2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.1 幂的运算【八大题型】（举一反三）（沪科版2024）（原卷版）

专题8.1幂的运算【八大题型】【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由幂的运算进行求化简求值】 2【题型2由幂的运算进行简便运算】 3【题型3由幂的运算进行整体代入求值】 3【题型4由幂的运算求字母的值】 3【题型5由幂的运算表示代数式】 3【题型6由幂的运算比较大小】 4【题型7由幂的运算确定字母之间的关系】 5【题型8幂的运算中的新定义问题】 5知识点：幂的运算1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．（m，n，…，p都是正整数）．（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．2．幂的乘方（1）幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．（2）幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．【拓展】幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）．（2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）．3．积的乘方（1）积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（积的乘方的意义）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）=a3b3．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，．因此，我们有．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．4．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．【拓展】（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．（2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．【题型1由幂的运算进行求化简求值】【例1】（23-24八年级·河南周口·期末）若a2n=2（n为正整数），则（4a3n【变式1-1】（23-24八年级·重庆南川·期末）已知3m=2，2n=3【变式1-2】（23-24八年级·湖北黄石·期末）已知50a=20，8b=20，则1a+【变式1-3】（23-24八年级·湖南株洲·期末）已知2x+y=16,4x+【题型2由幂的运算进行简便运算】【例2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）计算：−512【变式2-1】（23-24八年级·上海普陀·期末）简便计算：(−13)【变式2-2】（23-24八年级·上海奉贤·期中）用简便方法计算：35【变式2-3】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算：(−4【题型3由幂的运算进行整体代入求值】【例3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）若a+b+c=1，则(−2)a−1×(−2)【变式3-1】（23-24八年级·北京·期末）已知2x+3y−3=0，求3⋅9A．21 B．81 C．243 D．48【变式3-2】（23-24春·广西崇左·八年级统考期中）若2a+3b−4c−2=0，则9a×27【变式3-3】（23-24八年级·四川成都·期中）若x+4y−2=0，则22x⋅4【题型4由幂的运算求字母的值】【例4】（23-24八年级·河北沧州·期中）已知3a+1×5a+1=A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-1】（23-24八年级·四川眉山·阶段练习）若34×34×A．−5 B．0 C．3 D．8【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中若22n+3+4n+1=192【变式4-3】（23-24八年级·江苏泰州·期末）若m，n均为正整数，且2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值为．【题型5由幂的运算表示代数式】【例5】（23-24八年级·山东淄博·期中）若am=an(a>0且a≠1，m(1)若3x×9(2)若x=5m，y=4−25m，用含【变式5-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）若x=3m，y=9m−3，用【变式5-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知2m=a，2n=b，3m=c，请用含(1)2m+n(2)4(3)36【变式5-3】（2024八年级·全国·专题练习）在等式的运算中规定：若ax=ay(a>0且a≠1，x(1)若9x=3(2)若3x+2−3(3)若m=2x+1，n=4x【题型6由幂的运算比较大小】【例6】（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和4解：∵411=∴322>小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和8解：∵82=∴28>小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】(1)比较344、433、(2)比较8131、2741、(3)已知a2=2，b3=3，比较【变式6-1】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）比较大小：72117【变式6-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）已知a=2731，b=361，c=941，试比较a，b，【变式6-3】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若a3=2，b5=3，则a,b的大小关系是ab解：∵a15=a3∴a∴a>b，(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：；A．同底数幂的乘法

B．同底数幂的除法

C．幂的乘方

D．积的乘方类比阅读材料的方法，解答下列问题：(2)比较8131(3)比较2100与3【题型7由幂的运算确定字母之间的关系】【例7】（2024八年级·江苏·专题练习）若2a=5，2b=10，2c=50，则a①c=2b−1；②c=a+b；③b=a+1；④c=ab【变式7-1】（2024·河北唐山·八年级期末）若2×2×⋅⋅⋅⋅⋅×2k个2=4×4×⋅⋅⋅×4m个4，则k与m（A．k=m B．k=2m C．k+m=6 D．m−k=2【变式7-2】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）已知9x=m，3y=n，27z=mn，那么x，【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=409，那么a、b、c之间满足的等量关系是【题型8幂的运算中的新定义问题】【例8】（23-24八年级·湖北随州·期末）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若ax=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式24=16我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga(M⋅N)=log设logaM=m，loga∴M⋅N=am又∵m+n=log∴loga请解决以下问题：(1)将指数式34(2)求证：logaMN=(3)拓展运用：计算log6【变式8-1】（23-24八年级·山东济南·期中）我们定义：三角形＝ab•ac，五角星＝z•（xm•yn），若＝4，则的值＝．【变式8-2】（23-24八年