集合-2023年高考数学一轮复习（解析版）

第1节集合

（本卷满分150分，考试时间120分钟。）

一、单选题

1.已知集合A={尤-425})

A.(-oo,-5]B.[-5,-1)C.[―5,—1]D[5,7)D.[-5,-1]

【答案】D

【解析】•.•％2<25,・・・—5WxW5,・,•集合人={%卜5«%<5}.

(x+l)(x-7)>0,

0,则解得%＞7或冗W,

x-7w0,

集合8={x|尤>7则4-1},Ac3=[—故选：D.

已知集合{尤卜尤+。},贝

2.4=2-32<B={x|log2x<1},I]()

A.A(}B=0B.AUB=RC.A^\B=BD.AnB=A

【答案】D

【解析】A={x|l<%<2},B={x|0<x<2},则4口8=4,=B.故选：D.

3.设集合U={0,l,2,3,4},A={Hx(x-3)=0},3=H24xW4"eN*},贝1]@力「3=()

A.{2,4}B.{2,3,4}C.{2}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【解析】Mx-3)=0n玉=0,%=3,则4={0,3}@4={1,2,4},又8={2,3,4},所以

(令4)。3={2,4}.故选：A.

4.已知集合4={小2-2彳>0},』={市>@,若AUB=R，则实数。的取值范围是

A.（-oo,0）B.（-ao,0]

C.（2,+oo）D.[2,+oo）

【答案】A

【解析】4={小2—2尤＞0}=（f0）"2,+8）若AUB=R，则。＜0故选：A.

5.设全集U=R,集合M={0,1,2,3,4,5},N={x|y=«^},则下面论加图中阴影部分

表示的集合是（）

C.{0,1}D.{0,1,2)

【答案】C

【解析】集合M={。』,2,3,4,5},N=卜,=必1}={小22},所以6^={#＜2}.

图中阴影部分表示的集合为Mn&N)={0,1}.故选：C

6.已知N*表示正整数集合，若集合A={(尤,y)|Y+y2421,xeN*,yeN*},则A中元素的

个数为()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【解析】由题设A={(x,y)|0VVN*,yeN*},又万'e(4,5),

由"+42=痕＞万,贝1|(4,4)e4,

由"2+32=后＞@，贝U(4,3),(3,4)至A，

由J42+22=而＜阴，贝i](4,2),(2,4)eA,

同理，(4,1),(1,4),(3,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,3),(2,2),(2,1),(2,1),(1,1)均属于集合A,

所以第一象限中有13个点属于集合A故选：D

7.设集合4={-2,—1,0,1,2,3},3=3(彳+1乂彳—2)＜0},则AC3=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2)

【答案】A

【解析】由(X+D(X—2)<0,解得-1<X<2,即集合1=(-1,2)所以A〈B={0,1}故选:

A

8.已知集合A=+则A中元素的个数为()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由椭圆的性质得-2WXW2,-应又无eZ,ywZ,所以集合

A={(_2,0),(2,0),(7,0),(1,0),(0,1),(0,T),(0,0),(-M),(TT),(LI),(LT)}共有11个元素.

故选：C

二、多选题

9.集合M在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为|M|.若集合

A=｛（x，y）|9V—+y2<25）,3=｛（尤,知>=%+根｝,C=｛（尤,丁）H=履+2-左｝则下列说法中

正确的有（）

A.若AC3K0,则实数机的取值范围为｛4-504相<50｝

B.存在上eR,使ACCH0

C.无论％取何值，都有ACCH0

D.|an。的最大值为4A后-4

【答案】ACD

【解析】对于A,因为AcB/0,所以¥/5,解得-5后故A正确.

对于B和C,直线、=区+2-左过定点（1,2）,因为F+22<9,故C正确，B错误.

对于D,设原点到直线、=区+2-左的距离为"，则|40。|=2（」25"_'9_司=2*

也5-/\_屋，所以Mnq的最大值，即d的最大值，于是|anc|的最大值为

46-4,故D正确.故选：ACD

10.若非空集合G和G上的二元运算“㊉”满足：①Va,6wG,a㊉beG；②ReG,对

VfleG,a®I=I®a=az（§）3ZeG,使VaeG,3b&G,有。㊉6=/=b㊉a；④

V“力,ceG,（a㊉Q㊉c=a㊉（6㊉c）,则称（G,㊉）构成一个群.下列选项对应的（G,㊉）构成

一个群的是（）

A.集合G为自然数集，“㊉”为整数的加法运算

B.集合G为正有理数集，“㊉”为有理数的乘法运算

C.集合G=｛-1,1,7,•为虚数单位），“㊉”为复数的乘法运算

D.集合G=｛0,1,2,3,4,5,6｝,“㊉”为求两整数之和被7除的余数

【答案】BCD

【解析】A.G=N时，不满足③，若，=0,则由1+6=0得6=-1eG,若IeN*jN,则

在G中设a>/,由a+6=/得6=/-a<0wG,所以（N,+）不能构成群；

B.G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然leG,对任意

a&G,。㊉l=a=l㊉a,③对任意正有理数。，!也是正有理数，且。㊉1=1=！㊉。，即

aaa

1=1,④有理数的乘数满足结合律，B中可构造群；

C.G=｛-l,l,T,i｝（i为虚数单位），①可验证G中任意两数（可相等）的乘积仍然属于G；

②/=1,满足任意aeG,有a㊉1=1㊉a；③/=1,满足任意aeG,存在人eG,有

a㊉6=b㊉a=l,实质上有-lx（T）=lxl=»（T）=l；④复数的乘法运算满足结合律，C

中可构造群；

D.G={0,1,2,3,4,5,6},①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于G,②

1=0,满足对任意aeG,a㊉I=I㊉a,（3）/-1,1=0,0+0=0,1+6=2+5=3+4=7

除以7余数为0；④加法满足交换律，又。+人除以7的余数等于。除以7的余数加6除以7

的余数的和再除以7所得余数，因此Va,6,ceG,m㊉6）㊉c=a㊉（6㊉c）,D中可构造群;

故选：BCD.

11.已知集合R'={&,%，…,=定义R"上两点A（4，%，…,4），

3色也,…，勿），且d（A，B）=£g-4|，则下列说法正确的是（）

i=l

A.若4（1,2,-1）,*4,6,2）,则d（AB）=10

B.当〃=2时，设C为此上一点，在AABC中，若C=90。，则

［J（A,C）］2+［J（C,B）］2=［d（A,B）］2

C.当〃=3时，设C为上上一点,则d（AC）+d（B,C）>d（A3）

D.若4（0,0,0）,8（4,4,4）,设尸（x,%2）为上上一点,其中元,y,zeZ,则满足

d（AP）+d（3,P）=d（A3）的点尸有125个

【答案】ACD

【解析】对于A，若4（1,2,-1）,8（4,6,2）,则d（A3）=|l-4|+|2-6|+卜1一2|=1。，所以

选项A正确；

对于2,在△42C中，若C=90。，贝+|BC「=|AB『，

设A（网,％）,3（々,为），C（W，%），

则（玉-七）2+（%-%）2+（%2一W）2+（%一％）2=（玉一々）2+（%一,

而［d（AB）了=（|西一电|+1%-？I）?=（5一无2丫+（%-％t+2|（不一々）（X-%）卜

［d（AC）］+\_d（C,B）］=（%-尤3）+（%_%）+（x2~x3）+（%_%）+2|（占一%）•（%—>3）］

+2%-。（%-%）|，但2|&_&）•（%_%）|+2厄_£）♦（%_%）|=2|（%一苍）（/_%）|不

一定成立，故选项8错误；

对于C,设A（尤3（9,%/），“存％/3），根据绝对值不等式的性质有

|%-£|+|苍一W|9％一司，|乂-%|+昆一%|2|%72|，%—马|+七一23闫4-&1，

所以〃（AC）+"（昆C）2d（AB）,故选项C正确；

对于。，d（AB）=12,国+卜―4|“①，|y[+|y_4|"②，目+|z—4隹4③,

所以d（A,P）+d（民尸）212,当且仅当①②③中的等号同时成立时，d（AP）+d（3,P）=12,

又d（AP）+d（3,尸）=d（A3）.

所以0W4,0<y<4,0<z<4,又x,y,zeZ,所以x,y,z均为集合{。,1,2,3,4}中的

元素，5x5x5=125,故选项。正确.故答案为：ACD

12.两个集合A和B之间若存在一一对应关系，则称A和3等势，记为A:3.例如：若

A为正整数集，3为正偶数集，则A:B,因为可构造一一映射〃x）=2x.下列说法中正

XGA

确的是（）

A.两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同

B.对三个无限集合A、B、C,若A:B,B-C,则A〜C

C.正整数集与正实数集等势

D.在空间直角坐标系中，若A表示球面：f+y2+z2=2z上所有点的集合，3表示平面

xOy上所有点的集合，则A:B

【答案】ABD

【解析】对于A选项，设有限集合A={q,%,…,4},3={。,a,…4},

充分性：若A:B,则两个集合A和8之间若存在一一对应关系，

则对任意的4«=1,2,…㈤eA,存在〃eB,使得由与白对应，故m=",充分性成立.

必要性：若7〃=〃，即集合A、3的元素个数相等，

可构造映射了,使得“=/（4）（，=1,2,…,〃），故A：B,必要性成立，A对；

对于B选项，对三个无限集合A、B、C,

若A:B,对任意的aeA,存在唯一的使得。与6对应，

又因为B〜C,则存在唯一的ceC,使得6与c对应，

故对任意的aeA,存在唯一的ceC,使得。与c对应，故A〜C,B对；

对于C选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：

假设正整数集N*与正实数集R+等势，则存在N*与R+的一个---对应。，将与N*中”对应

的元素。（〃）记为匚，

则R+中的元素可以排成一列：小2、L、/、L,显然R+中至少有一个单位长度的区

间不包含乙，

「4-1「5-

不妨设此区间为/I=[1,2],将[1,2]三等分，贝I]、-,2中至少有一个区间不含马，以

表示此区间,

将人三等分，其左、右两个区间至少有一个不含4,记为A，

依此类推，可得一列闭区间/“满足：

（i）A=>z2=）z3且/“的长度趋于0；

（ii）-n更In，M=l、2、3、L.

所以，但对任意的meN*,却隹介/“，换言之，介/“不在R+中，这是不可能

n=\〃=1n=l

的，

这一矛盾说明，N*与肥不等势，C错；

对于D选项，如下图所示：

球面方程为/+y2+（z-l）2=l,球面与z轴的正半轴交于点£（0,0,2）,

对于球面上任意一点尸（不与点E重合），设直线所交平面xOv于点C,

则球面上的点F（不与点E重合）与平面xOv内的点C能建立---对应关系，

假定在平面xOy上有一理想的点称之为无穷远点，它与点E对应，这样A:3,D对.

故选：ABD.

三、填空题

13.设集合A=<yy=,xeR,,集合B=<yy=20、，则Af|3=

【答案】{小>0}##（0,+。）

【解析】因为集合4=<yy=,xeR>={小>0},B=<yy=x2,x>0>={y|y>0},

所以Ac3={y|y>0}c{y|yN0}={y|y>。},故答案为：{中>。}.

14.2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列

短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》

《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21

人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青

春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只

观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观

看任何一支短视频的人数为.

【答案】3

【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U,观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国

大典》三支短视频的人形成的集合分别记为4B,C,依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有

21-4-6-3=8(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有

23-4-7-3=9(A),

因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有26-6-7-3=10(人)，

因此，至少看了一支短视频的有3+4+6+7+8+9+10=47(人)，所以没有观看任何一支短

视频的人数为50-47=3.故答案为：3

[r3re>4

15.已知非空集合A,8满足：AU8=R,AnB=0,函数〃x)=；;;对于下列

[3x-2,xGB

结论：

①不存在非空集合对(A3),使得“X)为偶函数；

②存在唯一非空集合对(A3),使得/•(》)为奇函数；

③存在无穷多非空集合对(A,B),使得方程/(X)=0无解.

其中正确结论的序号为.

【答案】①③

【解析】①若xeA，-xeA,则/(x)=Y,/(-x)=-x3,f(x)*/(-%)

若xeB,-xeB,贝l]/(x)=3x-2,f(-x)=-3x-2,f(x)*f(-x)

若xeA,-xeB,贝lj/(x)=x3,f(-x)=-3x-2,f(x)f(-x)

若xeB,-xeA,则/(x)=3x-2,/(-x)=-x3,/(x)w/(-x)

综上不存在非空集合对(A3),使得/(x)为偶函数

②若炉=3犬一2,则x=l或尤=-2,当8={1},A=03时，/(l)=3xl-2满足当彳=1时

无3=1,所以/⑺可统一为/(x)=x3,此时F(-X)=T3=_/(X)为奇函数

当3={-2},A=时，"-2)=3x(-2)-2=-8满足当x=_2时无3=_8,所以〃尤)可统一

为/(无)=尤,此时f(-X)=-X3=-f(%)为奇函数

所以存在非空集合对(A3),使得“X)为奇函数，且不唯一

22

③x3=0解的x=0,3x-2=0解的x=§,当非空集合对(A3)满足0@A且:KB,则方

程无解，又因为AU8=R,AHB=0,所以存在无穷多非空集合对(AB),使得方程

/(x)=0无解故答案为：①③

16.已知集合河=口621装21},集合4,4,4满足①每个集合都恰有7个元素；②

A/UA21M3=林集合4・中元素的最大值与最小值之和称为集合4•的特征数，记为Xi(i

=1.2,3),则X/+X2+X3的最大值与最小值的和为—.

【答案】132

【解析】集合M={xe2L21},由集合4,4,4满足①每个集合都恰有7个元素；

②4UA2UA3=M可知最小的三个数为1,2,3；21必是一个集合的最大元素，含有21集

合中的元素，有21,20,19,…，16和1,2,3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1,

这时X/最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15,14,

13,…，10和2,3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2,这时X2最小值为17；

9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9,8,7,4和3组成，这样特

征数最小，这时X3最小值为10；则X/+X2+X3的最小值为22+17+12=51.

同理可知最大的三个数为21,20,19；

含有21集合中的元素，有21,18,17,16,16,15,13；这样特征数最大，为34；

含有20的集合中元素为20,12,11,10,9,8,7,这样特征数最大，为27；

含有19的集合中元素为19,6,5,4,3,2,1,特征数最大，且为20；

则X1+X2+X3的最大值为34+27+20=81；

所以X/+X2+X3的最大值与最小值的和为51+81=132.

故答案为：132.

四、解答题

17.设全集U=R,集合4={工2*2-9尤+440},B={x|2-a(尤<“}.

⑴当a=2时，求C'AuB)；

(2)若=求实数〃的取值范围.

【解析】(1)当〃=2时，8={x|0v%<2},

A=^x\2x2-9x+4<0j=1x|(x-4j(2x-l)<Oj=

所以AU5=(O,4］又全集U=R所以6(4^)=(—),0①(4,也)

(2)由(1)知，A=5={x|2—〃

2-a<a

由Ang=A可得：Acs,则2-“<g,解得：。>4所以实数。的取值范围为：

Q>4

.£(4,+00)

18.已知集合人二卜/-x-12<oj,B=|x|x2-2x+l-m2<0,m>0^.

⑴若机=2,求Ap|&B)；

(2)尤£A是％$5的条件，若实数加的值存在，求出加的取值范围；若不存在,

说明理由.(请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处)注:

如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】⑴由不等式炉―%—12=(%—4)(%+3)<。，解得-3H,可得

A={X—3«%«4}当机=2时，不等式d—2%—3=(%—3)(x+l)K0,解得一即

B={x\-l<x<3},可得55={小<_1或x>3},所以Ac&5)={H—34%v—l或

3<x<4).

(2)由不等式尤2-2x+l-4=(x-m-l)(x+m-l)<0(m>0),解得1一根+机，

所以5={R1—+根>0}.

若选择条件①，则集合A是3的真子集，得加+124,解得机N4.

m>0

当机=4时，B=|x|-3<x<5},AB,合乎题意；

1-m>-3

若选择条件②，则集合3是A的真子集，得根+1W4,解得。〈机W3.

m>0

当〃7=3时，B={x|-2<x<4},则8A,合乎题意;

1-m=-3

若选择条件③，则集合A=3,得，加+1=4无解，所以不存在满足条件③的实数加.

m>0

19.设，=[q，4],/?=&也]，…，/“=&,〃]，=&+”%]，是〃+l(〃eN*)个互不

相同的闭区间，若存在实数%使得/e/,1=1,2…+1),则称这〃+1个闭区间为聚合区

间，％为该聚合区间的聚合点.

⑴已知/]=[1,3],12=[—2,sinr](0<r<i)为聚合区间，求r的值；

⑵己知/1=[4闵，”[%也]心=&+的+』为聚合区间.

(i)设%,先是该聚合区间的两个不同的聚合点.求证：存在hje{l,2….,”+1},使

得[4也]£L(Z=1,2,...,M+1)；

(ii)若对任意p,qCP^Q5.p,qe{L2,…,〃+1}),都有乙，乙互不包含.求证：存在

不同的。六{1,2,.-，〃+1},使得々一4/3色一”,).

【解析】⑴由0<f<万可得Ovsindl,又小人为聚合区间，由定义可得/1小2*0，

■JT

故当且仅当sinf=l时成"，故

(2)(i)由%,%是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设与<先，因为

毛，[=12…,〃+1),故W%,又%e/,«=12…,〃+1),故为4仇也…2+1，

不妨设％,出…%+i中的最大值为%,仿也…2+1中最小值为勺，贝I

%,%...a“+jW%V毛<%V勺Vbl,b2..Jjn+l,即ax,a2...G,I+1V%%W4,用…2+i,故存在区间

[外,与][Z,(i=1,2,…,〃+1)

(ii)若存在a,=at(s*t),则(u/,或。Is,与已知条件矛盾

不妨设O1<«2<•,4+1，则4<4+1(左=12,…〃)

否则，若々24+1，则4+114,与已知条件矛盾

5X/=min{a2-q,%-a2...an+1-an,b2-bx,b3-b2..bn+1设me{1,2,…，〃+l}

当*-4=/时，bm-bx=(bm-bm_^+...[b2-&j)>(w-l)Z,

%+i_4"=(4+1.4)+…(4,+i—a,”)2(〃一机+1)/

又4>%+i，所以4+i<。,所以々"一4之色"一4)+(%+1-4“)24，

aa

即n,+i~,n-~一0'所以b,"_«,„+!=b,"-am-(am+1-am)>(bm-a,„),

nn

H-]

此时取i=m，/=机+1,则々-a,>----色-a),

n—1

当%「耙=/时，同理可取，=m+1,/=〃7,使得的一生N---色一a),

n

综上，存在不同的i,Je{l,2,…，〃+1},使得目—为2---(Z?—(7；)

20.已知集合人={囱£=(占，无2,尤3，%)，不wN,i=l,2,3,4}.对集合A中的任意元素

a=(xl,x2,x3,x4),定义7(00=(忖-々|，卜2-七|，上3-％4|，|尤4一百|)，当正整数时，定义

T"3)=T(T”4(a))(约定〃(a)=T(a)).

⑴若a=(2,0,2,1),，=(2,0,2,2),求74(⑶和〃(尸)；

⑵若a=(百,%，玉,5)满足斗€{0,1}口=1,2,3,4)且72。)=(1,1,1,1),求口的所有可能结果；

(3)是否存在正整数n使得对任意a=(工,工2，工3，匕)£A(网之々之匕之W)都有

T"(a)=(0,0,0,0)?若存在，求出"的所有取值；若不存在，说明理由.

【解析】⑴由题意T(a)=(2,2,l,l),r2(a)=(0,l,0,l),r3(a)=(1,1,1,1),T4(a)=(0,0,0,0),

T(尸)=(2,2,0,0),72(£)=(0,2,0,2),〃(£)=Q,2,2,2),T4(^)=(0,0,0,0).

⑵由T2(a)=(1,1』,1)且x,e{0,1}(i=1,2,3,4),

x

IIi-x2\-\x2-x3\\=l

IIx2—X3I-IW-X4H=1①

||^-x4|-|x4-^11=1

\\x4-x1\-\x1-x211=1

当玉=0或1时，\\x4-xl\-\xl-x211=1A-2-.r41=1,

=1

同理，尤2=。或1时，II.^1-^21-I-^3Hl-^31=>

W=0或1时，II工2-尤31Tx3-巧||=|9-匕1=1,

匕=0或1时，||芍一％4|-|通-%11=1占-尤31=1，

fIX—Xn1=1

所以①等价于(：「则玉力三，X2^X4>

\\x2-x41=1

当%=0,x2=0,则a为(0,0,1,1)满足；

当玉=0,x2=l,则a为(0,1,1,0)满足，

当西=1,尾=0,则a为(1,0,0,1)满足,

当国=1,x2=l,则a为(1,1,0,0)满足，

综上,a的所有可能结果(L0,0』)、(0,LL0)、(1』,0,0)、(0,0,1,1).

(3)存在正整数n使厂⑷=(0,0,0,0)且N*|6},理由如下：

由a=(%,％,工3，*4)eA(X]>x2>x4>%3),贝ljT(a)=(尤]一尤2，/一尤3，匕一马，玉-x4),

所以T?(a)=(|占+退-2马I,马一%|占+退-2七I,尤2-Z)，

若〃=|石+—2/I,b=|石+巧一2%41,

所以T“a)=(|x2-x^-a\,\x2-xi-b\,\x2-xi-b\,\x2-x4-a\),

5

^c=\\x2—x4—a\—\x2—x4—b\\,则T“(a)=(c,O,c,O)，T(a)=(c,c,£,c),

T6(a)=(0,0,0,0),所以，对口=(%,程若4(%之电2%上马)都有产(a)w(°，°，°，°)，

当〃27时，T"(a)=(O,O,O,O)恒成立,

综上，"所有取值为｛〃eN*|〃±6｝使:T(a)=(0,0,0,0)成立.

21.已知数集人二包,%%…，4｝(1=«1<4<…<a"，心2)具有性质P：对任意的

k(2<k<n),3i,j(l<i<j<n),使得4=a,+勺成立.

⑴分别判断数集口，3,5｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质尸，并说明理由；

⑵已知S"=%+a2H----Fa.(〃eN*),求证：2an—1<Sn；

⑶若4=36,求数集A中所有元素的和的最小值.

【解析】⑴丫371+1,.•.｛1,3,5｝不具有性质P；

V2=lx2,3=1+2,6=3+3,二｛1,2,3,6｝具有性质尸；

⑵：集合A=何,…,a“｝具有性质P：

即对任意的以2V左V<i<j<n),使得a,=a,+%成立，

又<1=%<a2<...<an,n>2,

a2

・•・at<ak_x，。户a”i，・'・k=《+勺«^-i,

aa

即n—2。〃一1，。〃_1—2ali_2,n-2W_3,••♦,^^34,^^242^^],

a+aa

将上述不等式相加得q+…+n-\nK2(4+/+…+n-[)，

an<2ax+a2+...+an_x,由于q=1,

a“一1W%+出+…+a”-，2d"—1Vq+%+、…+a„-i+an=S”；

(3)最小值为75.首先注意到％=1,根据性质P,得到的=2%=2,

...易知数集A的元素都是整数.

构造A=｛1,2,3,6,9,18,36｝或者A=｛1,2,4,5,9,18,36｝,

这两个集合具有性质P，此时元素和为75.

下面，证明75是最小的和：

假设数集4=｛。1，4,…<。2<…<%，心2),满足S=£%475(存在性显然，：满足

1=1

S=J«,.<75的数集A只有有限个).

1=1

第一步：首先说明集合4=｛。］,42--，。“｝（。1<g《-<4,，“22）中至少有7个元素:

由(2)可矢口〃242%,%，2%，...

又4=1,/.a2<2,a3<4,a4<8,tz5<16,a6<32<36；

zz>7；

第二步：证明4T=18,%_2=9；

若18eA,设弓=18,Va„=36=18+18,为了使得S=最小，在集合A中一定不含

1=1

有元素做，使得18<36,从而a“_i=18；

假设180A,根据性质P,对%=36,有如勺，使得a“=36=q+%,

显然。产勺，=36+36=72,

而此时集合A中至少还有4个不同于%的元素，

从而S>（q“+q+%）+4%=76,矛盾,

18sA,进而。,=18,且a“_i=18；

同理可证：。"一2=9；

（同理可以证明：若9eA,则。“_2=9）.

假设9eA.

•>-a„_1=18,根据性质P,有。,吗，使得凡―=18=%+%,

显然。户勺，an+a„.1+a;+a,=72,

而此时集合A中至少还有3个不同于4,an-l，火，%的元素，

从而S>+a“_]+q+%+3%=75,矛盾，

9GA,月.a„-2=9；

至此