斜面模型（原卷版）-2023-2024学年高一物理模型（人教版必修第一册）

专题08斜面模型

模型讲解

一.斜面模型

斜面模型是高中物理中最常见的模型之一，斜面问题千变万化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固

定，也可能运动，运动又分匀速和变速；斜面上的物体既可以左右相连，也可以上下叠加。物体之间可以

细绳相连，也可以弹簧相连。求解斜面问题，能否做好斜面上物体的受力分析，尤其是斜面对物体的作用

力（弹力和摩擦力）是解决问题的关键。

对沿粗糙斜面自由下滑的物体做受力分析，物体受重力加g、支持力尸心动摩擦力/,由于支持力

FN=mgcos0,则动摩擦力/=〃"=〃"gcos，，而重力平行斜面向下的分力为加gsin。，所以当

加gsin。=〃"gcos。时，物体沿斜面匀速下滑，由此得sin。=〃cos。，亦即〃=tan。。

1.所以物体在斜面上自由运动的性质只取决于摩擦系数和斜面倾角的关系。

当〃<tan。时，物体沿斜面加速速下滑，加速度a=g（sin。一〃cos。）；

当〃=tan。时，物体沿斜面匀速下滑，或恰好静止；

当〃〉tan。时，物体若无初速度将静止于斜面上；

2.对于光滑斜面无论物体下滑还是上滑加速度大小均为：a=gsind

3.对于粗糙斜面物体下滑过程加速度大小为：a=g（sin。-〃cos。）

上冲过程加速度大小为：a=g（sinO+〃cos。）

二.斜面模型的衍生模型----“等时圆”模型

1.“光滑斜面”模型常用结论

如图所示，质量为加的物体从倾角为0、高度为人的光滑斜面顶端由静止下滑，则有如下规律：

（1）物体从斜面顶端滑到底端所用的时间t,由斜面的倾角0与斜面的高度/7共同决定，与物体的质量无关。

1

关系式为t

sin。

（2）物体滑到斜面底端时的速度大小只由斜面的高度〃决定，与斜面的倾角。、斜面的长度、物体的质量无关。

关系式为"=京江

2.“等时圆”模型及其等时性的证明

1.三种模型（如图）

2.等时性的证明

设某一条光滑弦与水平方向的夹角为a,圆的直径为d（如图）。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直

2ds[na

线运动，加速度为。=8$亩位移为x=dsina,所以运动时间为fo=Al=y1^.

0（\laVgsinag

即沿同一起点（圆的最高点）或终点（圆的最低点）的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短

无关。

案例剖析1

--------——-

【例1].如图所示,斜面/C长工=4m,倾角0=37。，CD段为与斜面平滑连接的水平地面。一个质量加=2kg

的小物块从斜面顶端/处由静止开始滑下。小物块与斜面、地面间的动摩擦因数均为〃=06。不计空气阻

力,g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求：

（1）小物块在斜面上运动时的加速度大小

（2）小物块滑到斜面底端C点时的速度大小v；

（3）求小物块在水平地面上滑行的最远距离X。

A

k.............0^....................

//////////7/7///////////

CD

【例2】.如图甲所示，P、。是某竖直面内的两点，它们之间的高度差〃=0.3m,水平距离1=1.2m。将

一根直金属细杆沿尸。方向固定。将一个带有小孔的珠子套在杆上，孔的直径略大于杆的直径。珠子恰好能

沿杆匀速下滑。

(1)求珠子与杆之间的滑动摩擦系数；

(2)若将细杆弯折成尸N和NK两段，如图乙所示。其中PN与水平方向夹角为8,NK水平，P、N两点

高度差为耳。它们之间由一段极短的圆弧连接。该圆弧只改变珠子的速度方向，不改变其大小。取sin6=0.6,

cose=0.8,g=10m/s2o将珠子从尸点由静止释放，若珠子滑到K位置停止滑动，求K点到尸点的水平距

【例3].如图在设计三角形的屋顶时，使雨水尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦

地流动，试分析：在屋顶宽度(2£)一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？

【例4】图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分滑行的时间，技术人员通过测

量绘制出如图乙所示的示意图。是滑道，。点是/C竖直线上的一点，且有ND=DB=20m,滑道N3可视

为光滑，滑行者从坡顶/点由静止开始沿滑道N3向下做直线滑动，g取10m/s2,则滑行者在滑道N8上滑

行的时间为多少？

A

EB

图乙

综合应用

一、单选题

i.如图所示，一可视为质点的小物块先后沿两光滑斜面I和n从顶端由静止滑下，到达底端的时间分别为力

和〃，斜面I与水平面的夹角为30。，斜面H与水平面的夹角为45。（未标出），则（）

A.tx>t2B.£=GC.D.无法判断

2.如图甲所示，在倾角为8=30。的固定斜面顶端静止一个质量为根的木块，在斜面底端装有一个位移传

感器，位移传感器与电脑相连。己知位移传感器可以测量木块与传感器间的距离x并通过数据线输入电脑。

置于斜面顶端的木块以某一初速度沿斜面下滑，以x为纵轴，以时间f为横轴，得到如图乙所示的XT图像,

图中的斜虚线为图线的切线，切点为（0,%）。图中％=lm、X]=0.4m、力=0.5s、4=0.4s。已知重力加

速度为g=10m/s2,则下列判断正确的是（）

A.木块的初速度为%="*=L2m/s

,0

B.木块运动加速度的大小为2.5m/s2,方向沿斜面向下

C.木块运动加速度的大小为2.5m/s2,方向沿斜面向上

D.木块与斜面间的动摩擦因数〃<tan30°

3.如图（a）,一物块在f=0时刻冲上一固定斜面，其运动的v-f图线如图（b）所示。若重力加速度g及

图中的％、匕、4均为已知量，则根据这些信息，不能求出（）

A.物块的质量B.斜面的倾角

C.物块沿斜面向上滑行的最大距离D.物块与斜面间的动摩擦因数

4.如图所示，某幼儿园要做一个儿童滑梯，设计时根据场地大小确定滑梯的水平跨度为L滑板和儿童之

间的动摩擦因数为〃，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使儿童在滑梯中能沿滑板无初速滑下，则滑梯

L

A.RLB-

L

c.一D.+金L

5.如图所示，竖直平面内存在半径为R的大圆和半径为r的小圆，两个圆的公切线水平，有两条倾斜的光

滑轨道，一条与大圆相交于/、B两点，N点为大圆的最高点，另一条轨道一端交于大圆的。点.另一端交

于小圆的D点，且过大圆和小圆的公切点。现让一物体分别从两条轨道的顶端/、C由静止释放，分别滑

到B点和。点（假设物体能够无障碍地穿过CD与圆的交叉点），物体在两条轨道上的运动时间分别为加、

tCD,重力加速度为g,下列判断正确的是（）

B.tAB>%D

6.一个质点自倾角为。的斜面上方定点/,沿光滑斜槽从静止开始滑下，为了使质点在最短时间到达斜面,

斜槽与竖直方向的夹角,应等于（）

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A.—aB.aC.aD.0

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7.如图，AC,8c为位于竖直平面内的两根光滑细杆，AC<BC,A、B、。恰好位于同一圆周上，C为最

低点，a、b为套在细杆上的两个小环，当两环同时从/、2两点由静止开始自由下滑到C的过程中，下面

C

A.加速度大小相同B.时间相同

C.末速度大小相同D.平均速度大小相同

二、多选题

8.如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为小

t2、t3、t4。已知竖直固定的圆环的半径为心。为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为gr,重

力加速度为g,下列说法正确的是（)

A.wt?

三、解答题

9.伽利略被誉为“经典物理学的奠基人”，他认为将A、B两个斜面对接起来，让小球沿斜面A从静止滚下,

小球滚上另一斜面B。如果无摩擦，无论斜面B比斜面A陡些还是缓些，小球最后总会在斜面B上的某点

速度变为零，这点据斜面底端的竖直高度与它出发时的高度相同。如图所示，设起点为P终点为“，已知

a=45°,p=30°,试求：

(1)小球在A、B两斜面上运动的加速度大小之比；

(2)小球从尸到g的过程中，在A、B两斜面上运动的时间之比。

10.一足够长的斜面固定在水平地面上，斜面倾角。=30。，斜面分为粗糙程度不同的段和BC段。NB段

长22.5m,与物体间的动摩擦因数为〃-5c段足够长，与物体间的动摩擦因数为〃?，4重力加速

度g=10m/s2。质量机=2kg的物体恰好能在斜面的48段匀速下滑。

(1)求斜面段的动摩擦因数M；

(2)如图所示，如果给物体一个方向沿斜面向上的拉力尸=30N,使物体从A点由静止开始运动，运动到B点

时立即撤去拉力F,求物体再次回到B点时的速度。

11.一质量为/=lkg的滑块能在倾角为8=37。的足够长的斜面上以Zm/s?匀加速下滑。如图所示，若用一

水平向右的恒力尸作用于滑块，使之由静止开始在f=2s内能沿斜面运动的位移为x=hn,求：（取

g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（1）滑块和斜面之间的动摩擦因数〃；

（2）恒力尸的大小。

12.倾角6=30。的斜面固定在水平地面上，有一质量加=3kg的小物块（可视为质点）静止于斜面底端，将

一平行于斜面向上的恒力b=45N作用于小物块上，使其由静止开始沿斜面向上做匀加速直线运动，小物块

运动。=2s后撤去恒力尸，再经过时间A2（大小未知）小物块静止且刚好到达斜面的顶端。已知小物块与斜

面间的动摩擦因数必=£,取重力加速度大小g=10m/s2,求：

（1）t2；

（2）斜面的长度

13.如图甲，天台安科村滑草场惊险刺激，深受人们喜爱。简化图像如图乙所示，假设某人坐在滑板上从

斜坡的高处/点由静止开始滑下，滑到斜坡底端2点后，沿水平的滑道再滑一段距离到。点停下来。如果

人和滑板的总质量机=60kg,滑板与斜坡滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为〃=0.5,斜坡的倾角。=37。

（sin37°=0.6,cos37°=0.8）,斜坡与水平滑道间是平滑连接的，整个运动过程中空气阻力忽略不计，重

力加速度为g=10m/s2。求：

（1）人从斜坡上滑下的加速度为多大？

（2）若距离为10m,求人和滑板滑到斜面底端的速度大小？

（3）若由于场地的限制，水平滑道的最大距离为C=20.0m,则人在斜坡上滑下的距离应不超过多

少？

14.一个小物块以初速度%=10m/s冲上足够长的粗糙斜面，斜面倾角0,物块与斜面间的动摩擦因数为〃，

小物块在斜面上运动的V—图像如图所示，重力加速度g取10m/s?，求斜面倾角0的正弦值sin。及物块与

斜面间的动摩擦因数〃。

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