解直角三角形及其应用（3类题型）-2025年中考数学二轮复习热点题型专项训练（原卷版）

专题08解直角三角形及其应用

目录

热点题型归纳.............................................................................................1

题型01仰角与俯角问题...................................................................................1

题型02方位角问题........................................................................................6

题型03坡度问题.........................................................................................11

中考练场.................................................................................................15

题型01仰角与俯角问题

01题型综述

解直角三角形及其应用中的仰角与俯角问题是初中数学几何知识在实际生活中应用的重要体现，通过构建直角三角

形模型，利用三角函数知识解决与测量相关的实际问题，在中考数学中分值占比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查如何准确识别仰角与俯角，并将实际问题转化为解直角三角形问题，运用正弦、余弦、正切等

三角函数进行边长和角度的计算。

2.高频题型：高频题型有测量物体高度，如已知观测点与物体的水平距离及仰角，求物体高度；测量两点间距离，通

过测量仰角、俯角及其他已知边长，构建直角三角形求解；以及根据不同观测点的仰角、俯角变化，分析物体位置关

系并计算相关数据。

3.高频考点：考点集中在仰角、俯角概念的理解与应用，直角三角形中三角函数（正弦、余弦、正切）的正确选用与

计算，以及将实际场景抽象为数学模型（直角三角形）的能力考查。

4.能力要求：要求学生具备较强的阅读理解能力，能从实际问题描述中提取关键信息；拥有良好的空间想象能力，构

建准确的直角三角形模型；掌握扎实的三角函数运算能力，准确求解边长和角度。

5.易错点：易错点在于混淆仰角与俯角概念；在构建直角三角形时，对边角关系判断错误，导致三角函数选用不当；

计算过程中，对三角函数值记错或运算失误，影响最终结果的准确性。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.直角三角形有关的性质：

①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高线。

⑤直角三角形的勾股定理。

2.仰角与俯角：

①仰角：向上看的视线与水平线构成的夹角叫做仰角。

②俯角：向下看的视线与水平线构成的夹角叫做俯角。

解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，

要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归

为直角三角形中边角关系问题加以解决。

【典例分析】

例1.（2024.山东日照.中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌.某数学兴趣小组用

无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示:无人机在距水平地面H9m的点/处测得潮汐塔顶端A的俯角为22。,

再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N,测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内）,则潮汐塔AB

的高度为（）

例2.（2024•广东深圳・中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高L8m的测量仪跖测得的仰角为45。，小

军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53。，则电子厂A3的高度为（）（参考数据：sin53。,

34

cos53°®-,tan53°»—）

53

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

例3.（2024.吉林・中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行

高度AB=873m,如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角NE4c=37。，看塔底。的俯角/E4D=45。，求吉塔的高度

（结果精确到0.1m）.（参考数据：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

例4.（2024.吉林・中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行

高度AB=873m,如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角NE4c=37。，看塔底。的俯角=45。，求吉塔的高度CD

（结果精确到0.1m）.（参考数据：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

E

图①图②

例5.（2024・甘肃・中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘

肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，

它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒垂

直于地面，测角仪C。，所在两侧，CD=ET=1.6m,点。与点E相距182m（点C,H,E在同一条直线上），

在。处测得简尖顶点A的仰角为45。，在方处测得筒尖顶点A的仰角为53。.求风电塔筒的高度.（参考数据：

43

sin53°,cos53°«-,tan53°

55

【变式演练】

1.（2025・广东深圳•模拟预测）某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”A3的高度，测量方案如图：先将无人机垂

直上升至距水平地面142m的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为37。，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行210m到达

Q点,测得“福塔”顶端A的俯角为45°，则“福塔”AB的高度约为（）（参考数据：tan37°3sin37°«j3,cos37°«-4）

2.（2025•江西九江•模拟预测）如图1,涔阳楼是江南十大名楼之一，因九江古称涔阳而得名.某校数学兴趣小组在测

量济阳楼的高度A8的过程中，绘制了如图2所示的示意图，斜坡DE的长为5m,/DEC=37。.在点。处测得沼阳楼

顶端A的仰角为45。，又在点E处测得将阳楼顶端A的仰角为56.3。，DC，BE交BE的延长线于点C.（参考数据：

sin37°®0.60.cos37°®0.80,sin56.3°»0.83,cos56.3°a0.55,tan56.3°«1.50）

B

图1图2

（I）求斜坡的高度co.

（2）求济阳楼的高度AB.

3.（2025・重庆•模拟预测）重庆北硝缙云山香炉峰丛林深处，掩映着一座孤清的高塔.从空中看去，如同山林之中的一

位隐土，俯视群山，它在山脊之巅，临风而立，成了缙云山上一道亮丽的风景线一缙云塔.某游客是一名无人机爱好者，

他站在附近的水平地面上，利用无人机进行测量，但无人机无法直接在塔顶测量垂直高度，因此他先控制无人机从脚

底（记为点C）出发向右上方（与地面成45,点4民CD在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中点。处，再调整

飞行方向，沿QA方向继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为6米/秒，/ADC=15.

（1）求缙云塔的高度；

（2）求游客站立处到缙云塔中心的水平距离的长（结果精确到0.1m,参考数据:应al.4L石土1.73）.

4.（2025•河北沧州•一模）某机械化农场的麦田需要飞机播种，如图为一架飞机从飞机场飞往麦地的部分飞行路径的示

意图.飞机在某一高度由东向西以150km/h的速度匀速飞行，在空中的点P处测得一点M处的俯角为40。，向西飞行

12分钟后到达空中的点。处，此时站在麦地点N处的工作人员测得飞机的仰角为58。，又经过4分钟播种机刚好飞到

点N的正上方点K处.

（1）求播种机的飞行路线距地面的竖直高度；

（2）求点N之间的距离.（结果精确到1八”，参考数据：tan40°«0.84,tan58°®1.60）

5.（2025・河南开封•一模）郑州二七纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工事件，发扬“二七”革命

传统而修建的纪念性建筑.某校“综合实践”小组在项目式学习中，现场对二七纪念塔A8的高度进行了测量.如图，小

组成员在。处用高为L5m的测角仪测得塔顶A的仰角是45。，往前走13.3m到达C处测得塔顶A的仰角是52。，测量点

与塔底部B在同一水平线上.（参考数据：sin52®0.79,cos52®0.62.tan52*1.28）

（1）根据上述测量方案和数据，求二七纪念塔的高度（结果精确到0」m）.

⑵该小组上网搜索后发现.二七纪念塔的高约63m,请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

6.（2025・河南信阳•三模）某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万

户.某中学初三数学兴趣小组进行了如下实地测量.如图，三片风叶48,AC,4。两两所成的角为120。.小组成员

在离塔底。水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角NAEO=53。，是风叶AB的视角.已知三片风叶的长

度均为40米.

⑴当点。在49上时，求点C到地面的距离；（结果精确到1米）

434

⑵在风叶旋转的过程中，求视角的最大值.（参考数据：sin53°«-,cos530®-,tan53°«-）

题型02方位角问题

01题型综述

解直角三角形及其应用中的方位角问题是初中数学将几何知识紧密联系实际生活，尤其是航海、航空、野外定向等

场景的重要内容，通过构建直角三角形，运用三角函数知识解决基于方位角的位置与距离计算，在中考数学中分值占

比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查对方位角概念的清晰理解，明确如何依据方位角在实际情境中构建直角三角形，并运用三角函

数准确求解涉及的边长与角度，实现位置关系和距离的量化计算。

2.高频题型：高频题型包括已知某点相对于另一参考点的方位角及其他线段长度，求两点间实际距离；根据不同观测

点对同一物体的方位角，确定物体的准确位置并计算相关距离；在航海、航空等实际场景中，依据方位角变化及航行

数据，计算航行轨迹长度、转向角度等问题。

3.高频考点：考点集中在方位角的准确识别与应用，直角三角形中三角函数（正弦、余弦、正切）与方位角所构建几

何关系的运用，以及将实际方位角场景精准抽象为数学模型（直角三角形）并进行求解的过程。

4.能力要求：要求学生具备较强的空间想象能力，能将文字描述的方位角信息转化为直观的几何图形；拥有良好的阅

读理解能力，从复杂的实际情境中提取关键信息；掌握扎实的三角函数运算能力，准确处理与方位角相关的数值计算。

5.易错点：易错点在于对方位角的方向判断错误，导致构建的直角三角形方位错误；在利用三角函数计算时，混淆直

角三角形各边与方位角的对应关系，错误选择三角函数公式；计算过程中出现粗心错误，如三角函数值记错、运算顺

序出错或单位换算不当。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.方位角：

由方向+角度构成。

在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三

角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。

一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。

【典例分析】

例1.（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路/上由北向南行驶，在A

处测得桥头C在南偏东30。方向上，继续行驶1500米后到达8处，测得桥头C在南偏东60。方向上，桥头。在南偏东45。

方向上，求大桥C。的长度.（结果精确到1米，参考数据：73^1.73）

例2.（2024・四川资阳•中考真题）如图，某海域有两灯塔A,B,其中灯塔8在灯塔A的南偏东30。方向，且A,8相距

应I海里.一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30。方向、灯塔B的正北方向.

3

D

B

⑴求8,C两处的距离；

（2）该渔船从C处沿北偏东65。方向航行一段时间后，突发故障滞留于。处，并发出求救信号.此时，在灯塔8处的渔

政船测得。处在北偏东27。方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至。处救援，求渔政船的航行时间.

（注：点A,B,C,。在同一水平面内；参考数据：tan65°«2.1,tan27°«0.5）

例3.（2024・四川资阳・中考真题）如图，某海域有两灯塔A,B,其中灯塔B在灯塔A的南偏东30。方向，且A,8相距

史祖海里.一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30。方向、灯塔B的正北方向.

3

B

⑴求8,C两处的距离；

（2）该渔船从C处沿北偏东65。方向航行一段时间后，突发故障滞留于。处，并发出求救信号.此时，在灯塔8处的渔

政船测得。处在北偏东27。方向，便立即以18海里/小时的速度沿2。方向航行至。处救援，求渔政船的航行时间.

（注：点A,B,C,。在同一水平面内；参考数据：tan65°«2.1,tan27°«0.5）

例4.（2024・海南.中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最

重要的航标.某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示.

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔尸北偏西60。方向上的A处.

记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45。方向上的8处.

记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C

点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔尸北偏东15。方向.

请你根据以上信息解决下列问题:

⑴填空：ZPAB=°,ZAPC=°,AB=海里；

（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明.

（参考数据：＞72®1.41,A/3®1.73,76®2.45）

【变式演练】

1.（2025•河南焦作•一模）如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东57。方向，距离灯塔50海里的A处，此时船长接到台风

预警信息，台风将在5小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔C的南偏东30。方向上的避风港3处.

B

⑴问避风港3处距离灯塔C有多远.

（2）如果轮船的航速是20海里/时，问轮船能否在5小时内赶到避风港B处.（参考数据：sin57°«0.84,cos57°«0.54,

tan57°®1.54,73®1.73）

2.（2025•浙江杭州•模拟预测）如图，所示，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在8处发出的求救信号，经确定，

遇险抛锚的渔船所在的8处位于C处的南偏西45。方向上，且3c=100海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60。方

向上有一艘海监船A,恰好位于2处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为40海里/

小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（已知行“41，762,45）

北

3.（2025•河北秦皇岛•一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向3,。两港运送物资，最后到达A港正东

方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行10海里后到达8港，再沿北偏东60°万向航行一定距离到达C

港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达。港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.（参考数据:

0^1.41，A/3^1.73,y/6~2.45）

⑴求A,C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；

⑵若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠2、。两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明.

4.（2025•山西朔州•一模）【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1为CiW及路线,

路线为之间的线段；线路2为越野线路，路线为A-C-3之间的折线段.

【数据收集】

数据①：点B在点A的北偏东45。方向上；

数据②：线路2的行走方式为从起点A出发，先向北偏东15。的方向越野行走一段路程到达中转点C,再从中转点C向

正东方向行走2000米即可到达终点B.

【数据应用】

利用以上数据，求A8的长.（结果保留整数，参考数据：V2«1.414,76«2.449）

5.（2025・广东清远•模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之

举，是外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动.某次演习中，中国人民

解放军在A城市周围8、C、。三个区域演习，8在A正南方向，C在A正东方向，。在4东北方向，点8在点C南偏

西60。，点。在点C北偏西30。方向100海里处.（参考数据：立"41,括"73,卡。2.45）

⑴求AD的长.

（2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点2,那么C到A的两条路径C-D-A和C-B-A哪

一条最短？

题型03坡度问题

01题型综述

解直角三角形及其应用中的坡度问题是初中数学将几何知识与实际工程、地形测量等场景深度融合的关键内容，借

助解直角三角形的方法处理与坡度相关的计算，在中考数学中分值占比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查对坡度（坡比）概念的理解，即坡面的垂直高度与水平宽度的比值，以及如何将实际的坡度问

题转化为解直角三角形问题，运用三角函数知识求解相关边长和角度。

2.高频题型：高频题型有已知坡度和坡面的某一长度，求其他边长，如已知坡度和斜坡长度，求垂直高度或水平宽度；

根据给定的地形坡度及相关数据，计算工程施工中的土方量、道路长度等实际问题；通过改变坡度条件，分析对相关

工程参数的影响并进行计算。

3.高频考点：考点集中在坡度概念的准确应用，直角三角形中三角函数（如正弦、余弦、正切）与坡度的关联及运用，

以及将实际的坡度场景抽象为数学模型（直角三角形）并求解的过程。

4.能力要求：要求学生具备较强的实际问题分析能力，从复杂的工程或地形描述中提炼出关键信息；拥有良好的数学

建模能力，准确构建与坡度相关的直角三角形模型；掌握熟练的三角函数运算技能，精准计算相关数值。

5.易错点：易错点在于对坡度概念理解不清，错误计算垂直高度与水平宽度的比值；在构建直角三角形时，混淆各边

与坡度的对应关系，导致三角函数使用错误；计算过程中因粗心大意，出现三角函数值计算错误或单位换算失误。

02解题攻略

【提分秘籍】

坡角，坡度（坡比）:

①坡角：斜坡与水平面形成的夹角叫做坡角。

②坡度（坡比）：坡面的铅垂高度与水平宽度的比值叫做坡度或坡比。简单理解即为坡角的正切值。

在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值,

水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。

应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等。

【典例分析】

例1.2023・湖北・中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABC。，斜面坡

度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度区的比.已知斜坡长度为20米，ZC=18°,求斜坡A3的长.（结果

精确到米）（参考数据：sin18°®0.31,cos18°»0.95,tan18°«0.32）

例2.（2023•江苏泰州•中考真题）如图，堤坝A3长为10m,坡度i为:1:0.75,底端A在地面上，堤坝与对面的山之间

有一深沟，山顶。处立有高20m的铁塔CZ）.小明欲测量山高OE,他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在

坝顶B处测得塔底D的仰角a为26°35'.求堤坝高及山高。E.（sin26°35,«0.45,cos26°35,«0.89,tan26°35,®0.50,

小明身高忽略不计，结果精确到1m）

c

例3.(2024.四川巴中.中考真题)某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡8E的坡度i=l:省,

BE=6m,在5处测得电线塔CD顶部。的仰角为45。，在E处测得电线塔C。顶部。的仰角为60。.

(1)求点8离水平地面的高度AB.

(2)求电线塔CD的高度(结果保留根号).

【变式演练】

1.(2025・湖南娄底•模拟预测)如图，有一建筑物ED在小山3c上，小山的斜坡的坡角为1:石，在建筑物顶部有

一座避雷塔防，在坡底A处测得避雷塔顶端E的仰角为45。，在山顶8处测得建筑物顶端b的仰角为60。，已知

E、F、。在同一条垂直于地面的直线上，BD//AC,AB=1000m,BD=250m.

(1)求小山BC的高度;

⑵求避雷塔斯的高度.（结果精确到0.1m,痣“41，石点.73）

2.（2025•安徽马鞍山,一模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图,

在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=20m,在距山脚点A

水平距离10m的E处，测得古树顶端。的仰角ZAED=48。，（古树CD与山坡A8的剖面、点E在同一平面上，古树CD

与直线AE垂直），求古树C。的高度.（结果保留整数，参考数据：sin48°«0.73,cos48°«0.67,tan48°»1.1.）

3.（2025・湖南•模拟预测）如图，防洪大堤的横截面是梯形，背水坡A3的坡度i=l:g,AB=20米，身高为1.7米的

小明站在大堤A点，测得高压电线杆的顶端。的仰角为30。，已知地面BC宽30米.

（1）求背水坡A3的坡角;

（2）求高压电线杆CD的高度.（结果精确到0.1米.若=1.732）

4.（2025・上海宝山•一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造.原坡面是矩形ABC。

（如图1）,AB=4米，AD=2米，斜坡的坡角为30。.计划将斜坡AB改造成坡比为1:2.5的斜坡AE（如图2所示）,

（1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度;

（2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料?

VZABH=30°,AB=4米,

AH=—AB=2（米），BH=AB=2-\/3（米）,

22

ATJ1

在RtAAE”中，一=——，

EH2.5

，EH=2.5AH=2.5x2=5（米），

BE=EH-BE=（2-2⑹米,

5.（2025•陕西西安・模拟预测）随着农业现代化的进一步推进，新农村的积极建设，农民伯伯可用无人机进行药物喷洒

来消灭虫害.如图，这是一位农民伯伯喷药过程中的实时画面示意图，他在水平地面上点A处测得无人机的位置点。的

仰角为53。.当他迎着坡度为&15的斜坡从点A走到点8时，无人机恰好从点。沿着水平方向飞到点C此时，他在点B

处测得点C的仰角/C3E为45。.已知钻=34米，CD=50米，这位农民伯伯让无人机沿与水平地面平行的方向飞行

以便喷洒均匀.点A,B,C,D,E,B在同一竖直平面内，求此时无人机的位置点C距水平地面AF的高度.（测角仪

4

的高度忽略不计.参考数据：sin53°«0.8,cos53°«0.6,tan53°«j）

03中考练场

一、单选题

1.（2025•海南三亚•模拟预测）如图，建筑物A3和旗杆C。的水平距离3C为9m,在建筑物的顶端A测得旗杆顶部。的

仰角a为45。，旗杆底部C的俯角£为30。，则旗杆C。的高度为（）

A.3-JimB.3y/3mC.（3&+9）mD.（373+9）m

2.（2025•上海闵行•一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台2C的长为1米，用7

米长的地毯从点A到点。正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡A5的坡比是（）

3.（2025・广东深圳•一模）如图，一枚运载火箭从地面£处发射,雷达站R与发射点£水平距离为8km,当火箭到达A

点时，雷达站测得仰角为53。，则这枚火箭此时的高度儿为（)km.

A.8sin53°B.8cos53°D.8tan53°

4.（2025・广东深圳•一模）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图,

4B与地面平行，坐垫C可沿射线8E方向调节.已知ZABE=80。，车轮半径为30cm,当3c=70cm时，小明体验后

觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（）（结果精确到1cm,参考数据：sin80°«0.98,cos80°«0.17,

tan80°x5.67)

图1

A.99cmB.90cm

二、填空题

5.（2025・广东潮州•模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是1:石，河堤的高3c=10米，则坡面A3的长度是

米.（坡比也叫坡度.坡比是1:6指点8向水平面作垂线BC,垂足为C,BC:AC=1：A/3.）

B

6.（2025・广东清远•一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点

A与8之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=80cm,且与闸机侧立面夹角NACP=ZBOQ=32。.当双翼收起时，

可以通过闸机的物体的最大宽度为cm.（参考数据：sin32°®0.53,cos32°«0.85,tan32°®0.62）

7.（2025・福建泉州•一模）如图是一种笔记本电脑支架，它有A到尸共6个档位调节角度.相邻两个档位间的距离为

2cm.将某型号电脑打开置于水平托架上，屏幕侧宽尸M与托架侧宽加都是24cm,。是支点且8=2MD.当支架

调到8档时，BD1OM；调到下档时，托架绕点。旋转至。0',支点。旋转至点6时，D'F=OF,PM'YOA.若

眼睛。的水平视线恰好经过点P.测点。的俯角为45。，则眼睛与屏幕的距离QP为cm.

三、解答题

8.（2025•河南商丘•一模）图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架钻。垂直固定在水平地面上，铁架上面

是一个边缘为圆弧形的塑料面板.已知CD=18cm,CB=2m,优弧CD所在圆的圆心48的距离为2.12m,小龙在

水池对面的点E处用测角仪测得塑料面板点F处的仰角为60。（注:此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形ABC。

在同一平面内，点E,A,B在同一水平线上）.

（1）求优弧所在圆的半径.

（2）求AE的长度（结果保留根号）.

9.（2025•河北邯郸•一模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷,

便于社区居民休憩、如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为16。，且靠墙端离地高为4

米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45。时；

（I）若求郎的长度；

（2）求阴影的长.（参考数据：sin16°«0.28,cosl6°®0.96,tan16°®0.29）

10.（2025・辽宁・模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支

架2C可以伸缩调节，投影探头CD始终垂直于水平桌面MN,与始终在同一平面内.已知投影仪的底座高3厘

米，支架AB=30厘米，探头CD=1。厘米.（参考数据：sin75°«0.97,cos75°«0.26,tan63°«2,sin53°»0.8,V10®3.16）

（I）（2）3

⑴当支架4B与水平线的夹角为75。，与支架的夹角为90。，且3c=AB时，求探头的端点。到桌面MN的距离.（结

果保留一位小数）

（2）为获得更好的投影效果，调节支架AB,如图（3）所示，使得与水平线的夹角为53。，同时调节支架BC,使得

探头端点。与点8在同一水平线上，且从点。看点A的俯角为63。，此时支架8c的长度为多少？（结果保留一位小数）

11.（2025・河南开封•一模）圭表塔是耸立在河南科技馆新馆最高的建筑，某校数学兴趣小组的同学使用卷尺和自制的

1.4m高的测角仪测量圭表塔的高度，示意图如图所示，组员甲在水平地面点E处用测角仪测得圭表塔最高点8处的仰

角为38.5。，组员乙从点M处沿台阶上至第4级，在点。处测得圭表塔最高点B处的仰角为45。，用卷尺测得每级台

阶宽为0.3m,高为Q15m,点、M,E之间的距离为222m.求圭表塔的高度8尸（点M,C,A在同一竖直平面

内，CDLME,AEVME,结果精确到1m.参考数据：sin38.5。=0.62,cos38.5。々0.78,tan38.5°«0.80）.

12.（2025・重庆•模拟预测）如图，某铁塔附近有一建筑物C。，建筑物高30米，一旅游爱好者站在建筑物一楼地面

墙角。处测得塔顶A仰角为45。在楼顶C处测得塔顶A的仰角为30。，点4B,C,。在同一平面内.

（1）求塔的高度A3；（结果保留两位小数）

（2）若一无人机速度为6米/秒，此无人机从楼顶C沿C4方向飞行到塔顶A,再立即沿AD方向飞回。处，此过程一共需

要多少秒？（结果保留整数.参考数据:百元.732,04414）

13.