2025年中考复习学案：《对函数的再探索》复习大单元学习设计

【中考复习】第二单元：对函数的再探索单元概述【单元内容】前面我们学习了函数的图象，一次函数的图象与性质，本单元通过了解函数的概念及函数的三种表示方法，从实际问题中抽象出反比例函数与二次函数的定义，结合图象来研究反比例函数与二次函数的图象与性质.运用描点法画出二次函数的图象，由平移得到顶点式，再到一般式，归纳出二次函数的图象与性质的变化规律.【课程标准】1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.5.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.6.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和时图象的变化情况.7.能用反比例函数解决简单实际问题.【单元目标】1.结合弹簧受力变化实例，梳理函数及一次函数的学习内容及学习路径,构建反比例函数与二次函数的研究路径.2.画出反比例函数、二次函数的图象，通过图象探究函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，从数与形两个角度归纳出函数与方程、不等式的联系；3.建立反比例函数、二次函数模型，解决实际生活问题，归纳模型思想在解决实际问题中的应用价值.【学习导航】本单元的学习我们将分为四个阶段学习，在整体感知阶段，结合弹簧受力变化实例，梳理函数及一次函数的学习内容及学习路径;结合一次函数的研究过程，构建新函数的研究思路与方法的思维导图；在探究建构阶段，将从反比例函数及二次函数的概念、图象、性质等角度进行研究，判断对图象位置和形状影响的因素，会求函数的表达式，知道二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系；在应用迁移阶段，我们将总结生活中常见的函数模型，选择合适的函数模型解决方案最优化问题，能利用函数性质求图形面积的最值；在重构拓展阶段，重构函数单元体系，灵活运用函数自主设计方案解决综合实际问题.【学时建议】学习阶段学习任务课时安排整体感知探索函数的研究方法2探究建构探究反比例函数和二次函数的图象与性质6应用迁移建立函数模型解决实际问题2重构拓展应用反比例函数、二次函数解决综合问题2【单元目标追求】我想要达成的目标：必备知识：关键能力：上课追求：小组合作：真正达成的目标：整体感知对函数的再探索整体感知---【学习目标】1.结合弹簧受力变化实例，梳理函数及一次函数的学习内容及学习路径;2.从实际生活中抽象出二次函数与反比例函数模型，用自己的话说出对二次函数及反比例函数概念的理解;3.结合一次函数的研究过程，构建新函数的研究思路与方法的思维导图.【学习任务】探究函数的研究方法学习活动1学习活动1—梳理函数及一次函数问题：一根弹簧原长15cm，在弹簧一端所受到的拉力不超过60N的弹性限度内，每增加I0N的拉力，弹簧就伸长2cm,请你填写下表:写出y与x的关系式.判断一下这个关系式1是否满足函数关系？满足什么类型的函数关系？请根据对函数的理解总结函数的特征.画出上面关系式的图象，写出这个函数关系的有关性质.思考分别用了什么方法来表示函数关系？结合上述实例，你发现函数的三种表示方法各自的优缺点.另一根弹簧原长20cm，在弹簧一端所受到的拉力不超过60N的弹性限度内，每增加I0N的拉力，弹簧就伸长1cm，当拉力为多少时，两种弹簧的长度一样？结合实例，说出一次函数与二元一次方程组的关系.(5)用你自己的方式梳理出函数及一次函数的研究内容及路径.学习活动2学习活动2—认识反比例函数与二次函数问题1.分析下面问题的数量关系，根据要求列出相应的表达式：A.我校打算在国际部后面开辟一块30平方米的矩形菜地，为初中部的孩子开展种植课程使用.请你写出矩形的宽与长之间的函数表达式.B.初三年级准备用20元购买萝卜种子，供孩子们种植.请你写出种子的质量（kg)与单价（元/kg)之间的函数表达式.C.为了浇灌方便，打算在菜地旁边建一个30的蓄水池，如果放水管以的速度放水，经过排空，写出与之间的函数表达式.D.已知两个实数的乘积为-10.写出其中一个因数与另一个因数之间的函数表达式.观察上述问题中的函数表达式，在形式上具有什么共同特征？请用自己的话归纳出反比例函数的定义.问题2.分析下面问题的数量关系，根据要求列出相应的表达式并化成最简形式：若喷泉圆形区域半径为米，面积为平方米，请写出喷泉圆形区域面积与区域半径之间的函数解析式.某企业去年的产值为1200万元.如果三年内该企业年产值平均每年增长率为，你能写出明年该企业年产值（万元）与之间的函数表达式吗？已知正方形的边长是3，当边长增加时，面积增加，写出与之间的函数表达式.观察上述问题中的函数表达式，在形式上具有什么共同特征？请用自己的话归纳出二次函数的定义.问题3.下列函数中，哪些是反比例函数？哪些是二次函数？如果是二次函数，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.(1)y=x2(2)y=1(4)y=-3x-1(5)y=(x-1)问题4.求下列函数中自变量的取值范围.（1）y=3x+2（2）（3）（4）学习活动3学习活动3——初步构建单元结构体系回顾一次函数的学习路线，猜想反比例函数、二次函数的研究路径，初步构建函数知识结构.—构建单元知识结构探究建构整体感知探究建构整体感知对函数的再探索【学习目标】1.画出反比例函数的图象探究反比例函数的性质，说出值对反比例函数图象位置与变化的影响;2.通过画二次函数的图象探究二次函数的性质，说出二次函数系数与形状和对称轴的关系;3.利用图象探究函数、方程、不等式的关系，根据关系确定一元二次方程的解，一元二次不等式的解集.【学习任务】探究反比例函数和二次函数的图象与性质学习活动1学习活动1—探究反比例函数的图象与性质请用描点法在图1中画出反比例函数与的图象,在图2中画出反比例函数与的图象并研究其性质.1.列表：...-6-4-3-2-112346..................-6-4-3-2-112346...............2.描点、连线： 图1图2问题1.观察反比例函数与的图象，思考下面的问题：每个函数的图象分别位于哪些象限？在每一个象限内，随着的增大，如何变化？（3）对于反比例函数（），考虑问题（1）（2），猜测它的性质？问题2.用类似问题1的方法研究反比例函数（）的图象，归纳出反比例函数（）的性质.问题3.过函数图象上的点(2，3),分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是多少？如果上的点（1，-6）呢？【归纳生成】总结反比例函数的图像特点和性质反比例函数的图像性质表达式y=kx(k为常数，kKK＞0K＜0图像所在象限增减性反比例函数的几何意义【学习评测】1.对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．图象分布在第二、四象限B．当时，随的增大而增大C．图象经过点（1，﹣2）D．若点，都在图象上，且，则2.已知反比例函数的图象经过点（，），则此反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限3.如图所示，P是反比例函数图象上一点.如果图中矩形阴影部分面积是3，求这个反比例函数的解析式.学习活动2---探究二次函数的图象与性质学习活动2在同一坐标系中画出二次函数的图象.1.列表：…-3-2-10123…2.描点、连线：（用不同颜色的笔画不同的函数图像）问题：观察上述二次函数的图象并完成下列表格。表达式开口方向对称轴顶点坐标y随x的变化情况最大（最小）值【归纳生成】总结二次函数的图象的特征.（从形状、开口方向、对称轴、顶点坐标，随的变化情况等方面）.表达式开口方向对称轴顶点坐标y随x的变化情况最大（最小）值(a＞0)(a＜0)【学习评测】1.当时，抛物线开口向下，对称轴是,在对称轴左侧，随的增大而,在对称轴右侧，随的增大而.2.已知函数的图象上有三个点，若，则与的大小关系为________________________.3.已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．（1）求的值；（2）求顶点坐标、对称轴和开口方向．学习活动3——探究二次函数的平移变换学习活动3问题1.用描点法画出二次函数,y=x2+2，y=x2-2的图象，探究…-2-1012…列表：描点、连线(用不同颜色的笔在平面直角坐标系中画出上述三个图象)（3）观察图象，完成下表开口方向对称轴顶点坐标与抛物线有的关系y=y=（4）借助y=x2+2和y=x2-2问题2.在同一直角坐标系中画出函数,，的图象，探究二次函数的图象与图象的关系.（1）列表：…-2-1012…y=y=y=y=y=描点、连线(在同一个图里用不同颜色的笔画出上述四个图象)借助你所画的图象进行分析，完成下表开口方向对称轴顶点坐标增减性最大（小）值y=y=y=你发现函数与的图象与的图象、函数y=x+12+2的图象与的图象有怎样的关系？（5）请总结出二次函数的图象与的图象之间的关系.【归纳生成】总结二次函数（≠0）的图象和性质表达式的符号图象（草图）开口方向对称轴顶点坐标增减性最值【学习评测】1.已知二次函数.下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当时，随的增大而减小;⑤此函数有最大值；⑥它是由抛物线向右平移3个单位得到.其中说法正确的有______________________.2.在同一直角坐标系中，函数与都不为0）的图象的相对位置可以是（）学习活动4——探究二次函数的图象与性质学习活动4篮球是一项备受欢迎的体育运动项目，众所周知篮球运动员在投篮时，篮球的运动轨迹是一条抛物线.孩子们，若告诉你篮球运动轨迹的函数解析式是（），你们能求出篮球运动轨迹的最高点并画出它的图象吗？动手试一试吧.问题1.将二次函数QUOTE通过配方化为的形式,画出图象并观察其图象有哪些特征？问题2.模仿以上例子试着把二次函数配成顶点式.【归纳生成】表达式的符号图象（草图）开口方向对称轴顶点坐标增减性最值结合顶点式总结二次函数的图象与性决定抛物线开口方向，抛物线开口，抛物线开口、决定抛物线对称轴的位置（对称轴=）口诀：左同右异,对称轴为决定抛物线与轴交点的位置,抛物线过，抛物线与轴半轴相交，抛物线与轴半轴相交特殊关系当时，；当x=2时，当时，;当x=-2时，若,即当时，0若,即当时，0（2）总结二次函数（）与系数、、的关系【学习评测】1.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论：=1\*GB3①＞；=2\*GB3②；=3\*GB3③＞；=4\*GB3④＞；⑤；⑥．其中错误的是（只填序号）．2.将抛物线的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（）A． B．C． D．学习活动5学习活动5---探究求二次函数表达式的方法随着音乐的节拍，喷泉广场的若干喷泉划出了完美的弧线，要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1m处达到最高，且最高为3m，水柱落地处离广场中央3m，建立如图所示的直角坐标系，你能求出抛物线的表达式吗？问题1.从上侧的图象中你获取到哪些信息？（顶点、对称轴、图象与坐标轴的交点，其他点）尽可能多的写出来.问题2.如果设该图象的表达式为（）的形式，根据获取的信息，你可以直接写出哪些字母的值？那么剩余的字母如何求解？请用顶点式求解抛物线的表达式.问题3.如果设函数表达式为而言，表达式中含有三个系数、、，结合获取信息，请用待定系数法直接求解二次函数的表达式.【归纳生成】如何根据已知条件确定合适的二次函数表达式？【学习评测】1.已知一个二次函数的对称轴为直线，最大值为且其图象过点，求这个函数的表达式.2.已知抛物线的对称轴是直线，它与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的表达式.3.已知二次函数图象经过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数表达式.学习活动6学习活动6---探究二次函数的图象与一元二次方程的关系在初三三班班级举行“你来出题我来解”大赛活动中，同学甲和乙进行PK.甲给出的一元二次方程是，乙说不用解这个一元二次方程，只需要画出二次函数的图象，就可以直接说出的两个根.请问乙是怎么得到的？问题1.观察二次函数的图象，图象与轴有公共点吗？如果有，有几个公共点？公共点的坐标分别是什么？问题2.当取何值时，函数的值是0？问题3.一元二次方程的实根和二次函数的图象与轴的交点的横坐标有什么关系？问题4.能否通过观察二次函数的图象，直接写出二次不等式的解集？【归纳生成】1.你能得到一元二次方程的根和二次函数（）的图象与轴交点的横坐标的关系吗？请完成下表.判别式一元二次方程（）根的情况二次函数（）的图象与轴交点个数2.一般地，如果一元二次方程（）有实根，那么该方程的实根和二次函数（）的图象与轴的公共点的横坐标有什么关系？ax2+bx+c>0的解集与图象上的点有何关系？ax2+bx+c【学习评测】1.判断下列二次函数的图象与轴是否有公共点？如果有，有几个公共点？（1）（2）（3）2.已知将，，代入函数中，可以得到下图列表，可以得到函数与轴的右交点横坐标的近似值位于____<<_______.3.03.53.6-2-0.250.163.如果关于的一元二次方程的两根中有一个根大于0而小于1，求的取值范围.应用迁移对函数的再探索应用迁移【学习目标】1.建立分段函数模型，表示空气含药量与喷洒时间之间的关系，选择合适的函数模型解决问题;2.综合运用函数的性质解决坐标系中图形面积问题；3.建立二次函数模型，解决生活中的最优化问题;【学习任务】建立函数模型解决实际问题学习活动1学习活动1----分段函数的实际应用冬季来临，流感进入高发季节，为了减少教室内的细菌与病毒，我们教室内每天都进行84消毒.根据药品使用说明，消毒液在喷洒时，室内每立方米空气中含药量（mg/m3)与消毒液喷洒的时间（min）成正比.喷洒完后，药品挥发时，与成反比例（如图）.写出与之间函数的表达式；消毒液喷洒完毕需要多长时间？此时室内每立方米空气中含药量为多少？根据药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，对人体是安全的.那么从开始喷药，至少经过多少时间，学生才能进入教室?（4）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？【归纳生成】如何利用分段函数解决生活中的实际问题及注意事项？【学习评测】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．

（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．

（2）问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？学习活动学习活动2----函数综合应用1.如图，直线与反比例函数的图象相交于两点，连接OA，OB．（1）求和的值；（2）求△AOB的面积；（3）当取何值时一次函数大于反比例函数.2.二次函数的图象与过A，B的直线：（）交于P，Q两点，P点横坐标为1.求直线及二次函数的表达式；当时，求x的取值范围；（3）求△OPQ的面积.3.已知二次函数y=-（1）如果二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．【归纳生成】函数综合应用中的一般思路及注意事项？【学习评测】函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）.学习活动学习活动3----二次函数的实际应用（最优化）1.如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称.隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8m，点B离路面AA1的距离为6m，隧道宽AA1为16m.（1）求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式；（2）现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，装载设备的顶部离路面均为7m，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由.2.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=.（1）若花园的面积为192m2，求的值.（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.3.学校所建花园需结合环境，为净化空气需购进一批空气净化器，某商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台.经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.(1)确定月销售量(台)与售价(元/台)之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）当售价(元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润(元)最大？最大利润是多少？【归纳生成】利用二次函数求最大（小）值的问题中的关键是什么?【学习评测】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？重构拓展重构拓展对函数的再探索【学习目标】1.以反比例函数、二次函数的图象、性质为核心，梳理核心内容、逻辑关系，重构反比例函数与二次函数的思维导图；2.综合运用反比例函数、二次函数的图象与性质解决常见的生活实际类问题，说出至少2种思想方法；3.围绕反比例函数、二次函数的图象与性质、2个关系、函数应用进行二次过关，说出建立函数模型解决实际生活问题的2-4点收获.【学习任务】应用反比例函数、二次函数解决综合问题【单元重构】通过学习，相信同学们对反比例函数与二次函数有了更加深入的认识，下面有两个任务更大家任选一个完成。任务1：从函数的概念、图象、性质、应用等方面层层深入，再次阅读《对函数的再探究》的课本内容及271BAY相关资源，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，重构思维导图.任务2：选择一类你深入研究的函数，总结其概念、图象、性质、与方程不等式的关系、应用等内容，且总结学习思想和方法，与