上海市某中学2024-2025学年高二（下）开学考试数学试卷（附答案）

上海市交大附中2024-2025学年高二(下)开学考试数学试卷

一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.关于直线a,瓦1以及平面M,N,下列命题中正确的是()

A.若a〃M,b“M,贝ija〃b

B.若a〃M,b1a,则b1M

C.若auM,bu",且/_LcUJ_6,贝W1M

D.若a_LM,a〃N,则M_LN

2.若空间中有两条直线，则”这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

&a是偶数

3.正整数数列｛&J满足与+1=2'“，使得d6=4的不同的个数为()

3an+是奇数

A.8B.7C.6D.5

4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，点M在抛物线C的准线Z上，线段“尸与y轴交于点4与抛物线

C交于点B,若=3,则p=()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

5.在等差数列中，已知%=1,S3=S6,则ag=.

6.不等式-2|>1的解集为.

7.已知sina=则cos2a=.

8.曲线/'(>)=ex+ln(x+1)在点(0,/(0))处的切线的斜率为.

9.已知2+i是关于久的方程a/+x+b=0(a,beR)的一个根，则a+b—.

10.已知函数/(x)=需是奇函数，则实数m的值为.

11.若lim八=3,则/''(1)=

12.若直线k：%+16y-4=0与直线%：%+m2y+m=0平行，则实数7n=.

13.已知抛物线y2=2p%(p>0)的焦点为F,点P(TH,6)在抛物线上，若|PF|=6,则血=.

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14.定义：已知一个点集口及一点P,任取点集。中一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到点集。的距离，

记作d（P,0）.现已知空间中一点P,平面上一个长为2、宽为1的矩形及其内部的所有点构成点集0,则点的集

合｛P|d（P,。）＜1｝所表示几何体的体积为.

15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在侬政全书》中用图画

描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒

车抽象为一个半径为R的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120

秒，当t=0时，某盛水筒位于点P°（3,-3门），经过t秒后运动到点PQ,y）,则当筒车旋转40秒时，此盛水

筒对应的点P的纵坐标为.

图1图2

16.平面向量瓦，石为两个相互垂直的单位向量.a,3满足同+标切=忖―Y亏同+4,后—6同=1,则

加在，方向上的数量投影的取值范围是.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题12分）

如图，已知圆柱的高为2,直三棱柱ABC—AB'C'的顶点4、B'C'在圆柱上底面的圆周上，顶点2、B、C在

圆柱下底面的圆周上，已知乙4cB=9（T,BC=2C=1,。为48的中点.

（1）求二面角A——4的余弦值；

（2）求4到平面4BC的距离.

18.（本小题12分）

已知等差数列｛即｝的首项为1,a2n=2an+l,数列｛匕｝的前n项和为土,瓦=1,bn+1=2Sn+l.

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(1)求数列｛即｝,｛,｝的通项公式；

(2)求数列｛的1•g｝的前71项和4.

19.(本小题12分)

如图，有一块扇形草地MON,已知半径为R,乙MON=争现要在其中圈出一块矩形场地4BCD作为儿童乐

园使用，其中点2、B在弧MN上，且线段4B平行于线段MN

(1)若点4为弧加的一个三等分点，求矩形48C。的面积S；

(2)当弧薪长为多少时，矩形4BCD的面积S最大？最大值为多少？

20.(本小题12分)

已知椭圆。4+*1(61＞匕＞0)的离心率为右&,尸2分别是椭圆。的左，右焦点.过点尸2且斜率不为。的直

线/与椭圆。交于4B两点.A4B0的周长为8.

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)若直线/的斜率为1,求线段4B的长；

(3)若点P在椭圆。上，S.\PA\=\PB\,试问是否存在直线/,使得入48P的重心在y轴上？若存在，请求出直

线/的方程；若不存在，请说明理由.

21.(本小题12分)

已知函数y=/(%)的定义域为0,非空集合AfUR.若对任意meM,任意xeD且％+zn6。，都有/(x)W

f(x+m)恒成立，就称函数y=f(x)具有性质M.

(1)当M=｛1｝时，判断下列函数是否具备性质M.

①/'(x)=X3

②g(x)=sin(?rx)

(2)当M=[1,+8),函数/0)=｛以,久€(-8,0),若y=f(x)具有性质M,求a的取值范围.

(3)当M=｛-2,t｝,t€Z,若D=Z且具有性质”的函数均为常值函数，求所有符合条件的t的值.

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22.(本小题12分)

已知函数y=/(x)的定义域为R,且对任意的xGR,有/(x+1)--1)>x且+3)-/(%-3)<3%.

若/(1)=1,求/'(2025)的值.

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1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】-1

6.【答案】(—8,1)u(3,+8);

7.【答案】—*—0.5

8.【答案】2

9.【答案】一|

10.【答案】1

11.【答案】-3

12.【答案】4

13.【答案】3

14.【答案】4+亨

15.【答案】3门

16.【答案】［。,空|±百

17.【答案】【详解】⑴

AB

如图，连接a'c,a'8,

因A4'，平面ABC,BCU平面力BC,则441BC,

又BC1AC,AC(yAA'=A,AC,AA'u平面4AC,

故BC，平面44C,

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又ACu平面44C,故BC14C,

则乙4匕4即二面角A-BC一4的平面角.

在RtAa'AC中，AA'=2,AC=1,A'C=ylA'A2+AC2=V22+l2=后

CcoOsSZN-AA'LCA-—A，c-——^-——5'

由图知二面角4一BC-4是锐二面角，

故二面角4—BC—4的余弦值为g.

(2)设点4到平面4BC的距离为d,

则由%,TBC=KI-4，BC，可得：5x^xlxlx2=|x^xlx^5xd-

解得：d=手，

即4到平面ABC的距离为争.

18.【答案】【详解】(1)设等差数列5｝的公差为d,由a2n=2(1n+1,则%+(2n-l)d=2[。1+(n—l)d]+1,

化简可得a1—d+1=0,由a1=1,则d=2,所以%i=a1+(几—l)d=2n—1；

由力九+i=2s九+1,则%=2szit+l(n>2),两式相减可得b九+i-bn=2bn,

所以铲=3(n>2),当n=1时，为=2S1+1=2瓦+1=3,

bn

可得乎•A・3••…察=3"-2,则.=3X(7122),显然b=1可使上式成立，

bn-lbn-23“2

所以&=3叱1.

(2)由题意可得加=1X1+3X3+5X32+•••+(2n-1)•3"-】，

贝i]3&=1x3+3x33+5x33+•••+(2n-1)-3",

n—n

两式相减可得—2T7t=1+2X3+2X3?+…+2x3—(2n—1),3>

rl

nl3x(1—3T)

则-2&=l+2x\-(2n-1)-3n=-2+(2-2n)-3n,

1—3o

所以加=l+0i—1)-3巳

19.【答案】【详解】(1)如图，作。于点H,交线段CO于点E,连接040B,

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o

17T

OE=DE==Rsin运

***EH=OH—OE—R(cos—sin

nnn\=R2(2sinAcos金-2sin2J)

S=AB-EH=2Rsin^RC0S12-sinT27

/nn\V3-1

=R2sin丁+cos77—1=----R4

\6o/z

(2)设〃08=0(O<8<()则

0a1°

AB=2Rsin],OH=Reos],OE=^AB=Rsin]

.­.EH=OH-OE=R(cosg-sing)

e(ee\/ee

S=AB•EH=2Rsin]•R(cos-sin(2sincos,—2sin2,

=7?2(sin0+cos。-1)=R2^V_2sin(6+；)—1]

•・・。«呜),，。+注&带

2

■1-0+^=P即。=押,5max=(<2-l)/?,

此时乙40M=1停—J)=[弧施长为/=篙.

Z\Z4/oo

答：当弧AM长为I=软时，矩形4BCD的面积S最大，Smax=(2—1)R2

20•【答案】【详解】(1)因为入ABF1的周长为8,所以4a=8,得a=2.

因为椭圆。的离心率为所以c=1,b=V4—1=V~3,

故椭圆a的标准方程为。+4=1.

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(2)由题意,FA-1,0),尸2(1,0),所以直线/的方程是y=%-1,

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%2y2

设以上女）•由~4~^~3~L得7人一8%-8=0,

y=x-lt

所以％1+%2=y,%1%2=-y

一

所以1&用=vmx824

+4X?=T

(3)设直线Z的方程为久=ty+l.

由六+卜L得（3/+4）y2+6ty-9=0,4=144t2+144>0.

（x=ty+1,

设4(右,乃)，B(x2,y2),P(x3,y3),线段4B的中点为H,

则+丫2=费;4,%1+%2=f（yi+丫2）+2=，+4,H/4—3t\

（3产+4,3/+4）

若aABP的重心在y轴上，则/+无2+盯=0，即^^+%3=0，所以“3=一五%•

3t

由%p.;=_l,得，啊=—t,

3t2+43t2+4

解得效=品，所以P(一品，品)'

2

9t

13

因为点P在椭圆。上，所以卫7I13t2+4/_1

4

解得t=0或t=士?.故存在直线1,使得△48P的重心在y轴上,

其方程为-y-73=0或+y-<3=0或％=1.

21.【答案】【详解】(1)①因/(%)=/在R上单调递增，所以％3工(%+1)3对任意％ER恒成立，即/(%)工

/(%+1)对任意久GR恒成立，故函数y=/(%)具有性质M；

②假设函数y=g(%)具有性质M,则g(x)<g(x+1)对任意久eR恒成立，即sin(7i%)<sin(7rx+兀)对任意

%6R恒成立，即sing)<0对任意％GR恒成立，而当％=时，sin6)=1,与假设矛盾，故函数y=g(%)

不具有性质M;

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(2)fO)=人为偶函数，且在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

①若a<0,因％、x+mG(-oo;a],贝!J/(%)W/(%+TH)恒成立，满足题意；

②若a>0,对于任意mE[l,+8),有％+THE(―8,旬，则XE(—8,a—m],

若a-TH之0,贝行(a—m)2/(a),矛盾；

若a-7n<0,欲使函数y=/(%)具有性质M,只需/(a-zn)W/(a)即可，

得2。4TH,则2。工(7H)min=L即

综上，a的取值范围为(-8,斗