江西省抚州市2024-2025学年高二年级上册期末考试 数学试卷（含解析）

抚州市2024-2025学年度上学期学生学业质量监测

高二数学试题卷

说明：1.本卷共有4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.

2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分.

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合题

目要求.

1.已知直线4：x+2y=O,‘2®+力+1=0,若4U,则a+2b=()

A.0B.1C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用垂直的关系可得斜率之积为-1,即可得解.

【详解】由直线4：x+2y=O,4：*+勿+1=0，满足/i，，2可得，

-gx1一力=-1,可得4+26=0,

故选：A.

2.圆心为(4,0)且过点(0,-3)的圆的标准方程为()

A.x2+(J-4)2=25B.Y+(y+4『=25

C.(x-4)2+v2=25D.(X+4)2+V2=25

【答案】C

【解析】

【分析】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断(0,-3)是否在圆上即可.

【详解】由V+(y—4)2=25的圆心为(0,4),A错；

由/+(了+4)2=25的圆心为(0,-4),B错；

由(x—4)?+/=25的圆心为(4,0),显然点(0,—3)在圆上，C对；

由(x+4『+y2=25的圆心为(―4,0),D错；

故选：c.

2_

3.设片，乙为椭圆C：土+/=1的两个焦点，点尸在C上，若两•丽=0,则户公卜忙闾=()

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件得到a=2,b=l,c=M，设PR=m,PF2=n,再利用椭圆的定义及条件得到m+n=4

且加2+/=QK)2,即可求出结果.

【详解】因为椭圆C:亍+「=1,所以。=2,6=1,°=百

又因为丽•庵=0,所以可，成，即尸片，尸鸟，

设PF[=ni,PF2=n,则加+“=4①，且加？+/=0百＞②，

由①2—②得到2加〃=4,即加〃=2,所以归7讣归月|=2,

故选：B.

4.如图，三棱锥。一45C中，O4^a＞OB^b＞双=1，且而=|■方，CN=~CB,则疝■=()

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量的运算法则求解即可.

【详解】如图所示:

MN=MO+OC+CN

=-OM+OC+-CB

2

=-jtZ4+OC+1（O5-OC）

=--OA+-OB+-OC

422

3-1r1-

---ClH--bH--C.

422

故选：C.

5.若（2x—1）-=4+%（X—1）+%（X—1）2+%（X—1）3+°4（X—1）4+%（X—1）5，则下列结论中正确的是

（）

A.a0=-lB.%=-80

1-310

5

C.Ia0I+I«1I+I«2I+I«3I+I«4I+I«51=3D.（4+&+%）（4+。3+。5）=―--

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断.

【详解】对于A,取x=l,得/=15=1,A错误；

对于B,[2（x-1）+1『展开式中（x—项的系数为C>24=80,B错误；

对于C,二项式[2（x-1）+1『展开式中各项系数均为正，取x=2,

得|<7Q|+|%|+|%I+I。3I+I。4I+I。51=。0++。2+。3+。4+。5=3，，C正确；

对于D,取X=2,得%+4]+%+。3+。4+。5=3、，取X=0,得/—%+%—。3+。4—。5=-L

,35-135+1310-1

联AL解得/+%+%=2,%+%+%=——，因此3>+。2+%）（%+%+«5）=——，D错误.

故选：C

6.已知过原点的直线/与圆C:（x—37+（了—4）2=49相交于4台两点，则14sl的最小值为（）

A.6B.V39C.4亚D.4V6

【答案】D

【解析】

【分析】判断原点与圆的位置关系，再由最小有直线co,最后应用几何法求弦长即可.

【详解】由（0—3丫+（0—4）2=25<49,即原点在已知圆内部，且圆心。（3,4）,厂=7,

若原点为。，要使|48|最小，只需直线/八CO,而|CO|=,32+使=5,

所以最小朋=2x749-25=4痣.

故选：D

7.在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个

服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（）

A.25种B.150种C.300种D.50种

【答案】B

【解析】

【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想.

【详解】五名同学分三个小组，

「2「201

若按2人，2人，1人来分有5.11=15种,

A?

若按3人，1人，1人来分有C；=10种,

再把这三个小组排列到三个服务站去共有A；=6种，

所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：（15+10）x6=150种,

故选：B.

22

8.如图，己知巧，耳是双曲线C二—二=1的左、右焦点，P,。为双曲线。上两点，满足片尸〃鸟。，且

ao

优@=|月P|=3阳H，则双曲线C的离心率为（）

V15n而

32

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得f=a，进而可得/公尸'。=/公尸耳=90°,结合勾股定理运算

求解.

【详解】延长。耳与双曲线交于点P，

因为斗P〃gP,根据对称性可知阳尸卜\F2P'\,

设区尸[=|4P]=f,则内尸|=|VQ|=3f,

可得|金尸|—闺0|=2/=2a,即f=a,

所以|p0=4/=4a,则依图=|Q工|+2a=5a,阳P[=|gP|=3a,

即尸。「+闺=|。片。可知/片尸坦=/片尸巴=90°,

在△0百心中，由勾股定理得|用+闺p「=|片瓦「

即/+（3°）2=4C2,解得0=：=孚.

故选：D.

【点睛】方法点睛：1.双曲线离心率（离心率范围）的求法

求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系，然后把6

用a,c代换，求e=£的值；

a

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来.

二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.

9.已知空间向量浣=（—1,2,4）,3=（2,—4,x）,则下列选项中正确的是（）

A.当加〃时,x=3B.当机//〃时，x=—8

C.当麻+R=旧时，X=—3D.当％=1时,sin(m,77

7

【答案】BD

【解析】

【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断A、B；应用向量坐标加法及模长的坐标运算列

方程求参数判断C；由向量夹角的坐标表示求余弦值，进而确定正弦值判断D.

【详解】A：m.Ln则—2—8+4x=0,可得x=错；

2-4x

B：mIIn，则———=—,可得X=-8，对；

-124

C：|加+〃卜J1+4+(4+X)2=戈，可得％=—3或％=—5,错;

1

D：x=l,则】=(2,-4,1),故cos(%,〃)—2—8+4~>贝Jsin(掰,〃)=孑*，对.

721x721

故选：BD

10.如图，在直三棱柱NBC—451G中，NB4c=90°,AB=4C=6,M=2,尸,G分别是棱8C,

C.存在点。，满足ADJ.EFD.三棱锥£>-EEG的体积不变

【答案】AD

【解析】

【分析】根据已知易得8MG为平行四边形，有EF11BG,应用线面平行的判定判定A；由直线与面

2所G相交判断B；假设ADLEF,即BDL8G,令"D=xe[0,2]并应用勾股定理列方程求解判断C；

首先证与G//平面E/G,再由棱锥的体积公式判断D.

【详解】由题设，易得8。。田1是边长为2的正方形，豆GFIIB&IIBC,G/=：4G=；8C,

又E是5c的中点，则GE//8E且G尸=5£,故BEbG为平行四边形，

所以跖//BG,£/a面44£3,26匚面44田田，则所//平面4448,A对；

由上分析知，面ENG即为面BEPG,显然直线RD与面BEFG相交，B错；

由EF//BG,若BDLEF,即8DL8G,

令用。=xe[0,2],则5。2=/+4，GZ）2=x2+l-2xcos45°=x2-V2x+b

而5G2=5，则BQ2+BG2=G£>2,即8+岳=0，显然无解，C错；

由G尸〃8G,8]G（z面斯G,G厂u面ERG,则4。"/平面所G,

又。在线段AG上，故。到面EEG距离为定值，且△£/«?的面积为定值,

所以三棱锥。-EEG的体积不变，D对;

故选：AD

11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数

的点的轨迹是卡西尼卵形线.己知两定片（-2,0）,7^（2,0）,动点网叫）,打）满足|尸片|忖闻=4,设p的

轨迹为曲线C,下列说法中正确的有（）

A.P的横坐标最大值是2B.曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形

C.存在点P,使得坨，尸gD.△片尸£面积最大值2

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用轨迹方程的代数关系来证明相关选项，对于A利用纵坐标放缩去求横坐标范围，对于B则利

用-不，-%的代入检验就可作出判断，对于C则利用方程组消元看看是否有解，对于D,则利用定义来求

面积，只需要看是否存在直角.

【详解】由|助卜|年|=4可得：J（X°+2）2+*.J（X。-2『+胃=4,

即[（X；+Jo+4）+4/][卜；+*+4）-4%]=16,

即（%；+需+4）-16XQ=16=>卜；+y；+4）=16+1）=>x；+需+4=4&+1,

则Jo=—x；+4&；+1-4，

对于A,由—x；+4Jx；+1-4N0,得x；+4W4旧+1，

平方展开化简得：解得-2也

即P的横坐标最大值是2后，故A错误；

对于B,由（一玉,,一及））满足（x；+y；+4）2-16x；=16，所以曲线。关于原点对称，

又由（一%,%）），（%,—%）也满足（X：+元+47-16x；=16，所以曲线C关于坐标轴对称，故B正确;

对于C,若存在点尸，使得PFJPB，则有后+为2=4,

又由于贝ijy；=—"+4收+1—4联立,消去苏可得：

4-X：=-x；+4Jx；+1-4=>Jx；+1=2=>片=3,即有解，所以存在点P,故C正确；

对于D,S△々咤=：|「周|P7^sin6=2sin。，△为隼面积最大值2,由选项C可知，

7T

存在，=女的最大值点尸，故D正确.

2

故选：BCD.

三、填空题：共3小题，每题5分，共15分.

22

12.双曲线上+上一=1的离心率为2,求加=.

mm+1

3

【答案】--##-0.75

4

【解析】

【分析】根据双曲线的方程及离心率公式列方程求参数值即可.

【详解】由题设，易知加<0<加+1,则a=Ym+\,b=J一加，所以c=l,

c13

由一二^^^=2,可得加=——.

aVm+14

3

故答案为：-■-

4

13.设〃为正整数，—々J展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为.

【答案】112

【解析】

【详解】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得〃=8则=C；(-2)'产4"令

8-4r=0,r=2则展开式中的常数项为C；(-2『=112

14.在平面凸四边形N8CD中，CB=CD=4i，AB=AD,且/切。=60。，ZBCD=90°,将四边形

n2兀

4BCD沿对角线AD折起，使点/到达点E的位置.若二面角£-AD-C的大小范围是,则三棱

33

锥E-BCD的外接球表面积的取值范围是.

16兀52兀

【答案】~T，~9~

【解析】

【分析】取5。中点Q，连接QE，取△£5。的外心。厂过点&作/，平面8C。，过点已作。。，平

面EBD交/于点0,进而确定球心的位置及二面角C的平面角为NEQC并确定范围，利用几何

关系求球体半径，即可得球体表面积的范围.

【详解】由题意知，△28。和△£5。是等边三角形，

取中点。2,连接0£，取△£8。的外心则Q是△BCD的外心,

过点。2作/，平面BCD,则三棱锥E-BCD的外接球球心在I上

过点。作0,01平面EBD交/于点。，则点。即为三棱锥E-BCD的外接球球心,

由5£>_LQC,知，NE。2c为二面角后一助一。的平面角，则/后。2。©

712兀7171

设/02则0V8Vmax<]?

。。\=。，7T-26

Xoo=1x73x-=—,所以0。2=乌乌=1ce

1233cos，43cos6[33

因为Q。，平面CB。，3£＞u平面C8。，所以。2。，助，

所以三棱锥£—BCD的外接球半径上=Q炉+。戈=1+。0；e

1久co

所以三棱锥E-BCD外接球的表面积S=4兀氏2e—^―,—^―.

,,_.「167r52兀

故答案为sl：—

【点睛】关键点点睛：根据球心的性质确定位置，并求出二面角£-HD-C的平面角/EQ。的范围为关

键.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写

在答题卡上的指定区域内.

2

15.设直线/1:mx+3my-6=0Z2:^4-m^x+my+m-4m=0.

（1）若〃〃2,求/「42之间的距离；

（2）当直线4与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求加的值.

【答案】（1）叵;

10

（2）m-2.

【解析】

【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离；

12

（2）根据已知可得0＜加＜4,再由三角形面积公式有S=-万（掰-2）'+2,即可确定面积最大时加的值.

【小问1详解】

由〃/右，则加2-3加一（4一加）=0,化简得4加2一12加=0，可得加=0或加=3,

当加=0时，不成立，

当加=3时，4:x+3y—2=0,，2：x+3y—3=0,

-2--3V10

此时IJ之间的距离为d=:.

Vl2+3210

【小问2详解】

fm>0

••.直线4与两坐标轴的正半轴围成三角形，八，则0〈加<4,

4-m>0

119

.../2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为5=5加（4-加）=-5（掰-2）~+2,

...当掰=2时，S有最大.

16.已知。为原点，直线x+2y—3=0与圆C：/+了2+x—6y+掰=0交于P、0两点.

（1）若|尸。|=2不，求加的值；

（2）若过。点作圆的两条切线，切点为M、N,求四边形。NCW面积的最大值.

37

【答案】（1）1（2）—

8

【解析】

【分析】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解加的值；

（2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可.

【小问1详解】

由圆x?+J?+x—6.y+加=0可得:

圆心为半径其中加<心

(1、一±+6—3r

而圆心一万,3到直线x+2v-3=0的距离4_2_止

I'V174

所以卢。|=2个户—d?=2『714加一=2々，解得切=1,

即加的值为1.

【小问2详解】

0C\=JQI+32=半由（1）可矢口r二包/2,

由勾股定理可得|（W|=J。。？一/卫-37-4加=标

44

四边形ONCN由两个全等的直角三角形组成。所以

,______,__________,__________37

gor」37-4m/（37-4加）I<37Am+--m37

21122q（4J28

37

当且仅当加二——时成立

8

3737

所以当加二—四边形ONCM有最大面积—.

88

22

17.已知抛物线E：「=2px（）〉0）与双曲线:-5=1的渐近线在第一象限的交点为。，且。点的横坐

标为3.

（1）求抛物线£的方程;

（2）过点（2,1）作一直线交抛物线£于4台两点，求弦48的中点轨迹方程.

【答案】（1）y2=4x；

【解析】

【分析】（1）设点。的坐标为（3,%）,由点在双曲线的渐近线上确定点坐标，再由点在抛物线上求参数，

即可得方程；

（2）设/（石,%），5（%,8），中点M（x,y）,弘+%=2了，结合斜率两点式及点差法得到2广义二=4,

x-2

整理即可得轨迹，注意验证lx轴的情况.

【小问1详解】

设点。的坐标为（3,%）,因为点。在第一象限，所以丸〉0,

双曲线口-/=1的渐近线方程为y=±孚X，

因为点。在双曲线的渐近线上，所以比=26，所以点。的坐标为（3,26）

又点0（3,26）在抛物线歹2=2.上，所以12=2夕x3,所以0=2,

设/($,%),5(x2,y2),中点M(x,力,yt+y2=2y,

7y-1Vi-y

若直线/的斜率存在，9

x-2x；-x2

由%2=4苞，只=4%，则（必一%）（乂+%）=4（再一%2），

所以2y**=4,即2y-3=4,

（X,-x2）x-2

整理得y2_、=2x_4,化简得=2x-^,

直线/的斜率不存在，48lx轴，弦48中点为（2,0）也符合,

综上：轨迹方程为—=2》—

18.如图，在三棱锥尸—Z8C中，AB1AC,APLBP,CALAP,BC=#，M、N分别为PB、

PA中点.

（1）证明：BPLAC-,

（2）证明：平面CW与平面的交线///平面尸28；

（3）若PA=PB,二面角C—MN—/的正切值为2,求ZC的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析（3）1

【解析】

【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直即可得证；

（2）利用线面平行的判定和性质定理来进行推理证明即可；

（3）先把二面角的正切值转化为余弦值，再利用空间向量法来求解二面角的余弦值，从而得到方程求解边

长，也可以利用空间关系来证明线面垂直，并作图证明二面角的平面角，再求解即可.

【小问1详解】

因为ZC_L/8,ACLAP,ABIAP=A,/瓦/Pu平面尸

所以NC,平面尸48,又因为PBu平面尸48,所以「

【小问2详解】

因为N分别是PB,PZ的中点，

所以〃N〃4B,因为48u平面48C，平面48C,

即“N//平面48C,又因为MNu平面MVC,而平面儿加。口平面48。=/,

所以MN〃/,而上W<z平面尸48,平面尸48,

所以///平面04B；

【小问3详解】

解法一：以/为坐标原点，48,ZC所在直线为xj坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系:

由（2）知，/CJ_平面尸48且/Cu平面48C,故平面N8CJ,平面尸45,

平面的法向量吊=（0,1,0）,

设AB=2a,则如=,5-4/,C（0,，5—44,0卜

N?,。,1),则CN=1,一,5—4°2,1J,=(1,0,0)

%•NM=0

设平面CMN法向量”=（x，F，z）,则——

々・CN=0

设二面角C—MN—/的平面角为8,已知tan6=2,所以（：056=好

5

解得：a=l.（设/C=a也同样可以）

解法二：延长MV,过C作CHLMN于〃点，连接/笈，过尸作PGL48于G点

■.■MN//AB,AB1AC:.MNVAC

.•.皿_1_面2。笈，MNVAH,

.,./zj/c为c—MN—/所成的二面角e

Ara

设ZC=a,,・,二面角C—MV—4的正切值为2,则——=2得AH=—

AH2

△PAB中P4=PB，PA1PB.\APAB为等腰直角三角形，

PG=a,AB-2Q

在VZ8C中，Ag2+ZC2=5。2,代入得〃+（2。）2=5,

解得：a—1,.1.AC=1.

19.如图所示，在圆锥内放入两个球a,Q，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这

两个球都与平面a相切，切点分别为公，修，数学家丹德林利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线

为椭圆，记为「，々，鸟为椭圆「的两个焦点.设直线耳脑分别与该圆锥的母线交于48两点，过点A的母

线分别与球。1，。2相切于两点，已知|ZC|=2—若，|2必=2+J8.以直线片用为x轴，在平面a内,

以线段公耳的中垂线为V轴，建立平面直角坐标系.

s

(i)求椭圆r的标准方程;

(2)过点(1,0)作斜率不为0的直线/,直线/与椭圆「交于P,。两点，43分别为椭圆左右顶点，记NP

的斜率为左，时的斜率为加求出3

(3)已知8为椭圆r的右顶点，直线/与椭圆r相交于M,N两苴(M,N两点异于B&),豆BMLBN,

求的面积最大值•

2

【答案】⑴—+J=1；

4

(2)-；

3

⑶竺

25

【解析】

【分析】(1)根据题设有|/月|+|/月|=|/。+|/刈=2°=4、,口―MC=2G=2c求椭圆参数，即可

得椭圆方程;

3

(2)设Q(x2,y2),/的方程为x=(y+l,联立椭圆及韦达定理可得%%=](%+%)，再

k.Ji(ty-1)

由斜率的两点式有广=一:/2;整理化简即可得结果;

k2%依+3)

(3)设直线/为x=@+加(加丰2),联立椭圆方程应用韦达定理及向量垂直的坐标表示可得关于参数后，加

的方程，即可求参数加=：,进而确定直线/过定点，最后三角形面积公式得关于左的表达式，即可求最大

值.

【小问1详解】

22

设椭圆「的标准方程为二+4=1(。〉0,6〉0)，