数列的综合应用 基础练-2025年高考数学一轮复习

数列的综合应用基础练

2025年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.若数列｛4｝满足“向=则称｛4｝为“对奇数列”.己知正项数列也+1｝为“对奇数列”，且4=2,

则4024=（）

A.2x32023B.22023C.22024D.22025

2.已知数列｛。,｝满足％=2,4+1=｝，则数列｛凡｝前2023项的积为（）

1—4

A.2B.3C.--D.-6

2

3.函数1=区是取整函数，也被称为高斯函数，其中[司表示不超过尤的最大整数，例如：[3.9]=3,

[-2.1]=-3.若在的定义域内，均满足在区间[%,。用）上，。=[〃可]是一个常数，则称也｝为

“X）的取整数列，称｛%｝为“X）的区间数列，下列说法正确的是（）

A./⑺=log221）的区间数列的通项an=2"

B./（^）=log2x（j;>l）的取整数列的通项6“=〃

C./（力=豌2（33可（行1）的取整数列的通项22〃+5

n

D.若=1鸣x（l<x<2）,则数列也（——4）｝的前n项和Sn=（〃-2）2"+2

4.在半径为1的圆。中作内接正方形ABCD,作正方形ABCD的内切圆。I，再作圆的内接正方形

AACR,依此方法一直继续下去.我们定义每作出一个正方形为一次操作，则至少经过（）次操

作才能使所有正方形的面积之和超过10粤23.

256

A.9B.10C.11D.12

5.公差为d的等差数列｛4｝的首项为里，其前〃项和为S“，若直线y=%x+机与圆（x-2）2+y=l的两

个交点关于直线>=-六对称，则数列

的前100项和等于（）

10099

A.----B.----cD.1

101100-H

6.有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球2024-左（左eN*）.甲、乙两人约定一种游戏规则

如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸

球.若第一局中甲先摸球，记第"局甲获胜的概率为p“，则关于以下两个命题判断正确的是（）

①0=北Ur且%=(i-2pjp“+p；

②若第七局甲获胜的概率不小于0.9,则上不小于1992.

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

7.数列｛q｝的前九项和为S“，S”=2a“-3〃+4,若4(%+3)-3〃+2>0对任意〃©N*恒成立，则实

数4的取值范围为()

A.[；,+00jB.(1,+<»)C.匕,+°°]D.(2,+co)

8.设数列｛%｝满足q=0,an+l=cal+l-c,"eZ+,其中c为实数，数列｛个｝的前〃项和是S,，下列说

法不正确的是()

A.cG[0,1]是%e[0,1]的充分必要条件B.当c>l时，｛4｝一定是递减数列

C.当c<0时，不存在c使｛%｝是周期数列D.当。=:时，Sn>n-7

二、多选题

9.已知。“=2"，bn=3n-l,数列｛4｝和色｝的公共项由小到大排列组成数列｛%｝,贝U()

｛g｝为等比数列

的前”项和Sae[L5)

D.加、屈、也不是任一等差数列的三项

10.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的

创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成

一个图②的树形图，设图②中第〃行白心圈的个数为风，黑心圈的个数为4，则下列说法正确的是

()

B.4=2

C.数歹为等比数列

12022_i

D.图②中第2023行的黑心圈的个数是——

2

11.已知数歹！!｛。“｝满足g+1=。；-2%+2,则下列说法正确的是()

A.当q=3时，l<a“V?(w22)B.若数列｛4｝为常数列，则%=2

C.若数列｛叫为递增数列，贝何>2D.当弓=3时，q,=2*+l

12.斐波那契数列｛力｝满足fn+2=fn+l+f„(〃eN*).下列命题正确的有()

A.%2="+1

B.存在实数彳，使得"用-血,｝成等比数列

C.若｛与｝满足％=1,an+l=l+—(〃eN*),则％=今

anJ"

；；：：：：；；

D.c°o+C9+C+C7+C6+C5+C4+C3+/+M+C°=f20

三、填空题

13.已知数列｛%｝的前〃项积为T“，若%则满足焉,o]的正整数人的最小值

为.

14.设数列口｝的通项公式为4=川-a〃wN*,该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列

构成数列｛b„｝,则bzou被7除所得的余数是.

15.x(xeR)表示不小于x的最小整数，例如「2]=2,-|=-1.已知等差数列｛%｝的前见项和为S“，

且$7=-7,ai+a6=-3.记么=0，则数列｛£｝的前10项的和.

16.已知数列｛%｝满足。3=-7,""+。”+1=布〃2。。5耳，贝1。240=.

四、解答题

17.如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥S-ABCZ),现有一只电子蛾蛾在棱上爬行，每次从一个

顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛾蛾初始从顶点S出发，再次回到顶点S时停止爬

行.

(1)求电子虫触曲爬行2米后恰好回到顶点S的概率;

（2）在电子岫蝴停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为求J的分布列及其数学期

望E楂）;

（3）设电子蛾蜗爬行22）米后恰好停止爬行（首次回到顶点S）的概率记为匕，求匕（用九表示）.

18.已知等差数列｛g｝的前〃项和为5“,外向=2%+2,且，杀;为等差数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵在。与2年之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为d”（Z>。）的等差数列，记数列［上］

的前几项和为I，求证：I<3.

19.已知数列｛%｝中，4+i=2a“-6cos（r-乡.

236

rjyr

（1）证明：数列为常数列；

⑵求数列｛加订的前2024项和.

参考答案:

1.C

因为正项数列｛2+1｝为“对奇数列”，所以％1+1=2(2+1)-1,

则%1=2优，即数列｛%｝是公比为2的等比数列，又因为仇=2,

20232024

所以蜃24=2x2=2，

2.B

1+CL

依题意，4=2,an+i=-------,

1+-

1+2c1-3121

所以=—J,a,=-----%=7~=2=%,

1—231+32'3

1+11--

23

所以数列｛q｝是周期为4的周期数列，

q%%%=2x(—3)x^——^jx—=1,2023=505x4+3,

所以数列｛%｝前2023项的积为2x(-3)X'£|=3.

3.D

选项A：当XE[1,2)时，0Wlog2%<l,[log2x]=0,所以%=1,4=2,

又当尤《2,4)时,1<log2x<2,[log2x]=1,所以出=2,%=4,

同理可知在[2〃工2〃)上，n-l<log2x<n,[log2x]=n-l,所以%=2〃T,A错误.

选项B：由选项A的分析可知，bn=[/(x)]=[log2x]=n-l,B错误.

选项C：因为[/(x)]=[log2(33%)]=[log2X+log233]

2[log2x]+[log233]=[log2x]+5,

因为[kgxjnz—l,所以仅2九+4,C错误.

H11

选项D：由选项A的分析可知，bn(«„+1-a„)=(n-l)(2-2--)=(«-1)2-,

2

贝I]Sn=0+1x21+2x2+3x23+…+(“-1)X2"T①，

所以2S“=0+1X22+2X23+3x24+…+(〃-2)X2"T+(〃一1)2”②,

2(1-2"-1)

②-①得S“=-(2'+22+---+2”T)+(〃-1)2"+(«-l)2"

1-2

=2—2"+(“—1)2"=2+(〃-2)2",D正确.

4.C

第一个正方形的边长为血，面积为(鱼了=2,

第二个正方形的边长为理x点=1,面积为1,

2

第三个正方形的边长为工*0=变，面积为=1

2212J2

以此类推，正方形的面积是首项为2,公比为1的等比数列，

2

.12"J/,1023111匚匚zs

由-----3-----=41----->--------,--<------=-77T9所以〃>[0,

「I12〃J2562”1024210

~2

所以至少经过11次操作才能使所有正方形的面积之和超1过02塔3.

5.A

因为直线y=中+加与圆(％-2)2+/=1的两个交点关于直线y=-寸对称,

所以直线y=-——经过圆心(2,0),且直线y=4%+根与直线y=-——垂直,

所以2—d=0且—5。]=—1,解得：d=2,%=2.

n(n-\\1111

则S“=2〃+」---=+77，

n2')nyn+i)nn+1

所以数列!的前100项和为l—工+!—工+…+」——-=1--=—.

[Sn\223100101101101

6.A

第一局：摸1次甲获胜概率为：熹,摸3次甲获胜概率为：(2024———,

2024(2024)2024

摸5次甲获胜概率：［2。24曰_L_,摸7次甲获胜概率：［2021］上，L,

(2024)2024(2024)2024

2024-左『一2卜

摸2〃?-1次甲获胜概率:2024J2024

k(2024kf2024-^Ymlk

所以Pi=lim2024+12024J2024+"'+<2024J2024

kJ2O24_『

k

I2024)

202420242024

所以月=lim/、2

zn—>+oo(2024-A:

12024-4048

'I2024J2024)

第〃+l局甲获胜包括两种情况：第"局甲赢且第〃+1局甲后摸球和第"局甲输且第〃+1局甲先摸球,

则P,+i=(1一月)+(1-PM=(1一2R)%+R，故①正确；

由％+1=(1_2p)0“+口，设p“+|+/l=(l_2月)(p,+X),解得彳=一；,

所以P“+1_g=(l_2pj]p“_g),

所以，P“是首项为R-；，公比为1-2”的等比数列，

则07—g=]pi_；j(l_2pj6,即0?=(p1_；｝l_2pj6+gz0.9,

所以[一2pJ20.4,即.一>0.4,

即26[口一1)204,即12竽,即月一；2^^,

In412024

则“zMr+—"0・984，即Pj=------------>0.984,解得左N1991.089,

V2624048

所以人不小于1992,所以②正确.

7.B

由于S.=2%-3〃+4,故％=S[=2%-3*1+4,从而生=-1.

2a3

又有。“+1=Sa+]-S”=(2%-3(〃+1)+4)-(2%-3〃+4)=2aM-n-.

所以4,+i=24+3,故%+3=2(q,+3),而q+3=-1+3=2,故纥+3=2".

这表明命题等价于X.2"-3"+2>0对〃eN*恒成立.

若2W1,贝！!322-3*2+2=4几-4W4-4=0,从而原不等式对〃=2不成立，不满足条件；

若4>1,由于我们可以直接验证2"—3"+220在〃=1和九=2时成立，且对九>2有

2,!-3n+2=2,,-22-3(77-2)=^(2^-2*-1)-^3=^(2M-3)>^(22-3)>0,

k=3k=3k=3k=3

故2"-3/7+220对〃eN*恒成立.

而此时由4>1有九2"—3〃+2>2"—3w+220,故;1・2"—3〃+2>0对〃eN-恒成立，满足条件.

所以彳的取值范围是(1,+8).

8.C

若%则出即必要性成立；

若cd[0,1],则%=l-ce[0，U

假设〃=笈(%21,%eN")时，ane[0,1]

则〃=%+1时,a„+1=ca^+1-ce[1-c,1]G[0,1]

因此cd[0,1]时，4c[0,1],即充分性成立；故A成立；

c>l,y=cx3+l-c单调递增,

^—0,622=1—CV0Cl^—于(^2)Vf(。1)=1—C—4^2

同理。4=/(%)</4)=%，依次类推可得。〃+1<。〃，即｛〃〃｝一定是递减数列，故B成立；

3

当c<0时，ax=0,「.做=1-c>0..«3=c(l-c)+1-c<1-c=«2

由的=0=>C(1-c)2+1=0,令g(c)=c(l-c)2+1,Qg(-1)<。,g(-g)>og(c)存在零点,即存在c使｛%｝是周

期数列，即C错误；

当C=:时，%+1+*〃+1T=T)=MT)3；+4〃+1)，

由A得见e[0,1],所以。“+i-1之1&-1)(1+1+1)>(0„_1-1).(-)2>£>(0-1).(-)",

a用>1一2弓尸(心2)

3

…+匕「卜7-2」

因为”=1时，51=0>-7,所以S.>〃_7,即D成立；

9.BCD

设的第〃项与｛4｝的第加项相等，即2〃=3a-1，〃£N*

当"二根=1时，%=4=。=2,

当〃=3,根=3时，/=4=。2=8,

当〃=5,a=n时，a5=bn=c3=32,故A错；

m

令%=4=4，即cn=2=3k-l,

4,用=2-2'"=2（3左一1）=3（2左—1）+1,不是｛%｝中的项，即不是匕｝的项,

4”+2=42"=4（3"1）=3（软—1）—1,是也｝中的项,即不是匕｝的项，

所以於=警=4,则C.=2.4"T=22"T,即｛%｝为等比数列，故B对；

Cnam+l

由S"=2xg+5x[g[+---+（3ra-l）-Q^,

得曰"=2'出+5xg[+…+(3”1).出，

1

两式相减得，-S=2x—+3xI+•••+3x

2n〃22

所以S.=5-笄，且%>°，所以S〃单调递增，所以色目1,5），故C对;

a

2n

设加、行、场是等差数列｛4｝的第八力P项，｛4｝的首项为4,公差为d,

y/2=dx+(i-l)d

乒舁(j_i)d=^一拒=三=®_2,

<\[5=4+(j-1)d=<

6=(p_i)d'p-

y/s=4+(p-l)d

因为公是有理数，质-2是无理数

所以原假设不成立，即屈、施、其不是任一等差数列的三项

10.ACD

由题可得%=5,&=4,故A正确，B错误;

a,+b,,=3"T,an+l=2an+bn,bn+1=2bn+an,且有q=1,b}=0,

。用+々用=3(%+。),

故有

an+A-bn+l=an-bn,

所以+2｝是以％+伪=1为首项，3为公比的等比数列,

｛%-2｝为常数列，且4-4=1，

所以｛4-2｝是以％-4=1为首项，1为公比的等比数列，故c正确；

3"一+1

十「故an=，

由上可得

[4,一切=1，3〃T—1

bn--一，

o2022_i

所以“23=；故D正确•

11.AD

对于A,当q=；时，/=：，令=%T，贝尼+i=2；,么=；，故0<凡,即l<a“<1(n>2),

A正确；

对于B,若数列｛an｝为常数列，令％=t,贝1=»一2/+2,解得，=1或，=2,二%=1或4=2,B不正

确；

对于C,令b“=an-l,则%,

若数列｛&J为递增数列，则数列｛,｝为递增数列，则\b“=b：-b.>0,解得么<0或£>1.

当伪<一1时，b2=bf>l,且以|=不，

•••1<4<…<6“<•,・，/<勿，此时数列｛既｝为递增数列，即数列｛an｝为递增数列;

当-1W仿<。时，0<仇41,且%=%

,此时数列｛.｝不为递增数列，即数列｛即｝不为递增数列；

当々>1时，bn+l=b；,

:.b\<b2Vb3此时数列｛5｝为递增数列，即数列｛an｝为递增数列.

综上，当仇<-1或乙>1,即/<0或%>2时，数列｛即｝为递增数列，C不正确；

对于D,令"=%T,则bn+1=f,4=2,两边同时取以2为底的对数,得log2%=210g22,log,^=1,

数列｛logA｝是首项为1，公比为2的等比数列，

.'.logA=2»-',即2=2*,an=2*+1,D正确.

12.BC

对A,因为｛力｝满足£=4=l,f+2=f+1+f,

所以与=fa，4=4+1=3,《=4+与=5,=W+W=8,

6=W+W=13,%=《+4=21,4=4+石=34,

所以端=212=441,44+1=13x34+1=443,

所以*h4《+1,所以A选项错误；

对B,若｛糯-"｝为等比数列,则可设篇T篇=以篇-电）（#0）,

将九2=力+i+力代入可得，源=4（源-电），

'」+君1-V5

/\「1一丸=9'2

即1—44+】+力=琥用一^儿力，则有1:二臣或<2

H2=1°i-V51+75

I2

所以存在实数2,使得数歹U｛力+1-2力｝为等比数列，故B选项正确；

对C,根据数列｛的J的递推公式可计算出如下结果，

11112.13.151

刍=1=彳，4=1+一％=1+—=寸％=1+—=-,•••,^=1+-

1q1a2乙q3

显然%的分子为1,2,3,5,8,13,21,34,55,…满足斐波那契数列，可以表示为加।,

同理，%的分母为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…满足斐波那契数列，

可以表示为工，所以。“=孕，故C选项正确；

Jn

对D,根据斐波那契数列公式可得，fw=6765,

又因为%=3003,C\+C:=4823=>C^+C^+C®4=7826>6765,

所以C；。+C；9+C；8+C：7+C：6+C：5+C：4+C：3+C：2+图+C；；w%,故D选项错误.

13.5

解：由满足就一焉4即咏高，

当〃“时，圜（嬴，

又〃为偶数时，（〉。，孔为奇数时，（<0,所以要满足，£卜焉,0

所以上的最小值为5,

故答案为：5.

14.0

因为q,=n3-n=/z(/z-l)(/z+l),所以当力的个位数字为1,4,5,6,9,0时，

%的个位数为0,则在数列｛4｝中，每连续10项中就有6项的个位数字为0,

而2017=336x6+1,由此推断数歹^也｝中的第2017项相当于数列｛%｝中的第3361项，

即仇oi7=/36i=336/-3361,而3361=480x7+1,所以3361除以7余数为1,

而(7/+1)3=(7左丫+3(7乃2+3(74)+1,左eN*,所以336F除以7余数也为1,

而它们的差336F-3361一定能被7整除，所以%)仃被7除所得余数为0.

故答案为：0.

15.-15

由邑=-7,可得7%=-7,解得知=-1,

又。4+4=-3,得2%=-3,解得。5=-耳，

所以数列｛见｝的公差为1=-；，.・.。”=1一小，

又〃=

4=［；］=1,同理4=a=0,b^=b5=-l,b6=b-,=-2,bs=b9=-3,bl0=-4,

所以数列出｝的前10项的和为1+0+0+(-1)+(—1)+(-2)+(-2)+(-3)+(-3)+(-4)=-15.

故答案为：T5.

16.1785

｛irrr

cos^^是以4为周期的周期数列，

a2

易知a4k+4k+i=左2,a4k+l+a4k+2=0,a4k+2+a4k+3=-^+^+-^,a4k+3+aAM=0,

则为左+4-〃4左=%+7，且。3=+。4=0,可得。4=7；

由累加法可得％40=(%40-%36)+(%36—。232)-----(。8-。4)+。4=59+—+58+—H-----bl+—+—

159(59+1)

=59+58+…+1+—x60=—------^+15=1785；

42

故答案为：1785

17.(K

⑵分布列见解析，

⑶（心2）

（1）记事件A="电子蛾蛾爬行的第i米终点为A"，B,="电子蝴曲爬行的第i米终点为8”,

G="电子岫蛾爬行的第i米终点为c"，D,="电子蝴蛾爬行的第i米终点为

S,="电子蛾蜗爬行的第i米终点为S"，耳="电子蝴蛾爬行i米后恰好停止爬行”,

则尸出）=尸（4星）+尸（4$2）+尸（GSJ+尸㈤邑）=；。4=；

（2）记事件〃="电子蛾蝴停止爬行时，爬行长度不超过4米”

*名）=尸（AB2s3）+尸（4。偲）+尸（4453）+*4。2鸟）+尸（G2S3）+尸（£与风）

2

+p（r>1453）+p（r>1c2s3）=-

尸出）=尸（AB2AsJ+尸（A5c3sj+尸（A2As4）+网44。3邑）+

尸(44B5s4)+P(B[AzD3s4)+尸(4GBA)+P(5IC2D354)+

尸(GB2c3s4)+尸(GB2As4)+尸(C&C3s4)+P(C,D2V4)+

4

(243cAs4

尸鼻邑)+)+尸)+P(D1C2B3S4)=—

.-.P(M)=P(E2)+P(E3)+P(E4)=|+|+A=||

J的可能取值为2,3,4,根据条件概率的知识，可得J的分布列为

1

*=2）=尸但根）=瑞=仓9

19

27

2

Pq=3)=P(图明=篇

j_=A

19-19

4

19

用表格表示J的分布列为:

/.E(^)=2x—+3x—+4x-=—.

v719191919

(3)5=g(l—6—£——/tj(6=0,n>2)@

2；(1—6—£一一只)②

2

②一①得：p„+l=-p„

・・•卜,「£=gl「g

18.(1)%=2几

(2)证明见解析

(1)因为等差数列｛%｝中，见=q+(〃—l)d,又〃2〃+I=2凡+2,

所以6+2nd=2［。1+(〃-l)d］+2,即％+2=2d①，

因为［斗］为等差数列，所以冬-斗=上卷-工，

〔"+lJn+2n+1〃+3n+2

令”=1时，邑一色=2_邑，即2%+”一幺=3囚+3"一20+”,则％/②,

32433243

结合①②，解出d=2,4=2,则4=2+(n-l)x2=2几，

所以｛〃“｝的通项公式为%=2九.

a

41+1n1