向量运算的技巧 专项练-2025年高考数学二轮复习

考点精炼--向量运算的技巧专项练

2025年高考数学二轮复习备考

一、单选题

1.如图，在VABC中，AN=〈AC,尸是BN的中点，若=+则根+〃=()

2.已知ABC的外接圆圆心为。，S.2AO=AB+AC，\OA\=\AB\,则向量在向量8c上的投影向

量为()

A.-BCB.昱BCC.--BCD.一立BC

4444

19

3.已知△ABC是边长为1的正三角形，⑷V=gNC,尸是8N上一点且AP=MA5+§AC,则APA5=

()

212

A.—B.—C.—D.1

993

4.已知正三角形A3C的边长为2,点。满足cr>=〃2C4+wC3，且相>0,«>0,2m+n=\,则的

取值范围是()

A.(-«),1)B.(2,+co)C.(1,2)D.(0,2]

5.如图，边长为4的等边VABC,动点尸在以BC为直径的半圆上.若AP=2AB+〃AC,则彳+工〃

的取值范围是()

6.在三角形ABC中，加3,AC=6,向量皿在向量AC上的投影向量为%C,尸为BC上一点,

且BP=2PC,则网=(

A.4B.V21C.s/23D.5

7.在AABC中，AB=AC=5,BC=6,尸为AABC内的一点，AP=xAB+yAC,则下列说法错误的

是（）

A.若P为△ABC的重心，则2x+y=lB.若P为△ABC的外心，贝1]2小8。=18

75

C.若尸为AABC的垂心，则D.若尸为AA3c的内心，则=z

168

二、多选题

8.已知点P是VABC的中线3D上一点（不包含端点）且AP=xAB+yAC,则下列说法正确的是（）

L12

A.x+2y=lB.2x+y=lC.2%+4V>272D.一+一的最小值是9

xy

三、填空题

9.在三角形Q4B中，点尸为边A3上的一点，且AP=2P8，点。为直线。尸上的任意一点（与点O

和点尸不重合），且满足。。=4。4+%。3,则才=.

10.如图，已知VABC的面积为6,28AC=2,若=点及厂分别为边AC中点，则

DFCE的最大值为.

33

11.在VABC中，AD=-DC,P是直线3。上一点，^AP=mAB+-AC,则实数机的值为____.

45

2兀

12.设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧BC上运动（包含B,C两个端点），ZB4C=彳且

AP=2xAB+yAC,则x+V的最大值为.

ABAD

13.在平面四边形ABCD中，ADuBC网+口4=-AC,BAAD=2,ZBAD=;若E、F为

2

边瓦）上的动点，S.\EF\=43,则AE.AR的取值范围为.

14.已知VA6C中，AB=6,AC=3,且,43+(2—22)Ac|(/lcR)的最小值为若P为边AB上

任意一点，则尸PC的最小值是

ABAC1

⑸已知线段2M,CN为VABC的两条内角平分线’若丽・扇二’且3cM•=■BM,则sinC

的值为.

四、解答题

16.已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,向量〃?=(J^sinC,l+cosA),n=«),且7"〃n.

⑴求角A；

(2)如图，/胡。的平分线AD交于。，AD=1,求」一+」-的取值范围.

参考答案

1.D

因为.=^AC,所以BN=AJV-AB=LAC-AB,

22

因为尸是BN的中点，所以2尸=[BN=1AC-1A8,

242

所以AP=A8+2尸=A8+LAC-LAB=LAB+LAC,

4224

113

XAP=mAB+nAC>所以m=77，〃=7，BPm+n=—.

244

故选：D.

2.C

9JT

由向量线性运算和外接圆的特点可知AB1AC,结合模长相等关系可求得ZAOC=等，由投影向量

公式可直接求得结果.

ABC中，2A0=A2+AC，则。是BC的中点，所以BC为圆。的直径，

则有卜=又|AO|=|A@,贝I).ABO为等边三角形,

有乙BAC=],ZABO=pZAOC=y,向量函在向量BC夹角为与，

则向量。4在向量BC上的投影向量为|°半。$至，冈一1m.

故选：C.

3.A

Q1

根据题意得AP=，，ZAB+3⑷V,由尸，3,N三点共线求得mug,利用向量数量积运算求解即可.

由AN=』NC,得3=」AC,且Q=zn屈+2前=小通+勺前，

3499

Q1

而尸，氏N三点共线，则加+§=1,即机="

19

所以AP=§AB+§AC,

(12\122

所以APA5=-AB+-ACAB=-+-xcos60°=-.

199J999

故选：A.

A

4.C

tg®CD=mCA+nCBR2m+n=l,联想到CD=+,从而取AC的中点，利用共线定理

即可得结果.

如图，取AC的中点E,

连接BE,则CA=2CE,CD=mCA+nCB=2mCE+nCB,

又2〃2+〃=l,故民三点共线，

因为m>0,〃>0,所以点。在中线BE上运动（不含端点）.

在正三角形ABC中，BELAC,

则口q<「4<口耳，故口。卜（1,2）.

故选：C.

5.D

建立平面直角坐标系，可得半圆弧8c的方程为：x2+y2=4（y<0）,设P（%”）,根据向量的坐标运

算法则算出彳+g〃关于犯〃的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可.

由题意可以BC所在直线为x轴，2c的垂直平分线为>轴，建立平面直角坐标系，如图所示:

结合已知得A（。,2右），B（-2,0）,C（2,0）,

半圆弧BC的方程为：x2+y2=4（j<0）,

设尸（〃尸），贝i]AP=（租,"一2若），AB=（-2,-2V3）,AC=（2,-273）,

“7=-24+2〃

由AP=/IAB+〃AC得:

n-273=-2732-273//

181

——m------n+—

4122

解得：

161

u=—m---〃+一

4122

所以丸+工〃=--m近124〃+*

——nH------1——m-

242

因为尸的〃）在5c上,所以4+〃2=4（〃（0）,

又（2COSO）2+（2sin°）2-4,

贝U可设m=2cos。，n—2smO,TI<0<2TI,

将相=2cos8,几=2sing代入（*）整理得：

.11031.兀3

2+—//=——cos"------sin〃+—=——sin〃+—+—,

24442I6）4

,八〜/口7兀，八兀，13兀

由兀<e<2兀得—<夕H—4—，

666

所以一"（。+汴；，*；sin,+胃+匕,

故的取值范围是-

故选：D.

6.B

TT—.21

先由向量在向量AC上的投影向量求出入BAC=§,接着由3P=2PC求得4P=1AC+gAB,再

结合向量数量积运算律和模长公式即可计算得解.

由题得向量AB在向量AC上的投影向量为卜@cosZBAC-=|cosZBACAC=^AC,

|jr

所以COSZBAC=5，又ZBACW(O,TT),故ZBAC=§,

因为BP=2PC,所以PC=ggC,

所以AP=AC-PC=AC-§BC=AC-1(AC-AB)=]AC+§AB,

2

I.|2214.21.24

所以AP=-AC+-AB=-AC+-AB+-ACAB

1133999

4n1o47i

=-x62+-x32+-x6x3cos-=16+1+4=21,

9993

所以|A尸卜衣

故选：B.

7.B

对于A,如图，P为AABC的重心时，延长AP交3C于点。.

22111

必有人夕=耳/1£)=3乂3(43+40=§(48+40,即x=y=§,故有2x+y=l,即A正确;

对于B,如图，PBBC=(AB-AP)BC=ABBC-APBC,

在RtAA5D中，AD=^52-(^)2=4,故cos/ABO=|,

3

于是AB"=|AB\-\BC\cos<AB,BC>=5x6x(--)=-18,

因AB=AC,则AP_L3C,即AP.3W=O,故尸"BC=—18,故B错误;

A

对于C,如图，延长BP交AC于点E,不妨设AP=x,PE=y,

在RtA4H£>中，5111/区4。=3,故区""£中，sinZPAE=sinABAD=^-=-①,

5x5

119424

又SVABC=]XBCxAD=—xACxBE1,解得BE=—,故BP=——y,

247

在0Z)中，(4—x)2+9=(—―>尸②，联立①和②，解得了=:，

54

故人P7=7(AB+AC),即尢=>=7(，则x+y=7c正确；

16323216

对于D,如图，设VABC的内切圆半径为一，

则由SABc=_xBCxA£)=工x(A3+BC+C4)r解得r=3,BRAP=4--=-,

22222

故4尸=:4。=堤(48+4。)，即x=y=2,则x+y=:，D正确.

816168

故选：B.

8.ACD

2

设3P=43。(0<彳<1),利用向量线性运算表示出AP=(1-/l)AB+万AC,即可得到x+2y=l,判断

选项AB,然后利用基本不等式求最值，即可判断选项CD.

由题知，设BP=/15D(O<X<1),

则AP=AB+8P=AB+

=AB+^AD-AB^=(1-A)AB+-AC,

因为AP=x4B+yAC,

1~A-=x

所以,4_,贝!Jx+2y=1,且％>0,y>0,A正确，B不正确；

2*+4-v=2'+22y>2j2g=20，

当且仅当x=2y=；时，等号成立，C正确；

又一+-二|-+-|(x+2y)

xyyxy)

=1+4+2Z+^>5+2A/4=9,

xy

2y2x1

当且仅当」=一，即x=y=:时，等号成立，D正确.

xy3

9.-/0.5

2

由题意作图，利用平面向量的线性运算，以04。8为基底表示0P，结合共线，可得答案.

由已知OP=o/+AP=OA+[A2=OA+^(OB-OA^=-OA+-OB,

...AA4i

OQ^AyOA+^OB,0Q,OP共线，所以1=2,^~=~.

33-

故答案为：g.

10.>_运

23

根据条件先求得AB，AC的关系，然后用表示出OF,CE,根据数量积运算结合基本不等式求

解出最大值.

|ITI-

因为SVABC=—AB-ACsin—=V3,所以AB-AC=4,

。。IIO1

因为。尸=DC+CF=—3C——AC=-(AC-AB\一一AC=-AC一一AB,CE=CA+AE=-AB-AC,

323、12632

(12W1、31212

所以。产.C£：=(kAC—5A51/45—AC—qAC--AB

=--ABACcos---AC1--AB2=---(AC2+2AB2),

436326''

因为AC?+n21AC。-2AB?=2血AB.AC=8在，

，3

AB=27「

当且仅当AC2=2A4,即工时取等号，所以AC2+2A4的最小值为80,

AC=

所以U(AC2+2A⑹的最大值为|一38应，即最大值为|一竿.

故答案为：3-逑.

23

11.--/-0.4

5

设BP=tBD，结合向量线性运算法则利用AB,AC表示AP，结合平面向量基本定理列方程求加.

因为尸是直线上一点，故可设8尸=4。，

所以AP=AB+3P=+=AB+«Ar>—AB)=(l-r)A3+rAD,,

—.3--3

又AD=—DC,所以AD=—AC,

47

3/3

所以AP=(1—"AB+7AC,XAP=mAB+-ACfA民AC不共线，

所以1T="K3t3

2

所以f=(,m=--.

5

2

故答案为：晨.

12.叵

33

建立平面直角坐标系，设P(cosasin[()2,73r]),根据平面向量线性运算得到

x+y'cos6+%叵sin。，再由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.

-26

建立如图所示的直角坐标系，

(iJ3、

所以A5=（I,O）,AC=（—；,,因此有2xAB+yAC=2x--y,^~

l22

因为A尸=(cos仇sin8),AP=2xAB+yAC,

八c1

cos6/=2x——yr-

21q

所以有l=>—cosc/H-------sinc/=x+y,

.aC26

sin8=——y

2

于是有x+y=—cos0+sin0=2^1sin(^+(p)，其中tancp=，

2635

因为公吟即中考后,当。+夕="T|T时取得最大值,

3

故答案为：孚

2兀

13.

T

ABAD1

由AD=5C可知平面四边形ABC。是平行四边形，由囱+用=2m可知四边形是菱形且

边长为2,由34AO=2可知NBA。=120,即可求出相关的角度和长度，再利用向量极化恒等式,

即可求解.

如图，设AG3D交于。，.不妨设E点到3点的距离大于F点到3点的距离，

因为AO=BCnAD=3C且AD〃2C,

所以平面四边形ABCD是平行四边形,

ABAD

设=<V,|AD|=*所以网卡网

所以丝+处」AC=J_(AB+AO)」AB+LAO,

ab22^>22

所以a=Z?=2,则平面四边形A5C£)是菱形，

又BA-AD=2，所以5A,AD=|BA|-|AZ)|COS(71-NBA。)=-2x2cosNBA。=2,

127r

所以cos/R4O=—5,又NBAZ)£(0,7i),则NR4O=3-,

jr

所以/AD5=ZABD=ZCDB=NCBD=-,

所以BO=2OD=2AD-cos30=2x2x^-=2V3,

2

设EF的中点为尸，贝I]AE=AP+PE,AF=AP+PF=AP-PE,

/I|、2

22I|2Q

所以AE-AF=AP~-PE-=|AP|-1^\AP9\~~-,

又易知|AP|的最小值为M=l,最大值为图+仔=*

3173

所以4E4的最小值为1-/“最大值为二厂1，

所以AE-A/的取值范围为

27rF1

故答案为：y,-J

81

14.

16

设N84C=6,应用向量数量积运算律得,48+(2-22)4。=小72(1-cose)U-g)2-；]+36,结合最

小值可得。带，进而得到CgB%,再建立合适的坐标系，应用坐标法求明女的最小直

设Z6AC=。,

且\AAB+(2-22)AC|=J|/IAB|*2+22(2-2A)|AB||AC|COS6>+|(2-2A)AC|2

=73622+722(1-2)cos(9+36(1-/I)2=7722(2-1)-722(2-1)cos6»+36

=J72(1-COS6»)[(/1-1)2-^]+36>，18+18cos6>,

当且仅当2=；时等号成立，又k48+(2-22)&4(/1€：1<)的最小值为33,

所以J18+18cos6=3百ncos6=L,又。€(0,兀)，则的C=6=工，

23

应用余弦定理有BC=y]AB2+AC2-2AB-ACcos0=J36+9—18=34，

综上，AB2=AC2+BC2,故C=],则8=v，如下建立平面直角坐标系,

则A(0,0),8(6,0),C(|,孚),P(x,0)且尤€(0,6),

所以P8-PC=(6-x,0>(3-x,M)=x2-"x+9=(x-")2-^N-q,

22241616

1CQI

当且仅当x=9时等号成立，故尸2.PC最小值为-3.

416

Q1

故答案为：

16

15.逑/3石

77

可以先利用数量积定义得到角4然后利用数量积定义和正弦定理转化条件，再综合利用三角变换知

识得到结果.

.ABAC\AB\\AC\,1

由---------=---------cosA=cosA4=一,所以A=60。.

\AB\\AC\\AB\\AC\2

因为3CN-2M，

所以31CN|•|EW1905(180。-0^)=|CB|.|BM|-cos(180°-1),

IP3|CW|-cos(180°-60°)=-|CB|cos-|,则||CN|=|CB|cos，.

B

cos—

|CN|_sinBsin3___2

在△CBN中应用正弦定理,

|CB|sin(B+y)sin(120°-y3

2

所以m皿8=5111(120。-5)85:1,又COsgWO,

所以3sin?=sin(120°--1),即3sin(60。—1)=sin(120°-§,

展开3(里。sC」sin马=旦矣+、£,

22222222

cc

2sin—cos—2tan—2x~y_4^

整理可得tanC=3,sinC=222

所以cos^sin^1+tan2c7

22+

2221+

故答案为：手

71

16.⑴孑

(2)(73,2^

（1）将条件化为岳sinC=c（l+cosA）,然后利用正弦定理得到l+cosA=3（l-cosA）,解出A即可;

(2)先得到:+!=石，然后根据余弦定理得出±+±=严”了)，使用不等式方法证明

bcBDCD扬+,2_庆

石〈白+&V2有，并对每个小(若,2g］构造相应的VABC作为例子，即可得到答案.

(1)由加〃〃可知疯?sinC=c(l+cosA),故1+8$4=巫虫£=避竺£d=^sinA,且显然有

ca

l+cosA>0.

故(1+cosA)2=3sin2A=3(1-COS?=3(1+cosA)(1-cosA),

i7r

从而1+COSA=3(1-COSA),解得COSA=5，而Ae(0,7t),所以A=§.

(2)设B£>=x,CD=y,则羽y>0,S.yBD+xCD=0,故有

AD=^-[AB+BD\+^—(CD+AC\=^^AB+^—AC+-^—(yBD+xCD\=^^AB+^—AC

x+yv'%+y\'x+yx+yx+y^'x+yx+y>

(11Abk

但由于陋平分/SAC,故有AO=H—AB+^AC=—A5+：AC,这里人>0.

\cb)cb

所以K+：=1,得左=①，故AD=3AB+EAC,b二ycx

从而小

cbb+cb+cb+cx+yb+cx+