集合、常用逻辑用语、复数-2025年高考数学复习热点题型专项训练（新高考）

热点题型•选填题攻略

专题01集合、常用逻辑用语、复数

o------------题型归纳•定方向------------*>

目录

题型01元素与集合的关系辨析应用...............................................................1

题型02根据集合的包含关系求参数..............................................................3

题型03集合交并补混合运算及参数问题..........................................................5

题型04集合中的新定义问题.....................................................................8

题型05充要条件及其求参数问题................................................................12

题型06全称量词和存在量词命题及其求参数问题.................................................14

题型07复数综合运算..........................................................................17

-----------题型探析,明规律-----------♦>

题型01元素与集合的关系辨析应用

【解题规律•提分快招】

写集吾香叉及箕袤示有关的荷顾的储窥拉百

(1)明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.

(2)理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.

(3)注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.

(4)理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.

*丽加练J

一、单选题

2

1.(2024•广东河源•模拟预测)己知集合/={M尤>。},5={x|x-aX-3>Q],若1"且le/，则。的

取值范围是()

A.[-2,1)B.(-2,1)C.[-2,+co)D.(-℃,1)

【答案】A

【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.

【详解】因为15且所以，「二。，解得-24a<1.

故选：A.

2.(2024•四川内江•三模)若集合尸={引-2Wx(加-/,xeZ}有6个非空真子集，则实数的取值范围为

()

A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出集合尸中元素，再列出不等式求解即得.

【详解】由集合P={x|-24x<机-机2,xeZ}有6个非空真子集，得集合P中有3个元素，为-2,-1,0,

因此0<冽一加解得0<加<1,

所以实数机的取值范围为(0,1).

故选：A

3.(2024高三・全国•专题练习)已知集合/={xeN[l<x<k)g2笈},若集合中至少有2个元素，贝U()

A.^>16B.左>16C.k>SD.左>8

【答案】D

【分析】由题意可得log?左>3,从而可求出左的取值范围.

【详解】因为集合N={xeN[l<x<log/}中至少有2个元素，

所以log?左>3,解得后>8,

故选：D.

4.(24-25高三上・北京通州•期中)设集合/={(》/),-〉21,/^+>>3,工-即42},贝！|()

A.对任意实数a,(2,1)e4B.对任意实数a,(2,1)0/

C.当且仅当。>1时，(2,1)D.当且仅当。<。时，(2,1)任/

【答案】C

【分析】利用。的取值，反例判断是否成立即可.

[详解]对A,若a=—2,贝!!/={(%,力限_721,4%+了>3,无+2了42},

将(2,1)代入不全部满足，此时可知(2,1)任/,故A错误；

对B,当a=2时，贝!|/={(%,力,_721,4%+>>>3,%_2,<2},

将(2』)代入全部满足，此时可知Q,l)e/,故B错误；

-2-a<2

对C,若(2,l)e4,，2/+1>3,解之可得a>l,所以C正确；

2-1>1

对D,当"=；，则N=1(x,y)|尤-y21,：+y>3,x-、421,将(2,1)代入不全满足，

所以(2,1)任故D错误.

故选：c

二、填空题

5.（24-25高三上•广东湛江•阶段练习）已知集合/={（弘力］/=工-2},8={（"）］》44，若集合NcB中

有且只有一个元素，则“=

【答案】2

【分析】根据两个集合的描述，结合抛物线的性质判断参数取值对应点集情况，即可得答案.

【详解】当a>2时，NcB表示抛物线的一部分；

当。<2时，AcB为空集,

因此当且仅当a=2时，集合/c3表示一个点（2,0）,有且只有一个元素.

故答案为：2

题型02根据集合的包含关系求参数

【解题规律•提分快招】

根搪两窠杳蕨系亲•薮皈若装

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做

到不漏解.

①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互

异性.

②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点

值能否取到

1:典砒诃臻i

一、单选题

1.（24-25高三上・江苏•阶段练习）己知集合/={T,0,2},B={x\l-mx>0},若则加的取值范围

是（）

A.(-1,+<»)B.

【答案】C

【分析】由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可.

[1+m>01

【详解】由题意，因为贝喋，

故选：C.

2.（2024•湖北一模）已知集合/={-1,0,1,2},8=卜|卜-加区2},^A\JB=B,则加的取值范围是（）

A.（0,1）B.（-1,1）C.[0,1]D.[-1,1]

【答案】C

【分析】由/U8=8,得到/U再由集合之间的包含关系列不等式组求解即可；

【详解】由卜一加|W2解得机-24x4机+2,

因为4U8=3,所以NuB,

所以解得0«屋1,即加的取值范围是[。』，

[m+2>2

故选：C.

3.（24-25高三上・江苏•阶段练习）已知集合川=卜，-2工-3<0},'=付/_々<0},若集合MCN=N,

则实数。的取值范围是（）

A.（一叫1]B.（一/⑼C.[1,9]D.[1,3]

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式化简即可根据NuM,对集合N讨论求解.

【详解】由“=仲——2x-3<o}=|x|-1<x<31,

McN=N,则Nc",

故若QVO,则不等式无解，此时N=0,符合题意，

当a>0时，N=|x|x2-a<oj=<x<4a^,

结合NjM,贝!）TW-后<x<&W3,解得0<aWl,

综上可得

故选：A

二、填空题

4.（2024・上海长宁•一模）已知a:2，+log2x42,6:x<加，若a是力的充分条件，则实数〃？的取值范围

是.

【答案】（1,+8）

【分析】通过构造函数/3）=2，+1082苍》€（0,+8）,利用“X）的单调性解不等式，再由题意将a是刀的充

分条件转化为包含关系，进而求得参数加范围.

【详解】设〃x）=2x+log2X,xe（0,+s）,

则〃X)在(0,+8)单调递增,又"1)=2,

所以2*+1吗出2,即/(X)"⑴，故0<x+l.

贝!Ja:0<x41.

由题意0<xWl是x<w的充分条件，则(0/仁(-8,加),

所以有机>1,故实数m的取值范围是(1,+8).

故答案为：(L+⑹.

5.(2024高三・全国・专题练习)设/(x)=占，g(x)=ax+3-3a(a>0),若对于任意王e[0,2],总存在

xoe[O,2],使得g(x°)=/a)成立，则a的取值范围是.

【答案】[1,2]

【分析】把恒成立及存在问题转化值域的包含关系，再根据"UN列不等式求参.

x-1

【详解】当x°e[0,2],函数〃1J'(x)=ee*1-x

r2-xe[0,l)/(x)>0J(x)单调递增,

e"T

xe(1,2]/(X)<0J(x)单调递减，可得函数/(X)而=/■⑴=1J(x)^=/(0)=0,f(x)的值域为Me[0,1].

当毛40,2],a>0,函数g(x)=ax+3-3a在其定义域内是增函数，函数g(x)的值域Ne[3-3a,3-〃],

3-3a<0,

:・M三N,・•・3-^1,得I""?.

故答案为：[1,2].

题型03集合交并补混合运算及参数问题

【解题规律•提分快招】

莉再集百皈运翼派至薮的方法

(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.

(2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.

[注意]在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).

彳丽诃综i

一、单选题

1.(24-25高三上•四川绵阳•阶段练习)已知集合/={邓唱》<2},B={y\y=^c],贝匹1/卜8=()

A.(0,9)B.[9,+oo)C.{0}U[9,+8)D.[0,9)

【答案】C

【分析】化简集合48,再结合集合交集、补集运算即可求解.

【详解】^={x|log3x<2}={x|0<x<9},

B=[y\y=4x^={y\y>0],

可得：1”=（一8,0]49,+8）

.-.（CR^）nJ8={0}o[9,+oo）,

故选：C.

2.（24-25高三上•重庆•阶段练习）己知全集"=1<,集合N<x|"<o],8={小>3}则图中阴影部分

【答案】D

【分析】求出集合A与集合B的补集，再由图可知图中阴影部分表示（18）c/.

【详解】由土心<0可得（x-6）x<0,解得0<x<6,所以/={x[0<x<6},

X

因为8={x|x>3},所以[8={x]xV3},

图中阴影部分表示的集合为&B）c/={x[0<xW3}.

故选：D.

3.（24-25高三上・重庆渝中•阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试,

每科满分为100分.考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的

有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学.

A.45B.48C.53D.43

【答案】C

【分析】由题意设出集合45得到集合48以及中元素的个数，即可得出NU8中元素的个数.

【详解】设集合A表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，

集合8表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，

NcB表示两科均在90分以上的学生，则集合NcB中有40个元素，

/U3表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知/U3中有个45+48-40=53元素，

又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，

故选：C.

4.（24-25高三上•江西赣州•期中）设全集U=Z,集合/={x|x=4%+l,左eZ},集合

2={x|尤=4左一1,后eZ},则集合C={x|x=2左,左eZ}=（）

A.A^BB.B^AC.［（NUB）D.&（Nc8）

【答案】C

【分析】根据题意，由条件可得/U6,即可得到与集合C的关系.

【详解】由题知/={Nx=4E+l#eZ}={x|x=2（2k+l）-l#eZ},

2?={x|x=4左一1,左eZ}={x|x=2（2L+l）-3,Eez},

所以={x|x=2左+1,左eZ},又。={x|x=2k,keZ},

所以C=0（Nu8）.

故选：C.

二、多选题

5.（2024高三•全国•专题练习）已知集合2=伸logzXWO},集合8集合。=1卜

则下列结论正确的是（）

A.NUO=RB.A^B=0

C.以（/口8）口。D.CR£>U5

【答案】BCD

【分析】先分别解不等式求出集合4瓦。，然后逐个分析判断即可.

【详解】由logzXVO,得0<xWl,所以/={x|0<x41}.

由汨20,得5+1）3-1）20且了一1片0,得了4一1或y>i,所以8=0|了<一1或V>1}.

由3,2g=3-2,得zN-2,所以。={z|zN-2}.

对于A,A^D={x\x>-2}^R,所以A错误；

对于B,ACiB=0,所以B正确；

对于C因为/U2={,xW-l或无>0},所以以（/118）={讨-1<%40},

所以以（/。3）D,所以C正确；

对于D,因为。={z|zN-2},所以lD={z[z<-2}.

因为8={夕241或了>1},所以B,所以D正确，

故选：BCD.

题型04集合中的新定义问题

【解题规律•提分快招】

廨关以窠杳为酉熹的新定义同顾的关铤点

（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求

进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关

性质求解.

彳丽加综i

—•、单选题

1.（24-25高三上•河南新乡•期中）定义非空数集M的“和睦数H”如下：将M中的元素按照递减的次序排列,

然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合{123,4,5}的“和睦数”是

5+4-3+27=7,{2,4}的“和睦数”是4+2=6,{1}的“和睦数”是1.对于集合其

所有非空子集的“和睦数”的总和为（）

A.82B.74C.12D.70

【答案】A

【分析】分别列举子集M,根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解.

【详解】N=[dFeN，〃eN}={l,2,3,6},非空子集有2,-1=15个.

当子集M为单元素集{1},{2},{3},{6}时，“和睦数”分别为1,2,3,6,和为12；

当子集〃为双元素集{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}时，

“和睦数”分别为3,4,7,5,8,9,和为36；

当子集M为三元素集{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6}时,

“和睦数”分别为4,7,8,7,和为26；

当子集M为四元素集{1,2,3,6}时，“和睦数”为6+3-2+1=8.

故“和睦数”的总和为12+36+26+8=82.

故选:A

2.（24-25高三上•上海•期中）已知集合”={（x,y）|y=/（x）},若对于任意实数对（XQJeM,存在

（x2,y2）&M,使网％+%％=°成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①M=B=!}；

②M={(无J)|y=log2x}；

③“二代好"？*"}

④M={(x,y)|y=sinx+l}；

其中是“垂直对点集”的序号的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判

断③④，即可得答案.

【详解】对于①，M=\(x,y)\y=^,>=：为偶函数，定义域为(-叫0)。(0,+功，

对于任意实数对(x,y)eAf,x#0,y=5，

则存在满足x1_：］+：xx2=0,集合M是“垂直对点集”；

对于②，={(x,y)|log2x},取实数对(1,0)e”,

假设存在(%2，%)€河,%2>。，使Ixx?+0x%=0成立，则9=0，与工2>0矛盾，

即Af={(xj)|y=log2x)不是“垂直对点集”；

对于③，河={5/歹=2'-2},作出函数〉=2，-2的图象如图，

图象过点向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线>=-2,

在了=2工-2的图象上任取一点A(xi，y。，连接OA,作

则OB总与函数图象相交，设交函数图象于B(X2,yz)，

即对于任意实数对总存在使得再%+M力=。成立，故集合M是“垂直对点集”;

对于④M={(x,y)|y=sinx+l},作出函数〉=sinx+1的图象如图，

图象向左向右无线延伸,

在y=sinx+l的图象上任取一点A（xi,yi）,连接OA,作。8，。/,

则OB总与函数图象相交，设交函数图象于B（X2,y2），

即对于任意实数对（XQJCM,总存在使得%%2+乂力=0成立，故集合M是“垂直对点集”;

故集合M是“垂直对点集”的有3个,

故选：D

二、多选题

3.（24-25高三上•山东聊城•阶段练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国

数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础

上，才结束了无理数被认为“无理”的时代.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集E

与F,且满足片口尸=0,EcF=0,E中的每个元素都小于尸中的每个元素，称（乙尸）为戴德金分

割.下列结论正确的是（）

A.£={xeQ|x<l},F={xeQ|X>1}是一个戴德金分害I]

B.存在一个戴德金分割（及尸），使得£有一个最大元素，厂没有最小元素

C.存在一个戴德金分割（瓦尸），使得£有一个最大元素，尸有一个最小元素

D.存在一个戴德金分割（及尸），使得E没有最大元素，尸也没有最小元素

【答案】BD

【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.

【详解】对于A,因为石口尸=门©（2]》片1}二（2,所以A错误.

对于B,设后=卜€（?氏<1},F={xeQ|x>l},满足戴德金分割，则E有一个最大元素1,尸没有最小元

素，所以B正确.

对于C,若E有一个最大元素，尸有一个最小元素，则不能同时满足EUF=Q,En尸=0,所以C错误.

对于D,设£=,€（2旧<6},F={xeQ|x>V3},满足戴德金分割，此时E中没有最大元素，尸中也没

有最小元素，所以D正确.

故选：BD

4.（2024•吉林长春•模拟预测）对于集合A,若则称A为对偶互存集，则下列为对偶互存

集的是（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{x|x=2"l,后eZ}

【答案】ABD

【分析】根据对偶互存集的定义逐项判断可得答案.

【详解】对于A,当x=T0,l,2,3时，2re{T,0,l,2,3},故A正确；

对于B,{x[x=2"l,£eZ}为全体奇数构成的集合，

当x为奇数时，2-x也为奇数，故B正确；

对于C,，了==7*0},贝!)2€卜|尸0},

但2-2=0任例"0},故C错误；

对于D,{y|y=l+sinx)=[0,2],当xe[0,2]时，2-xe[0,2],故D正确.

故选：ABD.

5.(2024•福建•模拟预测)若平面点集M满足：任意点(x,y)eM,存在le(0,+s),都有则称

该点集”是邛介聚合点集.下列命题为真命题的是()

A.若M={(x,y)|x2y},则/是3阶聚合点集

B.存在M对任意正数/,使M不是f阶聚合点集

C.若加=(》/)£+/=1,则M不是:阶聚合点集

I4J3

D."te[1,+s)”是"M={(x/)|rzx}是邛介聚合点集”的充要条件

【答案】ACD

【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否

定屈=卜了)£+必=1]为:阶聚合点集判断c；运用等价转化思想，即可得到D正确.

【详解】对于A,由xNy可得3xN3y,故M是3阶聚合点集，即A正确；

对于B,对任意的点集总存在"1,使得M是1阶聚合点集，故B错误；

对于C,因二+廿=1,而(?一了/廿2故M不是:阶聚合点集，即C正确；

4'丁+勺)=盘+7＜彳+'=13

对于D,因M={(”)产Nx}是/阶聚合点集等价于叶＞tx,

因/＞0,可得又因yNx,依题意可得121,反之也成立，

故={(x,y)”2}是/阶聚合点集，，是，”e[l,+s)”的充要条件，即D正确.

故选：ACD.

题型05充要条件及其求参数问题

【解题规律•提分快招】

克分家作］宓夏茱柞的应再二艇袤貌在参薮间函函茶擀E储版时需注贰

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的

不等式（组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够

取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解.

彳丽加综i

—•、单选题

1.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知复数z=（“+历）i（。）eR,i为虚数单位）的共朝复数为7,贝卜7为纯虚

数”的充分必要条件为（）

A.a2+b2B.ab=0

C.a=0,6w0D.QWO,6=O

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共粗复数和纯虚数的定义即可求解.

【详解】因为z=（a+6i）i=-b+ai（a,beR）,

由彳=-b-ai为纯虚数，即一6=0且一0#0,

即a/0且6=0.

故选：D.

2.（24-25高三上•江苏无锡•阶段练习）“直线◎+力T=。与圆/+「=1相交”是“/+尸》1，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离公式，结合充分不必要条件的定义即可求解.

1

【详解】若直线4X+如-1=0与圆工2+/=1相交，则圆心（0,0）到直线的距离满足<1,故

Na2+62

a2+b2>\,

由于力+〃>i能推出a2+b2>\,

当力+/21不能得至

故“直线"+勿-1=。与圆V+y2=1相交"是+/21”的充分不必要条件,

故选：A

1

3.（24-25高三上•四川•阶段练习）己知：/?:-->l^:log2（x-fl）>l.若。是4的充分不必要条件，则实

x—2

数的取值范围为（）

A.(0,1)B.(0,1]C.(-8,0]D.(-℃,1]

【答案】C

【分析】a

解分式不等式、对数不等式求对应x范围，结合充分不必要条件有。+242,即可得范围.

1x-3(x-2)(x-3)<0

【详解】由P：—21=>1—<0,可得=>2<x<3

x-12x-2x—2x—2w0

由q:log2（x-6r）>l=>x-4Z>2=>x>6z+2,

因为夕是0的充分不必要条件，贝!|a+2W2naV0.

故选：C

4.（24-25高三上•河北石家庄•期中）如图，在四棱锥P-4BCD中，底面/BCD为矩形，尸/，平面A8CD,

瓦厂分别为尸瓦8C的中点，则〃_L座的一个充要条件为（）

A.PA=ABB.PFLBD

C.AB=ADD.AB=CAD

【答案】c

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积探求充要条件为/8=和尸尸，20.

【详解】因为P/_L平面且底面为矩形，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

则3(2°,0,0),P(0,0,7〃),0(0,26,0),则Ea,0,g,F(2a,b,0),

故4F=(2a,6,0),DE=^a,—2b,—

"，应的充要条件为N.市=o即：

"，用的充要条件为2/一262=0即：

"，座的充要条件为a=b,即〃，座的充要条件为AB=AD,

故C正确，D错误；

尸/=48即2a=加，此时得不到2a=26,故A错误；

对于B,PF=(2a,b,-m),BD=(-2a,2Z),0),

若PF上BD,则丽・丽=0即4/=2〃即行a=b，

由A的分析可得,，应的充要条件为不是尸尸，AD,故B错误；

综上，选C.

故选：C

5.(24-25高三上•北京•阶段练习)设等差数列｛叫的公差为d,贝广0</<"”是为递增数列''的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必

要条件

【答案】A

【分析】根据数列的性质以及充分条件、必要条件的定义即可解出.

【详解】因为%=%+("l)d,所以"二%+("T”=*+d；

nnn

当0<%<d时，-d<0,此时/⑺=+d显然单调递增，

ain

所以0</<d可以推出为递增数列；

当［%］为递增数列时，不妨取％=-l,d=l,此时”=-2+1为递增数列，但0<%<d不满足，

所以I21为递增数列不能推出0<为<d,

所以"0<%<d”是"为递增数列”的充分不必要条件，

故选：A.

题型06全称量词和存在量词命题及其求参数问题

【解题规律•提分快招】

根据命题的真假求参数的值（范围）的思路

与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类

问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式

（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围.

彳丽加绿i

一、单选题

1.（2024高三•全国•专题练习）已知命题或sinxcl,则力为（）

A.<0,e'<1_S.situ:>1B.Hx>0,ex<1_S_sinx>1

C.3r>0,e*<l或sinxNlD.3x<0,或sinxWl

【答案】B

【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.

【详解】命题。是全称命题，因为命题。:Vx20,e"21或sinxcl,

所以*N0,e"<1且sinx>1.

故选：B.

2.（24-25高三上•陕西西安•阶段练习）若命题“五£[0,3],一->0”为假命题，则实数〃的最小值是

（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“Vxe[0,3],x2-2x-a<0”为真命

题，分离参数转化为在xe[0,3]上恒成立，构造函数求解最小值即可.

【详解】因为命题“玄40,3],为假命题，

所以命题“Vx40,3],x?-2x-〃W0”为真命题，

即/一2无一aVO在xe[0,3]上恒成立，

即a2犬_2x在xe[0,3]上恒成立，

记〃X）=X2-2X,xe[0,3],则。”（4双,

因为/（x）=x2-2x在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，所以〃x）111ax=/（3）,

所以a23,所以实数。可取的最小值是3.

故选：D.

3.（24-25高三上•辽宁沈阳•开学考试）给出下列四个结论：

①“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；

x

②若命题°:*20,2、=3,则-16Vx<0,2丰3；

③若xeR,则fw4是xw2的充分不必要条件；

④若命题q：对于任意xeR,/+2无一々>0为真命题，则。<一1

其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真

求出。的范围判断④即可得解.

【详解】对于①，。>2不能推出a>5,“0>2”不是“a>5”的充分不必要条件，①错误；

对于②,/：片3,②错误；

对于③，若//4，贝!Jxw2且xW-2，反之，x=-2,-2/2，x?=4成立，

因此f/4是xW2的充分不必要条件，③正确；

对于④，VxeR,x2+2x-tz>0odi<x2+2x,而-+2x=（x+1）2-12-1,贝!④正确，

所以正确结论的个数为2.

故选：B

4.（24-25高三上•福建龙岩•期中）命题Jxe[l,2],x2+lnx-2°40”为假命题，则实数”的取值范围为（）

C.（-00,In2+2）D.（-00,In2+4）

【答案】A

【分析】存在性命题为假等价于"Vxw[l,2],x2+inx—2〃〉0”为真，应用参变分离求解即可.

【详解】解：因为命题“HrM+E%—2。V0”为假命题

等价于"Vx£[L2],炉+m%一2a>0”为真命题,

所以Vx£[1,2],2a</+inx,

所以只需2。<（%2+山工）1nhi.

设f（x）=x2+lnx,xe[1,2],

则/（x）在工2]上单增，所以/⑴1nhi=1.

所以2a<1f即。<2.

故选：A

二、多选题

5.（24-25高三上•山东济宁•阶段练习）下列命题中，是真命题的有（）

A.五£（—8,0）3>2、B.Vxe（o,+^）,3X>2X

C・3XG（0,1）,X3>D.VXG（1,+O?）,X3>

【答案】BD

i

【分析】AB选项，先得到312、的范围，再用作商法比较大小；CD选项，先得到/€（0,1）,户40,1），再

用作商法比较大小.

【详解】A选项，xe（-8,0）3e（O,l）,2%（0,1）,}=（£fe（0」），

故3，<2"，A错误，

B选项，xe（0,+co）,3x>1,2">1,=>1>故3*>2。B正确；

32

C选项，苫€（0,1）,工%（0,1）,户€（0,1），且下=》2e（°』），故工3<[,c错误；

X2

3

1X-

D选项,x£（1,+8）,%3££（],+勿），且£-X>1,故％3〉/1'D正确.

X2

故选：BD

题型07复数综合运算

【解题规律•提分快招】

复数代数形式运算的策略

【典例训练】

一、单选题

1.（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）复数z=2025-i2°25在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案.

【详解】由/=廿2=7,『=—孽4=11="且2025+4=506…1,Jil!!i2023=i1=i,

所以z=2025-i,可得其在复平面上对应的点为(2025,-1),即该点在第四象限.

故选：D.

2.(2024高三・全国•专题练习)己知*=l+i,则忖=()

z—1

A.V29B.5C.V2D.Vs

【答案】A

【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的概念求解.

【详解】设z=a+6i(a,6eR),贝丘一历，

由2=l+i,得a+/"+l=i+i,即a+l+6i=(l+i)(a7_6i),

z-1a-bi-i

^Fj*以a+l+6i=a-l+b+(。-1-b)i,

所以忖=A/52+22=V29,

故选：A.

3.(24-25高三上•云南昆明•期中)欧拉公式/=cose+isine是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的夕取

兀就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数z满足匕卜;，则|z-e1的最大值为

()

153

A.-B.1C.—D.一

242

【答案】D

【分析】设2=》+4(。*€区)，由复数的几何意义和模长公式可得|z-e[=6I],结合x的范围，即可

得出答案.

【详解】解析：设2=》+川36€11),贝！]

z-e171=x+yi-cos兀一isin兀=x+l+yi,

所以|z—+1++1)2+y2+1)?+7—f=J2x+—,

因为所以一gvxV；,

所以卜-町的最大值为3

2

故选：D.

二、多选题

4.（2024高三•全国•专题练习）已知4/2是关于x的方程--2x+机=0（meR）的两根，则（）

A.Z[+Z2=2B.|zi|=|z2|

C.若%>1,则Z]=[D.若加>1,则z；+z；<2

【答案】ACD

【分析】计算△,确定小的范围，分情况讨论，根据韦达定理判断A,B,D；由求根公式求出方程的根可

判断C.

【详解】关于x的二次方程/-2%+加=0,A=4-4〃?.

当机W1时，A>0,所以句/2eR,Z]+z2=2,=m,但㈤=团不一定成立.

当机>1时，A<0,马/2是方程的两个复数根，z1+z2=2,ZJZ2=加仍成立，此时㈤=㈤，故A正确，B错

误.

若机>1,方程，-2x+m=0的两根为x=l土标万i,所以4/2互为共朝复数，C正确.

若加>1,由于4+z2=2/仔2=%,所以z；+z；=（Z]+Zz）2-2平2=4-2加<2,D正确.

故选：ACD

5.（24-25高三上・江苏•阶段练习）已知z”Z2wC,下列说法正确的是（）

A.若㈤=归|,则z；=z；

B.若2送2=0,则4/2中至少有一个为0

C.Z]Z|=|Z]「

D.若归|=1也|=1,匕1一22|=1,则忖+匐=百

【答案】BCD

【分析】举反例即可求解A,根据模长的性质即可求解BC,根据模长公式，即可求解D.

【详解】对于A,若4=1心=i,满足㈤=同,但z；=l,z；=T,故A错误，

对于B,由空2=0,则|平2|=0=>匕任2|=团匕2|=0=>㈤=0或㈤=0,故4/2中至少有一个为o,B正确,

对于C,ZjZ；=|zj2,C正确，

对于D,设Z]=a+6i,Z2=c+di,a,b,c,deR,^r

222222222

|zj=y]a+b=1,|z21=y/c+d=1,|z1-z21=^a-c^+（6-t/）=yla+b+c+d-2ac-2bd=1,故

2ac+2bd=1,|zj+z2|=++（1+d『=J/+/+。」+/+2ac+2bd=G，故D正确，

故选：BCD

♦>题型通关•冲高考

一、单选题

2

1.(24-25高三上•重庆•阶段练习)已知集合^={x|log2(x+l)<2),5={X|2X-5X-3<0},贝|A[\B=

()

A.x-5<xW3B.{x|-1<x<3}

C.D.{x|x<3]

【答案】C

【分析】先分别求解集合A和集合3,再找出它们的公共部分.

【详解】由Iog2(x+D<2=log24可得x+l>0且x+l<4.

解尤+1>0得x>-l；解x+l<4得x<3.

所以集合4={x|-l<x<3}.

先对2X2-5X-3因式分解，得至!|3+1)(%-3)<0.

解得所以集合8={x|_gwx43}.

集合N={x|-l<x<3},集合8={x|_gwxV3}.

那么/c3={x|—己4_¥<3}.

故选：C.

2.(2024•山西长治一模)已知集合/={#2+2》一8<0},8={邓|42},。=11,则图中阴影部分表示的集

C.[-2,2)D.[-2,2]

【答案】A

【分析】解一元二次不等式及绝对值不等式求集合48,结合韦恩图，根据集合的交集及补集运算可得结

果.

【详解】因为A={x|x2+2x-8<0)={止4<x<2},8={x||x|<2)={x|-2<x<2),

图中阴影部分表示的集合为：

=1x|-4<x<2}>2或x<-2)=1x|-4<x<-2},

故选：A.

3.(24-25高三上•江苏苏州•开学考试)已知i是虚数单位，5+7i=(l+i)z,则|z+l|=()

A.572B.历C.6D.50

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出复数z,即可求得z+l=7+i,根据复数模的计算公式，即得答案；另外

也可利用复数的模的性质，进行计算，求得答案.

八rn5+7i(5+7i).(l-i)12+2i/.

【详解】由5+71=(1+1”可知2=---=-——―=--—=6+1,

1+1(l+i)-(l-i)2

所以z+l=7+i,则|z+l|=J72+F=5后.

另解：由5+7i=(l+i)z可知6+8i=(l+i)z+(l+i)=(l+i)(z+l),

10

故i6+8i|=|i+m+M，所以匕+1==5垃,

故选：A

4.(24-25高三上•上海奉贤•期中)设zeC,贝ljz+工eR是目=1的()条件

Z

A.充分非必要