数列的通项公式、数列求和与综合应用策略（10大题型）（练习）-2025年高考数学二轮复习（新高考）

专题11数列的通项公式、数列求和与综合应用策略

目录

I01模拟基础练.................................................................2

I

题型一：等差'等比数列的基本量问题...........................................2

题型二：证明等差等比数列.....................................................3

题型三：等差等比数列的交汇问题...............................................5

题型四：数列的通项公式.......................................................7

题型五：数列求和..............................................................9

ZF页i—i1^]・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・12

题型七：实际应用中的数列问题................................................14

型八：以数列Jr载体的情境・•・・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・•♦・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・♦・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・16

题型九：数列的递推问题......................................................19

重难点突破：数列新定义......................................................22

I

।

02^^^^^^・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・28

题型一：等差、等比数列的基本量问题

1.等差数列｛。“｝满足。3+%=4,%+。8=8,贝|4+%2=（）

A.6B.10C.12D.24

【答案】C

【解析】设数列公差为%由%+%=4,%+/=8,

2%+5J=43

可得解得力=-

2q+13d=8

31

贝！Jq]+6ZJ2=2q+2Id—2x—+21x—=12.

故选：C

2.等比数列｛q｝的前“项和为S“，a｝+a4=3,a2+a5=6,则4=（）

A.27B.24C.21D.18

【答案】C

【解析】在等比数列｛。“｝中，其公比4=K^="|=2,所以生+4=4（/+%）=2><6=12,

所1以=（q+4）+（%+。5）+（生+%）=3+6+12=21,

故选：C.

3.设等比数列｛4｝的前〃项和为"，若6=3,且。2022+2023=。，则S3等于（）

A.3B.303C.-3D.—303

【答案】A

【解析】设等比数列｛4｝的公比为4,由%022+Q2023=3X92021+3X/°22=0,

可得"一’故

故选：A.

题型二：证明等差等比数列

4.记5.为数列｛%｝的前«项和.已知S“=w“+2〃(〃-l).

(1)证明：｛%｝是等差数列；

(2)若与为为和卬的等比中项，求S“的最大值.

【解析】(1)S“=w“+2〃(〃—l),

，S“T=(«-!)«„_,+2(n-l)(«-2),n>2,

an=Sn-S〃_]+2n(n-l)-(??-l)a„_1-2(n-l)(n-2),

化简得：-(«-1)«„_1+4(〃-1)=0,

Qn>2,：'an~an-\=-4,

・•.M是以公差为-4的等差数列.

(2)由⑴得。6=q+5d=4-20,

同理%=4-12,%=4-24,

由题意=a4a7，即(4一20)2=(4—12)(%-24),

解得4=28,

=q+(〃—l)d-—4〃+32,

当时，〃〃之0,当n>8时，。〃<0,

8(q+4)

(s〃)S1=112.

\n/max

为奇数

5.(2024•江苏镇江•模拟预测)已知数列｛〃“｝满足4=1,

%+4,〃为偶数'

(1)记么=4〃，写出4,%，证明数列｛2｝是等差数列，并求数列｛2｝的通项公式;

(2)求,〃｝的前20项和.

【解析】(1)依题意，々=〃2=q=i,4=g=%=%+4=5,

显然%=a2n+2=a2n+l+1=a2n+i=a2H+4,因此％1H2+4,

所以数列g"是等差数列，其首项为1,公差为4,通项2=4〃-3.

(2)当〃为奇数时，an+1=an,

所以｛q｝的前20项和为4+/++a20=2a2+2a4++2a20=2(bt+b2+4。)

=2x0+37)x10=38。.

2

2〃〃,〃是偶数

6.(2024・高三.黑龙江哈尔滨•期中)已知数列｛%｝满足卬=3,且凡包

an是奇数.

⑴设么=%1+%＞一证明：｛〃-3｝是等比数列;

(2)求数列｛4｝的通项公式.

2a",”是偶数

【解析】⑴因为a—

%T,”是奇数

所以生”=a(2”-i)+i=a2n-i~1，

因为，

所以=2a2"+1T也=2a"+1,

b+1

所以4〃+1=六—，2a2rl二2一1,

h_|_i

又%“=2%,所以巧一=6“一以所以以「3=2色,一3),

又乙一3=4+々2—3=〃2=2W0,所以包一3W0,

b-3

所以廿左=2,

2-3

所以数列也-3｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)知，6.一3=2-2"一=2",即2=2"+3,

又6“=2%.+1,可得的“=1+2”7,

又由a=a2K+*=2*-1,可得*=2+2"-1,

1+为偶数

所以为=，

n-1

2+2万/为奇数

题型三：等差等比数列的交汇问题

7.已知递增数列｛%｝和也｝分别为等差数列和等比数列，且%=34，/=2瓦,%=2，-

⑴求数列｛%｝和也,｝的通项公式；

Inabi

⑵若C„=——,证明：CIC......c„<--.

Inb2n+l

【解析】（1）设等差数列｛g｝的公差为d，等比数列物J的公比为4,其中d>O,q>O,qNl,

3d=4（2q_3）

由题意得：，

6d=瓦q，-3

ax+仿q=6

，代入原方程后可得G=3,伉=1,

于是得到数列｛%｝的通项公式为4=〃+2,数列｛2｝的通项公式为£=3"'

（2）由题可得c„=记方=log%%=logy”（3"T+2）

由于〃eN*时，3"-（3"T+2）=2（3”T—1）20,

则3"?3"J2（当且仅当〃=1时取等号），

所以g=log3„+l（3"-'+2）<log3„+l3-=-^,

则eg?……c„<^x|x……x—、=—1（当且仅当〃=1时取等号）.

23n+ln+l

C

所以℃...n---------7-

8.（2024•湖南长沙•模拟预测）数列｛4｝为等差数列，为正整数，其前〃项和为S.，数列他,｝为等比数

列，且q=3,伪=1,数列｛%｝是公比为64的等比数列，b2S2=64.

⑴求％也；

（2）求证：—+—+

»2

【解析】（1）设｛4｝的公差为d,｛2｝的公比为q,则d为正整数,

nl

a„=3+(n-i)d,bn=q'

bn3+nd

-^±L=-l------==64=26

依题意有%/+(M”①.

S2b2=(6+d)g=64

由(6+d)夕=64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一,

解①得d=2应=8

故4=3+2(〃-1)=2〃+1,2=8〃T

1]

(2)S,=3+5+…+(2〃+1)=〃(〃+2)

’5〃(〃+2)

+一=--1-+--1--+---+1

1x32x43x〃(〃+2)

11111111

—+----++——1+—

232435nn+22n+\n+2

31113

---------------1-------<—

42In+1〃+24

即证.

9.已知等差数列｛。〃｝的前”项和为且$3=%,a2„=2«„+l(«eN*).

⑴求｛4｝的通项公式;

⑵若数列也,｝是递增的等比数列，其公比为4,且也｝中的项均是｛%｝中的项，仄=%,当4取最小值时,

若a=4,eN*),请用％表示i.

[解析】(1)取〃=1,贝I」％=2。1+1,

3%+3d=%+4d

由得

a2=2al+1+d=2〃i+1

2%—d

即

%+1=d'

解得〃i=l,d=2,/.％=q—=2〃—1.

(2)由4=1且也｝是递增的等比数列，得4=[=%>1,

故Z?2=%(左GN且左22),

由于数列｛%｝是递增数列，则当q取最小值时，4=%=3,即q=3,

.•.2=1X3"T=3"T,

甲-1+1

若4=q,贝U3i=2i—1,所以^^1=九

题型四：数列的通项公式

已知数列｛见｝满足：111〃(〃+3)

10.+--+——+，则｛q｝的通项公式为

2a23a3nan4

【答案】氏=拓%

1111几(〃+3)

【解析】数列｛。“｝中,—+---+——+

ax223%na4

1111(〃一1)(〃+2)

当心2时，-+—+—+H-------------------

Ad?5^/34

1n+1211

两式相减得以=丁,解得4=而用,而7=1,即％=1满足上式,

所以｛q｝的通项公式为a,=又乐.

,,心-,2

故答案为：4,=而而

11.数列｛4,｝满足％=2,4向=34+2用，则数列｛4｝的通项公式为为=

【答案】2(3〃—2")

【解析】数列｛见｝中，由J=3%+2"M,得若=：令+1，即需+2=%黑+2),

乙乙乙乙乙乙

而％=2,(+2=3,于是数列｛*+2｝是首项为3,公比为:的等比数列，

222

因此之+2=3x(-)"-*,即a„=2(3"-2”)，

所以数列｛%｝的通项公式为4=2(3"-2").

故答案为：2(3"-2")

12.(2024・高三・山西•期中)知正项数列｛%｝的前〃项和为S*,满足%=#7+6;Cn>2,〃eN*

Q]=1.

(1)求数列｛凡｝的通项公式;

⑵设bn=cosmt------,求数列也｝的前2〃项和T2n的表达式.

anan+\

【解析】（1）正项数列｛〃“｝的前〃项和为S“，满足+

所以Sn-Se=&+卮,

整理得：（冏+反）（£-氏-1）=0,

由于数列为正项数列，

所以底-宿=1（常数），

所以｛£｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以6'=1+"-1="，

故Sa="2,

所以当“22时，a“=S”—S“_]=1)=2〃—1,

当”=1时，4=1符合上式,

所以%=2〃一1.

1111、

(2)由于-----=-(z----J,

a„an+l22/1-12n+l

n

j匕/d\〃/-\n1(11)

所以2=COSM-----=(-l)7T-_1、=(T)To-r+^~7-

a〃an+i(2〃一1)(2〃+1)412〃-12n-lJ

所以=4+》2+&++b2n=；[_(l+；)+(；+%—(H+...一(11；)+(411+/11J1

4335574〃-34n-l4n-l4n+l

1/r1、〃

二一(­1H---------)=-----------.

44〃+l4n+l

13.（2024・高三.山东青岛.开学考试）记关于》的不等式Y-4加+3〃2Vo（weN*）的整数解的个数为

%，数列久的前〃项和为不,满足4雹=3"j—2.

⑴求数列也,｝的通项公式:

3

(2)设％=2或-彳,若对任意的〃eN*,都有g<C"+i成立，试求实数4的取值范围.

【解析】(1)由X12-*4nx+3〃240，得解-〃)(x-3〃)4。,

因为“eN*,故〃4x43〃，于是a“=3w-〃+l=2〃+l.

所以4北=3用-2〃-3,易知4=47]=4,即4=1.

+1,

当”N2时，4b“=4(q-Tn_t)=(3"-2n-3)-[3'-2(M-l)-3]=2(3"-1),

故4包=2(3"-1),"eN*,当巩=1时，上式也成立，

所以〃=；(3"-1),“eN*.

(2)。“=2—于=3"-1-2(今，

所以*=3”“-1-2(七严，

所以C,M-C,=2X3"+；》(一6"，

由g+i—c”>。，可得力,(-万)”>_—,

4

由于〃N*,若〃为偶数时，则X〉-《X2〃，

44161A

—x2n<——x22所以丸>一~—,

DDDJ

4

若〃为奇数时，则丸<丁2与

AOQ

因为1*2〃2二，所以见<二，

所以---<A<—.

故彳的取值范围为

题型五：数列求和

14.已知数列｛。,｝的前〃项和为S.，%=-2且2《+[=5“+5心

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设勿=gs“，求数列也,｝的前鼠项和加

【解析】(1)由2%=S,+Sx，得2S”+「2S“=S"+Sw

所以兀=35“，

又4=q=-2,

所以数列｛S“｝是以-2为首项，3为公比的等比数列，

所以5"=-23、

当”N2时，。“=S“-S,T=-2-3"-1+2-3"-2=-4-3"-2,

当”=1时，上式不成立，

所以见[43/心2；

(2)由(1)得6“=5S“=-".3"T,

贝IJZ,=—(1+2*3+3*3?++小3'1),

gp-7；=1+2X3+3X32+..+«-3^,

-3北=3+2x3?+3x33++(«-1)-3^+n-3\

两式相减得27；=1+3+3?++3，1-”,3"=上h-小3"=止网士Zl,

所以7；=1_1_

15.已矢口数歹支4｝的前几项和'=(乌，”eN*.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)设优=2"”+(-1)"an,求数列出｝的前2n项和.

【解析】(1)当〃=1时，％=H=1；

n2+n(n-1)

当〃之2时,〃=ss

nnn—\.

«i也满足%=〃，故数列｛%｝的通项公式为

(2)由⑴知《=〃，故6“=2"+(-1)"”,记数列｛〃｝的前2〃项和为&,

贝ijq.=(，+2?+-+22")+(-l+2-3+4-+2n).

t己A=2i+2?++22",B=-l+2-3+4-+2n,

S=(-l+2)+(-3+4)++[-(21)+2〃]=".

2n+1

故数列也｝的前2"项和T2n=A+B=2+n-2.

〃+小久为奇数

16.己知数列｛%｝满足4=|",«„+i2

%为偶数

,2

⑴记2=。2“，求4，%并求数列｛4｝的通项公式；

(2)记1=才，求｛5｝的前〃项和S”

1131

【解析】(1)由题知4=%=〃]+/=3,4="4=々3+5=%+5+5=5,

T731

aa

乂%〃+1=%凡+万，2n+2=2n+l+~，

所以。2〃+2=%〃+2,即%=4+2,且白=3,

所以｛2｝是以3为首项，2为公差的等差数列，

于是2=3+(〃一l)x2=2〃+l.

(2)由(1)可得c,=竽，

所以S"=3x/+5x级+7x^y++(2ra+l)x—0,

则gs“=3x《+5xJ+7xg++(2n+l)x^|-@,

则①-②得(S"="；+2：+最++j]-(2〃+l)x击

/c1、152n+5

一(2〃+1)x--=--------

2向22用

17.已知数列｛叫满足％=|,(4%+1”用=3%，S"为数列勺前〃项和.

(1)求证：数列是等比数列;

(2)求数列｛%｝的通项公式;

⑶求数列目的前〃项和S“.

【解析】（1）对（4%+l）%+i=3%整理有：4。〃。〃+1+。〃+1=3。〃,

等式两边同时除以4+得〃可得4+'=3

an%+1

I，

等式两边再同时减6得工-2=3--2j,即

an%%3（凡）

3111

又由％=工，可得---2=一丁0,故----2w0,

5q3an

则数列1是首项为一，公比为g的等比数列.

(2)由⑴得匚2的通项公式为工-2=-白，

[a„Jan3

1cl3"

得一=2-袤，所以可=——--.

«„3"23-1

1一1

(3)由(2)知一=2--,

所以S“12m扑..+(2一丹2"[+:+…+J

题型六：数列性质的综合问题

18.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知S“是等差数列｛%｝的前〃项和，满足S2022Vs2023Vs的,设

，1、

或=%。“+4+2,数歹!]｛二｝的前“项和为，，则下列结论中正确的是（）

bn

A.O2022VoB.使得S”<0成立的最大的〃值为4045

C.02023°2024<02021°2022D.当"=2022时，4取得最小值

【答案】ACD

【解析】因为^2022<$2021，所以a2O22=^2022—^2021<>A正确；

同理“2023=S2023—*^2022>。，％023+“2022=*^2023一$2021<。，d>0,

则0<%023V―。2g，以%023+^<一（。20221d）,即0<々2024<一%021，

。2023a2024＜。2021a2022，C

^^2023邑045=4045。2023>°

因为<a2022<0，所以，S4043=4043。2022<°

、〃2022+〃2023<。54044—2022(%022+。2023)<°

故使得S,<0成立的最大的几值为4044,B错误;

又%<%<<。2022<°<%023<，

故当1工〃<2020,anan+lan+2<0,故7J>%>'>T2Q2Q,

当〃=2021时,>°，故^2021><020，

aaa

当〃=2022时,nn+\n+2<。，故^2022<^2021

当I〃之2023时,。,故n022<-^2023<〈北,

-r-zTT-1I1—°2022+%023/n

而72022.72020—1—<U,

“2021。202202023。2022a2023a2024。202102022a2023%024

故弓22<弓20,故当〃=2022时(取得最小值，D正确.

故选：ACD.

19.（多选题）（2024・高三・江西•期中）已知｛4｝是各项均为正数的无穷数列，其前〃项和为S〃，且

，+?=l（"eN*）,则下列结论正确的有（）

%S,、,

A.a2<a｝

B.任意的“eN*,Sn^n+l

C.存在左eN*,使得

D.数列｛4｝有最大值，无最小值

【答案】ABD

11-1,

【解析】令〃=1,贝1J—+7=2,—=1,所以6=2,

1111.L

令〃=2,得一+—=一+T--=1,又4>0,可得%=也，A正确;

2

a2S2a22+a2

11

由〃“>。，—=i--<1,所以%〉1,C错误，

an

由Si=q=l+1,且5〃=%+。2++。〃=2+。2++Q〃>〃+1,B正确，

11sSS

由一二1一不，得〃“二qi，所以%+iga1—q”1

aS

nnS「1Sn+l~lSn-l

_5用电一1)-5,电+「1)_S“----

一(5„+1-l)(S„-l)(S„+1-l)(S„-l)(S„+1-l)(S„-l)'即"

所以“，随〃的增大而减小，故｛%｝为正项单调递减的无穷数列，且1<%W2,

故数列｛4｝有最大值2,无最小值，D正确；

故选：ABD

20.（多选题）设｛4｝（“eN*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，&是其前〃项的积，且（<乙,

（=号>4,则下列选项中成立的是（）

A.0<q<lB.%=1

C.K9>K5D.（与K7均为凡，的最大值

【答案】ABD

【解析】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积K“也为正，公比4>0,

又K6=K7>KS,­=a6>l,与=%=1,B正确；

K5K6

又去=%<1,故4=%="<1,即0<”1,A正确；

C选项，由%=1得a5aq=626a8="7=1，所以*4=Kg,

而为=">1,因此K/K5,C错误；

q

D选项，由上知%>%>=.，

｛&｝先增后减，臬与弓均为K”的最大值，D正确.

故选：ABD

题型七：实际应用中的数列问题

21.（2024・北京海淀•一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发

现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度

约为60。），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于

是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心。开始，沿直

线繁殖到4,然后分叉向4与%方向继续繁殖，其中乙%。&2=60。，且右右与A%关于。4所在

直线对称，\41=442=；。4--若°41=481,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养

皿的半径r"eN*,单位：cm）至少为（）

分叉

【答案】c

【解析】由题意可知，0AI=4cm,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在。4n方向上的距离的范围,

即可确定培养皿的半径的范围,

依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为:

)。V3,1V311y/3

4,2x,1,-x,一,-x,•,

222482

贝U4+2x———F1+—x2一=5H------>5+—=7,

22244

黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和,

即口+5〔+*[2+*+473216+4若16+8。

—+——x——-=------------<-------=8

121133

44

综合可得培养皿的半径r（rwN*,单位：cm）至少为8cm,

故选：C

22.（2024.山西运城•一模）某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高

产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月的基础上提高4%,产品合格率比去年

12月增加0.4%,计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格品

数达到最大是今年的（）

A.5月份B.6月份

C.7月份D.8月份

【答案】C

【解析】设从今年1月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长,

该工厂每月的产量、不合格率分别用%、4表示，月份用w（〃eN*）表示,

贝i|a“=lx(l+4%)"=1.004",bn=1-(87%+n-0.4%)=-0.004n+0.13,其中〃W24,“eN*,

则从今年1月份起，各月不合格产品数量为“也=1.04隈(0.13-0.004〃)，单位：万台,

+1

因为an+lbn+l-anbn=1.04"x[o.l3-0.004（M+1）]-1.04"x（0.13-0.004”）

=1.04"[1.04x0.13-1.04x0.004（«+l）-0.13+0.004/z]

i04〃2104〃

=1.04"（0.00104-0.00016/7）=^-（104-16/7）=—X^^（13-2/z）,

当"V6时，an+lbn+i-anbn>0,即an+lbn+l>anbn,此时，数列｛42｝单调递增,

即％仇<42b2<<a7b7；

当74力423且〃cN*时,4+2+1-anbn<0,即an+1bn+1<anbn,此时,数列｛anbn｝单调递减,

即a7b7>a8b8>>a24b24，

因此，当〃=7时，最大，故该工厂的月不合格品数达到最大是今年的7月份.

故选：C.

23.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P,按复利计算，并从借款后次年年初开

始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还()万元.

加尸（+碟「M（l+P）10口加尸（1+尸）9

A.—

10109

（I+P）-I10（I+P）-I

【答案】B

【解析】设每年应还X万元，则有x+x(l+P)+x(l+P)2+…+X(1+P)9=M(1+P)'°，

得=M（1+P）10

1一（1+尸）

MP（1+P）10

解得x=

（I+Pf-I

故选:B.

题型八：以数列为载体的情境题

24.若数列｛。“｝满足4+1=碟(加>1且加eZ),则称数列｛%｝为“幕切数列”.已知正项数列｛4｝是“累2

数列"且%-4=2,设｛%｝的前〃项积为?；，贝1」几=()

A.1024B.1023C.21024D.21023

【答案】D

【解析】••・正项数列｛%｝是“幕2数列”，

a2=a；,又a2-a｝=2,

.•.a；-q-2=0,解得％=2或%=-1（舍去），

a

,•1n+l=a；,

ici_l°g2“"+l_c

；・l°g2a“+i=210g2a,，R即n------=2，

log2a„

又log2ai=log?2=l,

所以数列｛log?%｝是首项为1,公比为2的等比数列，

.-Aog2an=T-\

logzlo_log2（4,a],,,）-log?4+log?%+，，，，+bg2%o

i-210

=2°+21+---+29=——=1023,

1-2

所以北。=*23.

故选:D.

25.（2024・上海长宁•一模）数列｛%｝为严格增数列，且对任意的正整数〃，都有92%,则称数列｛。“｝

满足“性质

①存在等差数列｛氏｝满足“性质。”；

②任意等比数列｛%｝,若首项1>0,则｛4｝满足“性质。”；

下列选项中正确的是（）

A.①是真命题，②是真命题；B.①是真命题，②是假命题；

C.①是假命题，②是真命题；D.①是假命题，②是假命题.

【答案】B

【解析】设等差数列的首项和公差分别为4,d,

若等差数列｛%｝满足“性质。”；

由幺±L24L可得册+d2%,^nan+nd>nan+an,即加Z之6ndN4,故只需要d2%即可满

n+1nn+1n

足“性质C"；故①是真命题，

设等比数列｛4｝的首项和公比分别为q应，若4=1,4〉。，则4号之冬=32幺=—显然不成

n+1nn+1nn+1n

立，

因此存在等比数列｛%｝不满足“性质。”；故②是假命题

故选：B

26.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即q=%=l,

%=«„-i+«n-2(«^3,neN),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被

2除后的余数构成一个新数列也,｝,则数列也,｝的前2026项的和为()

A.1350B.676C.1351D.1352

【答案】C

【解析】根据斐波那契数列性质可得｛%｝中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律，

因此新数列｛bn｝即为按照1』,。成周期出现的数列，周期为3,

易知2026=675x3+1,一个周期内的三个数字之和为2；

所以数列低｝的前2026项的和为675x2+1=1351.

故选：C

27.如果数列｛%｝对任意的"eN*,a“+2-a“+i>%+「%，则称｛%｝为“速增数列”，若数列｛玛｝为“速增数

列“，且任意项为wZ,%=1,g=3,《=2023,则正整数上的最大值为()

A.62B.63C.64D.65

【答案】B

【解析】当左22时，殁=2023=(%—%_])+(%_]—%_?)++(%—%)+(%—q)+4,

因为数列｛%｝为“速增数列”，

所以%-殁_1>%_1-火_2>/一的>〃2-％=2,且％£Z,

所以左一/—%一2)++(〃3—%)+(%—q)+q之左+左一1++3+2+1,即2023之一——-,GZ,

当k=63时，中=2。16,当-64时，”=2。8。,

故正整数上的最大值为63,

故选：B.

题型九：数列的递推问题

3

28.在x轴的正方向上，从左向右依次取点列{4},右1,2,以及在第一象限内的抛物线丁=?尤上

从左向右依次取点列伊哥，k=l,2,使AAj纥4(fe=l,2,...)都是等边三角形，其中A。是坐标

原点，则第2021个等边三角形的边长为.

【答案】2021

【解析】设第〃个等边三角形的边长为%.则第几个等边三角形的在抛物线上的顶点纥的坐标为

(4+a2+…+a”T+片>+«2+-y))-

再从第〃个等边三角形中，可得纥的纵坐标为值百J=¥鬼.

从而有与册=+出+…+&-]+?，

即有3片=q+%+…+”,T+才.

由此可得4+a2+...+an=^-+—a；①

以及4+a2+...+an_y=②

①一②即得a“=万(4-)+-(an-a,-)(a“+%).

变形可得(%--1)(%+%)=0.

由于a“+。”一产0,所以%-%_i=1.

在①式中取九=1,可得;4=；心而。尸。，故4=1.所以

.••第2021个等边三角形的边长为⑼=2021

故答案为：2021

29.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新

学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照

o

o

的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则当〃23时，第九5eN*)行空心圆点个数与第"-1行及第

"23行空心圆点个数〃(〃wN*)的关系式为；第12行的实心圆点的个数是.

第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

第6行

【答案】a.=4i+4,-2；55

【解析】设第〃行实心圆点个数为，，则4=1,4=0,

当此2时，有{〃}一

所以当〃23时，a“=bn_{=a„_2+bQ=an_2+,

所以4=%+%；

由这个递推式得4,4,生，依次为1,0,L1,2,3,5,8,13,21,34,55,所以仆=55.

故答案为：an=an_}+an_2.55.

30.“绿水青山就是金山银山."我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地1万平方千米，其中

70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%

被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第〃年绿洲面积为万平方千米.

⑴求a„与4T(">2)的关系；

⑵判断卜是不是等比数列，并说明理由；

(3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%?(lg2«0.301)

【解析】(1)由题意"22时，

44

a

n=(1-0.04)^+(1-an_x)x0.16=0.8^+0.16=—^+—,

44

所以‘4=《"〃T+不(几22).

(2)数列］见-1,是等比数列.理由如下：

由(1)^an=-an_x+—(n>i),

44xx44

设a“+x=二（a,_i+无），可得%=三4_|_三，所以，一三=*，可得x=-三,

4“4、/、434j_

所以，可丁二口「/心2）,且卬于1rM

2

因此，数列，%-［，是首项为-;，公比为3的等比数列.

（3）由（2）可知，数列1%-是首项为公比为*的等比数列,

4?

两边取常用对数，得(〃-1)也《<想二，

I2

〃一1>殳=lg2-lg5=Ig2-(17g2)Jx°.3°「l

la421g2-lg521g2-(l-lg2)31g2-l3x0.301-1

_-0.398

«4.1,所以,n>5.1,

--0.097

所以，至少经过6年，绿洲面积可超过60%.

31.自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考查其再生能力及捕捞强度

对鱼群总量的影响.用匕表示某鱼群在第〃年年初的总量，〃eN*,且%>0.不考虑其它因素，设在第力

年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与乙成正比，死亡量与片成正比，这些比例系数依次为正常数a,b,c.

（1）求乙+i与乙的关系式；

（2）猜测：当且仅当打，a,b,c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）；

（3）设a=2,c=l,为保证对任意占e（0,2）,都有%>0,〃eN*,则捕捞强度b的最大允许值是多少？证

明你的结论.

【解析】（1）从第〃年初到第〃+1年初，鱼群的繁殖量为""，被捕捞量为法“，死亡量为ex；,

因此Xn+l-Xn=axn-bx.-cx；,nwN*.（*）,即xn+1=xn（a-b+l-cxn）,n&N,,.（**）

（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则无“恒等于%,neN*,从而由（*）式得尤“（。-万-。%）恒等于0,

weN*,所以a—b—不=0,即％=——,

C

因为石>。，所以a>Z?.

猜测：当且仅当。>8，且玉=i时，每年年初鱼群的总量保持不变.

C

(3)若6的值使得无，>0,〃eN*,

由x“+i=wN*,知0<x“<3-Z>,〃eN*,特别地，有0<玉<3-6.即0<b<3-占.

而玉40,2),所以be(O,l],由此猜测6的最大允许值是1.

下证当占e(O,2),6=1时，都有玉e(O,2),〃eN*,

①当”=1时，结论显然成立.

②假设当力用时结论成立，即无*«0,2),

则当”=4+1时，xk+l=xt(2-xz.)>0.

又因为々+i=々(2-々)=一(々一1)2+141<2,

所以九1式0,2),故当"=上+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的“eN*,都有尤,e(0,2).