2025版高考数学一轮复习课后限时集训27数系的扩充与复数的引入理含解析北师大版VIP

PAGE1-课后限时集训(二十七)数系的扩充与复数的引入(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．(2024·浙江高考)复数eq\f(2,1－i)(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－iB[eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i2)＝1＋i，∴共轭复数为1－i，故选B．]2．(2024·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.]3．(2024·湘东五校联考)已知i为虚数单位，若复数z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝()A．－5 B．－1C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(5,3)D[z＝eq\f(a,1－2i)＋i＝eq\f(a1＋2i,1－2i1＋2i)＋i＝eq\f(a,5)＋eq\f(2a＋5,5)i，∵复数z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，∴－eq\f(a,5)＝eq\f(2a＋5,5)，解得a＝－eq\f(5,3).故选D．]4．若eq\f(z,1＋i)＝2－i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限A[由题意知z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，其在复平面内对应的点的坐标为(3,1)，在第一象限．故选A.]5．记复数z的共轭复数为eq\x\to(z)，已知复数z满意(2－i)z＝5，则|eq\x\to(z)|＝()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C.eq\r(7) D．5B[因为(2－i)z＝5，所以z＝eq\f(5,2－i)＝2＋i，eq\x\to(z)＝2－i，所以|eq\x\to(z)|＝|z|＝eq\r(5).故选 B．]6．(2024·太原一模)若复数z＝eq\f(1＋mi,1＋i)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－1,1) B．(－1,0)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)A[由题可知z＝eq\f(1＋mi,1＋i)·eq\f(1－i,1－i)＝eq\f(1－mi2＋m－1i,1－i2)＝eq\f(1＋m,2)＋eq\f(m－1,2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)＞0，,\f(m－1,2)＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞－1，,m＜1，))所以－1＜m＜1，故选A.]7．(2024·陕西二模)若(1－mi)(m＋i)＜0，其中i为虚数单位，则m的值为()A．－1 B．－2C．－3 D．－4A[因为(1－mi)(m＋i)＝2m＋(1－m2)i＜0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＜0，,1－m2＝0，))解得m＝－1，故选A.假如一个复数能与实数比较大小，则其虚部为零．]二、填空题8．(2024·江苏高考)若复数z满意i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．2[由i·z＝1＋2i得z＝eq\f(1＋2i,i)＝2－i，∴z的实部为2.]9．(2024·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.52[∵(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2＋2abi－b2＝3＋4i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,2ab＝4.))解得ab＝2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,a2b2＝4.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,b2＝1，))∴a2＋b2＝5.]10．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，则eq\f(y,x)的最大值为________．eq\r(3)[∵|z－2|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).]B组实力提升1．设z，z1，z2，z3是复数，下列四个命题：①复数z＝(a－b)＋(a＋b)i(a，b∈R)，当a＝b时，z为纯虚数；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；③假如z1－z2＜0，则z1＜z2；④z＋eq\x\to(z)为实数，且|z|＝|eq\x\to(z)|.以上命题中，正确命题的个数为()A．0个 B．1个C．2个 D．3个B[①当a－b＝0且a＋b≠0时z为纯虚数，故①不正确；②只要保证(z1－z2)2与(z2－z3)2互为相反数即可，故②不正确；③取z1＝－1＋i，z2＝i，则z1－z2＝－1＜0，但无法比较z1与z2的大小，故③不正确；④明显正确．故选B．]2．(2024·湘潭模拟)已知命题p：若复数z满意(z－i)(－i)＝5，则z＝6i，命题q：复数eq\f(1＋i,1＋2i)的虚部为－eq\f(1,5)i，则下面为真命题的是()A．(綈p)且(綈q) B．(綈p)且qC．p且(綈q) D．p且qC[由已知可得，复数z满意(z－i)(－i)＝5，所以z＝eq\f(5,－i)＋i＝6i，所以命题p为真命题；复数eq\f(1＋i,1＋2i)＝eq\f(1＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(3－i,5)，其虚部为－eq\f(1,5)，故命题q为假命题，命题綈q为真命题．所以p且(綈q)为真命题，故选C.]3．已知i为虚数单位，m∈R，若关于x的方程x2＋(1－2i)x＋m－i＝0有实数根，则m的取值为()A．m≤eq\f(5,4) B．m≤－eq\f(3,4)C．m＝eq\f(1,4) D．m＝－eq\f(1,2)C[设t为方程x2＋(1－2i)x＋m－i＝0的实数根，则t2＋(1－2i)t＋m－i＝0，即t2＋t＋m－(1＋2t)i＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋t＋m＝0，,1＋2t＝0，))解得t＝－eq\f(1,2)，m＝eq\f(1,4)，故选C.]4．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将复数、指数函数与三角函数联系起来，将指数函数的定义域扩充到复数，它在复变函数论里占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式可知，e－2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于()A．第一象限