实数、整式、分式与二次根式（7大题型解题攻略+中考练场）-2025年江苏中考数学二轮热点题型专项训练（解析版）

专题01实数、整式、分式与二次根式

目录

热点题型归纳...........................................................................

题型01实数的运算.......................................................................................1

题型02整式的运算.......................................................................................7

题型03因式分解的计算..................................................................................21

题型04分式的计算......................................................................................21

题型05二次根式的计算..................................................................................21

题型06数与式的新定义计算..............................................................................21

.................................................................................................................................................................................................21

题型01实数的运算

01题型综述________________________________________

实数的运算是初中数学计算的基础内容，涉及到实数的混合运算、特殊角的三角函数值计算等等，分值占比约3%~5%；

1.考查重点：实数的运算、特殊角的三角函数值计算等等。

2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的基础计算题。

3.高频考点：实数的四则运算、含特殊角的三角函数值计算。

4.能力要求：准确快速的计算能力。

5.易错点：运算时出现符号错误（忘记变号）、特殊角的三角函数值遗忘。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.实数的运算法则:

先乘方，再乘除，最后加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

2.绝对值的运算：

时=<"；一2）,常考形式：k-母=（大-小）。

3、根式化简：J?=|a|=<'7(a>0)

-a(〃<0)'

4、0次幕、负整数指数幕以及-1的奇偶次累的运算：

①/=l（aw0）；②cT"=二;③―1"=—1；④（T）"是;禺最

a[-1（〃是奇数）

5、特殊角的锐角三角函数值（附加）：

三角函数30°45°60°

j_V2-x/3

sine

22~2

V3V2

cosa

~2~~2

V3

tanc1V3

【典例分析】

例1.（2025•江苏宿迁•一模）计算：（-2）。+2$也30。-|2-6|.

【答案】V3

【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键.根据绝对值的意义，负整数指数

嘉，零指数累及锐角三角函数分别化简，然后进行计算.

【详解】解：原式年2。2+若

=-$/3.

:一返+回（一1严5.

例2.（2025・江苏盐城•模拟预测）计算-2?x

【答案】-7

【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式、立方根的意义，有理数的乘方进行计算即可求解，掌握相关知

识是解题的关键.

【详解】解:4X一般+囱X(一1严5

=-4x1-2+3x(-l)

=-2-2-3

=-7.

例3.(2025•江苏苏州•模拟预测)计算：|l-V2|+^8+Qj-(-4)2.

【答案】夜-18g

【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简再计算是解题关键.

先根据绝对值的定义、立方根、立方逐项化简，再加减即可.

【详解】解：原式=血一1-2+g—16=夜一18|.

例4.(2023•江苏镇江•模拟预测)计算：(a-1)°+出-2cos60°.

【答案】2

【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键.

分别化简计算零指数指数塞，负整数指数累，特殊角的三角函数值，再进行加减运算.

【详解】解：原式=1+2-2xg

=1+2-1

=2.

例5.（2023•江苏宿迁•一模）计算：2cos45°+|l-V2|-V4+（-l）2023.

【答案】20-4

【分析】本题考查的是实数的运算，涉及到特殊角的三角函数值、绝对值的性质、数的乘方及开方法则.分别根据特

殊角的三角函数值、绝对值的性质、数的乘方及开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.

【详解】解：2COS45°+|1-V2|-A/4+（-1）2023

=2x也+&-1-2-1

2

=V2+^-l-2-l

例6.（2024・江苏盐城•模拟预测）计算：卜石卜［£|-1+2$吊60。-旧.

【答案】

【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算，先去绝对值，去括号，计算特殊角的三角函数值,

化简二次根式，再进行加减运算即可.

【详解】解：原式=若」-l+2x走-2君

52

6

5

【变式演练】

1.（2024.江苏盐城三模）计算：V8-2cos45°+（V2-l）（，

【答案】V2+1

【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.计算乘法运算和

三角函数，再按照实数的运算顺序进行运算即可.

【详解】解：原式=20-2x1+1

2

=-JT,+I

故答案为：V2+1

（小Y1一百

2.（2024•江苏苏州•二模）计算sin300----1+——

12J2

【答案】-正

2

【分析】本题考查了实数的混合运算问题，掌握实数混合运算法则、特殊三角函数值、零次幕的性质是解题的关键.

先代入特殊角的三角函数值，计算零指数累，然后再算加减.

【详解】解：sin30。一（@一11

I2）2

」一1+匕立

22

=_昱

一一"r-

3.（2024・江苏盐城•三模）计算：4COS45°+（A/3-1）°-78.

【答案】1.

【分析】本题考查了实数的运算，分别根据特殊角的三角函数值，零指数次累及算术平方根计算出各数，再根据实数

混合运算的法则进行计算即可，熟知零指数次暴及算术平方根的运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键.

【详解】原式=4x变+1-2行

2

=25/2+1-272

=1.

4.（2024•江苏盐城三模）计算：卜石|+仁］+（兀+2）°+tan45。.

【答案】73+4

【分析】本题考查实数的混合运算，根据绝对值，负整数指数幕，零指数幕，特殊角的三角函数值即可得出答案

【详解】原式=有+2+1+1=6+4

5.（2024・江苏常州•一模）计算：|2-V8|-4COS45°-（-A/3）+^-1^；

【答案】7+g

【分析】本题考查了实数的混合运算，先算负整数指数幕、去绝对值、特殊角三角函数值，然后再算乘除法，最后计

算加减法即可.

【详解】解：12—遮卜4cos45。一（一百）+

=A/8-2-4X^-+73+9

2

=2A/2-2-2A/2+>/3+9

=7+5/3

6.（2024.江苏宿迁.模拟预测）计算：-tan60°+O+|^-2|

【答案】4

【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质、负整数指数幕、特殊角的三角函数值、立方根的定义、

绝对值的性质分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=2百一（-4）一#+（-2）+2-旧

=26+4-25

=4.

题型02整式的运算

01题型综述

整式的运算是初中数学基础的计算内容之一，涉及到整式的加减、整式的乘除和乘法公式，分值大概在10分左右;

1.考查重点：整式的四则运算、乘法公式的灵活应用。

2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的化简求值。

3.高频考点：完全平方公式与平方差公式的应用、代数式化简中的符号处理。

4.能力要求：准确快速的计算能力、代数式结构观察能力、公式逆用与变形的逻辑思维能力。

5.易错点：运算中符号错误（如负号遗漏）、公式混淆（如（a-6）2误写为/―〃。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.合并同类型:

法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。

2.整式的加减的实质：

合并同类项。

3.整式的乘除运算：

①单项式义单项式：系数相乘，同底数累相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式X多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

③多项式X多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

④单项式+单项式：系数相除，同底数塞相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。

⑤多项式+单项式：多项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。

4.乘法公式：

①平方差公式：(0+0(0—6)=02—52。

②完全平方公式：(a±Z?)2=a2±2ab+/?20

【典例分析】

例1.(2025•江苏苏州•模拟预测)先化简，再求值：(x+iy-x(x+l),其中x=2025.

【答案】x+1,2026

【分析】本题考查整式的混合运算及求值，先计算完全平方、单项式乘多项式，再合并同类项，最后将x=2025代入

求值即可.

【详解】解：原式+2%+1-—%

=犬+1,

当x=2025时，

原式=2025+1=2026.

例2.38.(2024•江苏宿迁•二模)先化简，再求值：2^2x2-1xy-y^-(4x2+4xy-2y2),其中x=3,y=-1

【答案】-5孙；15

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则.先根据去括号法则和

合并同类项法则进行化简，再把x,y的值代入化简后的式子进行计算即可.

【详解】解：2(2/一;孙一y1—(4/+4初一2y2)

=4%2一孙一2y2-4x2-4xy+2y2

=(4f—4x2)+(2/—2y2)+(—4呼—孙)

=-5孙，

当x=3,y=-1时，

原式=_5x3x(—l)

=5x3x1

=15.

例3.（2024•江苏扬州•三模）先化简，再求值：［（2x-y）2-（y+2x）（2x-y）-2xy~］2y,其中％=-；,y=-3.

3

【答案】y-3x,-1.

【分析】本题主要考查了整式的混合运算.先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去掉中括号内的小括

号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可.

【详解】解：［（2x-y）2-（y+2x）（2x-y）-2盯］+2y

=14/—4xy+y2_（4/—,2）_2孙卜2y

=（4/—4xy+y2—4厂+y~_2xy^+2y

=（2y2-6xy）4-2y

=y-3x,

当尤=一；,y=-3时，原式=-3-3x(-：］=-3+■!=一■!.

例4.（2024•江苏盐城二模）先化简，再求值：（X-1）2+2（X-1）（X+1）,其中X=2.

【答案】39-21,7

【分析】本题考查整式的混合运算与求值法则的应用，主要考查计算与化简能力.根据乘法公式与单项式乘多项式法

则先去括号，后合并同类项化简，再代入求值即可求解.

【详解】解：（X-1）2+2（X-1）（X+1）

=X2-2X+1+2（X2-1）

=x2—2x+l+2x2-2

=3x?—2x—1,

当x=2时，原式=3x22—2x2—1=7.

例5.(2024•江苏盐城•三模)【阅读发现】

小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦一一秦九韶公式.他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希腊的几何家

海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的.这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思考：

两个公式：

海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为。，b,c,设p=；g+6+c),那么这个三角形的面积

S=Qp(p_a)(p_b)(p_c)；

秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为〃，b,c,那么这个三角形的面积S.

142

B

6

图1图2

【尝试应用】

(1)己知一个三角形的三边长分别4,5,6.请任选一个公式算出这个三角形的面积为请用学过的知识来解

这个三角形的面积.

(2)己知一个三角形的三边长分别为b,c,试求出这个三角形面积的一般表达形式.(用心b,c表示)

【发现关联】

思考关联：请你由秦九韶公式S=；a2b2推导到海伦公式：S=^(p-a^p-b\p-c),

P=g(a+b+c)

【答案】【尝试应用】(1)苧；见解析；⑵s=#,【发现关联】见解析

【分析】尝试应用：（1）代入5=aV-1-2-);过点A作AD13C,设BD=x则£>C=6-x,^.RtAABD

和RS3中，应用勾股定理，可*求出x=g,AD=%自，代入面积公式即可求解,

44

222

(2)过点A作AD23C,设AD=/?,BD=x,则。C="x,根据勾股定理得到/?=/_/,/7=c--x),联

立得：〃_尤2=02_伍_尤）2,解得：x=dl”士，由面积公式得到：

S=^h-b=日2力2=^（a2-x2）-b2=一㈣2],代入即可求解,

发现关联：将S=：『应用平方差公式进行展开，即可求解,

本题考查了，勾股定理，平方差公式的运用，二次根式的应用，解题的关键是：熟练掌握勾股定理，平方差公式进行

运算.

【详解】解：尝试应用（1）

2

a2+b2-c2

S=

2

过点A作

设B£>=x,贝!]Z>C=6_x,

在Rt^ABD中，AD2=ABr-BD1=42-%2,

在RtAADC中，AD?=AC2_ZX?2=52_(6—尤J,

、9

A42-x2=52-(6-x),解得：尤="

25s

AD=

4

・••这个三角形的面积为：-AD1BC工创律6二”业,

2244

（2）过点A作AD15C,

B

设AD=h,BD=x,贝ljDC-b-x,

贝|J：/z2=6Z2-x2,h1=c2-(b-xf,

<22-X2=C2-(Z?-X)2,解得：X=———

I72b

・.・S=；。力=J；/方=J；（〃一J）方=g一（桁）［

/

1a2+b2-c2y

a2b2—b・

2bJ

、2

a2+b2-c2

a2b2-

27

发现关联:

_llab+a2+b2-c2lab-a1-b1+C1_(a+b)2-c2c2-(a-b)2

~V44-V44

_a+b+ca+b-ca+c-bb+c-a

~V2222

=QP(P--c)；其中p=；(a+6+c).

例6.(2024・江苏盐城•三模)观察下面的等式：42-22=4x3,62-42=4x5,82-62=4x7,102-82=4x9.-•

⑴根据题目中规律的格式，写出202-18?的结果为202_182=_.

(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含〃的等式表示，〃为正整数)；

(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.

【答案】(1)4x19

(2)(2〃+2)2一(2〃y=4(2〃+1)

(3)推理说明见解析

【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键.

(1)根据前4个等式，写出结果即可；

(2)根据上述等式，可得一般规律：第〃个等式为(2〃+2)2-(2〃)2=4(2〃+1)；

(3)证明等式左边=等式右边即可.

【详解】(1)解：202-182=4x19,

故答案为：4x19.

(2)解：根据上述等式，可得一般规律：第凡个等式为(2九+2)2-(2/)2=4(2"+1)；

(3)解：推理如下：

等式左边=(2〃+2)2-(2")2

=4"+8〃+4-4〃2

=8〃+4

=4(2n+l)

=等式右边，

故等式成立.

【变式演练】

1.(2024•江苏南京三模)先化简，再求值：(2a-6)2-0-2砌2a+6),其中。=-2,6=1.

［答案］8a2-4ab；40

【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键.先计算完全平方公式，平方

差公式，再合并同类项，化简后代入求值.

【详解】解：原式=4/一4"+/-(从-4叫

=4a2-4ab+b2—b2+4a2

=8/—4ab,

当。二一2,。=1时，

原式=8x(-2『-4x(-2)x1=40.

2.(2024•江苏盐城•一模)先化简，再求值：(X+2)(X-2)-43X-6),其中x满足f一3》-1=0.

【答案】-2X2+6X-4,-6

【分析】去括号，合并同类项，后变形，整体代入求值即可.

本题考查了整式的化简求值，熟练掌握合并同类项是解题的关键.

【详解】解：原式=£一4-3X2+6X=-2Y+6X-4,

,,,x1-3x-l=0,

—3x-1,

故原式=-2,-3x)-4=-6.

3.(2024•江苏南京•二模)与几何证明一样，代数推理也需要有理有据.请先完成第(1)题的填空，再完成第(2)

题的证明.

(1)已知实数x,y满足x>y>。，求证犬>,2.

证明：•.•x>y>0,

x+y>0(实数的加法法则)，

x-y>0(不等式的基本性质1).

(x+y)(x-y)>0(①).

*/(x+y)(x-y)=x2-y2(②)，

x2-y2>0.

：.x2>y2(③).

(2)已知实数x,y满足x>y>0,求证五>心1(注：无需写出每步的依据.)

【答案】(1)①实数的乘法法则(或者不等式的基本性质2)；②平方差公式；③不等式的基本性质1

⑵见解析

【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，关键是掌握不等式的性

质.

(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题；

(2)根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题.

【详解】(1)解：①实数的乘法法则(或者不等式的基本性质2).

②平方差公式.

③不等式的基本性质1.

（2）解:*.*x>y>Q,

:.x-y>0,

Qx-y=（6¥-（6¥=（6+5（«-5,

（«+6）（G-77）>o,

x>0,>0,

:.y/x>0,y/y>0,

/.+>0,

:.y[x-y[y>0,

/.Vx>y]~y.

4.（2023•江苏常州•一模）先化简，再求值：（X-y）2-x（x+2y）,其中x=；,y=-2.

90

【答案】-4xy+y2,y

【分析】本题主要考查运用乘法公式进行整式运算，代入求值，掌握整式运算法则是解题的关键.

根据乘法公式展开，再根据整式混合运算法则进行计算，最后代入求值即可.

【详解】解：（彳一、）2-尤（尤+2〉）

=x2-2xy+y2-x2-2xy

=-4xy+y2,

当x=y=_2时，m^=-4x|x（-2）+（-2）2=y.

5.（2023•江苏常州•二模）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜

求积术”，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为。）、中斜（记为6）和大

斜（记为c）,以小斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实：一为从隔，

开平方得积.若把以上这段文字写成公式即为//_广2+『2]1(a<b<c)

(1)如图，已知图中3个正方形的面积分别为2,1,4,求VA3C的面积.

深入探究

古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积

S=Qp(p_a)(p_b)(p_c),p=,

(2)请你用秦九韶公式证明海伦公式.

灵活应用

结合上面学习的知识解决以下问题：

(3)已知三角形三边长分别为5,6,7,求这个三角形的内切圆半径.

【答案】(1)正；(2)详见解析;⑶手

4

【分析】本题考查了使用平方差公式变形整式，三角形的面积与其内切圆的关系等知识，解决问题的关键是变形等式.

(1)把片=1,82=2,/=4代入公式求得结果;

(2)将秦九韶公式利用平方差公式分解因式，进而得出海伦公式结论;

(3)先求出三角形的面积，进而根据三角形面积等于其周长与内切圆的半径之积的一半，列出方程，求得结果.

【详解】解：⑴由题意得，a2=l,b2=2,C2=4,

也

••S4ABe1x4-2

4m4

2

1a2+c2-b1

(2)证明：S=a2c2

42

2

16

2

a+c(Q_0)2

16

Q+c+b)(a+c—b)(b+a—c)(b-a+c)

16

(-6/+Z7+c)(a-b+c)(a+Z?—c)(Q+〃+C)

2222

a+b+c£±|±£_Aa+O+cca+b+c

----2------@22

a+b+c

设。=，贝|JS=jMp_q)(p_6)(p_c).

2

(3)解：•:〃=5,b=6,c=7,

a+b+c5+6+7

•(p=----------=-----------=9,

22

二・"一〃=4,p-b=3fp-c=2,

S=J9x4x3x2=6A/6，

设三角形的内切圆半径为r,

/.^x(5+6+7)r=6A/6,

.2娓

••r=----，

3

则这个三角形的内切圆半径为：巫.

3

6.（2023•江苏盐城•三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数相、小它们的乘积4（4=加〃）与较大

数的和一定为某个正数的平方.

举例验证：（1）当〃?=3,〃=4,则4+〃=（）2

推理证明：小刚同学做了如下的证明：

设"7<〃，m,〃是连续的正整数，〃=〃7+1

q=mn,q+n=mn+n-^）2；4+”一定是正数的平方数.

（2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容；

（注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可）

类比探究：（3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的

平方”，请证明该结论；

深入思考：（4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若p=«q+n）+«q_m）（m,w为两个连续正整数，

m<n,4=放2）,则p一定是_.（填：奇数、偶数）

【答案】（1）4；（2）w（也可加+1）；（3）证明见解析；（4）奇数.

【分析】（1）代入计算，求算术平方根即可；

（2）将〃?+1=〃整体代入消元即可得解；

（3）将〃="+1整体代换消元即可得解；

（4）利用前两间的结果代入去根号即可得解.

【详解】解：（1）当加=3,〃=4时，q+n=mn+/7=3x4+4=16=42

故答案为：4；

(2)设〃2<〃，

'：m,〃是连续的正整数，

n=m+\

•/q=mn,

1

q+n=mn+n—(<m+i)n=n；

q+九一定是正数的平方数.

故答案为：〃(也可7%+1)；

(3)证明：设“2,〃是连续的正整数，S.m<n,

n=m+l,

•/q=mn,

・•・夕一机一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数.

(4)由(2)(3)可知：当m,几为两个连续正整数，m<n,=w时，q+n=n2,q-m=m2

[q+n=\[r^=n，yjq-m==m

p=J(q+〃)+J(q—<)=n+m=m+l+m=2m+1

p一定是奇数

故答案为：奇数.

【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简，整式的乘法等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键.注意：根据题

中小明的猜想，括号内的数应填正数，因此括号内不要填负数.

题型03因式分解的运算

01。题型综述________________________________________

因式分解是初中必考知识点，主要考查学生对因式分解的理解和掌握，同时学会区分因式分解和整式乘法之间的联系

与区别，在中考分值大概5分左右；

I.考查重点：因式分解的基本方法(提公因式法、公式法、分组分解法等)。

2.高频题型：解答题中综合因式分解题。

3.高频考点：多项式因式分解的彻底性、十字相乘法的运用。

4.能力要求：准确快速的计算能力、代数式结构观察能力、公式逆用与变形的逻辑思维能力。

5.易错点：无法确定使用哪个方法来进行因式分解。

02解题攻略

【提分秘籍】

1、因式分解的方法:

①提公因式法：am+bm+cm-m(a+/7+c)；

②公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b1a-b)

完全平方公式：/±2QZ?+Z?2=(Q±〃)2。

③十字相乘法：在％2+b%+。中，若c=mn且m+几=〃均为整则：

x2+Z?x+c=(x+mXx+n)o

【典例分析】

例1.(2025•江苏镇江•模拟预测)下列因式分解结果正确的是()

A.x2+xy+x=x(x+y)B.x2-2x+4=(x-2)2

C.X2-4=(X+4)(X-4)D.2as+c)—S+c)=(Z?+c)(2a—l)

【答案】D

【分析】根据提公因式法、公式法分解因式进行判断即可.

本题考查了因式分解-提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键.

【详解】解：A、+xy+x=x{x+y+V),原结果错误，故此选项不符合题意；

B、f-2x+4在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意；

C、Y-4=(x+2)(x-2),原结果错误，故此选项不符合题意；

D、2qS+c)_S+c)=S+c)(2a-l),结果正确，故此选项符合题意：

故选：D.

例2.(2024•江苏苏州•一模)下列等式成立的是()

A.ci~~b~~(a+b)(a—Z?)B.+b2=(a+b)~

C.ax+ay-a=a(x+y)D.a2+a+\=(a+1)2

【答案】A

【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.

直接根据因式分解方法分解左边或由等式右边整式乘法计算验证是否成立即可判断.

【详解】解：A：a2-b2=(a+b)(a-b),故A成立，符合题意；

B：/+〃*(“+加2,故B不成立，不符合题意；

C：ax+ay-a=a{x+y-V),故C不成立，不符合题意；

D：a2+2a+l=(a+l)2,故D不成立，不符合题意；

故选B.

例3.(2024・江苏宿迁.二模)对于任意整数a,多项式(2“+1『-9都能()

A.被4-1整除B.被。整除C.被4a-4整除D.被°2—2a+l整除

【答案】C

【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.将原式展开进行因式分解，进而即

可得到答案.

【详解】解：（2a+l）2—9=（2a+l）2—32=（2a+l+3）（2a+l—3）,

=（2。+4）（2a-2）,

=4（。+2）（。-1）,

,多项式（24+1）2-9都能被4a-4整除，

故选：C.

例4.（2025・江苏宿迁•模拟预测）若实数a、b满足=5,储》+"2=一15,贝|历的值是.

【答案】-3

【分析】本题主要考查因式分解的应用、代数式求值等知识点，熟练掌握提公因式法成为解题的关键.

将片方+仍2=一15左边因式分解可得"（a+b）=T5,再结合。+6=5即可解答.

【详解】解：a。？=—15,

/.oZ?（a+Z?）=-15,

又；a+b=5,

ab=-3.

答案为：-3.

例5.（2023•江苏扬州•一模）分解因式：m2-4n2=.

【答案】（/W+2M）（7M-2W）

【分析】本题考查了公式法分解因式，利用平方差公式进行分解即可求解.

【详解】解：w2-4n2=（m+2n）（m-2n）,

故答案为：（加+2”）（切-2«）.

例6.（2023•江苏扬州•二模）因式分解：

(l)3o-12a3;

(2)x4—2x2+1.

【答案】(l)3〃(l+2a)(l-2a)

⑵(X+1)2(X-1)2

【分析】(1)先提取公因式3a,再利用平方差公式分解因式即可；

(2)根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可.

【详解】(1)解：3a-12a3

=3a(l-4a2)

=3。(1+2。)(1-2。)；

(2)解：X4-2X2+1

=”1)2

=[(x+l)(x-l)]2

=(x+lj(X-1)".

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键.

【变式演练】

1.(2024•江苏徐州•中考真题)若mn=2,m-n=l,则代数式加的值是.

【答案】2

【分析】本题考查代数式求值.先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值.

【详解】解：："加=2,m-n=\.

"孑n—mn2=mn(m—*=2x1=2,

故答案为：2.

2.(2023•江苏无锡•模拟预测)因式分解：ab2-4ab+4a=.

【答案】a伍-2『

【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，先提取公因式。，再根据完全平方公式进行二次分解，熟练掌握提公

因式法及公式法因式分解是解题的关键.

【详解】解：ab1—4ab+4a

=“伊-40+4)

=a(b-2)~,

故答案为：a(Z?-2)2.

3.(2023•江苏苏州•模拟预测)分解因式：2依2+4g+2ay2=.

【答案】2a(x+y)2

【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，注意多项式的各项含有公因式，必须先提公因式.先提公因式，

再利用完全平方公式继续分解即可解答.

【详解】解：+4axy+2ay?=2a(x?+2孙+>2)=2a(x+,

故答案为：2a(x+y。

4.(2023•江苏南通•二模)分解因式：3a3-口区0+骁%.

【答案】3a@26)2

【分析】先提公因式3a,再用完全正确平方公式分解即可.

【详解】解：原式=3a(a2-4ab+4b2)

=3a(a-26)2.

【点睛】本题词考查综合运用提公因式与公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

5.(2024•江苏南通・模拟预测)分解因式：2^6一

【答案】2ab(a-2b)(a+2b).

【分析】先提取公因式2ab,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【详解】解：2/b-Sab3=2ab(a2-4b2)=:2ab(a-2b)(a+2b).

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法

进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

6.(2024.江苏无锡•模拟预测)因式分解：

(1)一丁+2尤2y一肛2

(2)16x4-8x2y2+y4

(3)(a-3b)2-4a2

【答案】(1)-x(x-y)2；(2)(2x+»(2x-»；(3)-3(a-£>)(a+3b)

【分析】(1)先提取公因式-x,然后按照完全平方公式/一2油+及=(。一切2分解因式即可；

(2)先按照完全平方公式4-24+。2=(°一加2分解因式，再按照平方差公式合一/=(。+力5一力分解因式即可；

(3)按照平方差公式=(“+0)3-3分解因式，然后再合并同类项即可.

【详解】(1)-x3+2x2y-xy2=-x(x2-2xy+y2)=-x(x-y)2；

(2)16x4-8x2/+y4=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2；

(3)(Q-3by-4a2=(Q_3。+2a)(a-3b-2a)=(3a-3b)(-a-3b)=-3(a-b)(a+3b)；

【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.

题型04分式的运算

01题型综述________________________________________

分式的运算是中考数学的必考计算题，一般涉及到分式的有无意义条件，分式的四则运算等，一般考试分数在5~10分

左右；

1.考查重点：分式的四则运算。

2.高频题型：选择题、填空题中的直接计算题，解答题中的分式化简求值。

3.高频考点：分式的化简求值。

4.能力要求：准确快速的计算能力。

5.易错点：运算中符号错误（如负号遗漏）、去分母时要注意符号。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.分式的概念及性质:

A

形如色，A、6都是整式的式子叫做分式。简单来说，分母中含有字母的式子叫做分式。

B

分式的分子与分母同时乘上（或除以）同一个不为0的式子，分式的值不变。即：

4=红，4="£”0）。

BBCBB+C7

2.分式的通分：

把几个异分母的分式利用分式的性质化成分式值不变的几个同分母的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做

分母的最简公分母。

公分母=系数的最小公倍数乘上所有字母（式子）的最高次塞。

3.分式的约分：

利用分式的性质约掉分式中分子分母都存在的公因式的过程叫做约分。

公因式=系数的最大公因数乘上相同字母（式子）的最低次幕。

分子分母不存在公因式的分式叫做最简分式。约分时一般把分式化成最简分式。

4.分式的加减运算：

ArA+C

①同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。即：-+-=--O

BBB

②异分母的分式相加减，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式进行加减。即：

_A_IDAC—I--B-D--A-C--+-B--D

BC~BCBC^BC

5.分式的乘除运算：

ADAD

①分式的乘法：分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。即:--------------o

~B~CBC

AnACAC

②分式的除法：除以一个分式，等于乘上这个分式的倒数式。即：一:——o

BCBDBD

【典例分析】

例1.（2024.江苏宿迁.模拟预测）下列分式，一定有意义的是（）

【答案】A

【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可，关键是掌握分式

有意义的条件是分母不等于零.

【详解】解：A、无论X取何值，f+iwo,分式等都有意义，故选项符合题意；

%+1

B、当x=0时，分式'无意义，故选项不符合题意；

x

C、当工=±1时，分式二无意义,故选项不符合题意；

X-1

D、当x=-l时，分式£无意义，故选项不符合题意；

X+1

故选：A.

X

例2.（2024・江苏无锡•二模）函数V=［寸的自变量x的取值范围是（）

A.xw2B.x<2C.x<2D.x<2且xwO

【答案】C

【分析】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握知识点是解题的关键.

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,列不等式求解.

【详解】解：由题意得：2—x>0,

解得：x<2,

故选：C.

例3.（2024•江苏徐州.三模）如果把分式工旦的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）

x+y

A.扩大为原来的9倍B.扩大为原来的3倍

C.不变D.缩小为原来的（倍

【答案】B

【分析】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键.

把分式中的x换成3x,y换成3y,然后根据分式的基本性质进行化简即可.

长2xy中的D都扩大3倍’得出2-（3遍x）-（焉3y）9・2孙2孙

【详解】解:-=3x———

3(1+y)x+y

那么分式的值扩大3倍,

故选：B.

例4.（2024・江苏扬州•一模）人们把好二1这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用

2

75-1,"+］，得"=1,记S.则！-111

了黄金分割数.设〃=,b—----^+―---乙（〃取正整数），卜-卜-——---十•••H--------------

22l+an1+b11$2S3^2024

的值为（）

1202312024

A.------B.------C.D.------

2024202420252025

【答案】D

【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的化简计算是解本题的关键，化简工为“（〃+1）,代入算式，利用裂项相消

计算，即可解题.

【详解】解：S,=3+&4，

〃l+anl+bn

一(+叫(1+W(1+叫(1+.〃)

〃(〃+l)(2+b"+a〃)

—(1+优)(1+方)'

仆+l)(2+b〃+/)

l+anbn+bn+an

ab=1,

/.anbn=l,

,M〃+l)(2+b〃+a〃)

,,S=-----------------------------=n(n

n2+bn+anI

1_11_11_111

寸心’寸汨，S7-3^4J........'芯京-2024x2025

1111

--------1-----------1-----------1---------1--------------.

S1^2S3§2024

1111

=-----+-----+-----+H-------------------------------

1x22x33x42024x2025

11

一~22~33-420242025

=1一/

2024

2025

故选：D.

Y2+3

例5.（2024•江