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文档简介
江苏省百校大联考2025年高三下学期3月数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列的前项和为,且,,则()A. B. C. D.2.已知分别为圆与的直径,则的取值范围为()A. B. C. D.3.已知函数的最大值为,若存在实数,使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A. B. C. D.4.已知集合A,B=,则A∩B=A. B. C. D.5.已知命题p:若,,则;命题q:,使得”,则以下命题为真命题的是()A. B. C. D.6.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”,某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动,现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中,医生甲被指定分配到医院,医生乙只能分配到医院或医院,医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院,其他两名医生分配到哪所医院都可以,若每所医院至少分配一名医生,则不同的分配方案共有()A.18种 B.20种 C.22种 D.24种7.在中,,则()A. B. C. D.8.函数在的图象大致为A. B.C. D.9.已知函数,,若成立,则的最小值是()A. B. C. D.10.函数且的图象是()A. B.C. D.11.点为的三条中线的交点,且,,则的值为()A. B. C. D.12.已知双曲线:的焦点为,,且上点满足,,,则双曲线的离心率为A. B. C. D.5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是偶函数,则的最小值为___________.14.给出下列等式:,,,…请从中归纳出第个等式:______.15.设是公差不为0的等差数列的前项和,且,则______.16.在四面体中,分别是的中点.则下述结论:①四面体的体积为;②异面直线所成角的正弦值为;③四面体外接球的表面积为;④若用一个与直线垂直,且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积最大值为.其中正确的有_____.(填写所有正确结论的编号)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.18.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,,,分别为,的中点,是上异于,的点,.(1)证明:平面平面;(2)若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.20.(12分)已知函数,.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)判断函数的零点个数.21.(12分)在中,角的对边分别为,且,.(1)求的值;(2)若求的面积.22.(10分)在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人,余下的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后得到如下列联表:分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45(1)请完成上面列联表;并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;(2)①按照分层抽样的方法,在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生,设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是,求的分布列(概率用组合数算式表示);②若将频率视为概率,从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.(下面的临界值表供参考)0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式其中)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列,求得其通项公式,由此求得.【详解】由于,所以数列是等比数列,其首项为,第二项为,所以公比为.所以,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查等比数列的证明,考查等比数列通项公式,属于基础题.2.A【解析】
由题先画出基本图形,结合向量加法和点乘运算化简可得,结合的范围即可求解【详解】如图,其中,所以.故选:A【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用,数形结合思想,属于中档题3.B【解析】
根据三角函数的两角和差公式得到,进而可以得到函数的最值,区间(m,n)长度要大于等于半个周期,最终得到结果.【详解】函数则函数的最大值为2,存在实数,使得对任意实数总有成立,则区间(m,n)长度要大于等于半个周期,即故答案为:B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用,以及三角函数的图像的性质的应用,题目比较综合.4.A【解析】
先解A、B集合,再取交集。【详解】,所以B集合与A集合的交集为,故选A【点睛】一般地,把不等式组放在数轴中得出解集。5.B【解析】
先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】,,因为,,所以,所以,即命题p为真命题;画出函数和图象,知命题q为假命题,所以为真.故选:B.【点睛】本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.6.B【解析】
分两类:一类是医院A只分配1人,另一类是医院A分配2人,分别计算出两类的分配种数,再由加法原理即可得到答案.【详解】根据医院A的情况分两类:第一类:若医院A只分配1人,则乙必在医院B,当医院B只有1人,则共有种不同分配方案,当医院B有2人,则共有种不同分配方案,所以当医院A只分配1人时,共有种不同分配方案;第二类:若医院A分配2人,当乙在医院A时,共有种不同分配方案,当乙不在A医院,在B医院时,共有种不同分配方案,所以当医院A分配2人时,共有种不同分配方案;共有20种不同分配方案.故选:B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用,在做此类题时,要做到分类不重不漏,考查学生分类讨论的思想,是一道中档题.7.A【解析】
先根据得到为的重心,从而,故可得,利用可得,故可计算的值.【详解】因为所以为的重心,所以,所以,所以,因为,所以,故选A.【点睛】对于,一般地,如果为的重心,那么,反之,如果为平面上一点,且满足,那么为的重心.8.A【解析】
因为,所以排除C、D.当从负方向趋近于0时,,可得.故选A.9.A【解析】分析:设,则,把用表示,然后令,由导数求得的最小值.详解:设,则,,,∴,令,则,,∴是上的增函数,又,∴当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,是极小值也是最小值,,∴的最小值是.故选A.点睛:本题易错选B,利用导数法求函数的最值,解题时学生可能不会将其中求的最小值问题,通过构造新函数,转化为求函数的最小值问题,另外通过二次求导,确定函数的单调区间也很容易出错.10.B【解析】
先判断函数的奇偶性,再取特殊值,利用零点存在性定理判断函数零点分布情况,即可得解.【详解】由题可知定义域为,,是偶函数,关于轴对称,排除C,D.又,,在必有零点,排除A.故选:B.【点睛】本题考查了函数图象的判断,考查了函数的性质,属于中档题.11.B【解析】
可画出图形,根据条件可得,从而可解出,然后根据,进行数量积的运算即可求出.【详解】如图:点为的三条中线的交点,由可得:,又因,,.故选:B【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质,向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算及向量的数量积的运算,考查运算求解能力,属于中档题.12.D【解析】
根据双曲线定义可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出离心率.【详解】依题意得,,,因此该双曲线的离心率.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率,考查了运算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
由偶函数性质可得,解得,再结合基本不等式即可求解【详解】令得,所以,当且仅当时取等号.故答案为:2【点睛】考查函数的奇偶性、基本不等式,属于基础题14.【解析】
通过已知的三个等式,找出规律,归纳出第个等式即可.【详解】解:因为:,,,等式的右边系数是2,且角是等比数列,公比为,则角满足:第个等式中的角,所以;故答案为:.【点睛】本题主要考查归纳推理,注意已知表达式的特征是解题的关键,属于中档题.15.18【解析】
先由,可得,再结合等差数列的前项和公式求解即可.【详解】解:因为,所以,.故答案为:18.【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算,重点考查了等差数列的前项和公式,属基础题.16.①③④.【解析】
补图成长方体,在长方体中利用割补法求四面体的体积,和外接球的表面积,以及异面直线的夹角,作出截面即可计算截面面积的最值.【详解】根据四面体特征,可以补图成长方体设其边长为,,解得补成长,宽,高分别为的长方体,在长方体中:①四面体的体积为,故正确②异面直线所成角的正弦值等价于边长为的矩形的对角线夹角正弦值,可得正弦值为,故错;③四面体外接球就是长方体的外接球,半径,其表面积为,故正确;④由于,故截面为平行四边形,可得,设异面直线与所成的角为,则,算得,.故正确.故答案为:①③④.【点睛】此题考查根据几何体求体积,外接球的表面积,异面直线夹角和截面面积最值,关键在于熟练掌握点线面位置关系的处理方法,补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法,平常需要积累常见几何体的补图方法.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析,;(2)11202.【解析】
(1)由n,,成等差数列,可得,,两式相减,由等比数列的定义可得是等比数列,可求数列的通项公式;(2)由(1)中的可求出,根据和求出数列,中的公共项,分组求和,结合等比数列和等差数列的求和公式,可得答案.【详解】(1)证明:因为n,,成等差数列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又当时,,所以,所以,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即.(2)根据(1)求解知,,,所以,所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.又因为,,,,,,,,,,,所以.【点睛】本题考查等比数列的定义,考查分组求和,属于中档题.18.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)分三种情况讨论,分别求解不等式组,然后求并集即可得不等式的解集;(Ⅱ)根据绝对值不等式的性质可得,不等式对任意实数恒成立,等价于,解不等式即可求的取值范围.试题解析:(Ⅰ)当时,即,①当时,得,所以;②当时,得,即,所以;③当时,得成立,所以.故不等式的解集为.(Ⅱ)因为,由题意得,则,解得,故的取值范围是.19.(1)详见解析;(2).【解析】
(1)由直径所对的圆周角为,可知,通过计算,利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形,所以有.由已知可以证明出,这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面,利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;(2)以为坐标原点,分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求出相应点的坐标,求出平面的一个法向量和平面的法向量,利用空间向量数量积运算公式,可以求出二面角的余弦值.【详解】解:(1)证明:因为半圆弧上的一点,所以.在中,分别为的中点,所以,且.于是在中,,所以为直角三角形,且.因为,,所以.因为,,,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由已知,以为坐标原点,分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的一个法向量为,则即,取,得.设平面的法向量,则即,取,得.所以,又二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.20.(1)(2)答案见解析(3)答案见解析【解析】
(1)设曲线在点,处的切线的斜率为,可求得,,利用直线的点斜式方程即可求得答案;(2)由(Ⅰ)知,,分时,,三类讨论,即可求得各种情况下的的单调区间为;(3)分与两类讨论,即可判断函数的零点个数.【详解】(1),,设曲线在点,处的切线的斜率为,则,又,曲线在点,处的切线方程为:,即;(2)由(1)知,,故当时,,所以在上单调递增;当时,,;,,;的递减区间为,递增区间为,;当时,同理可得的递增区间为,递减区间为,;综上所述,时,单调递增为,无递减区间;当时,的递减区间为,递增区间为,;当时,的递增区间为,递减区间为,;(3)当时,恒成立,所以无零点;当时,由,得:,只有一个零点
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