上海市松江某中学2023-2024学年高二年级下册期中数学试卷（解析版）

松江二中2023学年第二学期期中考试

局一数学

考生注意：

1.试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，务必在答题纸贴二维码并填写考号、姓名、班级.作答必须涂或写在答题纸上，在试

卷上作答一律不得分.

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

1.直线工+丁—1=°的倾斜角是.

37r

【答案】—

4

【解析】

【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角

【详解】解：由已知y=—x+1,则直线斜率左=—1,

又倾斜角的范围为［0,2).

37r

故直线X+y-1=0的倾斜角是—.

4

3兀

故答案为：—.

4

2.已知等差数列｛。“｝满足q+4=12,%=7，则的=.

【答案】5

【解析】

【分析】由等差数列的性质可得.

【详解】因为｛4｝是等差数列，所以4+%=%+%，

则有12=7+%,解得。3=5.

故答案为:5.

3.已知函数〃x)=lnx,则lim〃2+")-八2)=_____.

、730Ax

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】由导数的定义与导数的运算公式可得结果.

【详解】v/«=lnx

Af\x)=-

X

....当

20Ax2

故答案为：

4.一个球的表面积为100万，一个平面截该球得到截面圆直径为6,则球心到这个平面的距离为

【答案】4

【解析】

【分析】先由球的表面积为100万，求出球的半径，再利用勾股定理可求得结果

【详解】解：设球的半径为「，由题可知4乃户=100»，r=5.

所以球心到这个平面的距离为=4.

故答案为：4

5.已知〃=(x—百,y),6=(x+Q,y),且满足同+忖=4,则点P(x,y)的轨迹方程为

2

【答案】—+y2=l

4-

【解析】

【分析】利用条件和向量的模得出小卜―可+++,2=4,结合其几何意义，再利用椭圆

的定义，即可求出轨迹方程.

由同+|q=4可得，｛(x—6)+y2+J(x+6)+y2=4，

上式的几何意义是：

尸(x,y)与点耳(6,01鸟(―6。)的距离之和是4,且4>2百，

即归耳|+|%|=4>|耳闾,

所以点P(九,y)的轨迹是以《，工为焦点的椭圆，且2a=4,c=百,

贝!J〃=2,b1=a1-c1=\,

所以点P（x,y）的轨迹方程为：^+/=1.

故答案为：—+/=1.

4

6.已知物体的位移d（单位：m）与时间/（单位：S）满足函数关系d=2sinf,则在时间段。e（2,6）内,

物体的瞬时速度为lm/s的时刻,=（单位：s）.

・小华.5兀

【答案】y

【解析】

【分析】可求出导函数储=2cos/,根据d=l即可求解.

【详解】由题可得：d'=2cos，=l,

可得cos/=,，又/£（2,6）,

2

可得r=g.

5兀

故答案为：--.

3

7.函数y（x）=（x—2卜22的严格增区间是.

【答案】［|,+8）

【解析】

【分析】由导数刊^）＞。，即可解得.

【详解】因为〃力=（%—2户"3,所以尸（力=（2九一3n2叫

由第X）＞0可得X〉；所以函数〃X）=（X—2/23的严格增区间是1|,+8：

故答案为：

X2V2

8.设a＞l,则双曲线）——J=1的离心率的取值范围是________.

a（。+1）

【答案】（V2,^5）

【解析】

【分析】由双曲线方程得到°?即可表示出离心率e=+1，再由。的取值范围计算可得.

【详解】双曲线之一一J=1,222

则0?=a+(«+1)=2a+2a+l,

«2（a+1）2

所以离心率e=±=\H=?矿+2a+l=|j_+2+24+1+L

a\aVa\aa

因为a>l,所以0<工<1,所以1<，+1<2,则2<（工+1+1<5，

aaya）

所以后+1<6，

即ee（应，石｝

故答案为：

22

9.已知点尸为双曲线土-乙=1右支上一点，耳,工分别为双曲线的左、右焦点，/为4月的内心，若

169

S4ipR=S4IPF?+1S丛IRF?成立，贝!IA的值为.

4

【答案】y##0.8

【解析】

【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得用"=3「耳卜厂+丸6，再根据双曲线的定义

化简可求4.

【详解】设耳的内切圆半径为小

由双曲线的定义得归国―俨闾=2a,闺闾=2c

S"PR=Q|P片卜厂总欧=-\PF2\-r,SJFIF2=--2c-r=cr

由题意得=+

又双曲线上一匕=1的a=4力=3,

169

4

代入上式得：^=-,

10.己知圆。：必+,2=3,/为过的圆的切线，A为/上任一点，过A作圆N：

（x+2y+y2=4的切线，则切线长的最小值是.

【答案】圾

3

【解析】

【分析】先求得/的方程，再根据圆心到切线的距离，半径和切线长的勾股定理求最小值即可

故直线/的斜率为—左,故/的方程为y—&=—¥（x—1）,

【详解】由题，直线的斜率为0

卜2+0-3|5

即x+&y—3=0.又N至M的距离4=彳/丁=耳,故切线长的最小值是

故答案为：叵

3

11.已知偶函数/（x）=Gsin（0x+9）—cos（0x+9）（0>O,|@<m；^（O,2）上有且仅有一个极大值点,

没有极小值点，则。的取值范围为.

【答案】[pTt

【解析】

【分析】首先利用辅助角公式得/（x）=2sin[0x+°—Wj,根据其奇偶性和9的范围求出展—会则

f（x）=-2cos（（yx）,令t=GJX,利用余弦函数图象得兀<2。42兀，解出即可.

^-sin(&)x+

9)一；cos(<7Zx+71]

【详解】〃力二2夕)二2sin+为偶函数,

21

IT7T2

所以0——=一+左刀■(左£Z),即夕=一兀+左兀,左WZ,

623

因为网＜3,所以0=-三，所以/(x)=2sinox————1-—2cos,

令1=6UX,由0<%<2得，e(0,2(0)，所以/(%)转化为f(t)=-2cost,tG(0,20),

如图:/⑺=-2cost在(0,2。)上有且仅有一个极大值点没有极小值点时,

则兀＜2tyW2兀，所以、＜。＜兀,即。的取值范围为[1，兀

212

r+11

12.己知函数，(x)=x+i,g(x)=x+-+a.若g(/(x))=0有三个不同的根，则。的取值范围

11%

—+—,%＜-1

.尤2

为.

(10、

【答案】一叫一三

【解析】

【分析】利用导数研究函数单调性，画出草图，然后数形结合解出结果.

3rex

【详解】当％〉—1时，r(x)=——T，所以『3在(—1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

(X+1)2

又/(0)=3,%f+8时，—-1时，/(x)-+oo,所以/'(x)e[3,+oo)；

当xWT时，易知Ax)在(—8,—1]上单调递减，所以/(x)e.

作出函数的大致图象如图所示.

令t=则数形结合可知方程g（/）=o有两个不同的实数根，分别记为小马，

且6e-1,1L{3},Z2e（3,+oo）,而方程g«）=0有两个不同的根等价于函数y=f与>的图象

有两个不同的交点，且两个交点的横坐标分别为九/2・

数形结合可知乙,2£（3,+8）.令/«）=/+；1,令<(p<—U,

，解得a<----

3

/⑶<-a

10

故答案为:-OO---------

3

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13.已知平面£,直线/、m,若加ua,则“〃/加”是“Illa”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若〃/加，且加ua,贝"//£或/ua,即“〃/加”R“Illa”；

若///tz,且mua,则〃/机或/、冽异面，则“Uhn”生“///£”.

因此，“〃/m”是“///e”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

14.（x+Ip’的展开式中，系数最大的项是（）

A.第11项B.第12项C.第13项D.第14项

【答案】C

【解析】

［分析］根据二项展开式的通项公式结合组合数的性质即可求解.

2424r

【详解】因为(x+1)的展开通项公式为Tr+l=C^4x-,

又当r=12时，取最大值，

则系数最大的项是第13项看3=C；%".

故选：C.

兀71

15.设定义在-万，'上的函数/(x)=xsiiu+cos%,则不等式/的解集是()

L43)(34」L23)(32」

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得/(%)为偶函数，然后求导可得"%)在(og单调递增，再由函

数的单调性与奇偶性列出不等式求解，即可得到结果.

【详解】对于函数/(%)=xsiwc+cosx,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsiwc+cosx=f(x),并且定

义域一方《关于原点对称，/(X)是偶函数，

/'(%)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当X卜寸，COSX>0,X>0,/./'(X)>0,/(X)是增函数，

"X<«_i|…①

jrJT

.,・对于/(2x)〈/(x—l)有<V2x<—...(2)

由①得—1<X<—>

3

由②得---VxV—，

44

7171

由③得1——〈九《1+—,

22

.71.711兀.兀

*/-1<——<1——<-<—<1+—,

42342

1兀/1

23

故选：c

16.在平面上，若曲线r具有如下性质：存在点〃，使得对于任意点Per,都有使得

1PM卜|加|=1.则称这条曲线为“自相关曲线”.判断下列两个命题真假()

①所有椭圆都是“自相关曲线”.②存在是“自相关曲线”的双曲线.

A①假命题；②真命题B.①真命题；②假命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

【答案】B

【解析】

【分析】由新定义求解曲线上任一点P到定点M距离的取值范围A,当任意xeA,都有时，曲线

X

满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断，

22

【详解】对于①，不妨设椭圆方程为=+当=l(a〉6〉0),

ab

则椭圆上一点P到M距离为

IPM|=J(x-tn)2+J=J(%—tn)^+b2——%2=J(1—一21nx+w2+Z?2,—a<x<a，

m

,,—,x=-----7T>a

当机〉。时，对称轴b2可得|PM|e[m—a,m+a],

12

a

总存在加使得(〃La)(〃z+")=l，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确,

对于②，对于给定双曲线和点P,显然1PMi存在最小值，而M横坐标趋近于无穷大时，1PMi趋近于

无穷大，|PM|e[m,+8),故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误，

故选：B

【点睛】本题关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点/距离的取值范围，再结合椭圆与双

曲线的性质判断即可.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤.

17.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试(满分100),并从中随机抽取了100名学生的成绩，以

此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示频率分布直方图.

（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；

（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取

2人，求此2人分数都在［60,70）的概率.

【答案】（1）平均数为75.5,85%分位数为88；

⑵2

5

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求出。后，再由平均数，百分数的算法求出即可；

（2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可；

【小问1详解】

由（。+0.02+0.035+0.025+a）x10=1,解得a=0.01.

该校高三学生期初数学成绩的平均数为55x0.1+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.1=75.5.

前3组频率和为0.1+0.2+0.35=0.65,所以85%分位数为80+型优4^x10=88.

0.25

【小问2详解】

分层抽样抽取的6人中，［50,60）的有6义0」=2人,记为L2.

［60,70）的有6—2=4人，记为3,4,5,6,

从6人中任取2人，基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种,

其中2人分数都在［60,70）的有34,35,36,45,46,56共6种，

所以从6人中任取2人，分数都在［60,70）的概率为^=|,

18.已知抛物线=2py（p>0）焦点产在直线x—y+l=0上

（1）求抛物线C的方程

（2）设直线/经过点4（-L-2）,且与抛物线C有且只有一个公共点，求直线/的方程

【答案】（1）x2=4y

（2）/的方程为x=_］、y=x-l.y=-2x-4

【解析】

【分析】（1）求得产点的坐标，由此求得P,进而求得抛物线。的方程.

（2）结合图象以及判别式求得直线/的方程.

【小问1详解】

抛物线C：f=2py（p>0）的焦点在y轴上，且开口向上，

直线X—y+l=。与y轴的交点为（0,1）,则尸（0,1）,

所以^=l,p=2,抛物线的方程为f=4y.

【小问2详解】

当直线/的斜率不存在时，直线x=-l与抛物线只有一个公共点.

那个直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y+2=%（X+1）,

y+2=k（x+l）x2

〈2“^>—+2=kx+k,x2—4Ax+8_4左=0，

x2=4y4

△=16左2—4（8—4左）=16左2+16左一32=0,左之十左_2=0解得左=1或左=—2.

所以直线/的方程为y=x-i或y=-2%-4

综上所述，/的方程为x=—1、丫=尤-1、y=-2x-4.

19.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底。在水平线MN上，桥AB与

平行，为铅垂线（O'在A8上）.经测量，左侧曲线A。上任一点。到的距离4（米）与。到

OO'的距离a（米）之间满足关系式％=焉力；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离为（米）与尸到的

距离b（米）之间满足关系式饱=-工/+66.已知点B到OO'的距离为40米.

(1)求桥A8的长度；

(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩C。和EF,且CE为80米，其中C,E在A8上(不包括端

3

点).桥墩EF每米造价回万元)、桥墩CD每米造价一上(万元)(左>0).问O'E为多少米时，桥墩CD与EF的总

2

造价最低？

【答案】(1)120米(2)O'E=20米

【解析】

【分析】(1)根据A,B高度一致列方程求得结果；

(2)根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.

【详解】(1)由题意得--—X403+6X40/.|O'A\=80

40800

:.\AB|=|O'A|+1O'B|=80+40=120米

(2)设总造价为了(尤)万元，|。'。|=L><802=160,设|O'E|=x,

40

la31,

/(%)=Z:(l60+—X3-6%)+-A:[l60--(80-%)2],(0<X<40)

/W=^(160+^^x3f'(x)=%(^^公一卷x)=0：.x=20(0舍去)

当0<x<20时，/'(x)<0；当20<x<40时，f\x)>0,因此当尤=20时，/⑺取最小值，

答：当O'E=20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.

【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

22,3、1

20.如图，已知椭圆C:=+营=1«?〉6〉0)经过点尸离心率e=].

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)椭圆C上任意点T,x轴上一点S(机,0),若|75|的最小值为|加+2],求实数用的取值范围;

(3)设A3是经过右焦点尸的任一弦(不经过点P),直线A3与直线/:X=4相交于点闻,记

PA,PB,PM的斜率分别为匕状2,%，求证:3匕次2成等差数列.

22

【答案】(1)—+^-=1

43

(2)m<--

2

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据长轴长和离心率求出a=2,c=l,从而求出/=/—。2=3,得到椭圆方程；

2

(2)设T(苍y),|TS『=5-2〃a+〃/+3,讨论对称轴与定义域的关系即可得出答案.

(3)先得到直线A3的斜率一定存在，设出直线A3的方程，求出河(4,3左)，直线A3的方程与椭圆方

程联立，得到两根之和，两根之积，进而表达出左，左2，匕，从而得证.

【小问1详解】

由题意，点在椭圆W+5=l上得，可得:+京=1①

1C1

又由e=一,所以一二—②

2a2

由①②联立且，=/—〃，可得,=1，/=4，〃=3,

22

故椭圆C的标准方程为—+^=1.

43

【小问2详解】

(2、2

设T(x,y),\TS^=(x-m)2+y2=(x-m)2+31-^-=^--2mx+m2+3,

2

令g(%)=?—2mx+m2+3,对称轴为x=4相,因为—2Wx«2,

当4m<—2,即加<—,

2

g(")min—2)=l+4m+m2+3=4m+m2+4=(m+2)2,故符合题意;

当4m>2,即加>：,

—222

g（x）mm=g（2）—14m+m+3=-4m+m+4=（m—2）,

所以（m—2）2=（根+2）2,解得羽=0,不符合题意；

当一2<4m<2,即一,V加工』，

22

91

g=g（4m）=-3m2+3=（m+2）,解得机=一万；

所以实数用的取值范围为：加W-工.

2

【小问3详解】

由（1）知，椭圆的方程为\+方=1,可得椭圆右焦点坐标/。,0）,

显然直线AB斜率存在，设AB的斜率为左，则直线AB的方程为y=Z（九-1）,

y=左（％-1）

22

联立方程组《22整理得（4左②+3）x-Skx+4（左2—3）=0,

土+匕=1

[43

8k°42-3

易知A>0,设A（%，x）,B（x2,y2）,则有西+马

由直线A3的方程为丁=左（兀一1）,令尤=4,可得y=3左，即加（4,3人），

333

3O7k----

从而匕=-2--k2=-2-'k3____2

玉一1x2-14-1

又因为共线，则有左=左”=演,，即有』7="h=左，

/一1%2-1

33

所以715%—2%%3（11'

m么匕+42=+=1+-2+

%一11玉-]%2—121%]—1

=2k------------.+12-2

2元送2—（玉+%2）+1

8k2

将西+“芸？卬"*?'34左2+3-

代入得匕+左2=2左一了=2k-l

4『3）8k2

4/+34/+3+

又由&=左一g，所以4+&=2&,即匕，%,42成等差数列.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(七,%),(%2，%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或y)的一元二次方程，注意A的判断；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为西+%2、(或%+上、%%)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

21.己知函数/(九)=Jinx

⑴求曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)求证：函数y=/(x)的图象位于直线V=x的下方；

(3)若函数g(x)=/(x)+a(%2—%)在区间(1,+8)上无零点，求。的取值范围.

【答案】(1)y=x-l

(2)证明见解析(3)(一8,—1］。［0,+8)

【解析】

【分析】(1)求导，再根据导数的几何意义即可得解；

(2)要证明只需要证明lnx<Jl即证lnx-«<0，构造//(%)=lnx—利用导数求出

函数的最大值即可得证；

(3)对。分情况讨论，在。<0时，g'(x)=+仓+。(2%—1),结合lnx<6即可求解，在0>a>—1

2y/x