自动控制理论课件 zk-2 控制系统的数学模型学习资料

第2章控制系统的数学模型2025/4/141导读为什么要介绍本章?

分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模型。本章主要讲什么内容?

首先介绍控制系统数学模型的概念，然后阐述分析、设计控制系统常用的几种数学模型，包括微分方程、传递函数、状态空间表达式、结构图等。使大家了解机理建模的基本方法，着重了解这些数学模型之间的相互关系。2025/4/142第2章控制系统的数学模型

2.1

引言

2.2控制系统的微分方程

拉普拉斯变换

2.3控制系统的传递函数

状态空间表达式

2.4

控制系统的结构图

2.5

信号流图与梅逊公式

2.6应用Matlab进行模型处理主要内容：2025/4/1432.1引言1、数学模型的定义根据系统运动过程的物理、化学等规律，描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。

简言之，描述系统各变量之间关系的数学表达式。2、建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。自控系统的组成是多种的，但却可能具有完全相同的数学模型。可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。2025/4/1442.1引言微分方程（或差分方程）——时域传递函数（或结构图）——复域频率特性——频域4、常用数学模型3、建模方法解析法（理论建模）——本课研究实验法（系统辨识）——系统辨识课研究输入输出模型状态空间表达式——时域状态空间模型2025/4/1455、由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换S=jω频率特性2.1引言2025/4/1462.2控制系统的微分方程对单输入、单输出的线性定常系统，采用下列微分方程来描述。

y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a0y(t)=

bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+…+b0x

(t)其中：

y(t)为系统输出量，y(I)表示输出的I阶导数

x(t)为系统输入量，x(I)表示输入的I阶导数1、微分方程的描述2025/4/147(1)根据系统情况，确定系统的输入、输出变量；(2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；(3)消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；(4)将微分方程标准化。2、建立微分方程的一般步骤2.2控制系统的微分方程2025/4/1482.2控制系统的微分方程具有由电阻、电容、电感、运算放大器等元件组成的装置。对于这类系统，要使用基尔霍夫电流和电压定律，以及理想电阻、电感、电容两端电压、电流与元件参数的关系。(1)电气系统3、微分方程2025/4/149例2-1：写出

RLC串联电路的微分方程LRCi①②解：据基尔霍夫电压定理：将②代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。2.2控制系统的微分方程2025/4/1410例2-2：求理想运算放大器电路的微分方程RRui(t)Cuo(t)+-解：理想放大器正、反相输入端的电位相同，且输入电流为零。据基尔霍夫电流定理：整理后得，这是一阶系统。2.2控制系统的微分方程2025/4/14112.2控制系统的微分方程

存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。根据运动的方式，包括牛顿第二定律和牛顿转动定律。牛顿第二定律：牛顿转动定律：(2)机械系统2025/4/1412例2-3：求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移y(t)。mfF图1mF图2解：图1为系统原理结构图，图中m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。取向下为力和位移的正方向。2.2控制系统的微分方程质量块受力分析如图2所示。根据牛顿第二定律，可列质量块的力平衡方程：2025/4/1413这也是一个两阶定常微分方程。y(t)为输出量，F(t)为输入量。2.2控制系统的微分方程其中：故整理得标准方程：2025/4/1414

同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。相似系统：具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1与例2-3为力－－电荷相似系统。思考题：给出双RC电路的微分方程uiuouC2C1ici1R1R2i22.2控制系统的微分方程2025/4/1415拉普拉斯变换连续时间对应的复频域是用直角坐标表示的复数平面，简称为S

平面或连续时间复频域（s

域）。S

平面上的每一个点s都代表一个复指数信号，整个S

平面上所有的点代表了整个复指数信号集。S平面S

平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指数信号集2025/4/1416

①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：将一个时间域的函数变换到

s域的复变函数，式中

s为复数。记作F(s)—象函数，f(t)—原函数

为反拉氏变换记拉普拉斯变换2025/4/1417拉普拉斯变换只要x(t)

是实指数或复指数信号的线性组合，X(s)就一定是有理的，具有如下形式：N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。使N(s)

=0的根为X(s)的零点，在S平面上用“O”表示。使D(s)

=0的根为X(s)的极点，在S

平面上用“×”表示。例ReIm-1xx2s=jws-plane1多项式之比2025/4/1418(1)

线性性质：(2)

微分定理：②性质：拉普拉斯变换2025/4/1419(4)时滞定理：(5)初值定理：(6)终值定理：(7)卷积定理：拉普拉斯变换(3)积分定理：(设初值为零)2025/4/1420③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：更多拉普拉斯变换知识请查阅光盘（附录I拉普拉斯变换）。拉普拉斯变换2025/4/14212.3控制系统的传递函数一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函数，就可以了解系统的重要特性。1、传递函数的定义在初始条件为零时，线性定常系统元件输出信号的拉氏变换式Y(s)

与输入信号的拉氏变换式X(s)

之比。2025/4/1422例2-4：求下图的传递函数。2.3控制系统的传递函数R1CuiR2uoi2i1解：其中：2025/4/14232.3控制系统的传递函数传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应，且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。2、传递函数的性质2025/4/14242.3控制系统的传递函数传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数是复变量s

的有理分式，对实际系统而言，传递函数的分母阶次n

总是大于或等于分子阶次m，此时称为n

阶系统。2025/4/14253、传递函数的几种表达形式

表示为有理分式形式：式中：为实常数，一般

n≥m上式称为

n阶传递函数，相应的系统为

n阶系统。2.3控制系统的传递函数2025/4/1426

表示成零点、极点形式：式中：称为传递函数的零点，称为传递函数的极点。零点、极点可为实数，也可为共轭复数。2.3控制系统的传递函数系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用“×”表示极点位置，用“O”表示零点。2025/4/14272.3控制系统的传递函数例2-5：已知传递函数，试画出系统的零、极点分布图。其中，零点为-2，极点为-3，-1-j，-1+j。0

j

-2-3-11-1S平面解：2025/4/1428

一个复杂的控制系统可以由若干元部件构成，称为环节。从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小环节称为基本环节或典型环节。包括有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等多种。

比例环节又称为放大环节。K为放大系数。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。(1)比例环节（放大环节）时域方程：传递函数：KR(s)C(s)比例环节方框图4、典型环节及其传递函数2.3控制系统的传递函数2025/4/1429比例环节实例：①R0R1—＋2.3控制系统的传递函数②R1R2uiuo电位器2025/4/1430(2)惯性环节时域方程：传递函数：R(s)C(s)惯性环节方框图T为惯性环节的时间常数，若T=0，该环节就变成了放大环节。2.3控制系统的传递函数2025/4/1431①两个实例：RＬ2.3控制系统的传递函数其中2025/4/1432②RC2.3控制系统的传递函数其中2025/4/1433(3)积分环节时域方程：传递函数：R(s)C(s)积分环节方框图2.3控制系统的传递函数2025/4/1434积分环节实例：RC2.3控制系统的传递函数2025/4/1435(4)微分环节微分环节的时域形式有三种形式：相应的传递函数为：

①②③分别称为：纯微分、一阶微分和二阶微分环节。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。③②①2.3控制系统的传递函数2025/4/1436实例：y(t)x(t)RC①纯微分环节②一阶微分环节uiRCio

一阶微分环节是理想微分环节加比例环节，故又称比例微分环节。2.3控制系统的传递函数2025/4/1437(5)延迟环节

又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号，如图所示。r(t)tc(t)t动态方程：其传递函数为：2.3控制系统的传递函数2025/4/1438(6)振荡环节传递函数：时域方程：T为该环节的时间常数，称为无阻尼自振角频率，而且，称为阻尼比。只有当时，该环节才能称为振荡环节，因为这时它的输出信号具有振荡的形式。振荡环节方框图RC2.3控制系统的传递函数2025/4/1439

如果时，可分为两个惯性环节相乘，两个惯性环节串联。传递函数有两个实数极点：可得2.3控制系统的传递函数2025/4/1440(7)

其他环节

还有一些环节如等，它们的极点在

s平面的右半平面，这种环节是不稳定的，称为不稳定环节。2.3控制系统的传递函数2025/4/14412.3控制系统的传递函数2025/4/1442

例2-6：已知传递函数，分析其组成环节。

因此，可知由4个环节：比例，惯性，振荡和一阶微分环节构成。2.3控制系统的传递函数解：2025/4/1443

求传递函数一般要先列写微分方程式，然后进行拉氏变换后可得。对于电气网络，可采用电路理论中的运算阻抗的方法，不列写微分方程式，而直接求出相应的传递函数。电阻的运算阻抗：2.3控制系统的传递函数电容的运算阻抗：电感的运算阻抗：各个元件的运算阻抗，可以当作普通电阻来运算。5、电气网络的运算阻抗与传递函数2025/4/1444例2-7：求

RC及

CR电路的传递函数。②RC①CR①②2.3控制系统的传递函数解：2025/4/1445例2-8：求如图所示无源网络的传递函数。R1CuiR2uoR与C并联后的阻抗为则2.3控制系统的传递函数解：2025/4/1446思考题：用运算阻抗的方法求出下面双

RC网络的传递函数。uiuouC2C1ici1R1R2i22.3控制系统的传递函数解：2025/4/1447状态空间表达式1、状态和状态空间上例2-1：写出

RLC串联电路的数学模型。LRCi解：据基尔霍夫电压定理：即2025/4/1448状态空间表达式

在已知ur(t)的情况下，只要知道uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记2025/4/1449状态空间表达式

控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组中的每个变量称为状态变量。

如上例中,为系统的状态，即uc(t)、i(t)为状态变量。(1)状态与状态变量的定义2025/4/1450状态空间表达式

如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示，并把这些状态变量看作是向量X(t)的分量，则向量X(t)称为状态向量。记为或(2)状态向量2025/4/1451状态空间表达式(3)状态空间

以状态变量x1(t)、x2(t)、…、xn(t)为坐标轴构成的n维空间。(4)状态方程

描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。2025/4/1452状态空间表达式上例中这样，就可把一般物理系统的状态方程写成标准形式若改选uc和作为系统的状态变量，即令，，则状态方程变为2025/4/1453状态空间表达式(5)输出方程

描述系统输出量与状态变量间的函数关系式，称为系统的方程。可以看出，同一系统状态变量选取的不同，状态方程也不同。上例中，选取

作为输出，通常输出信号用y表示，则有或写成向量矩阵形式2025/4/1454状态空间表达式(1)状态变量的选取是非唯一的。(2)选取方法可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。如电感电流i、电容电压uc、质量m

、速度v

等。2、状态变量的选取2025/4/1455状态空间表达式例2-9：已知系统微分方程组为

其中，ur为输入，uc为输出，R1、C1、R2、C2为常数。试列写系统状态方程和输出方程。2025/4/1456状态空间表达式解：选写成向量—矩阵形式：2025/4/1457状态空间表达式3、状态空间表达式状态方程与输出方程总合起来，构成对一个系统动态的完整描述，称为状态空间表达式。即2025/4/1458状态空间表达式(1)单输入单输出线性定常连续系统状态方程输出方程写成向量矩阵形式2025/4/1459状态空间表达式(2)线性定常系统状态空间表达式（p输入q输出）2025/4/14602.4控制系统的结构图1、方块图的概念和绘制

信号线：表示信号传递通路与方向。

函数方块(方框)：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。

相加点(比较点)：对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，“－”表示相减。

分支点(引出点)：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。

方框图是用元件(或子系统)传递函数的组合来表示系统的一种图形。方块图由函数方块、信号流线、相加点、分支点等构成。2025/4/1461例2-10：某系统的各传递函数如下：

C(s)=G(s)E(s)F(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)–F(s)绘制方块图是根据系统各环节的动态微分方程式(它们组成系统的动态微分方程组)，及其拉氏变换。2.4控制系统的结构图2025/4/1462例2-11：绘出RC电路的结构图。R1C1i1(t)ur(t)uc(t)Uc(s)Ur(s)I1(s)1/R11/C1s(-)2.4控制系统的结构图解：2025/4/14632.4控制系统的结构图

为了方便绘制方块图，对于复杂系统，列写系统方程组时可按下述顺序整理方程组：

(1)

从输出量开始写，以系统输出量作为第一个方程左边的量；

(2)

每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始，每个方程左边的量是前面方程右边的中间变量；

(3)

列写方程时尽量用已出现过的量；

(4)

输入量至少要在一个方程的右边出现；除输入量外，在方程右边出现过的中间变量一定要在某个方程的左边出现。按列写的方程，从输出量开始绘制系统的方框图。2025/4/14642.4控制系统的结构图uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s)Uo(s)(b)(-)IC(s)U(s)(c)IC(s)I1(s)I2(s)(-)(d)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(e)I2(s)Uo(s)(a)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)(f)解：例2-12：绘出图示双RC网络的结构图。2025/4/14652.4控制系统的结构图2025/4/14662、结构图的等效变换定义：在结构图上进行数学方程的运算类型：①环节的合并；

--串联

--并联

--反馈连接②信号分支点或相加点的移动。原则：变换前后环节的输入、输出量及其数学关系都保持不变2.4控制系统的结构图2025/4/1467(1)环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。

串联环节的简化：…C(s)

G2(s)G1(s)V(s)R(s)(a)C(s)G2(s)G1(s)R(s)(b)2.4控制系统的结构图2025/4/1468

并联环节的简化：2.4控制系统的结构图G1(s)+G2(s)-G3(s)(b)变换后R(s)C(s)(a)变换前R(s)C1(s)C3(s)

C2(s)(-)G1(s)G2(s)G3(s)C(s)2025/4/1469

反馈回路的简化：2.4控制系统的结构图前向通道传递函数与反馈通道传递函数的概念正反馈与负反馈的概念闭环传递函数与开环传递函数的概念+—2025/4/1470-

式中称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号之间的传递函数。为输出对参考输入的闭环传递函数。2.4控制系统的结构图2025/4/1471①G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)G2(s)+G3(s)G4(s)(-)G6(s)(-)C(s)R(s)G5(s)G1(s)例2-13：求如下图所示的系统的传递函数。2.4控制系统的结构图解：2025/4/1472②③G4(s)(-)(-)C(s)R(s)(G2(s)+G3(s))G6(s)G5(s)G1(s)(-)C(s)R(s)(G2(s)+G3(s))G6(s)G5(s)-G4(s)G1(s)2.4控制系统的结构图2025/4/1473(2)信号相加点和分支点的移动和互换

如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。①信号相加点的移动把相加点从环节的输入端移到输出端(相加点的后移)2.4控制系统的结构图2025/4/1474

把相加点从环节的输出端移到输入端(相加点的前移)2.4控制系统的结构图2025/4/1475

相临的信号相加点位置可以互换，或者是进行合并；2.4控制系统的结构图2025/4/1476②信号分支点的移动

分支点从环节的输入端移到输出端(分支点的后移)2.4控制系统的结构图2025/4/1477

分支点从环节的输出端移到输入端(分支点的前移)2.4控制系统的结构图2025/4/1478

相加点和分支点在一般情况下，不进行互换。

同一信号的分支点位置可以互换2.4控制系统的结构图2025/4/1479例2-14：将结构图简化，求系统传递函数。解：方案Ⅰ(分支点③前移)2.4控制系统的结构图H2H1G1G2G3G4(-)(-)RC①②③㈠㈡㈢RG3H2G1G2G3H1G4(-)C(-)(a)(1)分支点③前移①②㈠㈡㈢2025/4/14802.4控制系统的结构图G4G3H1CR(c)①②㈠㈢RH1+G3H2G1G2G3H1G4(-)C(b)①②㈠㈡㈢(2)两并联支路合并(3)G2与(H1+G3H2)所构成的闭合回路合并，并与G1串联2025/4/14812.4控制系统的结构图G4CR(d)(4)H1为反馈支路的闭合回路合并，并与G3串联(5)两个支路相并联，得系统的传递函数为：2025/4/14822.4控制系统的结构图解：

(1)分支点②后移H2H1G1G2G3G4(-)(-)RC①②③㈠㈡㈢H2+H1/G3H1/G3G2G3G1G4(-)RC(a)①③㈠㈡㈢方法二2025/4/14832.4控制系统的结构图H1/G3G4RC(b)(2)G2G3与(H2+H1/G3)所构成的闭合回路合并，并与G1串联(3)H1/G3为反馈支路的闭合回路合并G4CR(c)(4)两个支路相并联，得系统的传递函数2025/4/14842.4控制系统的结构图解：

(1)相加点㈡前移并于㈠合并H2H1G1G2G3G4(-)(-)RC①②③㈠㈡㈢方法三G1G2G3G4(-)RC①②③㈠㈢H2/G1H1/(1-1/G1)(a)2025/4/14852.4控制系统的结构图(2)分支点②后移G1G2G3H2/G1G4RC(-)①③㈠㈢(3)两并联支路合并①③㈠㈢(b)G4G1G2G3CR(-)(c)2025/4/14862.4控制系统的结构图(4)反馈支路合并G4CR(d)(5)两个支路相并联，得系统的传递函数为：2025/4/14872.4控制系统的结构图等效为单位反馈系统R(s)(-)C(s)G(s)H(s)G(s)H(s)(-)C(s)R(s)G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s)C(s)R(s)G(s)-H(s)E(s)

负号可在支路上移动

E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)C(s)=R(s)+[-H(s)]C(s)(3)其它等价法则2025/4/1488例2-15

：双RC

网络的结构图简化。Ui(s)R1(-)(-)(-)Uo(s)(a)Ui(s)(-)(-)(-)I1(s)IC(s)U(s)I2(s)Uo(s)2.4控制系统的结构图解：结构图等效变换如下：2025/4/1489(b)Ui(s)(-)(-)Uo(s)R1

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(d)(c)Ui(s)R1C2s(-)Uo(s)(-)2.4控制系统的结构图2025/4/1490解：结构图等效变换如下：例2-16：系统结构图如下，求传递函数。-+相加点移动-+①2.4控制系统的结构图2025/4/1491-+②③2.4控制系统的结构图2025/4/14922.5信号流图与梅逊公式信号流图的基本性质：

1)

节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“○”表示；

2)

信号在支路上沿箭头单向传递；

3)

支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；

4)对一个给定系统，信号流图不是唯一的。1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x1信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。1、信号流图2025/4/1493信号流图中常用的名词术语：

(1)源节点(输入节点)：在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。

(2)阱节点(输出节点)：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。(3)混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。a12a34a23a45a44a53a32a43a24a25x1x2x3x4x5x62.5信号流图与梅逊公式2025/4/1494(4)前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。(5)回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用La表示。(6)不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。2.5信号流图与梅逊公式a12a34a23a45a44a53a32a43a24a25x1x2x3x4x5x62025/4/1495(1)由系统微分方程绘制信号流图

1）将微分方程通过拉氏变换，得到s的代数方程；

2）每个变量指定一个节点；

3）将方程按照变量的因果关系排列；

4）连接各节点，并标明支路增益。2、信号流图的绘制2.5信号流图与梅逊公式2025/4/1496CuiR1R2uoi1i

信号传递流程：Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)-1I1(s)I(s)R21+R1Cs1/R1

例2-17：2.5信号流图与梅逊公式解：2025/4/1497

1)

用小圆圈标出传递的信号，得到节点。

2)

用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。注意信号流图的节点只表示变量的相加。

G(s)C(s)R(s)(节点)C(s)R(s)G(s)(节点)(支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s)C(s)D(s)V(s)11(b)信号流图G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(-)(a)结构图(2)由系统结构图绘制信号流图2.5信号流图与梅逊公式2025/4/1498Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)例2-18：绘制结构图对应的信号流图。2.5信号流图与梅逊公式解：2025/4/1499

用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输（即总传递函数）。其表达式为：式中：总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第k个前向通道的总传输；流图特征式；3、梅逊公式2.5信号流图与梅逊公式2025/4/14100

—余因子式，即在信号流图中，把与第K条前向通路相接触的回路所在的项去掉以后的Δ值。—所有单独回路增益之和；

—所有任意两个互不接触回路的回路增益乘积之和；

—所有任意三个互不接触回路的回路增益乘积之和。

特征式：

2.5信号流图与梅逊公式2025/4/141012.5信号流图与梅逊公式解：三个回路：RG1G2G3H2-H2-H1CG4

前向通路有两条：

，没有与之不接触的回路：，与所有回路不接触：

回路相互均接触，则：例2-19：已知系统信号流图，求传递函数。该系统有5个独立的回路：2.5信号流图与梅逊公式例2-20：已知系统信号流图，求传递函数。解：(1)x2x4(2)x2x5x1x2x3x4a12a23a34a42a32a45a44x5a35a522.5信号流图与梅逊公式(3)x2x3x4(4)(5)x2x3x5

互不接触的回路有2条：x1x2x3x4a12a23a34a42a32a45a44x5a35a522.5信号流图与梅逊公式该系统有2条前向通道：(1)1x2x3x4x5x(2)2x1x3x5x2.5信号流图与梅逊公式2025/4/141062.6应用Matlab进行模型处理

线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数模型等，而这些模型之间又有某些内在的等效关系。在Matlab

中，与传递函数的具体形式相对应，又有tf对象和zpk对象之分，我们分别称为有理分式模型和零极点模型。在本节就线性定常时不变系统(LTI)数学模型分析中用到的Matlab方法作一简要介绍，主要有拉氏变换、传递函数的转换、控制系统的特征根及零极点图、方框图模型的传递函数、符号模型的运算等。2025/4/141071、拉氏变换与反变换

拉氏变换“Laplace”的调用格式如下：

L=Laplace(F)：默认自变量和默认参变量

s；自变量默认为t，返回结果默认为s的函数。L=Laplace(F,t)：默认自变量和指定参变量t；认为L是符号变量t而不是默认值s的函数。L=Laplace(F,w,z)：指定自变量w

和指定参变量z

；认为

L是z而不是默认值s的函数，积分是对w积分。2.6应用Matlab进行模型处理2025/4/14108例2-21：求x5

和cos(xw)的拉氏变换。>>symstwx>>laplace(x^5)ans=120/s^6>>laplace(cos(x*w),w,t)ans=t/(t^2+x^2)2.6应用Matlab进行模型处理2025/4/14109例2-22：求时域函数f(t)=6cos(3t)+e-3tcos(2t)-5sin(2t)的拉氏

变换。symsty;y=laplace(6*cos(3*t)+exp(-3*t)*cos(2*t)-5*sin(2*t))运行结果：y=6*s/(s^2+9)+1/4*(s+3)/(1/4*(s+3)^2+1)-10/(s^2+4)2.6应用Matlab进行模型处理2025/4/14110

拉氏反变换“iLaplace”的调用格式如下：

F=iLaplace(L)：默认自变量s和参变量t；是缺省独立变量s的关于符号向量L的拉氏反变换，缺省返回关于t的函数。F=iLaplace(L,y)：指定参变量y

和默认自变量s

；是一个关于y代替缺省t项的拉氏反变换。F=iLaplace(L,y,x)：指定自变量x

和参变量y；是一个关于x代替缺省t项的拉氏反变换。2.6应用Matlab进行模型处理2025/4/14111的拉氏反变换例2-23：求函数symssFF=ilaplace(16/(s^2+4)+(s+5)/((s+4)^2+16))运行结果：F=8*sin(2*t)+exp(-4*t)*cos(4*t)+1/4*exp(-4*t)*sin(4*t)2.6应用Matlab进行模型处理2025/4/141122、传递函数

有理分式模型传递函数的分子和分母均为多项式的形式称为有理分式模型，如下式所示。在Matlab中，传递函数分子和分母多项式系数用行向量表示。例如多项式P(s)=s3+2s+4，其输入为P=[1024]2.6应用Matlab进行模型处理2025/4/14113传递函数分子或分母为因式时，调用conv()函数来求多项式向量。例如P(s)=5(s+2)(s+3)(10s2+20s+3)，其输入为P=5*conv([12],conv([13],[10203]))调用函数“tf”可建立传递函数的有理分式模型，其调用格式如下：G=tf(num,den)2.6应用Matlab进行模型处理2025/4/14114例2-24：已知某一系统的微分方程如下，试求其传递函数。num=[171220];den=[1612203625];G=tf(num,den)运行结果：Transferfunction:s^3+7s^2+12s+20----------------------------------------------------s^5+6s^4+12s^3+20s^2+36s+252.6应用Matlab进行模型处理2025/4/14115例2-25：将传递函数转换为有理分式模型。num=conv([14],[14]);den=conv([100],conv([15],[1526]));G=tf(num,den)运行结果：Transferfunction:s^2+8s+16--------------------------------------------------s