人教版2024-2025学年八年级下册数学期中考试压轴题训练（含解析）

人教版2024-2025学年八年级下册数学期中考试压轴题训练

一、选择题

1.已知。+r=4,次?=2,则Jg+1的值为(

\aClvD

A.2V2B.2C.V2D.1

2.已知遮=a,V14=b,则A/0.063=()

ab3abab3ab

A.—B.-----C.—D.-----

1010100100

3.如图，E1是团ABC。内一点，EDLCD,EBLBC,ZAED=135°,连接EC,AC,BD,

下列结论：

①/ADE=NABE；

②△BCE为等腰直角三角形；

@DE+AB=&BD；

@AE2+AB2=AC2,

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个E

已知-1V0,化简J(a+—4—J(a—62+4的结果为()

4.

2

A.2aB.-laC.--D.-

aa

5.如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五个四边形，其中①，②为

两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙.若想求得长

方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：

甲说：只需要知道①与③的周长和;乙说:只需要知道①与⑤的周长和;

丙说：只需要知道③与④的周长和;丁说:只需要知道⑤与①的周长差.

下列说法正确的是（)

A.只有甲正确B.甲和乙均正确

C.乙和丙均正确D.只有丁正确

第5题图第7题图

二、填空题

6.如图，在RtaABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,点P为斜边BC上的一个动点，

过P分别作PE±AB于点E,作PF±AC于点F,连接EF,则线段EF的最小值

为•

7.如图，在正方形ABC。中，AB=3,点E,尸分别在8,4。上，CE=DF,BE,C尸相

交于点G,连接DG.点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值

为.

8.任意一个四位正整数根=/加，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的

数字之和是10,百位与个位上的数字之和是9,则这个数称为“十拿九稳数”.将机的千

位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为加，其中F(m)=竺萨，若

"⑺)+4a+106+1=12,贝！］2a+b值为.

9.若9+旧与9-g的小数部分分别为a和b,则(a+3)(6-4)的值.

10.如果y=V比-2024+V2024—X—1,那么歹=.

11.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形ABCD是由四个

全等的直角三角形和一个小正方形组成的.若43=逐，ZCED^ZCDE,则的

面积为.

三、解答题

12.如图，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴负半轴上一点，点C为无轴正半轴上一

点，AO=a,BO=b,CO=c,且a,b,c满足a=7a—b+7b—a+c.

(1)若c=3,求AB的值；

(2)已知点。为x轴上一动点，连接AD,以A。为边作等腰直角△">£,ZDAE^90°.

①如图1,当点。在BC上运动时(点。不与8、C重合)，连接CE,判断线段8D,CD,

DE之间的数量关系，并说明理由；

②如图2,当点。在8C延长线上运动时，连接CE,BE,在(1)的条件下，若2E=10,

求DE?的值；

(3)如图3,若点。在第一象限且在AC上方运动，连接A。，以为边作等腰直角4

ADE,ZDA£=90°,连接BD,CE交于点F,连接CO,BE,在(1)的条件下，若C。

=5,AD=6,求BE的值.

图1图2图3

13.如图1,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0),B(0,6),C(-。,0),且后三+^-46+4=

0.

Cl)求证：ZABC=90°

(2)NAB。的平分线交x轴于点。，求。点的坐标.

(3)如图2,在线段AB上有两动点M、N满足NMON=45°,求证：BM2+AN2=MN2.

图1

14.如图，在平面直角坐标系中，点B(a,8)是第一象限内一点，且a、6满足等式Va-4+

四一1|=0.

(1)求点B的坐标；

(2)如图1,动点C以每秒1个单位长度的速度从。点出发,沿x轴的正半轴方向运动，

同时动点A以每秒3个单位长度的速度从。点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动

的时间为t秒.当△ABC是以为斜边的等腰直角三角形时，求f的值；

(3)在第(2)问中的点A、C运动条件下，当△ABC为直角三角形时，作/A3C的平

分线30(参考图2)设的长为根，△ADB的面积为S.请直接写出用含根的式子表

示S.

图1图2

15.如图1,在平面直角坐标系中，第一象限内一点尸("，机)，且"加=18.过点尸作PM

轴交于点M，交AB于点E,过点尸作PNLx轴交于点N,交AB于点?已知点A

(0,a)点B(b,0)且a、b满足b=7a—6+76—a+6.

(1)求点A、B的坐标；

(2)判断由线段AE,EF,FB组成的三角形的形状，并说明理由；

(3)①当机="时，如图2,分别以PM、0P为边作等边△PMC和△尸。。，试判断PC

和C。的数量关系和位置关系，并说明理由；

②当相W”时，如图3,求NE。尸的度数.

16.已知点A(xi,yi),B(x2,”)，则AB之间的距离为J(/-久2尸+(当一月因.

(1)若已知点A(-1,1),B(1,0),求线段AB的长；

(2)在(1)的条件下，若存在点C8,1),请判断aABC的形状，并说明理由;

(3)若y=2x+5+V久2一6久+45,求当x为何值时，y取最小值.

17.用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的

弦图.其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b(a〈b),斜边长为c.

(1)结合图①，证明勾股定理.

(2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形

ABCDEFGH,若该八边形的周长为24,0H=3,求该八边形的面积.

(3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转180。得到新的直角三角

形拼接成正方形PQWN,将图③中正方形PQWN、正方形ABC。、正方形EEG*的面积

分别为Si、S2、S3,若Sl+S2+S3=18,则52=.

图①图②图③

18.长方形AOC。在平面直角坐标系中的位置如图：A(0,a)、C(b,0)满足=+|b

-10|=0.

(1)求a,b的值；

(2)点E在边CO上运动，将长方形AOCD沿直线AE折叠.

①：如图①，折叠后点。落在边OC上的点尸处，求点E的坐标；

②：如图②，折叠后点。落在无轴下方的点尸处，AF与OC交于点M,EF与OC交于

点N,豆NC=NF,求。E的长.

19.如图，在正方形ABC。中，A2=4,点£是对角线AC上的一点，连结。E.过点E作

EFLED,交AB于点F,以DE,跖为邻边作矩形。EFG,连结AG.

(1)求证：矩形OEPG是正方形；

(2)求AG+AE的值；

(3)若厂恰为的中点，请求出AE的长.

参考答案

一、选择题

题号12345

答案ADCAA

1.【解答］解：,：a+b^4,ab=2,

ab

_72x4

=^~

=2VL

故选：A.

2.【解答】解：V0.063=

_3岳回

=~loo-

VV5=〃，V14=b,

•.•原式=鬻.

故选：D.

3.【解答】解：①延长DE交48于点R如图,

•/四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,NBAD=NBCD,AD=BC,

'：ED±CD,

：・ED_LAB,

：.ZAFD=ZBFD=90°,

'：ED±CD,EBLBC

：.ZCDE=ZCBE=9Q°,

•；NCDE+NCBE+NBCD+NBED=36U°,

ZBCD^ZBED=180°,

9：ZBEF+ZBED=1SO°,

:./BEF=NBCD,

：.ZBEF=ABAD,

•・•ZBAD+ZADE=ZABE+ZBEF=90°,

ZADE=ZABE,

故①正确；

在AAE/中，VZAFE=90°,ZAEF=180°-ZAED=45°,

：.ZEAF=ZAEF=45°,

：.AF=EF,

：.AADF^AEBF(AA5),

：.AD=BE,

'：AD=BC,

：.BE=BC,

VZEBC=90°

・•・ABCE为等腰直角三角形，

故②正确；

AADF当AEBF,

:.DF=BF,则△BDF为等腰直角三角形，

；./BDE=45°,

过点B作BG±BD交DC延长线于点G,则/DBE=ZGBC,

VZBCD+ZBE£>=180°,NBCZ)+/BCG=180°,

：.NBED=NBCG,

；BE=BC,

:.△BDE"ABCG(ASA),

：.CG=DE,BD=BG,ZBDE=ZBGC=45°,则△BAG为等腰直角三角形,

：.DG=DC+CG=AB+DE,

由等腰直角三角形可知，DG=VBA+"2=V2BD,

：.AB+DE=DG=夜BD,

故③正确；

由勾股定理可知，AE2=<AF2+EF2=V2XF,则4F=*AE,

过点C作CHLAB于H,则CH=DF,

；CD=BC,

：.AADF^/\BCH(HL),

:.AF=BH,

/2万

则C”=DF=BF=AB-节AE,BH=AF=EF=勺AE,

/o/o

：.AC2=AH2+CH2=(ZB+帝E/+(AB-^AE)2=2AB2+AE2,

故④不正确；

故选：C.

11

当-1V〃V0时，原式=〃一公+-+a=2a.

故选：A.

5.【解答】解：设③的边长为〃，④的边长为儿②的宽为羽

，⑤的边长为②的长为：a+a+b=2a+b,①的长为x+a,宽为b-a,

・・・②的周长为：2(2a+b+x)=4a+2b+2x,

・・•①的周长=2(x+tz+Z?-a)=2x+2b,③的周长为4a,

・•・①与③的周长和为：4a+2b+2x,

・••甲的说法正确；

1,①的周长=2(x+a+Z?-a)=2x+2b,⑤的周长为2(〃+/?)=2a+2b,

①与⑤的周长和为：2a+2b+2x+2b=2a+^b+2x,

，乙的说法错误；

二•③的周长=4〃，④的周长=4。，

，③与④的周长和为：4a+4b,

...丙的说法错误；

•⑤的周长为2(a+b)—la+lb,①的周长=2(x+a+b-a)—2x+2b,

⑤与①的周长差为：2a+2b-2尤-26=2。-2x,

丁的说法错误；

综上可知：说法正确的只有甲,

故选：A.

二、填空题

6.【解答】解：连接AP,如图1所示：

:在RtZXABC中，ZBAC=90°,PELAB,PF1AC,

四边形AEPF是矩形，

：.EF=AP,

:点P为斜边BC上的一个动点，图1

线段EF的最小值为线段AP的最小值，由点尸到直线BC的距离中垂线段最短，过A

作AP_L2C,如图2所示：

在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,则由勾股定理可

得BC=7AB2+AC2=V32+42=5,

11

.•.由等面积法可得SAABC^AB-AC=^BC-AP,即3X4=5AP,

解得4P=卷,图2

故答案为：—.

7.【解答】答案为美三.

8•【解答】解：根据题意，c=10-a,d=9-b,

*.*m=10006Z+100/?+lOc+d,

:・m'=1000。+100d+1Qa+b,

.\m-m'=l000。+100/?+1Oc+d-(1000。+100J+1Oa+b)

=990a+99b-990c-99d

=99X(lOtz+Z?-10c-d),

：.F(m)==10a+6-10c-d,

§PF(m)=lOa+b-10(10-a)-(9-b)=20a+2b-109,

•/7f(m)+4a+10Z)+1=12,

(.20a+2b-109)+4a+10b+l=144,

24a+12b-108=144,

24a+126=252,

2a+/?=21.

故答案为：21.

9.【解答］解：V3<VT3<4,

/.12<9+V13<13,-4<-V13<-3,

.,.fl=9+V13-12=V13-3,5<9-V13<6,

：.b=9—月—5=4-g,

(fl+3)Cb-4)=(g-3+3)X(4-V13-4)=-13,

故答案为：-13.

10.【解答】解：由题意得：x-202420,2024-x'O,

解得：x=2024,

则y=-1，

(-1)2024=1,

故答案为：1.

11.【解答］解：如图，,：ZCED=ZCDE,

:.CE=CD,

；NCFE=NCGD=90°,DG=CF,

：.RtACFF^RtADCG(.HL),

:.EF=CG,

:.AE=EH=EF=BF=CG=FG,

,?AB2=AE^+BE1=AE2+(2AE)2=(V5)2,

；.AE=1,BE=2,

:.EH=DH=\,

：.DE=V2,

连接CH交。E于M,

垂直平分。E,

:.DM=/DE=芋,ZCMD=90°,

：.CM=>JCD2-DM2=竽，

入一，11r3V23

.♦.△CDE的面积为-DE-CM=-xV2x——=

2222

3

故答案为：

三、解答题

12.【解答】解：(1)Va=y/a^b+Vb^a+c,

••a-b20且Z?-

.\a=b=c=3f

在RtAAOB中，48=，/R2+8。2=V32+32=3鱼；

(2)(DBa+cN=D烂;

理由如下：：△ABC和△AOE是等腰直角三角形，

：.AB=AC,AD^AE,ZBAC^ZDAE^90°,

：.ZBAC-/DAC=ZDAE-ZDAC,

即N3Ar>=NEAC,

在△A3。和△ACE中，

AB=AC

Z-BAD=Z-CAE^

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

：.BD=CE,ZACE=ZABD=45°,

：.ZDCE=ZACE+ZACD=45°+45°=90°,

?.在RtADCE中，C烂+CD2=DE2,

:.BD2+CD2=DE2；

②同①得：AABD名AACE(SAS),

：.ZABD^ZACE^45°,BD=CE,

：./BCE=ZACE+ZACB=90°,

在RtABCE中，CE=VBE2-BC2=V102-62=8,

：.BD^8,

：.CD=BD-BC=8-6=2,

VZBCE=90°,

:.NDCE=90°,

在RtAZ)C£中，£)£2=CEr+CD1=82+22=68,

即DE1的值为68.

(3)-：AD=6,

.•.在心△&£)£中，DE2=AZ)2+AE2=62+62=72,

记EC与A。交于点G,同(2)得：AABD名AACE(SAS),

：.NADB=ZAEC,

又NFGD=/AGE,

；./DFE=/EAD=90°,

在RtZXEFD和中，DE2=EF2+DF2,BC2=BF2+CF2,

在RtZXEFB和RtzMJFC中，BE2=FE2+BF2,CD2=DF2+CF2,

：.DE2+BC2=BE2+CD2,

即72+36=BE2+25,

：.BE=V83.

13.【解答】解：(1)62—46+4=0.,

：.Va^2+(b-2)2=0,

则a—2,b—2,

；.OA=OB=OC,

AZABC=90°；

(2)如图1,过点。作。于E,

：OA=OB=2,

图1

：.AB=VOX2+OB2=V22+22=2V2,

平分NAB。，

：.OD=DE,

设OD—x,

1

'/S^AOB=^OA,OB=SAOBD+S^ABD,

111

x2X2=5x2Xx+77x2v2xx,

222

解得：x=2或—2,

：.D(2A/2-2,0)；

(3)证明：如图2,过点。作。ELOM,并使OE=OM,连接AE、NE,

V90°,ZMOE^90°,

：.NMOB=ZAOE,

在△MOB和△EOA中，

OB=OA

乙MOB=Z.EOA,

OM=OE

：.AMOB^AEOA(SAS),

：.BM=AE,ZOBM=ZOAE,

：.ZNAE=90°,

122

：.AE+AN=ENf

在AMON和AEON中，

OE=OM

乙MON=乙EON,

ON=ON

:AMON经AEON(SAS),

:.MN=NE,

:.BM2+AN2=MN2.

14.【解答】解：(1)点B(a,b)是第一象限内一点，且a、b满足等式而R+|b-1|=0.

.'.a-4=0,b-1=0,

:・〃=4,Z?=l,

：.B(4,1)；

(2)如图1,过3作轴于

•；B(4,1),

；・BH=1,

由题意得。4=3/,OC=t,

・・・AACB是以AB斜边的等腰直角三角形，

：.AC=BC.ZACB=90°,

ZACO+ZBCH=90°,

,・・5H_Lx轴,

：.ZOHB=90°,

：.ZBCH+ZCBH=90°,

・・・/ACO=/CBH,

VZAOC=ZCHB=90°,

在△AOC与△CTffi中，

Z-AOC=乙CHB

Z.ACO=乙CBH,

AC=CB

：.AAOC^ACHB(A45),

・・・OC=BH=1,

:.t=1,

...当f=l时，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形；

(3)过点A作AFLDB,交8。延长线于RAP延长线交BC的延长线于点E.

/AFB=ZACB=NACE=90°,

：.ZCAE+ZE^90°,ZFBE+ZE^9Q°,

；./CBD=/CAE,

在△OCB和△ECA中

图2

2CBD=Z.CAE

AC=BC,

/DCB=^ECA=90°

ADCB^AECA(ASA),

.\AE=DB=m,

在43刚和△BT屯中，

Z-ABF=Z.EBF

BF=BF，

ABFA=乙BFE=90°

ABFA^ABFE(ASA),

11

'•AF=EF==2m,

S=>•BD•AF=xmx=-rm2.

15.【解答】解：(1)9：b=Va^6+V6^a+6,

・・〃=6,Z?=6,

・,•点A(0,6),点B(6,0)；

(2)由线段AE,EF,尸3组成的三角形的形状为直角三角形，理由如下：

・・•点A(0,6),点8(6,0),

.9.AO=BO=69

：.ZOAB=ZOBA=45°,

VP(几,m),

：.OM=PN=m,MP=NO=n,

：.AE^ME=V2(6-〃z),EP=A/2hn+n-6)=PF,BN=NF=五(6-n),

：.AEr=2(6-m)2=2(36+混-12%)，BF2=2(6-n)2=2(36+n2-Un),EF2=2

(.m+n-6)2=2(irr+rr+36~12m-I2n+2mn)=2(扇+”」+72-12m-12n),

:.AE2+BF2=EF2,

由线段AE,EF,FB组成的三角形的形状为直角三角形；

(3)①PC=CD,PCLCD,理由如下：

'：PMLOM,ONLPN,NMON=90°,

四边形PMON是矩形，

•冽=〃，

:.PM=PN,

・•・四边形PMON是正方形，

：.PM=OM,

•••△尸〃。和4尸0。都是等边三角形，

:.PO=PD,PM=PC,ZMPC=ZOPD=60°,

：.ZMPO=ZCPD,

：.AMOP^ACDP(SAS),

:・CD=OM,ZPCD=ZPMO=90°,

：.CD=PC,PC.LCD；

②如图，连接OF,OE,将△。尸3绕点。旋转90°,得到△OHA,连接即，

：.AOFB^/\OHA,

：.OH=OF,ZOBA=ZOAH=45°,BF=AH,ZBOF=ZAOH,

；./HAB=90°,

：.AH2+AE2=HE2,

:.BF2+AE2=HE2,

又产，

:.HE=EF,

又：OET=OE,OF=OH,

：*XOEF空XOEH(SSS),

ZFOE=ZHOE,

：.ZEOA+ZBOF^ZEOF,

VZEOA+ZBOF+ZEOF=ZAOB=90°,NBx

.•.NEO尸=45°.图

16.【解答】解：(1):点A(-1,1),B(1,0),

：.AB=V(-l-l)2+(l-0)2=V5；

故线段AB的长为遥；

(2)△ABC是等腰直角三角形，

理由：VAC=J(-l-1)2+(l-1)2=BC=J(l-1)2+(0-|)2=

：.AC=BC,AC2+BC2=I+I=5=AB2,

：.ZACB=90°,

/.AABC是等腰直角三角形；

(3)Vy=Vx2—2x+5+Vx2—6%+45=yj(x—l)2+22+^/(x-3)2+62,

代数式，(久一1尸+22+-3尸+62的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)

与点A(1,2)、点8(3,6)(2,3)的距离之和，

求y的最小值，相当于在x轴上找一点尸(尤，0),使得尸到点A(1,2)、点、B(3,6)

(2,3)的距离之和的最小值，

设点A关于x轴的对称点为A',则出=必,，因此，求出+P8的最小值，只需求必'

+PB的最小值，由两点之间，线段最短可得，PA'+PB的最小值为线段A'8的长度；

VA(1,2),

(1,-2),5,

过B作轴交A'H于H,交x轴于C,J

.•.△BCP的面积+四边形M的面积=SmHB,2限

1II

A-x(3-x)X6+|x(3-x+2)X2=]x2x(2+6),

解得x-

答：当X为5时，y取最小值.

17.【解答】(1)证明：•..每个直角三角形的直角边长分别为a、b(a<b),

每个直角三角形的面积为《b.

由题意得：中间小正方形的边长为6-。，大正方形的边长为c,

...中间小正方形的面积为(b-a)2,大正方形的面积为02.

:大正方形的面积=4个直角三角形的面积+中间小正方形的面积，

(Z?-〃)2+4X^ab=c2,

b2-lab+c^+lab=c2.

a2+b2=c2；

(2)解：•・,八边形ABCDEFGH的周长为24,

：.AB+AH=6.

设AH=x,则AB=6-x,

由题意得：0B=0H=3,

在RtZXABO中，

・.,OB1+O^=AB1,

(x+3)2+32=(6-x)2.

解得：x=l.

.\AH=1,

：.AO=AH+OH=4,

11

:・SAAOB=20A・05=2X4X3=6.

・・•将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形ABC。打尸GH,

・•・该八边形的面积为4X6=24；

(3)解：由题意得：正方形石打汨的边长为人-〃，

・・Si=S正方形EFGH=(/?一4)2,

19

.,.S2=5I+4X,〃/?=(/?-a)+2ab,

.•.S3=SI+8X^ab=(Z?-〃)2+4ab.

•・・SI+S2+S3=18,

(/?-a)2+Qb-a>2+2ab-^-(b-a)2+4^/?=18,

A32+6«/?=18,

(b-a)2+2次7=6,

・・S2=6.

故答案为：6.

18.【解答】解：(1)-：Va^8+ib-10|=0,

.fa=8

**t/?-10=0，

.Ca=8

F=10；

(2)①(0,8),C(10,0),

；Q=8,OC=10,

:四边形AOC。是长方形，

.,.A£)=OC=10,

设EC=x