3—x>0f—x<1

依题意(M。=右=2K3,

所以〃x)的定义域为(2,3].

故答案为：(2,3]

例7.(2022•全国•高三专题练习)(1)已知y=/(x)的定义域为[0」],求函数y=/(f+l)的

定义域；

(2)已知y=f(2xT)的定义域为[0,1],求，=/(x)的定义域；

(3)已知函数>=/(尤)的定义域为。2],求函数g(x)=詈?的定义域.

2x-l

【详解】

(1)>=/(/+1)中的尤2+1的范围与>=/0)中的X的取值范围相同.

.••04尤2+141,

「・x=0,

即y="*2+1)的定义域为{0}.

(2)由题意知y=)(2x—1)中的xe[0,l],

-1<2X-1<1.

又、=/。》-1)中2》-1的取值范围与'=/(尤)中的芯的取值范围相同，

.••丫=/。)的定义域为[-1,1].

(3)•.•函数y=/(尤)的定义域为[。,2],

由2xe[0,2],得OWxWl,

二y=f(2x)的定义域为[0,1].

又2X-1H0,即xw；,

函数y=g(x)的定义域为[0,1)u(1,i].

例8.(2022•全国•高三专题练习)根据下列条件，求函数的解析式：

(1)已知y(6+1)=冗+26；

(2)若危)对于任意实数x恒有次¥)—X—x)=3x+l；

(3)已知人0)=1,对任意的实数x,y都有y)=/(x)—y(2x—y+1).

【详解】

(1)(方法1)(换元法)：设£=«+1,t>l,则％=(/—1)2(仑1).代入原式有刖=«—1)2+2«

—1)=祥一2f+1+2/—2—fl—1.,\f(x)=x2—1(x^1).

(方法2)(配凑法):\'x+2y[x—(A/X)2+2^/X+1—1—(A/X+1)2—L

:&+1)=(A/X+1)2—1(«+1>1),即7(%)=12—l(xNl).

(2)用一x换x得纨一%)一危)=-3x+l,与原式x)=3x+l联立消去月-x)得危)

=元+1.

(3)令x=0,得/(_y)=A0)_y(_y+l)=l+y2—y=(_y)2+(_、)+],所以的)=俨+>+1,即

J(x)=x2+x+l.

【技能提升训练】

一、单选题

1.(2022•全国•高三专题练习)以下从〃到N的对应关系表示函数的是()

A.M=R,N={y|y>0},f：尤-y=|x|

B.M={x\x>2,x^N*],N={y\y>0,y^N*],/：x^y=x2-2x+2

C.M—{x\x>0],N=R,f：x—>y—+s/x

D.M=R,N=R,/：x—>y=—

x

【答案】B

【分析】

根据函数的定义，要求集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，对

选项逐一分析得到结果.

【详解】

A中，M=R,N={y|y>0},f：x-y=|x|

M中元素0,在N中无对应的元素，不满足函数的定义，

2中，M—[x\x>2,x^N*},N={y|yN0,y^N*},/：x-y=N-2x+2

M中任一元素，在8中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，

C中，M={x\x>Q},N=R,/：x-^y=±4x

M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义，

Z)中，M=R,N=R,/：x—^y=—,

'x

M中元素。，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数的概念，属于基础题目.

2.(2022・全国•高三专题练习(理))下列函数中，不满足:〃2x)=2/(x)的是

A.『(尤)=国B.f(x)=x-\^C.f(x)=x+lD./(x)=-x

【答案】C

【详解】

试题分析：A中〃2x)=|2x|=2W=2/(x),B中〃2x)=2x-囱=2〃0,C中

/(2x)=2x+1^2/(x),D中〃2尤)=-2尤=2〃尤)

考点：函数关系判断

3.(2022・全国•高三专题练习)函数y=JZ-log?%的定义域是()

A.(0,4]B.(-a),4]C.(0,+巧D,(0,1).

【答案】A

【分析】

根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.

【详解】

f2-log,x>0[log,x<2=log。4

依题意产n殳=>0<x<4,

[x>0[x>0

所以"%)的定义域为(o,4].

故选：A

4-(2。22•全国•高三专题练习)函数尸Z+x+6+占的定义域为()

A.[-2,3]B.[-2,1)U(1,3]

C.(-oo,-2]U[3,+oo)D.(-2,1)U(1,3)

【答案】B

【分析】

解不等式组「二十二6、0即得解.

[九一1wO

【详解】

,f—%2+x+620

解：由题意得｛1c,

[x-lW0

解得-2%<1或1<烂3,

故选：B.

5.(2022•全国•高三专题练习)已知函数的定义域为[-2』，则函数y的定

义域为()

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】D

【分析】

根据函数f（x）的定义域以及对数的真数为正数、分母不为零可得出关于实数x的不等式组,

/（3x-2）

由此可解得函数》=判一^的定义域.

炮（1）

【详解】

-2<3x-2<l

,.rif（3x-2）

己知函数/'（X）的定义域为[-2,1],对于函数/=[（]_J,有<1-x>0,

lg（l-x）wO

-2<3x-2<l

即，l-x>0,解得0<x<L

1-xw1

/（3x-2）/、

因此，函数y=；；]_/的定义域为（o,i）.

故选：D.

6.（2022・全国•高三专题练习）若函数/（尤+1）的定义域为[0,1],则/（Igx）的定义域为（）

A.[10,100]B.[1,2]C.[0,1]D.

[0,lg2]

【答案】A

【分析】

先根据函数/（x+1）的定义域为求出1WX+1W2,再令1Vig尤W2即可求求解.

【详解】

因为函数/（尤+1）的定义域为[。，1],

所以1VX+1V2,

所以l〈lg尤V2,

解得：104xW100,

所以"1gx）的定义域为“0,100],

故选：A.

7.（2022•全国•高三专题练习）已知函数=则的解析式为（)

A.B-

c-"无）=日巨（》片一1）D-〃力=一/？（无*T）

【答案】A

【分析】

I_YI_t

令则尤=W'代入已知解析式可得了⑺的表达式’再将t换成”即可求解.

【详解】

*1—XEl-t

令"----，贝!Jx二——

1+x1+Z

2

l-t

1-

T+7It

所以〃，)=一(U),

i-t,2~t2+l

1+

l+t

所以〃x)=47(尤~i)，

故选：A.

8.(2021•黑龙江・牡丹江市第三高级中学高三阶段练习(文))下列各组函数中，表示同一函

数的是()

A.y=X,y=—B.y=尤。,y=lC.y=,y=D.y=\x\,y=4^

【答案】D

【分析】

由当两个函数的定义域相同，对应关系相同时，这两个函数是同一个函数进行分析判断

【详解】

对于A,y=l的定义域为R,而＞=:的定义域为{x|xwo},两函数的定义域不相同，所以

这两个函数不是同一个函数，所以A错误，

对于B,〉=戈°的定义域为{无卜片0},y=l的定义域为R,两函数的定义域不相同，所以这

两个函数不是同一个函数，所以B错误，

对于C,y==G"两个函数的定义域为a，而y===，系=忖，两函数的对

应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以C错误，

对于D,y=|尤|,y=G"两个函数的定义域为R,丁=斤=国，两函数的对应关系相同，所

以这两个函数是同一个函数，所以D正确，

故选：D

9.(2021•天津市西青区张家窝中学高三阶段练习)下列各组函数中，表示同一个函数的是

()

A./(x)=x-l和g(x)=^^B./(x)=x°^ng(x)=l

C.〃x)=x2和g(x)=(x+l)2D.〃x)=g和8(”=而

【答案】D

【分析】

根据函数的定义域是否相同，定义域相同的情况下取相同值看计算出来的结果是否相同即

可.

【详解】

A中，/(x)=x—1的定义域为R,g(x)=[3的定义域为(―T)(Ty).A错.

B中，〃%)=尤°的定义域为(y0)5。，口)，g(x)=l的定义域为R.B错.

C中，函数Ax"/与x轴的交点为(0,0),函数g(x)=(x+l『的零点为(TO).C错.

D中，函数/(力=回=1，函数鼠")=函『=1，两函数定义域相同值也相同.D正确.

故选：D.

10.(2022・全国•高三专题练习)若函数f(x)满足〃x)-2，J=x+2,贝1]八2)=()

A.0B.2C.3D.-3

【答案】D

【分析】

由/(“一2/1_]=尤+2可得/(J1-2/(X)=.+2,得到方程组，可解〃x),代入x=2可

求出“2).

【详解】

由/⑺一2/11=x+2,可得/1-2/(力,+2,

联立两式可得〃尤)=—卜+£|-2,代入元=2可得”2)=—3.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：求函数的解析式，常用的方法有：(1)配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法;

(4)构造方程组法；(5)特殊值法.

\Jx+1,—1<x<0

11.(2022・全国•高三专题练习)函数/(x)=，若实数。满足/⑷=1),

[2x,x>0

则5()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】

判断“X)的单调性可得”>0,所以J(a-l)+l=2a,求得。的值即可求解.

【详解】

由题意可得〃x)=［尸+1<X<°的定义域为(T+s),

［2x,x>0

〃尤)=而1在(-1,0)上单调递增,/(%)=2x在［0,讨)上单调递增，

f—1<〃一1<0

若/⑷=/(〃—1),所以、八，可得Ovavl,

^>0

由f(a)=)(。一1)可得+1=2a,解得：a=；,

所以/(£l=〃4)=2x4=8，

故选：D.

2%_/x〉5

12.(2022•全国•高三专题练习)已知八无)="；",则共4)切>4)=()

f(x+3),x<5

A.63B.83C.86D.91

【答案】C

【分析】

由给定条件求得式-4)寸5),式4)寸7),进而计算穴5)、穴7)的值，相加即可得解.

【详解】

依题意，当x<5时，治)=危+3),于是得%4)=於1)=/⑵=人5),a)=/(7)，

当xN5时，人打=2*-尤2,则八5)=25-52=7,*7)=27-72=79,

所以34)忧-4)=86.

故选：C

((3a-l)x+4a,x<l

13.(2022.全国•高三专题练习)已知函数/(x)=bg.x,无21的值域为R,则实数。的取值

范围为()

A.(0,1)B.c.fo,yu(l,+oo)D.

【答案】C

【分析】

运用一次函数和对数函数的单调性可解决此问题.

【详解】

解：根据题意得，

（1）若广（X）两段在各自区间上单调递减，贝IJ:

3u—1<0

<0<6Z<l；

（3a-1）?+a<loga

解得^<a<--

（2）若/（x）两段在各自区间上单调递增，贝IJ：

3。—1>0

<a>\；

（3i-1）?+a>loga

解得a>l；

二综上得，。的取值范围是。（1,+s）

故选C.

【点睛】

本题考查一次函数、对数函数以及分段函数单调性的判断，值域的求法，属于基础题.

ax,x<0

14.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（九）=/八,、八，满足对任意％#及，都

（〃一2）X+3Q,XN。

有"*）一"*）<0成立，则a的取值范围是（）

X]-x2

313

A.a£（0,l）B.a^[—,1）C.D.〃£[“2）

【答案】c

【分析】

0<tz<1

根据条件知/⑶在尺上单调递减，从而得出〃-2<0,求〃的范围即可.

3a<1

【详解】

,/f（x）满足对任意羽为⑵都有"'一/㈤<0成立，

七一马

“X）在R上是减函数,

0<4Z<1

：.<a-2<0,解得。

3

(a-2)x0+3a<«°

的取值范围是,

故选：C.

2x+Q%<1

15.(2022.全国•高三专题练习)已知实数awO,函数〃尤)=；,,若

[-x-2a,x>l

/(I—a)=/(l+a),贝心的值为()

,3「3-3

A.—B.—C.--D.—

4455

【答案】A

【分析】

分另1J讨论a>0和“<0时，1-fl,1+a与1的大小关系，进而可得〃1一。)与〃l+a)的表达

式，解方程即可求解.

【详解】

因为〃。0,

当〃>0时，l—a<lvl+a,

止匕时/(1-«)=/(1+a)等价于2(1—a)+a=-(l+a)—2a,

3

所以2—〃=一1一3",解得：a=~29不满足〃>0，舍去；

当avO时，l+avl<l—a,

此时/(1-«)=/(1+a)等价于2(1+〃)+〃=一(1一〃)一2〃，

3

所以2+3。=一1—a,解得：a=—，符合题意，

4

综上可得：〃=-；3,

4

故选：A.

(AXr>0

16.(2022・全国・高三专题练习)已知实数。41,函数〃同={J-，若〃l-a)=/(a-l),

2所，，元<0

则。的值为()

【答案】B

【分析】

根据分段函数的解析式，结合分段条件分和“>1两种情况讨论，即可求解.

【详解】

(4Xr>0

由题意，函数〃x)=二一，

I，，X<U

当。<1时，4〜=2，即22Q=2:解得。=g;

当”>1时，染-1=2而(~)，即22所2=22。-1,此时方程无解，

综上可得，实数。的值为3.

故选：B.

f2-'r<0

17.(2022.全国•高三专题练习)设函数"x)='一八，则满足/(x+l)</(2x)的x的取

[1,x>0

值范围是()

A.B.(0,+°o)C.(-1,0)D.(-℃,0)

【答案】D

【分析】

先根据指数函数的单调性得到函数Ax)在(3,0]上的单调性，再画出分段函数的图象，利

用图象得到不等式的解集.

【详解】

当x40时，函数/(》)=2-，=§广单调递减，

则f(xR/(0)=l,

作出f(x)的大致图象如图所示，

由图象知，要使〃x+l)</(2x),

x+1<0

x+l>0

须2x<0或

2x<0

2x<x+\

解得％v-1或-l«x<0,

即X<0.

故选：D.

x2+2xX>0

18.(2022.全国•高三专题练习)已知函数〃x)=21"1则不等式

-x+2x,x<0,

/(3x+2)v/(x—4)的解集为()

A.(-<»,-3)B.1f-'ll

C.(TO,-1)D.(TO/)

【答案】A

【分析】

根据/(%)在R上单调递增可求解.

【详解】

易得函数f(x)在R上单调递增，

则由/(3*+2)</(X—4)可得3x+2<x—4,解得x<—3,

故不等式的解集为(—,-3).

故选：A.

ff|T^o

19.(2022・全国•高三专题练习(文))设函数〃x)='J,若〃昂)>2,则%的取

£

x^,x>0

值范围是()

A.(^»,-1)U(4,-HX>)B.(-oo,-l)

C.(4,+oo)D.(-1,4)

【答案】A

【分析】

分别在%4。和%>。的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果.

【详解】

当x°WO时，〃％)=2f>2,；.一%>1,解得：无o<-l；

1

当尤0>0时，f（/）=宕=J1>2，解得：Xo>4；

综上所述：%的取值范围为（F,T）,（4,+w）.

故选：A.

20.（2022.全国•高三专题练习）已知函数=（_/+2》<0,则42。21）=（）

A.1B.2C.logs6D.3

【答案】D

【分析】

根据分段函数的定义得出xNO时函数类似于周期性，这样可把自变量的值变化到（-8,0）上

来，从而求得函数值.

【详解】

由题意/（2021）=/（2017）=••.=/（1）=/（-3）=log33+2=3.

故选：D.

二、多选题

21.（2022.全国•高三专题练习）已知集合”={-1,L2,4},N={1,2,4,16},请根据函数定义，

下列四个对应法则能构成从M到N的函数的是（）

A.y=2尤B.V=NC.y=x+2D.y=x2

【答案】BD

【分析】

根据函数的概念逐一判断即可.

【详解】

A,集合M中-1在集合N中没有对应元素，故A不选.

B,由函数的定义集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一元素与之对应，故B可选；

C,集合〃中1、4在集合N中没有对应元素，故C不选.

D,由函数的定义集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一元素与之对应，故D可选；

故选：BD

22.（2022・全国•高三专题练习）（多选）若函数y=在区间［-2,-1］上有意义，则实数。

可能的取值是（）

A.-1B.1C.3D.5

【答案】AB

【分析】

该题可等价于三+120在区间［-2,-1］上恒成立，分离参数即可求得.

【详解】

函数y=在区间［-2,-1］上有意义，

等价于2+120在区间［-2,-1］上恒成立,

由尤<0得aW-x在区间上恒成立，所以,

故选：AB.

23.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（X）是一次函数，满足/（/（x））=9x+8,则/（x）

的解析式可能为（）

A./(x)=3x+2B./(x)=3x-2

C./(x)=-3x+4D./(x)=-3x-4

【答案】AD

【分析】

设=区+b,代入/(/(力)=9x+8列方程组求解即可.

【详解】

设/(x)=Ax+6,

由题意可知/（f（尤））=左（乙+人）+人=4—+的+b=9x+8,

k1=9k=3、k=-3

所以,解得匕=2或

劭+6=8b=-4

所以/(尤)=3x+2或/(x)=-3x-4.

故选：AD.

三、双空题

f—4%2V<■01

24.（2022•全国•高三专题练习）设函数〃x）=2_'若〃。）=-彳，则〃=

I人人,人U>

若方程〃尤）-6=0有三个不同的实根，则实数6的取值范围是.

【答案】或!m

42V4J

【分析】

第一空结合分段函数分a<0和解方程即可求出结果；第二空将方程/（力-6=。有三

个不同的实根转化为函数/（X）与直线y=6有三个交点，作出函数图象数形结合即可求出结

果.

【详解】

11

若qvO,则解得〃=—•-,

44

11

若a20,贝ij/-。-二，解得a=-

42f

M1-1

故Q=一:或〃=不；

42

当％<0时，/（尤）<0且单调递增，

当行0时，2-1,在[0,；）单调递减，在g,+8）单调递增，所以段）的最小

值是一！，

4

若方程/（犬）-6=。有三个不同的实根,

b=/（x）有3个交点，故"？I；，。

故答案为：-;或;；（一；，0]

——x>[

25.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（%）=无‘-‘若/5）=-1,贝陵。=

x3,x<l

若关于X的方程“无）=左有两个不同零点，则实数上的取值范围是.

【答案】一1（0,1）

【分析】

x1

°-(x<1

第一空，将〃x0)=T等价于或解之即可；第二空，作函数y=/(x)及

~--1l%0=-i

40

>=上图象，根据图象求实数上的取值范围即可.

【详解】

Xn>1(■

/、

解方程/(七)=-1,得工①fx0二<l•，②

V-T〔X。

人0

解①无解，解②得%=T.

关于x的方程/(x)=%有两个不同零点等价于y=/(x)的图象与直线y=%有两个不同交点.

观察图象可知：当0<左<1时，y=〃x)的图象与直线'=上有两个不同交点，即左e(O/).

故答案为：-1；(0,1).

四、填空题

26.(2022.全国•高三专题练习)已知函数g(J^+l)=2x+3,贝禽⑶二.

【答案】11

【分析】

利用换元法可求g(x)的解析式，将x=3代入即可求g(3)的值.

【详解】

令6+1=/21,贝!Jx=(r—I)?,

所以g(0=2«_l)2+3=2/_4r+5«21),

所以g(x)=2f-4x+5(x>l),

所以g⑶=2x3?-4x3+5=11,

故答案为：11

【点睛】

方法点睛：求函数解析式的方法

(1)待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出F(x),再利用题目中给的

已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；

(2)换元法：主要用于解决已知复合函数/根(元)］的表达式求/(力的解析式的问题，令

g(x)=f,解出x,然后代入/［g(x)］中即可求得〃/),从而求得了(力，要注意新元的取

值范围；

(3)配凑法：配凑法是将/［g(x)］右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出的

解析式；

(4)构造方程组法(消元法)：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法

是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.

27.(2022.全国•高三专题练习)已知函数“X)对于任意的实数无，》满足

/(x+y)=/(x)-/(y),且恒大于0,若刖=3,则/(一1)=—.

【答案】|

【分析】

利用赋值法，先令x=y=o可得〃0)=1,再令x=i,y=-i,即可求出〃一1)的值.

【详解】

令x=y=o,则〃。)=0(0),解得"0)=1或〃o)=o(舍去).

令无=1,y=-l,则＞⑼"⑴RT),因为/⑴=3,所以〃

故答案为：;"

28.(2022・上海•高三专题练习)已知函数f(x),g(元)分别由下表给出

X123

/(X)131

X123

g(x)321

则/[g（D]的值为；满足flgM]>g[/（x）]的X的值是.

【答案】1,2

【详解】

⑴]=〃3）=1；

当x=l时，力g⑴]=l,g"⑴]=g6=3,不满足条件，

当x=2时，/出⑵]=f（2）=3,g"⑵]=g（3）=l,满足条件，

当x=3时,/区（3）]=八1）=1超"（3）]=仪1）=3,不满足条件，

只有x=2时，符合条件.

29.（2022・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=log2，+。），若〃3）=1,贝|。=.

【答案】-7

【详解】

分析：首先利用题的条件外3）=1,将其代入解析式，得到63）=/。4（9+0）=1,从而得到

9+a=2,从而求得a=-7,得到答案.

详解：根据题意有〃3）=妖2（9+a）=1,可得9+a=2,所以°=-7,故答案是-7.

点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在

求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.

30.（2022.全国•高三专题练习）已知函数/（2一）的定义域是[0』，则函数y=/（3T-l）的

定义域是.

【答案】[-L—logs2]

【分析】

由函数fQi）的定义域是[0』，可求2T的值域，即函数“X）的定义域，再由尸_141,2],

即可求得y=/（3~%-1）的定义域.

【详解】

/（2j）的定义域是[0』，则即函数/（X）的定义域为[L2],

令k—即3-飞[2,3],解得xe[-L,—log32]

则函数》=/（3-x-l）的定义域为[T—log32].

故答案为：[T,Togs2].

【点睛】

方法点睛：求抽象函数的定义域的方法：

(1)已知/(X)的定义域为[4,勿，求/[g(x)]的定义域：求不等式a<g(x)V6的解X的范围，

即为/口(切的定义域；

(2)已知/[g(x)]的定义域为口,句，求Ax)的定义域：由“4XW6确定g(x)的取值范围，

即为Ax)的定义域.

(3)已知/[g(切的定义域，求丹必切的定义域：先由/[g(切的定义域，求得f(x)的定

义域，再由"X)的定义域，求得了[〃(幻]的定义域.

31.(2022・全国•高三专题练习)已知“X)是一次函数，且满足3/(x+l)-2"x-l)=2x+17,

求〃x)=.

【答案】2x+7

【分析】

设『(力=仆+。(。*0),根据已知条件列方程，由对应系数相等求出。和b的值即可求解.

【详解】

因为/(x)是一次函数，设/(1)=办+6(”0),

因为3/(x+l)-2/(x-l)=2x+17,

所以3[a(尤+1)+/?]-2[a(x-1)+6]=2x+17,

整理可得《x+5a+b=2x+17,

[a=2[a=2

所以Vj17'可得，7'

[5a+b=u[b=7

所以f(x)=2x+7,

故答案为：2x+7.

32.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/'(«+2)=尤+44+5,则的解析式为

【答案】/(x)=x2+l(x>2)

【分析】

令五+2=/,则/N2,且X=Q-2)2,将已知条件转化为关于/的表达式，再将/换成x即

可求解.

【详解】

令>/^+2=f，则122,且x=(f-2),

所以/«)="_2)2+4«_2)+5=r+1,(?>2)

所以〃x)=a+l(x22),

故答案为：/(X)=X2+1(X>2).

2020

33.(2022.全国•高三专题练习)设函数八尤)对；#0的一切实数都有兀0+贺——)=3x,则

x

的=■

【分析】

令犬=20上20代入等式，解方程组可得答案.

X

【详解】

因为小)+2“第1x,可得“第卜2/(+3金,

“x)+2/［出］=3x

由，\xJw-、4040

角牛何f(%)=1•

X

［(一V72020

故答案为：/(x)=4™040-x.

【点睛】

本题考查了利用方程组求解析式，属于简单题型，一般求解析式的方法分为:

1.待定系数法，适应于已知函数类型；

2.代入法，适用于已知“X)的解析式，求，［g(x)］的解析式;

3.换元法，适用于已知外g(x)］的解析式，求〃x)的解析式；

4.方程组法，适用于已知“力和的方程，或和的方程.

34.(2022•全国•高三专题练习)已知/•(元)+3/(-元)=2x+l,则的解析式是.

【答案】〃X)=T+；.

【分析】

将等式f(x)+3/(-幻=2x+l中的x换为r,建立二元一次方程组求解即可得出/(%)的解析

式.

【详解】

将等式f(x)+3f(-x)=2x+l中的x换为-X得到：/(-x)+3f(x)=-2x+l

/(元)+3/(—x)=2尤+1解得：〃X)=T+；

故有

/(-x)+3/(x)=-2x+l

故答案为：/（X）=T+：

【点睛】

本题主要考查了求抽象函数的解析式，属于基础题.

35.（2022・全国•高三专题练习）设了⑺是定义在R上的函数，且满足对任意羽丁等式

，（2y—x）=-2/（x）+3y（4x—y+3）恒成立，则/（x）的解析式为.

【答案】/（x）=3x（x+l）

【分析】

由题意，把等式中的y替换成x即可求出〃x）.

【详解】

.f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y,，（2y-x）=—2/（x）+3y（4x-y+3）恒成立，

二令y=尤，得

/（2x-x）=-2/（x）+3x（4x-x+3）,

即f（x）=-2/（x）+3x（3x+3）,

3/（x）=3x（3x+3）,

尤）=3x（尤+1）.

故答案为〃x）