立体几何平行与垂直知识点总结给学生

台体侧面积公式台体(棱台和圆台)的体积公式球的表面积公式体积直线与直线平行知识点一基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性知识点二空间等角定理1．定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？直线与平面平行知识点一直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言图形语言思考(1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？(2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？答案平行或直线在平面内．知识点二直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言图形语言思考如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有怎样的位置关系？判断正误若直线a与平面α不平行，则a与α相交．()2．若直线l与平面α内的无数条直线不平行，则直线与平面α不平行．()3．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.()4．若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．()知识点一平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言图形语言思考应用面面平行判定定理应具备哪些条件？答案①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝A.②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.知识点二两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言图形语言思考若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？与另一个平面内的直线有什么位置关系？若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．()2．两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行．()3．若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.()4．平面内两直线的夹角(1)定义：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是知识点二异面直线所成的角1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．空间两条直线所成角α的取值范围：.知识点三直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.知识点二直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言⇒l⊥α图形语言思考若把定理中的“两条相交直线”改为“两条平行直线”，直线与平面一定垂直吗？答案当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直．有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，如图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，则知识点三直线与平面所成的角知识点四直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．思考垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？．如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线．()3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．()知识点一二面角的概念1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面．3．画法：4．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5．二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是.(2)二面角的平面角α的取值范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角．知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：(3)记作：α⊥β.2．平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言⇒α⊥β图形语言知识点三平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言⇒a⊥β图形语言2．共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb二面角的平面角三种作法：定义法垂线法：垂面法：（2）投影面积法（）一、空间向量的有关概念1．在空间，把具有和的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的或．空间向量用有向线段表示，有向线段的表示空间向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为的向量叫做零向量，记为方向不确定单位向量模为的向量叫做单位向量，方向不确定相反向量与向量a长度而方向的向量，叫做a的相反向量，记为共线向量共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量，即对于任意向量a，都有相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量注意点：1在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同;2.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决;3.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.比如0．同时还要注意以下几点(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)向量不能比较大小．二、空间向量的加减运算问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．三、空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ<0λa与向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．(3)向量λa与向量a一定是共线向量．判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→)).或者：三个向量共面的条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb三个向量p，a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb，对吗？问题4对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？提示x＋y＋z＝1.如果对于空间四点A，B，C，P满足关系式eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1.能否说明四点A，B，C，P共面点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1，一、空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则叫做向量a，b的夹角，记作范围向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b，记作ab二、空间向量的数量积运算1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝(2)运算律数乘向量与数量积的结合律交换律分配律2.向量的投影(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．注意点：(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.故：θ为锐角是a·b>0的条件②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.故：θ为钝角是a·b<0的条件(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)(a±b)2＝；(a＋b)·(a－b)＝例3如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．故CD的长为2eq\r(17).一、空间向量基本定理基本知识点1．空间向量的基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在的有序实数组(x，y，z)，使得p＝2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个，a，b，c都叫做基向量．注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．一、空间直角坐标系1．空间直角坐标系：单位正交基底{i，j，k}，空间直角坐标系Oxyz.（要求为右手系坐标系）2．相关概念：坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．注意点：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．二、求空间点的坐标eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.等价于向量eq\o(OA,\s\up6(→))=(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标是；向量的坐标：a＝xi＋yj＋zk.记作a＝(x，y，z)．问题空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？提示点的位置x轴上y轴上z轴上坐标的形式点的位置Oxy平面内Oyz平面内Ozx平面内坐标的形式一、空间向量运算的坐标表示设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量运算向量表示坐标表示加法a＋b减法a－b数乘λa数量积a·b注意点：(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝；(a＋b)·(a－b)＝(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).注意点：(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆．(2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).直线的向量表示1．设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，设P是直线l上任意一点，(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(AP,\s\up6(→)).充要条件是存在实数t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，直线的方向向量不唯一．空间中平面的向量表示1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．思考：空间四点A,B,C,P共面的条件：3.空间中任意平面由空间一点及平面的法向量a的平面完全确定，可以表示为注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．（1）平面的法向量：第一步：写出平面内两个不平行的向；第二步：那么平面法向量，满足一、直线和直线垂直设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔⇔注意点：(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直．(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.二、直线与平面垂直设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔⇔注意点(1)若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行．(2)证明线面垂直的方法：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．三、平面与平面垂直设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔.注意点：(1)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．(2)利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．(3)向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．一、直线和直线平行设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔注意点：(1)此处不考虑线线重合的情况．(2)证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示．二、直线和平面平行设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⇔注意点：(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直．特别强调直线在平面外．（2）也可以用共面向量的方法证线面平行三、平面和平面平行设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔一、两异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则