数的开方与二次根式 -2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第一单元数与式

《第4讲数的开方与二次根式》

【知识梳理】

1.平方根'算术平方根与立方根

(1)平方根:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方

根,记做±Va_.

(2)算术平方根:若一个非负数的平方等于a,则这个数叫做a的算术平方根,记做_份_,0的算

术平方根是0.

(3)立方根:一般地,一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根,

记做一幅_.

2.二次根式的有关概念

(1)二次根式:形如历(。20)这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式.

(2)最简二次根式:在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二

次根式.

3.二次根式的性质

(1)两个重要性质：

①(VH)2=a520).

②_相,—=⑷=(\a(a>0);

(-Q(QVO).

(2)积的算术平方根:Jm=_伤垄7^_(0三0,6三0).

(3)商的算术平方根：(a>0,b>0).

4.二次根式的运算

(1)加减法:先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并.

(2)乘法:VHxVF=(a20,b20).

（3）除法:李=J|（a20,b>0）.

（4）分母有理化的常见方法：福=匹（a>0）;下==正兽，六^=立乎

7a~~a---Va+V&-a~b--y/a—y/b-a-b

（a20,bNO,a#）.

【考题探究】

类型一平方根、算术平方根与立方根

【例1】下列说法中，正确的是（C）

A.0.09的平方根是0.3

B.V16=±4

C.0的立方根是0

D.1的立方根是±1

变式1[2025•预测]5的平方根是土遮，25的平方根是土5，后的算术平方根

是遍.

类型二二次根式的概念与性质

【例2][2023•金华]要使[久—2有意义则x的值可以是（D）

A.OB.-1

C.-2D.2

变式2[2024•烟台]若代数式已在实数范围内有意义,则x的取值范围是x>l.

Jx-1

类型三二次根式的运算

【例3】计算：^j|+5-i-V3.

解:原式=个+第=2V1

变式3—1计算：

(1)(2V2-V3)2-V2(V3+V2).

解:原式=（2位）2+（遮4"\后一布一2

=8+3-476-76-2

=9-5V6.

(2)+V0.125—V6+V32.

解:原式=]逐+1V2+V2—V6+4V2

=g-l)V6+Q+i+4)V2

T连+浮

4xV^.

2

解:原式=；X2«+6xX与一4xF

=xy/x+2xy[x—4xy/x

=—xy/x.

变式3-2如图,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2V2,5C=企.求斜边上的高线CD的长.

变式3—2图

角窣:在RtAlbC中,A5=L4C2+BC2=VT0,

AC•BC_2V10

则CD=

AB5

类型四二次根式的化简求值

［例4］［2024•湖州模拟］先化简,再求值：［—3+（山+2—上~，其中加=二手・

3mz—6m\m~2

解:原式=m—3.(m+2)(m—2)—5

3m(m—2)m~2

--------m---~--3-----•m~2

3m(m—2)(m+3)(m—3)

_1

37n(m+3)

_1

37n2+9加

•.•片亨，.・.2.+3=低

，(2帆+3)2=(述)2,

即4/n2+12/n+9=5,

:./n2+3m=~1,

原式=舟嬴

_i

3x(-1)

1

3,

变式4—1蜡一分母有理化的结果为（B）

V5-1

A.V5+1B汉

2

C3+V5D.T

•22

先化简,再求值:^y/xy3,其中V3

变式4—2J25%y—4yJ|+x=V3,j=

3,

解:原式=56^一

当x=V5,y=苧时,原式=1.

类型五二次根式的非负性

【例5][2024•成都]若肛n为实数，且（机+4了+Jn-5=0,贝火加+江的值为1.

【解析】•.,》/,〃为实教，且（》i+4）2+Jn—5=0,

/./w+4=0,n—5=0,将得m=~4,n=5,

•*.(m+n)2=(—4+5)2=l2=l.

变式5已知实数x,y满足y=Jx--3+Js—x+2,则（厂工产24的值为1.

【课后作业】

1.[2024•绥化]若式子12/—3有意义,则m的取值范围是（C）

23

A./nW-BmN--

32

C.m^-D.nzW--

23

2.[2024•内江]16的平方根是（D）

A.2B.-4

C.4D.±4

3.下列计算中，正确的是（A）

A.V22=2B.J(-2)2=—2

D.J(-2)2=±2

C.V22=±2

4.下列式子中，属于最简二次根式的是（A）

A.V5B.V12

C.Va1D.4

7a

5.[2024•湖南]计算/XV7的结果是（D）

A.2V7B.7V2

C.14D.V14

6.下列各式计算正确的是（B）

A.14+9=2+3

B.V4X9=2X3

c.府=32D.V4?9=0.7

7.[2024•盐城改编]矩形相邻两边长分别为迎cm,V10cm,设其面积为S（cm2）,贝ljS在哪两

个连续整数之间（D）

A.1和2B.2和3

C.3和4D.4和5

【解析】5=V2XV10=V20(cm2).

VV16<V20<V25,.\4<720<5,

；・S在4和5之间.

V5+1

8.计算—小与二的结果是（B

2)

A.0B.1

C.2D.?

9.[2024•安徽]我国古代数学家张衡将圆周率取值为6。祖冲之给出圆周率的一种分数形式

的近似值为彳.比较大小:"U三章填“>”或“V”）.

10.[2024•滨州]写出一个比旧大且比V1U小的整数：2或3.

11.[2023•黄冈]请写出一个正整数m的值使得倔^是整数:m=2（答案不唯一）.

12.W石的平方根是.+2.

13.[2023•内江]若a"互为相反数,c为8的立方根,则2a+2b-c=-2.

14.计算:

(1)[2024•威海]A/12~V8XV6=~2V3.

(2)[2024•天津](Vn+l)(Vn—1)=10.

15.若|a—2|+Ja+b=0,则ab=-4.

【解析】V\a-2\+Ja+b=0,

:•a—2=0,。+。=0,

解得a=2,b=—2,

：.ab=2X(-2)=-4.

16.若3—四的整数部分为a,小数部分为b,则代数式(2+/0•b的值是2.

【解析]\"1<V2<2,

/.1<3-V2<2.

又T3一四的整数部分为a,小教部分为b,

/.a=l,b—3—V2—1=2—V2,

，(2+缶)•Z>=(2+V2)(2-V2)=2.

17.[2024•河北]已知a,b,n均为正整数.

(1)若n<V10<n+l,贝I]n=3.

(2)若n-l<VR<n,n<4b<n+l,则满足条件的a的个数总比b的个数少2个.

【解析】(2)*.*n—l<Va<n,

/.(n—l)2<a<n2,

/.a的取值范围是/一(〃一1)2=/一/+24—1=2”—1.

Vn<V6<w+l,

:.n2<Z><(n+l)2,

.,.b的取值范®3^(n+l)2—n2=n2+2n+l—n2=2n+l.

,.,(2n+l)-(2n-l)=2,

.•.满足条件的a的个数总比b的个数少2个.

18.计算：

(1)[2024•甘肃]V18-V12XJ|.

解:原式=3或一3或=0.

⑵阳内一鸿).

解:原式=a(3遮一2遮)=V2X2V2=4.

19.先化简,再求值：

(l)a(a+2Z?)—(tz+1)2+2G,其中a=V2+1,/>=V2—1.

解:原^4=a2+2aZ>—a2—2a—l+2a

=2ab~\.

当a—y[2+1,b—\[2~l时，

原^=2(V2+1)(V2-1)-1=2-1=1.

(2)[2023•宜昌]史券？+枭二+3,其中。=遮一3.

a2—4a'+2a

解:原灰=,―2.•史吐2+3

(a+2)(a—2)a—2

-a—2.a(a+2)十3

a+2a—2

=a+3.

当a=W—3时，原式—3+3=V3.

20.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也

叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积S满足公式：

S=卜a2b2一户.

NL

现已知ZkABC的三边长分别为1,3,V5,求△A5C的面积.

==

解:不妨令a=1,b3fCA/5,

则S=[*X32—"可

_Vii

4・

21.如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B,D在B