三角恒等变换（3种考向原卷版）

重难点04三角恒等变换

(3种考向)

【目录】

考向1：给值求值问题

考向2：给值求角问题

考向3：利用三角恒等变换判断三角形的形状

J二、命题规律与备考策略

本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”

“给角求值”三种考向进行分类讲解。

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系:sin2a+cos2a=1.

(2)商数关系：s'"」=tana.

cosCI

2.诱导公式

公式一：sin(a+2Zn)=sina,cos(a+2E)=cosa,tan(a+2E)=tana,其中蛇Z.

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

公式四:sin(71-a)=sina,cos(n-a)=-cosa,tan(n-a)=-tana.

兀/兀、(2L-)

公式五:sin(-a)=cosa，cos(----a)=sina,tana=cota.

T22

兀/兀、/兀、

公式六:sin(+a)=二cosa,cos(---+a)=-sina,tan(——+a)=二-cota.

T22

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(a-p)：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp；

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacosP-sinasinp；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp；

(4)S<a-P)：sin(a-0)=sinacosP-cosasinp；

tanCt+tan

(5)T(a+p)：tan(a+0)=^.

1-tanQtanP

(6)TQ"tan(a-p)=tan。七吗.

1+tanCltanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2a*sin2a=2sinacosa；

(2)C2a:cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

(3)T2a:tan2a=-.

l-tan2a

Q三、题型方法

考向1:给值求值问题

一、单选题

1.(2022・上海•高三专题练习)若tan〃=-2,则吧，口土吧型=()

sin8+cos8

6226

A.——B.——C.-D.-

5555

2.(2023•上海奉贤・统考一模)已知〃，b,a,/yeR,满足sine+cos4=a,cosa+sin4=b,

0<a2+b2<4,有以下2个结论:

①存在常数a,对任意的实数beR,使得sin（a+夕）的值是一个常数；

②存在常数匕，对任意的实数aeR,使得cos（。-/）的值是一个常数.

下列说法正确的是（）

A.结论①、②都成立

B.结论①不成立、②成立

C.结论①成立、②不成立

D.结论①、②都不成立

二、填空题

3.（2022・上海•高三专题练习）已知sine+sin,+g]=l,贝依亩,+。|=.

4.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习）已知sin26+sine=0,共修万],贝Utan2g=

5.（2023•上海普陀•曹杨二中校考模拟预测）已知$也"£|=-孚则sin2e的值为

cin/y4-CCSCi

6.（2022•上海•高三专题练习）若ma十3，a=3,tan（a-£）=2,则tan（£-2a）=______.

sina-cosa

7.（2022秋•上海普陀・高三统考期中）若sin[c_3j=T，则血2]=；

8.（2022•上海•高三专题练习）若sina=！，则cos（l一2a）=.

3------

TTJT

9.（2022春•上海浦东新•高三校考阶段练习）已知—<a<一,若tana+cota=3,则cos2a=

42

10.（2022春•上海宝山•高三上海市行知中学校考期中）已知0<。<三，若sin（2a-工）=-也，贝U

2410

sina+cosa=.

三、解答题

11.（2022春•上海浦东新•高三上海市实验学校校考开学考试）已知函数/（x）=2cos2x+cos（2x+mj.

⑴若/（a）=1+l,0<«<^,求sin2a的值；

（2）在锐角回ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若/（A）=-；,c=3,回ABC的面积

S.ABC=36，求.的值•

12.（2022秋・上海嘉定•高三校考期中）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为6、C,且

,1

cosA=—.

3

⑴求sir?'；0+cos2A的值；

⑵若Q=石，求。。的最大值.

13.(2022,上海•高三专题练习)已知a=(sina,l),b—(cosa,2),ex.Gf0,—

（1）若〃///?,求sin2a的值;

（2）在（1）的条件下，若cos（a+/）=尚，求s比£的直

14.（2023・上海松江•校考模拟预测）设/（x）=2sirucosx-2sin[x

（1）求“力的单调递增区间及对称中心；

⑵当时，+=求cos2x的值.

TT

15.（2022•上海局三专题练习）已知函数〃尤）=国11（8+9（。＞0）的最小正周期为万.

6

（1）求①与八九）的单调递增区间；

A

（2）在ABC中，若/（万）=1,求sin3+sinC的取值范围.

16.（2023春・上海松江•高三上海市松江二中校考阶段练习）已知/（x）=cosx（、/§sinx-cosx）+；.

⑴求在[0,句上的单调递减区间；

⑵若，求sin2a的直

jkJbJ

考向2：给值求角问题

一、单选题

1.（2022春•上海宝山•高三上海交大附中校考开学考试）已知a、夕都是锐角，且3sin2a+2sin2夕=1,

3sin2c-2sin2尸=0,那么a、夕之间的关系是（）

„71„71

A.a+°=—B.a-B

兀jr

C.a+2,=ID.cc+=—

2.（2021秋•上海徐汇•高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）将方程sinxcosx+行投不了;3的所有正

3

数解从小到大组成数列{%},记a〃=cos（x“+i—x〃），贝！］%+%+…+%。21=（）

A.一3B.一也c.一3D.一交

4466

二、填空题

3.（2022•上海•高三专题练习）已知tana=3,tan尸=2（。、尸均是锐角），则。+尸的值为.

4.（2022秋•上海杨浦•高三上海市控江中学校考阶段练习）把5sina+12coso■化成

Asin（a+协（A>0,0e（0,2万））的形式，则常数夕的值为.

5.（2022春•上海虹口•高三上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知xe（0,1），则方程海：'1=。的

212cosx

解集是.

6.（2022春・上海黄浦•高三上海市大同中学校考开学考试）若ee（O,%）,且cos2a=,则a的

值为.

7.（2022秋•上海嘉定•高三校考期中）若上广为锐角，sina=述,cos（a+0=-U,则角£=

7、,14

8.(2023・上海,高三专题练习)费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形

三个内角都小于9时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为告.已知点尸为ABC的费马

点，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若cosA=2sin[cq卜osB,且户=(a-c)?+6,则

PAPB+PBPC+PAPC的值为.

三、解答题

9.(2022・上海•高三专题练习)设常数1£尺，函数/(x)=Gsin2x+〃cos2x.

(1)若A幻为奇函数，求。的值；

(2)若=求方程〃x)=2在区间。同上的解.

10.(2022春•上海虹口•高三上海市复兴高级中学校考阶段练习)己知函数

/(x)=sin2x+sinxcosx-^-(xeR).

(1)求函数/(x)的最小正周期T与单调增区间；

(2)在中，若〃4)=〃可=；,求角C的值.

11.(2021秋•上海宝山•高三上海市行知中学校考开学考试)已知b、c是一ABC中/A、ZB./C的

对边，a=4后'b—6,cosA―――

⑴求c边长;

(2)求23—A的值.

考向3：利用三角恒等变换判断三角形的形状

一、单选题

cosAcosBcosC,

1.(2022・上海•高三专题练习)对于AASC,若存在AAgG,满足「~=一1=-^=1,则称AABC

smAsin与sinCj

为“V类三角形”.“V类三角形”一定满足.

A.有一个内角为30°B.有一个内角为45°

C.有一个内角为60°D.有一个内角为75°

2.(2020秋•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习)在ASC中，若cosAcosB-sinAsin8>0,则

这个三角形一定是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能

二、解答题

3.(2022春•上海浦东新•高三上海市进才中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=sin(2.x+y)+sin(2.x-^)+>/3cos2x-m,xdR,且火x)的最大值为1.

(1)求机的值，并求式无)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c,若=且出a=6+c,试判断△ABC的形状.

U四、刷真题与模拟

一.选择题(共3小题)

1.(2022•北京)已知函数/(%)=cos*2x-sin2x,贝!J()

A./(x),--)上单调递减

26

B./（无）在（-，上）上单调递增

412

C.f（x）在（0,—）上单调递减

3

D.f（尤）在（2L,I2L）上单调递增

412

2.（2023•虹口区二模）对于函数f（x）-/§sinxcosx+sin2x4，给出下列结论:

（1）函数y=/（x）的图像关于点（需，0）对称；

（2）函数y=/（x）在区间嚎，弓L］上的值域为［蒋，1］；

（3）将函数y=/（x）的图像向左平移三个单位长度得到函数尸-cos2x的图像

3

（4）曲线＞=/（无）在处的切线的斜率为L

4

则所有正确的结论是（）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.（2）（4）D.（1）（3）

3.（2019•上海）已知tana・tan0=tan（a+p）.有下列两个结论：

①存在a在第一象限，0在第三象限；

②存在a在第二象限，0在第四象限；

则（）

A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对

二.填空题（共6小题）

4.（2022•上海）若tana=3,则tan（a+e-）=.

4

5.（2020•浦东新区校级二模）函数y=sin2x-sin2x的最小正周期为.

6.（2020•上海）已知3sin2x=2sinx,xG.（0,n）,贝!Jx=.

7.（2023•上海）已知tana=3,则tan2a=.

8.（2002•上海）已知/（x）=4I',ae（^-,皿），则/（cosa）4/（-cosa）可化简为.

9.（2023•嘉定区校级三模）若关于尤的方程ZsirA-ysin2x+〃z-1=0在（工■,it）上在实数根，则实数

2

m的取值范围是.

三.解答题（共11小题）

10.（2021•浙江）设函数/（x）=siru+cosx（尤6R）.

（I）求函数y=［f（x+；）产的最小正周期;

（II）求函数y=/（x）/（x-」L）在［0,上的最大值.

42

11.（2023•青浦区二模）己知函数y=/（无）的表达式为

（1）求函数y=/（x）的最小正周期及图像的对称轴的方程;

（2）求函数y=/（x）在（0,号-）上的值域.

12.（2022•崇明区一模）己知f（x）=J§sin2x-2cos?x-1。

（1）求函数y=/（无）的单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A满足/（A）=0,且思•沃=&求BC边长的最小值.

13.（2021•青浦区二模）已知函数/（x）=2-/2sin—cos—+2-'./2cos2—-\［2.

222

（1）求函数/（X）在区间［0,TT］上的值域；

（2）若方程/（3X）=F（3>0）在区间［0,TT］上至少有两个不同的解，求3的取值范围.

14.（2018•上海）已知y=cosx.

(1)若f(a)空■，且ae[o,TT],求f(a=)的值;

(2)求函数y=/(2x)-2f(x)的最小值.

15.(2018•上海)设常数函数/(x)=«sin2x+2cos2x.

(1)若/(%)为偶函数，求〃的值；

(2)若/(三)=V3+b求方程/(%)=1-在区间［-11,n］上的解.

4

16.（2023•宝山区二模）已知函数f（x）=sinxcosxH^co32x也-

XXA/oXllAVU'wUoA'Q

(1)求函数y=/(x)的最小正周期和单调区间;

(2)若关于x的方程/(x)=0在x€［0,卷］上有两个不同的实数解，求实数机的取值范围.

17.(2022•奉贤区模拟)已知函数/(无)=J§sin23x+cos23x+l(0<(o<5),将函数的图像向右平移卷个

单位，得到函数y