基于数学史的小数概念教学策略研究

基于数学史的小数概念教学策略研究摘要：近年来，广大教师正逐渐意识到数学史独特的教育价值，并将数学史融入到课堂教学当中，这有助于激发学生对数学学习的兴趣、拓宽学生知识视野以及发展数学核心素养。本研究通过在维普、万方、知网等数据库中检索数学史主题相关研究发现，目前在小学阶段关于数学史融入课堂教学的研究较少，在小数知识教学方面更是少之又少。因此本文旨在研究如何有效地将数学史料融入小数概念教学，发挥数学史独特的教育价值。本研究采用文献分析法、问卷调查法、访谈法及直接观察法，对H市L小学的五年级进行数学史融入小数概念教学现状调查，对收集到的数据进行分析发现该校数学史融入小数概念教学存在着融入数学史料内容单一、融入数学史料方式单一和融入数学史料时机不当的问题。为了能够提出对存在问题具有针对性的解决策略，本研究对现存问题做了归因分析，并得出产生问题的原因有教师数学史知识匮乏、教师融入数学史的教学设计能力欠缺以及教育考评功利性取向突出。基于这三点原因，本研究从教学设计、教学实施和教学反思三个方面提出了基于数学史的小数概念教学策略，主要包括教师在进行教学设计时需要对小数的史料内容进行筛选并选择合适的方式融入；在教学实施时需要灵活选择四个融入小数史料的时机；课后及时对课堂教学进行反思并积极参与数学史融入小数概念教学主题的教研活动，共享教学经验。为广大一线教师开展数学史融入小数概念教学课堂提供参考与借鉴。关键词：数学史；小数；概念教学；教学策略目录TOC\o"1-3"\h\u29648绪论 绪论一、研究依据（一）理论依据义务教育课程是我国制定教育目标、教育内容和教学基本要求的基础，在立德树人的过程中起着巨大作用。数学课程标准指导着数学教学，我国从2001年至2022年，已经实施了三版义务教育数学课程标准，三版课标都对数学史相关内容进行了阐述。在第一版数学课标中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（实验稿）.[S].北京：北京师范大学出版社，2002：63，78-79，98-99.中，三个学段的“课程实施建议”部分都有提到要向学生介绍有关知识的数学背景内容”，并从“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”这几个方面列出每一学段可融入的相关数学史料。2011年版数学中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）.[S].北京：北京师范大学出版社，2012：59-66.课标也同样在“课程实施建议”部分提出“在教学中适时地给学生介绍有关背景知识，包括数学发展史的相关材料以及在数学在社会中的应用”等与数学史相关的内容。而2022年版新课标中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）.[S].北京：北京师范大学出版社，2022：1，95.则在“教材编写建议”这部分内容中提到“教材中应含有介绍数学知识发展历程、数学历史文化等介绍在数学发展过程中的伟大数学家，以及他们所创造的数学成就在人类文明发展过程中所产生中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（实验稿）.[S].北京：北京师范大学出版社，2002：63，78-79，98-99.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）.[S].北京：北京师范大学出版社，2012：59-66.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）.[S].北京：北京师范大学出版社，2022：1，95.“小数的意义”的学习在数的概念建立中十分重要，数系的每一次扩充学习都会不断拓展学生的知识体系。高年级段的小学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过度的时期，此时学生注意力的集中时间较短，对于数学知识的理解是片面的，对于新知识的学习，需要教师将抽象的概念直观形象地展示给学生，而数学史融入小数概念教学能够帮助教师将小数概念由“未知抽象”的转化为“直观形象”的状态，让学生通过阅读历史故事等教学方式激起学生对数学学习的兴趣，进而帮助学生更好地理解小数知识的本质，促进学生对数学知识和思想方法的掌握。（二）现实依据目前数学史融入数学教学还存在许多不足，比如因为受到传统应试教育的影响，大部分数学教师在教学的过程中容易忽略对学生数学探究能力的培养，重结果轻过程，过分重视数学的工具性价值，这就导致了学生对于数学的文化价值理解程度不高，久而久之学生探索数学相关知识的主动性就会减少。对于教师本身而言，将数学史融入数学教学实践中存在较大的难度，因为教学时间有限，教学任务重，大部分教师在完成日常教学工作后并没有多余的时间去寻找、整理相关的数学史料。再者教师本身的数学史料储备不足，对数学史的发展过程认识有限。因此，将数学史融入小学数学教学需要作出进一步的研究。二、研究意义（一）理论意义本研究通过在中国知网上输入“数学史”进行主题检索，并对搜索结果进行分析，去除相关会议、报纸、图书等，共检索到相关文献2317篇.在2317篇文献中，研究数学史融入中等教育的研究有1396篇，占比约60.3%，而研究数学史融入小学数学教学的研究有333篇，占比只有14.4%。由此可见，数学史融入数学教学的相关研究大都是针对初高中阶段，对于小学阶段的数学史教学研究较少。在现有333篇数学史融入小学数学教学的研究中，大多都是围绕数学史融入数学教学的现状以及数学史融入教学的策略展开，而对于某一个知识点或者某个单元的数学史教学研究占少数。因此，本研究以“小数”的概念作为基点，探究发掘有关小数的历史内容，结合相关史料，研究当前数学史融入小数概念教学的现状并提出根据现状提出相应的策略。本研究能够为小学数学教师将数学史料融入小数概念教学提供参考，也能完善和丰富数学史融入小学数学教学的理论研究。（二）现实意义近年来，越来越多的一线教师关注到数学史料在数学教学中的教育价值，并尝试将数学史融入到数学的教学中。但是在实际教学中，将数学史融入小学数学教学的过程存在着许多问题。因此，本研究通过分析当前基于数学史的小数概念教学，找到数学史融入数学教学存在的问题并提出相应的解决方法，够为广大教师在进行这一方面的教学设计时提供思路，进而达到更好的教学效果。另一方面，还能让学生通过了解数学的发展历史，充分理解所学的知识内容，激发学生的数学探究能力。三、文献综述（一）国外研究现状近年来，数学史融入教学受到了越来越多学者的关注，也被更多的国家认可。本研究通过大量查阅中国知网等数据库中的相关文献资料，将国外有关数学史的研究现状分为数学史的教育价值、数学史融入数学教学的方法以及数学史融入数学教学的模式三方面进行阐述。1.关于数学史的教育价值研究英国数学史家弗维尔在《Usinghistoryinmathematicseducation》中从学生学习的兴趣和自信心上提出数学史的教学价值FauvelJ.Usinghistoryinmathematicseducation[J].FortheLearningofMathematics，1991，11(2):3-6.，列举了15条数学史对于数学教学的意义，其中包括：激发学生学习动机、重塑数学观、体现数学多元文化路径、FauvelJ.Usinghistoryinmathematicseducation[J].FortheLearningofMathematics，1991，11(2):3-6.弗维尔只是列举出了数学教学中运用数学史的15条理由，并没有对其进行清晰明了的分类。在此基础上，塔纳克斯（Tzanakis）和阿克维（Arcavi）TzanakisC，ArcaviA.Intergratinghistoryofmathematicsintheclassroom:ananalyticsurvey.In:Fauvel&J.vanMaanen(Eds.)HistoryinMathematicsEducation.Doedrecht:KluwerAcademicPublishers，2000:201-240.采用分类法从数学学习、数学的本质、教师知识、数学情感与态度、数学文化活动五个维度提出了数学史具有的教育价值。从数学学习维度来看，学生通过学习数学史知识能够了解知识的具体发展脉络，从源头认识数学知识；从数学本质维度来看，数学史有助于学生了解数学知识的演变过程；从教师知识维度来看，教师能够通过知识相关数学史预测学生在学习的过程中可能遇到的困难；从数学情感与态度来看，学生学习相应的数学史知识能够体会到数学家们坚持不懈、勇于创新的精神；从数学文化活动维度来看，数学史能够让师生了解数学知识与社会文化之间的联系和影响TzanakisC，ArcaviA.Intergratinghistoryofmathematicsintheclassroom:ananalyticsurvey.In:Fauvel&J.vanMaanen(Eds.)HistoryinMathematicsEducation.Doedrecht:KluwerAcademicPublishers，2000:201-240.Tzanakis和Arcavi将弗维尔列举出的15条理由以5个维度进行了分类，而Gulikers和BlomGulikersI，BlomK.‘Ahistoricalangle’:Asurveyofrecentliteratureontheuseandvalueofhistoryingeometricaleducation.EducationStudyinMathematics，2001，47(2):223-258.在分类的基础上，又从文化、动机、概念视角三方面将数学史的教育作用细分为对教师和学生的价值。从文化角度来看，数学史的教育作用有：教师更好地引导学生感受数学与其它领域的关系（教师层面）、帮助学生理解数学知识在社会发展中的作用（学生层面）等；从动机角度来看，数学史的教育作用有：得到有效的数学史材料，激起教师的教学热情（教师层面）、改变学生对数学的态度和情感（学生层面）等；从概念角度来看，数学史的教育作用有：数学史指导教师进行教学设计（教师层面）、经历古今不同方法的比较，发展GulikersI，BlomK.‘Ahistoricalangle’:Asurveyofrecentliteratureontheuseandvalueofhistoryingeometricaleducation.EducationStudyinMathematics，2001，47(2):223-258.美国琼斯JonesPS.Thehistoryofmathematicsasateachingtool.[J].MathematicsTeacher，1957，50(1):58-64.从学生角度、教学工具、教学素材、教学导入、教学意义五个方面提出了数学史的教育作用，主要包括为教师提供可参考的教学素材、是教师改进教学的工具、教学时能使学生得到心理安慰、导入时借助数学史引入话题、能澄清教学意义、揭示教学本质等JonesPS.Thehistoryofmathematicsasateachingtool.[J].MathematicsTeacher，1957，50(1):58-64.2.关于数学史融入数学教学的方法研究数学史料的处理和运用是数学史融入教学的首要问题。Tzanakis和Arcavi将融入教学中的数学史料归纳为三类：第一类是直接选取原始文献中的内容作为教学资料；第二类是经过他人或教师自身解释甚至重构历史的二手材料；第三类是从原始材料和二手材料中提炼得到的教学材料。对于数学史料的处理和运用，JahnkeJahnke，H.N.TheHistoricalDimensionofMathematicalUnderstanding:ObjectifyingtheSubjective.[R].Proceedingsofthe18thInternationalConferenceforthePsychologyofMathematicsEducation.Lisbon:UniversityofLisbon，1994.提出要使用普通的思想来描述并运用原始材料。而Furinghetti和PaolaFuringhetti，F.&Paola，D.HistoryasaCrossroadsofMathematicalCultureandEducationalNeedsintheClass-room.[J].MathematicsinSchool，2003，32(1):37-41.直接指出要研究原始文献挑选出历史片段进行教学，适当选取，而不是直接运用原有的历史材料。Furinghetti提出了为筛选历史材料为课堂教学服务的方法：首先，浏览与所教授知识相关的数学史的文本资料；其次，教师挑选出需要在课堂上向学生介绍的历史片段；再次，对原始文献Jahnke，H.N.TheHistoricalDimensionofMathematicalUnderstanding:ObjectifyingtheSubjective.[R].Proceedingsofthe18thInternationalConferenceforthePsychologyofMathematicsEducation.Lisbon:UniversityofLisbon，1994.Furinghetti，F.&Paola，D.HistoryasaCrossroadsofMathematicalCultureandEducationalNeedsintheClass-room.[J].MathematicsinSchool，2003，32(1):37-41.在对数学史料合理选取的处理的基础之上，国内外学者通过理论结合实践，总结产生了多样的数学史融入课堂教学方式。BidwellBidwell，J.K.:‘Humanizeyourclassroomwiththehistoryofmathematics’.[J].MathematicsTeacher，1993，86(6)，461-464.提出了三种运用数学史的方式：一是在课堂上给学生介绍数学家的趣闻轶事，这样能够快速地将学生的注意力放到课堂当中，激起学生学习数学的兴趣；二是在进行授课过程中结合历史资料Bidwell，J.K.:‘Humanizeyourclassroomwiththehistoryofmathematics’.[J].MathematicsTeacher，1993，86(6)，461-464.Fauvel在《数学教学中运用数学史》概括出比较系统的数学史应用方法：第一种是直接介绍相关数学历史的直接介绍法，第二种是以历史为线索，结合具体教学内容，启发学生探究的历史启发法；第三种是借助数学知识在社会中的文化背景发展学生数学意识的发展意识法。此外，国外学者FriedFried，M.N.CanMathematicsEducationandHistoryofMathematicsCoexist.[J].Science&Education，2001，10(4):391-408.从数学史是否影响了教学内容的呈现方式出发，提出了“加法式”和“适应式”。运用“加法式”开展数学史教学并没有使教学内容的呈现方式有任何改变，只是对现有教学内容进行补充；而借助“适应式”进行数学史融入教学改变了教学内容的呈现方式，但实际上也没有增加Fried，M.N.CanMathematicsEducationandHistoryofMathematicsCoexist.[J].Science&Education，2001，10(4):391-408.JankvistJankvist.U.T.ACategorizationofthe“Why”and“how”ofUsingHistoryinMathematicsEducation.[J].EducationalStudiesinMathematics，2009，71(3):235-261.根据历史材料使用的程度，提出了另外三种方法Jankvist.U.T.ACategorizationofthe“Why”and“how”ofUsingHistoryinMathematicsEducation.[J].EducationalStudiesinMathematics，2009，71(3):235-261.3.关于数学史融入数学教学的模式研究新概念的导入是数学史融入课堂教学的有效途径，国外学者GarbinerGarbiner，J.V.TheChangingConceptofChange:TheDerivativefromFermattoWeierstrass.[J].MathematicsMagazine，1983，56(4):195-206.从历史的角度出发，通过分析导数概念的四个发展阶段，即导数最先以例子的形式出现，用于解决一些比较特殊的问题；在解决问题时，识别出隐藏在这个过程中所蕴含的思想方法，进一步促进微积分的发明；接下来，导数的许多性质通过在数学和物理领域的应用中得到了相应的解释与发展；最终在一个严密的理论基础之上，得出了导数概念的定义。Garbiner建立了“运用——发现——探索——定义”的Garbiner，J.V.TheChangingConceptofChange:TheDerivativefromFermattoWeierstrass.[J].MathematicsMagazine，1983，56(4):195-206.数学史的融入要通过开展课堂教学活动才得以实现，Furinghetti针对教学活动设计提出了一个数学史融入课堂教学的模式，即了解史料内容→选择合适话题→分析课堂需要→设计课堂活动→实施教学计划→评价课堂活动。该模式以历史背景和课堂需要为基础较全面地总结出教学准备、实施和评价等多环节。运用该模式进行教学，需要注意以下几个方面的问题：首先历史材料内容的选择要符合学生的认知发展特点，并与所讲授知识点相符；其次课堂活动的制定要考虑到活动的目的和背景，以及方法的可行性。（二）国内研究现状我国在数学史方面的研究与国外相比较晚，随着近年来国外在数学史领域的研究快速发展，国内越来越多的学者也在数学史的相关方面进行了一系列的研究。本文将国内数学史研究现状分为数学史的教育价值、数学史融入数学教学的方法以及数学史融入小学小数概念教学三个部分进行阐述。1.关于数学史的教育价值研究本研究对国内数学史教育价值相关文献的阅读并分析，发现大部分学者对数学史的教育价值秉持着肯定的态度，学者们对于数学史的教育价值各自持有不同的观点，总的来说可以分为智育、德育以及美育三种视角。从智育价值的视角来看，又可以将数学史的智育价值分为对教师的价值和对学生的价值两个层面。在教师的层面上，汪晓勤认为教师可以借助运用数学史得到引入数学新知识的动力汪晓勤，徐章韬.HPM教育价值剖析及应用取向的深度挖掘[J].数学教育学报，2016，25（06）：10-14.，从而丰富了教师的知识储备和教学资源。教师通过应用数学史，以及对数学发生和发展过程的反思，能够选择更合适自身的教学策略，从而达到让学生改变接受和了解数学的方式；汪晓勤在《数学史与数学教育》中提出汪晓勤.HPM:数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017：16-37.：学生在学习过程中有可能会出现当时数学家们在探索知识时所遇到的认知障碍，因此教师通过了解历史上的重要节点内容可以预测学生在学习新知时会遇到的难题，进而帮助教师更好地制定教学重难点。杨渭清通过研究表明杨渭清.数学史在数学教育中的教育价值[J].数学教育学报，2009，18(04)：31-33.，数学史具有促进教师理解数学事实，形成良好的数学思想方法，扩大自身视野，从而更好地提高自身的专业素养的作用。在学生的层面上，李红婷归纳出了六大数学史的教育价值汪晓勤，徐章韬.HPM教育价值剖析及应用取向的深度挖掘[J].数学教育学报，2016，25（06）：10-14.汪晓勤.HPM:数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017：16-37.杨渭清.数学史在数学教育中的教育价值[J].数学教育学报，2009，18(04)：31-33.李红婷.课改新视域：数学史走进新课堂[J].课程·教材·教法，2005，(09)：51-54.从德育价值的视角来看，学者骆祖英在《略论数学史的德育教育值》一文中曾指出骆祖英.略论数学史的德育教育价值[J].数学教育学报，1996(02):10-14.，数学史具有无法替代的德育价值。他认为，数学史在世界科技发展的历史上占据着重要的地位，开展数学史教学有助于教师对学生进行爱国主义教育，能让学生领略祖国的光辉，激发学生的民族自尊心和自信心；学生通过了解数学史中数学家们在探索知识的过程中不断奋斗的故事，能够领悟到数学家为真理而献身的伟大人格和崇高精神。我国学者袁小明袁小明.论数学教育中历史材料的应用[J].数学教育学报，1992，4(01)：119-123.、朱哲朱哲.基于数学史的数学教育现代化研究[D].浙江师范大学，2004.、范文贵范文贵.数学家的观点对数学学习的启示[J].数学教育学报，2007，(03)：17-20.等人也指出要多层次多样化地选用历史材料，通过介绍数学家的生平以及思想方法，激发学生的学习兴趣，并借助数学家的榜样力量激励和启发学生，引发学生自觉反思，有利于学生骆祖英.略论数学史的德育教育价值[J].数学教育学报，1996(02):10-14.袁小明.论数学教育中历史材料的应用[J].数学教育学报，1992，4(01)：119-123.朱哲.基于数学史的数学教育现代化研究[D].浙江师范大学，2004.范文贵.数学家的观点对数学学习的启示[J].数学教育学报，2007，(03)：17-20.从美育价值的视角来看，数学史具有很独特的美学意义和美学价值。涂荣豹在《数学教学认知论》中提到涂荣豹.数学教学认知论[M].南京师范大学出版社，2003：98-102.，要在教学过程设计与汇总呈现与教学相关的数学史料等，提高学生的审美情趣，让他们感受数学独特的美感和魅力。我国学者杨光和李琳认为涂荣豹.数学教学认知论[M].南京师范大学出版社，2003：98-102.杨光，李琳.浅析数学史在教学中的教育价值[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2014，27(12)：12-13.2.关于数学史融入数学教学的方法研究对于数学史的处理和运用，我国学者朱哲则认为可以将数学史料分成人物与事件、思想与方法、地位与作用、共性与区别这四种类型，由描述、操作和表达再到评价和比较折中分析层面，逐层递进。将史料类型进行细致地划分，一方面有助于教师在选择数学史料时进行相应的取舍；另一方面，不同类型的材料应当以不同的形式呈现在数学课程中。在对数学史料合理选取和处理的基础之上，我国学者蔡宏圣以具体的小学数学知识教学为例蔡宏圣.数学史：从象牙塔到小学课堂[J].课程·教材·教法，2009，29（02）：40-44.，分析了相关知识点所蕴含的发展历史，提出了“链接式”和“融入式”。“链接式”指的是数学史存在于课堂教学要素之外的运用方式；反之，数学史称为课堂教学要素，内化成蔡宏圣.数学史：从象牙塔到小学课堂[J].课程·教材·教法，2009，29（02）：40-44.张俊忠提出数学史融入教学有直接融入和间接融入两类张俊忠.数学教育中数学史融入策略研究[J].中国教育学刊，2014（09）：79-82.。直接融入是指学生通过教师在课堂上张俊忠.数学教育中数学史融入策略研究[J].中国教育学刊，2014（09）：79-82.汪晓勤将直接融入和间接融入更细致地分成了多种方式汪晓勤，蒲淑萍.数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例[J].课程·教材·教法，2012，32（08）：63-68.，他总结出了将数学史融入课堂教学的四种融入方式，即附加式、复制式、顺应式、重构式，并强调融入应以重构式为主，要论述哪些内容哪些环节需要重构。这些融入方式只存在使用水平上的差异，无严格的优缺点之分，四种数学史融入教学的方式各有所长，教师在教学过程中配合使用能够从不同层次和角度展示数学内容的历史发展，进而更大程度的发挥数学史的汪晓勤，蒲淑萍.数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例[J].课程·教材·教法，2012，32（08）：63-68.3.关于数学史融入小数概念教学的研究目前，我国在数学史融入小数概念教学领域的研究并不多。无论是“小数的认识”教学，还是“小数的意义”教学，大多数教师都选择对小数知识内容进行重构后教学。例如万立等人基于学生的认知序和历史的发展序万立，文萍，飞惠玲.在探究中创造，在创造中发现——融入数学史的“小数的认识”的教学[J].小学教学(数学版)，2020，4（04）:29-32.万立，文萍，飞惠玲.在探究中创造，在创造中发现——融入数学史的“小数的认识”的教学[J].小学教学(数学版)，2020，4（04）:29-32.蔡宏圣也同样运用重构方式，让整数、分数、小数因为十进位值制和数的数数本质得到了联结蔡宏圣.“小数的意义”教学的重构：数学史的视角[J].小学教学（数学版），2016，4（Z1）：46-50.蔡宏圣.“小数的意义”教学的重构：数学史的视角[J].小学教学（数学版），2016，4（Z1）：46-50.此外，崔婉婷基于三年级学生喜欢听故事的特点崔婉婷.巧用数学史厘清数学概念——以“小数的初步认识”为例[J].天津教育，2021，4（03）：24-25.，借助我国数学家刘徽的故事引入，让学生感受小数不是一开始就存在的，是数学家们在不断地挖掘和探索才得以产生和发展的，这样一来学生在了解小数知识本质的崔婉婷.巧用数学史厘清数学概念——以“小数的初步认识”为例[J].天津教育，2021，4（03）：24-25.而赵文静认为可以从四个方面将数学史融入小数概念教学研究赵文静.数学史融入小学数学“小数”教学的策略研究[D].绍兴文理学院，2022.赵文静.数学史融入小学数学“小数”教学的策略研究[D].绍兴文理学院，2022.四、研究方法（一）文献研究法利用百度百科、CNKI中国知网、万方等数据库，收集并整理与本论文研究方向相关的专著及文献资料，了解近年来国内外对数学史融入课堂教学的研究趋势以及数学史融入小数概念教学的研究现状，为本研究的意义、概念界定提供理论依据，进一步确定本论文的研究方向。（二）问卷调查法本研究选取H市L小学在校的五年级学生作为这次的调查对象，通过对学生进行问卷发放及回收，运用SPSS整理并分析收集到的数据，了解学生对数学史的态度以及掌握程度，为本研究提供真实有效的数据支撑。（三）访谈法对H市L小学的五位数学教师进行访谈，了解一线教师对数学史融入教学的看法、教学策略以及发现当前数学史融入课堂教学存在的问题，分析产生问题的原因并提出相应的解决策略。（四）直接观察法对H市L小学五年级的五节《小数的意义》课例进行听课观察，借助课堂观察记录表将课堂上教师的教学情况记录下来，分析并了解教师将数学史融入小数概念教学的现状，进一步为本研究提供真实有效的数据。五、研究思路本研究主要采用文献调查法、直接观察法、访谈法和问卷调查法。以H市L小学五年级的五个班级为例，对这五个班级的数学课堂中数学史融入小数概念教学进行相关研究。首先，通过梳理国内外对数学史的教育价值、数学史融入数学教学的方法以及数学史融入小数教学的相关文献，了解有关数学史融入数学教学的研究现状。其次，对这五个班级的小数概念教学课进行听课观察，在听课前设计出相应的观察量表，在观察的过程中按照量表上的内容进行记录。接着设计出对教师的访谈提纲以及给学生发放的调查问卷，进行数据的收集工作，待数据收集完成后，将收集到的数据和资料进行整理并分析，了解基于数学史的小数概念教学现状，最后根据存在的问题提出基于数学史的小数概念教学的策略。六、概念界定（一）数学史数学史是研究数学发生发展及其规律的科学宋乃庆,蒋秋,李铁安.数学史促进学生学习发展——基于小学数学课程的视角[J].自然辩证法通讯,2021,43(10):71-76.，简言之数学史研究的就是数学的历史。数学史不仅有着作为数学科学自身发展历史的史学内涵，还包含了数学科学在演变过程中为人类社会文明发展所产生的影响的文化内涵。宋乃庆,蒋秋,李铁安.数学史促进学生学习发展——基于小学数学课程的视角[J].自然辩证法通讯,2021,43(10):71-76.数学史的史学内涵共有两层含义。其一，数学史的发展影响着科学史的进程。数学作为一门科学，数学史包含着其自身的起源以及渐进的历史形态。其二，数学史作为一种学术领域。即人类通过考古研究、文献整理等将可追溯的数学发展进程、数学成就、数学家的传记等按史学体例编撰记录。数学史的文化内涵主要是指数学史研究数学概念、数学思想的起源和发展，以及数学史与现代社会、政治、经济和一般文化之间的联系。本研究中的数学史主要是指数学知识的发展过程、数学家故事、数学思想方法、数学经典著作以及数学知识与社会之间的联系。（二）小数将整数的十进制表示推广到分数等非整数得到十进制小数，简称“小数”。它是\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"实数的一种特殊的表现形式，所有的\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"分数都能表示成小数。小数中的圆点被称为\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"小数点，它将小数的\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"整数部分和小数部分分隔开来。其中整数部分是\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。例如0.8是纯小数，1.5是带小数。小数按照小数部分来划分可以分成有限小数和无限小数，又可以将无限小数分成无限循环小数和无限不循环小数。例如，710=0.7为有限小数；116=1.8333333为无限小数。（三）数学概念教学数学概念教学的内容主要有数学定义、概念、定理和公理，目的是引导学生理解数学概念的本质，从而在已有的概念认知基础上，对事物的本质进行归纳和总结，将新的数学概念认知结构内化到原有的认知结构中。数学概念教学包含了数学概念引入、新授、本质剖析、同化以及巩固五个部分魏东.小学数学概念教学的现状与策略研究——以重庆市H小学六年级为例[D].湖南师范大学,2020.。数学概念教学是数学教学中的一个重要部分，数学概念不仅仅是数学的基础，还是学习后续数学知识的根基。魏东.小学数学概念教学的现状与策略研究——以重庆市H小学六年级为例[D].湖南师范大学,2020.（四）教学策略教学策略是指在教师教学过程中为了实现教学目标而选取的一系列的教学方式和教学行为。在不同的教学条件下，教师所采用的方式方法不同。教学策略的制定和实施主要基于学生的身心特点和教师所设定的教学目标。因此教学策略具有较强的灵活性、综合性和可操作性。第一章数学史融入小数概念教学理论基础数学史融入小学数学教学的理论基础主要有历史发生原理、建构主义理论以及再创造理论。一、历史发生原理将德国生物学家海克尔提出的生物发生定律，即“个体发育史重蹈种族发展史”迁移到小学数学教育当中能够得出：“个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程”,也就是历史发生原理。吕晓敏.数学史融入数学教学的实践研究[D].青岛大学,2022，15.吕晓敏.数学史融入数学教学的实践研究[D].青岛大学,2022，15.二、建构主义理论建构主义理论的核心是学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及对所学知识意义的主动建构。学生对小数知识的学习不是被动接受知识的过程，而是对所学知识进行自主建构的过程。即学生在原有认知的基础上，建构起小数新知识的意义，并对已有经验进行改造和重组赵文静.数学史融入小学数学“小数”教学的策略研究[D].绍兴文理学院,2022，赵文静.数学史融入小学数学“小数”教学的策略研究[D].绍兴文理学院,2022，16.三、再创造理论荷兰教育家弗赖登塔尔提出的再创造教学理论认为，学习数学知识的核心是“数学过程的再现”，即把数学作为一项活动，对其进行阐释和分析。NOTEREF_Ref2672\f\h⑦再创造的教学理论要求让学生在学习的过程中体验数学家是如何创造现有知识的，但并非让学生简单地重复这个过程，而是要在教师的引导下，学生就特定的数学主题进行实践活动，进行“再发现”和“再创造”。所以根据再创造原理，教师结合学生的学情，将小数的历史进行重构，按照知识的发展顺序融入到小数的概念教学中，该任务并不仅仅是将知识传授给学生，而是让学生通过了解知识发展的历程，自主构造数学现实，在此基础上更好地掌握并运用数学知识。第二章小学数学中小数史料内容分解一、小学数学教材中小数的教学史料本研究中小数的概念教学主要指小学数学中“小数的意义”这部分内容的教学，而教材中含有的相关史料内容是教师在教学时融入数学史的主要来源。本研究通过整理并分析北师大版、苏教版以及人教版三个版本的小学数学教材，发现三个版本教材中的小数史料都是以文字或图片加文字的形式呈现出来的，并且都处于教材中“你知道吗”板块，给学生提供了了解数学历史的材料。北师大版本教材中的小数知识分布在三上、四下以及五上这三个阶段，其中在三上和四下的教学内容中涉及到了小数的历史。在三上第八单元“认识小数”这一课时中提到了小数名称的提出以及最早的小数表示方法，在四下第一单元“小数的意义和加减法”这一课时中提及了刘徽在《九章算术》中对徽数也就是小数的定义阐述，如图2-1、2-2所示。图2-1北师大版数学三年级上册小数教学史料图2-2北师大版数学四年级下册小数教学史料人教版教材将小数的知识安排在三年级下册、四年级下册和五年级上册，其中在三年级下册第七单元“小数的初步认识”这一节内容中呈现了我国古代的小数表示方法以及西方数学家克拉维斯对小数的贡献。在四年级下册“小数的意义和性质单元中简略地介绍了小数名称的发展历程，如图2-3、2-4所示。图2-3人教版数学四年级下册小数教学史料图2-4人教版三年级下册小数教学史料苏教版教材中有关小数的知识教学分布在三年级下册和五年级上册，但只有三年级下册的第八单元“小数的初步认识”这一课时介绍了小数表现形式的发展过程，如图2-5所示。图2-5苏教版数学三年级下册小数教学史料本研究通过对三版小学数学教材中小数教学史料的梳理分析，发现这些史料基本上都位于“小数的初步认识”及“小数的意义”这两节教学内容当中，并且大部分都是以图文结合的形式，呈现在课时的正文或者练习之后。呈现的内容都是围绕着小数名称的发展过程、表示方法的演变以及我国或西方国家数学家对小数的贡献。由此可见，虽然在教材当中小数的教学史料篇幅不长，但是能够反映出我国对普及数学史文化的重视，让学生不仅仅学习知识，更让学生了解知识的来源以及发展。二、小数的由来及发展小数的概念起源于古代，小数的产生和发展是为了实际测量和操作整数。随着社会的发展，人们在测量时需要更加精准的测量数量。起初，人们只能使用整数来表示数量，然后在整数后面附上“有余”、“有奇”等字样来表明数量和实际数目的差异。房元霞.小数的起源与发展[J].中学数学杂志,2008,(06):65-66.随着时间的推移，人们发现无法用整数来精确表示某些量，例如表示部分单位的长度、重量或时间。因此，小数作为整数的补充，应运而生。而小数的历史又可以分成小数名称的发展和小数记法的发展。房元霞.小数的起源与发展[J].中学数学杂志,2008,(06):65-66.（一）小数名称的发展过程在公元一世纪，中国使用了丈、尺、寸、分、厘、毫的十进度量单位。公元三世纪，刘徽在注解《九章算术》时，在单位“豪”以下又增加了“秒”和“忽”两个单位，他在计算中把“忽”作为最小的单位，对“忽”以下的那些没有明确单位的数统称为“徽数”。井兰娟,潘丽云.数学史融入小学数学课堂教学的研究与实践——以小数的初步认识为例[J].中小学数学(小学版),2019,(09):3-8.南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》滕艳辉.以“无名”命“微数”——论中国十进制小数的起源与发展[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),2010,33(03):311-315.中称小数为“收数”，滕艳辉.以“无名”命“微数”——论中国十进制小数的起源与发展[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),2010,33(03):311-315.公元十三世纪，朱世杰提出了“小数”这个名称，他所编写的《算学启蒙》中有着以金求两（一斤等于十六两）的口诀：“一退六二五，二留一二五，三留一八七五，，十五留九三七五，”即116=0.0625，216=0.125，，（二）小数记法的发展过程数学史上最早的小数表示方法记述在南宋科学家何承天编写的《宋书》律历志部分，其中记载了大量像十一万八千二百九十六二十五（1148296.23）、二百四十六十七（246.17）这种将小字附在整数位后面来表示小数的文字NOTEREF_Ref1296\f\h⑦。宋代数学家秦九韶用文字标记在筹算数码的个位数上，以此将整数与小数部分明确地区分开。他用筹算将“三十二万四千五百六步二分五厘”（324506.25步）记为如图3-6所示。图中的“余”字所起到的作用相当于现在的小数点，表示在该字后面的位数都是小数。图3-6秦九韶筹算小数记法而元朝的刘瑾在其音乐著作《律吕成书》中，将“106368.6312”忽记为如图3-7所示。他将小数部分写得比整数部分低一格，以此将整数部分与小数部分区分开来。图3-7刘瑾小数记法1585年，被西方称为十进小数发明人的斯特文出版了《论小数》，他在这本册子中详细地介绍了小数的意义，并将小数推广到各种算数运算当中。斯特文在最后一位整数的后面写上一个圆圈，圈里写一个“0”，在后边的每一位小数之后都加上一个圆圈，依次在圈中写上1，2，3，4，...，用来表示每个数字的位数。比如将28.435记作280413253或28，4’3’’5’’’。眭秋生.我国十进小数发展简史[J].南京师大学报(自然科学版),1985,(02):91-95.但是这种表现方法过于繁琐，将这种表现形式运用到算数当中无形之中增加了计算的难度，因此开始有数学家在探索更为简便的表示方法。有的数学家用一条垂直线将整数与小数两部分区分开，有得数学家选择在小数部分下面画一条横线，等等。眭秋生.我国十进小数发展简史[J].南京师大学报(自然科学版),1985,(02):91-95.直到1593年，德国数学家克拉维斯在其著作《代数学》中提出了将小圆点“.”作为分隔整数与小数的记号，也就是现代小数记法中的小数点，该表示方法在欧洲逐渐被采用。目前除了以中国、英国以及北欧为代表的以“.”作为小数点以外，还存在以德国、法国等国家为代表将“，”作为小数点。三、小数与社会的联系小数在日常生活中占据着重要的地位，从购物时的价格、测量身高和体重、时间的表示等等，都离不开小数。小数的产生以及使用能够将这些量的表示更为精确。小数在现代科技中发挥着至关重要的作用，无论是物理学、电子工程、计算机科学还是经济学等领域，小数的精确计算都是不可或缺的。例如，在物理学中，小数的运用使得各种物理量的测量和分析更加精准；在电子工程中，小数的使用能够将电压、电流等物理量的表示更加准确；在计算机科学中，小数的计算是实现算法精确性的关键；在经济学中，小数的使用使得金融数据的处理和分析更加高效。由此可知，小数的意义不仅仅是数学学科中的一个概念，更是人们日常生活中必不可少的一部分。随着教育的发展，小数的教育也在全球范围内得到了一定程度的推广和实践。同时，随着科技的发展，电子设备和在线资源也应用于小数的教育实践中。通过这些教育和实践活动，小数的应用才得以在更加广泛的领域中得到推广和应用。第三章基于数学史的小数概念教学实施情况调查一、课堂观察研究（一）观察对象本研究对H市L小学的数学史融入小数概念教学情况进行课堂观察，该校所用的数学教材是苏教版，苏教版中小数的概念教学内容安排在了五年级上册，因此本研究选取H市L小学五年级的五节“小数的意义”课时进行听课观察。本研究在听课观察前设计相应的观察记录表，将五节小数概念教学课中教师对小数史料的教学情况记录下来，再通过表格所记录的内容来分析H市L小学课堂中将数学史融入小数概念教学的现状。（二）观察工具设计为了更好地将课堂中教师对数学史的运用情况，本研究设计了数学史融入小数概念教学课堂观察记录表，表中共有九项内容，分别是：教学班级、教学内容、授课教师、本节课中是否出现小数相关史料、数学史融入环节、数学史融入方式、数学史融入类别、数学史融入内容、以及数学史融入教学片段。此外，要将每一节课的教学情况完整的记录下来需要借助一定的记录设备，因此，在征得授课教师的同意下，本研究利用拍摄工具对五位老师的授课进行录像保存，便于后期对课堂观察记录表的补充。（三）观察结果分析1.数学史融入课堂情况分析本研究通过对五节“小数的意义”教学课观察发现，其中五节课都融入了小数的历史，可见H市L小学的教师注重于数学传统文化的传播，如表4-1所示。表4-1“小数的意义”教学中数学史融入情况授课教师授课班级授课内容本节课中是否出现小数相关史料钟老师五年级（1）班小数的意义是陈老师五年级（2）班是肖老师五年级（3）班是续表4-1“小数的意义”教学中数学史融入情况授课教师授课班级授课内容本节课中是否出现小数相关史料李老师五年级（4）班是朱老师五年级（5）班是数学史料能够将具体的数学知识与古代历史结合起来，教师将富有生机的小数历史知识融入到课堂教学中，能够增加学生的学习趣味，有助于学生更深刻的理解小数知识并提高对数学知识的欣赏与感悟能力。2.数学史融入环节分析在五节“小数的意义”教学课中，有的老师选择在导入环节融入小数的相关历史发展来开展教学，有的老师则选择在总结环节向学生讲授小数的历史知识来结束课堂，具体融入环节情况如表4-2所示。表4-2“小数的意义”教学中数学史融入环节授课教师数学史融入环节钟老师总结环节陈老师导入环节、总结环节肖老师导入环节、总结环节李老师总结环节朱老师导入环节、总结环节从表中能够看出，大部分教师都选择在导入环节或者总结环节融入小数相关史料。在导入环节讲授相关小数史料能够吸引学生的注意，让学生能够及时的投入到课堂当中，同时也为接下来学生学习小数的意义做铺垫。在课堂结尾处融入数学史，能够拓宽学生的视野，提高学生对古时数学文化的感悟能力，从而树立起学习数学的信心以及民族的自豪感。教师根据自身的教学设计，选择不同的时机融入小数史料能够对学生的数学知识学习产生不同的影响，进而帮助学生更好地理解小数的意义并合理的运用所学到的知识解决问题。3.数学史融入方式分析我国著名学者汪晓勤将数学史在数学教学中的运用方式归为四类，即附加式、复制式、顺应式和重构式汪晓勤.HPM视角下的小学数学教学[J].小学数学教师,2017,（Z1）:77-85.，如表4-3所示。汪晓勤.HPM视角下的小学数学教学[J].小学数学教师,2017,（Z1）:77-85.表4-3数学史融入数学教学的方式方式描述例子附加式展现有关的数学家图片，呈现其背景故事，介绍相关数学定义、原理等的发展过程。向学生讲述笛卡尔表示苍蝇位置的故事、古人的结绳计数法、分数的产生等等。复制式直接采用历史上的名题、解法和思路、定理的证明过程等。在教学两位数乘法时，直接引入格子算法；在教学行程问题时，直接采用《计算之书》中的两船相遇问题。顺应式结合学生认知和教学内容以及历史材料适当改编历史名题。齐春燕和顾海萍齐春燕,顾海萍.“同底数幂的运算”：以重构和顺应的方式融入数学史[].教育研究与评论（中学教育教学版）,2015，（03）:39-42.齐春燕,顾海萍.“同底数幂的运算”：以重构和顺应的方式融入数学史[].教育研究与评论（中学教育教学版）,2015，（03）:39-42.重构式根据相关史料的发展过程重构知识的发生，引导学生经历探究知识的过程。按照“品圆-画圆-识圆-用圆”的顺序重构圆的历史；按照“质-量-关系”的顺序再现角概念的历史。五节“小数的意义”概念教学课中，五位老师选择了其中的一种或两种来进行小数历史知识的教学，具体情况如表4-4所示。表4-4“小数的意义”教学中数学史融入方式授课教师数学史融入方式钟老师附加式陈老师附加式、复制式肖老师附加式、复制式李老师附加式朱老师附加式从表中能够看出，五位老师在教学中都运用了附加式来融入小数的相关历史，而陈老师和肖老师还运用了复制式来开展小数的历史知识教学。教师的教学理念、小数历史知识储备、教学资源、课时安排等都影响着教师在小数概念教学中选择数学史的融入方式。这四种运用方式虽没有严格的优缺点之分，却存在着使用水平上的差异。附加式和复制式属于较简单的运用形式，对教师的数学史知识储备情况要求也比较低，教师只需将数学史料直接呈现给学生再加上一定程度的讲解就达到融入的目的，所以。而顺应式和重构式的运用需要教师对讲授的知识相关历史精挑细选，将其根据历史发展背景改变或重构后再应用于课堂，学生能够经历知识的建构过程，在获得知识的同时也提高了感悟数学传统文化的能力。4.数学史融入类别分析小数的历史材料分为四大类，分别是数学人物故事、数学思想方法、小数知识的由来与发展以及小数知识与社会的联系。五位老师融入的数学史类别如表4-5所示。表4-5数学史融入类别及具体内容授课教师数学史融入类型具体内容钟老师小数知识的由来与发展通过微课视频展示小数名称的由来。陈老师数学人物故事、数学思想方法、小数知识的由来与发展引用华罗庚的名言：数是数出来的；十进制计数思想；微课视频展示小数的产生。肖老师数学思想方法、小数知识的由来与发展十进制计数思想；微课视频介绍小数名称的由来与发展。李老师小数知识的由来与发展微课视频呈现小数表示方法的发展历程。朱老师数学人物故事、数学思想方法、小数知识与社会的联系引用华罗庚的名言：数是数出来的；十进制计数思想；微课视频介绍黄金分割率。钟老师、陈老师、肖老师和李老师都将小数知识的由来与发展融入到课堂当中，除了李老师选择向学生呈现小数表示方法的发展历程外，其余三位老师都选择了介绍小数名称的由来。陈老师和朱老师通过引用数学家华罗庚的名言：“数是数出来的”来进行小数新知的讲授。陈老师、朱老师利用十进制计数思想将小数与分数、整数连接起来。由此可见，教师在选择小数历史融入课堂教学时，更倾向于介绍小数的来源，即使是讲授数学人物故事或者是利用十进制计数思想来引入小数的概念，也是为了揭示小数的本质，即为了小数的基础知识教学而服务。对于小数历史在人文方面的内容运用不足，例如小数知识与社会的联系、数学家对小数知识的贡献等深层次的历史内容。教师更关注的是小数相关历史在小数概念教学当中能够起到让学生更好地理解并运用知识的作用，而忽略了历史知识的育人功能。5.数学史融入课堂教学片段分析本研究将五位老师在课堂上融入数学史的教学片段以实录的形式做了记录，便于深入分析五位老师融入数学史的教学情况。首先是钟老师在教学过程中融入小数名称由来的教学片段：师：同学们，我国是最早提出小数的国家，而最早提出“小数”这个名称的是我国数学家刘徽，接下来让我们一起走进数学家刘徽的世界。（播放微课视频）你知道吗？我国古代数学家刘徽早在1700多年前就开始使用小数，他在计算圆周率的过程中，用到尺、寸、分、厘、毫、秒、忽等7个长度单位；对于忽以下的更小单位则不再命名，而统称为“微数”.在他对公元前1世纪的《九章算术》的注释中，记述了一个1.355尺的直径。《九章算术》本身已谈到平方根和得到的非整数的解，即留有余数的计算结果。但刘徽并不满足于余数，而以“微数法”进一步表示成一系列的十进制小数位。他说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”通过演算可证明，刘徽的“微数法”与现代小数概念是一致的。其余四位老师与钟老师融入小数历史教学片段比较相似，陈老师和肖老师也是通过播放微课视频的方式来介绍小数名称的产生，其内容与钟老师所播放的视频内容没有太大的区别，也是介绍了刘徽在《九章算术》中对“微数”的提出以及注解。而李老师则是将小数名称的由来及发展以播放微课视频的方式融入教学课堂，其教学片段如下：师：同学们，其实小数在1700多年前就已经产生了，但是一开始小数并不是用阿拉伯数字来表示的，同学们想不想知道古人是怎么表示小数的呢？生：想！师：那接下来我们通过一个视频一起来了解一下小数的表示方法的发展过程。（播放微课视频）你知道吗？在我国古代，人们用低一格摆算筹的方法来表示小数，后来,又有人将小数部分的各个数字用圆圈圈起来,这么一圈,就把整数部分和小数部分分开了。有了阿拉伯数字后,先后出现了像这样表示小数的方法.64.1264|12。在西方,小数出现很晚。直到十六世纪,法国数学家克拉维斯用小圆点“.”表示小数点,确定了现在表示小数的形式；不过还有一部分国家是用逗号“,”表示小数点的。例如:64.12表示成64,12。朱老师将小数知识与社会的联系融入到课堂的总结环节，其教学片段如下：师：同学们，其实小数的诞生到目前为止已经经历了四百多年，小数它不仅仅具备着我们这节课所学习的数学学科知识，它还存在着更为丰富的内涵，小数在我们的日常生活中扮演者非常重要的角色，大家知道我们平时在什么样的情况会用到小数吗？生1：去超市买东西的时候，有些商品的标价上面有小数。生2：测量身高的时候，会有小数出现，比如说一米五也就是1.5米。生3：测量体重的时候也会出现小数，比如66.6斤。师：是的，同学们所提到的这些场景都会有小数出现，接下来老师给大家介绍一个比较特殊的小数，让我们一起来看看这个小数的特别之处。（播放微课视频）你知道吗？0.618是世界公认的最美小数，被古希腊美学家柏拉图誉名为黄金分割率。意大利画家达芬奇发现，如果按0.618：1来设计腿长与身高的比例，画出的人气身材最优美；建筑师们对0.618更是情有独钟，无论是古埃及的金字塔还是巴黎圣母院，这些建筑的构造都离不开黄金分割率；就连植物界也存在着黄金分割率，如果从一颗嫩枝的顶端往下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排布着。由此可见，哪里存在小数0.618，哪里就存在着闪闪发光的美。【分析】观察了五节“小数的意义”概念教学课，本研究发现学生在一节课上保持了将近四十分钟的专注之后，越靠近课堂的尾声学生就会更加躁动，这时候老师以播放视频的形式将小数的历史呈现给学生，无论是介绍小数知识的由来或者是小数知识与社会的联系，都能够在一定程度上吸引学生的注意力，将学生迫切地想要下课的激动情绪安抚住。并且在总结环节融入数学史比在其它环节融入数学史所具有的优势是有较大的时间弹性，也就是说，在确保教学任务完成的前提下，能够给学生拓展了解小数的发展历史；若教学时间紧张，刚好讲完当堂课的教学内容，教师就不会再给学生们讲解小数的相关历史。但是在总结环节能够有效地介绍小数历史知识的时间很短暂，老师将历史内容以视频的形式播放结束后就匆匆结束课堂，学生无法得到充足的时间来阅读史料、理解史料，这样会使数学史的教学效果大打折扣。陈老师、肖老师和朱老师都在课堂的导入环节引入了十进制的计数思想，三位老师引用十进制计数思想的核心都是利用其计数特点来引导学生认识小数产生的本质，但是将其在课堂上呈现给学生的形式不同，三位老师的具体教学片段如下，首先是陈老师融入十进制计数思想教学片段：【教学片段一】师：著名数学家华罗庚说过：“数是数出来的。”同学们觉得这句话有道理吗？生：有道理。师：我们数数有时一个一个的，当数量较多时，就可以十个十个、百个百个、甚至千个千个的数，个十百千都是我们以前学过用来数数的单位，咱们把它叫做什么呢？生：计数单位。师：没错，这个就是我们之前所学过的计数单位。当我们一个一个的数，数到了十就会怎么样？生：往前进一。师：所以十个一就是一个百，那么十个十呢？生：十个十是一百。师：往下呢？生：十个百就是一千。师：就这样满十进一，不断地数下去，能数到最大的计数单位吗？生：不能。师：那有没有最小的计数单位呢？生1：我认为个是最小的计数单位。生2：我认为没有最小的计数单位，因为有比个位数还小的数。师：出现了不同的答案，那究竟有没有最小的计数单位呢？让我们带着这个疑问再来数数，说不定数着数着就会有新的发现。这节课我们用数轴来数数，数轴的起点和终点分别表示了0和100，把数轴平均分成10段，那么一段的距离就代表着10。接着把0到10的这一段再平均分成十分，那么一小格就代表着1。现在同学们看这个点的位置，出现在了0到1之间，它会表示的是哪一个数呢？现在请同学们在探究单上分一分，找到这个小数，找到之后说一说你是怎么分的？为什么？【教学片段二】师：刚刚同学们都知道了0.1也就是十分之一，0.01也就是一百分之一，他们确实都是计数单位，而且都是在数小数时的计数单位。首先我们把1平均分成10份，找到了十分之一；把十分之一再平均分成10份，找到了一百分之一。更够一直往下平均分，这样就不存在最小的计数单位。所以同学们你们看，数字之间就是这么奇妙，一个十进制就把小数和整数紧紧联系起来了。肖老师融入十进制计数思想教学片段如下：师：“数”起源于数，那怎么数数呢？今天老师就带领大家返回远古时代，一起来看看古人是怎么数数的？（播放视频）古时候人们很喜欢打猎，可是那会阿拉伯数字还没有诞生，他们就借助十根手指，用一一对应的方法记住自己所捕获的猎物。成语“屈指可数”就是这样得到的。可是捕获的猎物越来越多，十根手指已经不够数了，古人就想到了一个新的办法，十根手指数完就在绳上打一个结，这样一个结就代表了十只猎物。久而久之绳子上的结越来越多了，聪明的古人又想到了办法，当绳子上的结到了十个的时候，就在另一根绳子上打一个大大的结，就这样借助在绳子上打大小不一的结来计数。这就是古人类所发明的结绳计数法。师：看完视频后，我们都知道古人在数数的时候已经知道了从一开始数起，然后满了十个1就要打一个大大的结，这跟我们现在数数时遵循的什么原则是一样的？生：满十进一。师：没错，满十进一原则。满了十个一就打一个大的结来表示十个一；满了十个十就又会打更大的结来表示十个十，也就是一个百。就这样一直重复下去。师：在远古时代的某一天，部落里来了九位客人，首领正好打了一只新鲜的猎物。于是他把这只猎物平均分成了10份，他拿出九份来招待客人，这个时候还剩下一份，他该怎么记录下还剩的一份呢？生：可以用结绳计数法在绳子上打一个比表示1还小的结。师：那这个小结所表示的数字是什么？生：是十分之一。师：为什么？生：因为把一直猎物平均分成10份之后就可以用十分之一来表示每一份，剩下的一份也就是其中的十分之一。师：还能怎么表示？生：还能表示成0.1。师：那要是来了八位客人，还剩下两份，对应的分数和小数应该是多少？生：十分之二和0.2。朱老师对十进制计数思想的融入教学片段如下：【教学片段一】师：同学们，数学家华罗庚对数的理解简明深刻，他说数是数出来的。那数怎么数？数的是什么？让我们带着这两个问题一起来数数。（课件呈现小方块让学生数）师：同学们你们数出来了吗？这里有多少个方块？生：6个。师：你们是怎么数的？生：一个一个数的。师：那我们数的是什么？生：数的是方块的数量。师：换个说法，还可以说数的是计数单位。这里的计数单位是什么呢？生：是1。师：那我们接着看这里有多少个方块？生：60个。师：你是怎么数的？生：先数一份有几个，再数一共有几份。师：也就是说你们这里是几个几个的数？生：十个十个的数。师：这里的计数单位也就是多少？生：计数单位是10.师：那我们十个十个的往下数，数了十个十就会数出多少个？生：一百个。师：我们刚刚在数数的过程中遵循了什么原则？生：满十进一。师：在这里面最小的计数单位是多少？生：最小的计数单位是1.师：那有没有最小的计数单位呢？生1：有。生2：没有。师：那这节课我们就一起来探讨这个问题。【教学片段二】师：我们刚刚通过将一个小方块平均分成10份得到了小数0.1，又将0.1块的小方块平均分成10份，就得到了0.01。计数单位在小数当中，越往细了分，所得到的计数单位就越小，现在同学们认为存不存在最小的计数单位呢？生：不存在。【分析】从三位老师融入数学史的教学片段来看，教师融入十进制计数思想之后缺乏延续性，也就是说，三位教师通过十进制计数思想讲授小数的意义之后并没有深入探究其本质，呈现给学生的十进制计数思想处于比较浅的层次。三位老师都是先让学生经历从1数到10、再从10数到100、再从100数到1000的形式让学生回忆起所学过的计数单位，并且都以及了“满十进一”原则。但是陈老师和朱老师在让学生通过思考有没有最小的计数单位从而获得小数的概念时，只是提到了将整数“1”平均分成10份，每份就表示十分之一，也就是0.1，以此类推能够一直往下分所以不存在最小的计数单位，但是在整个教学过程中并没有对学生所说的“平均分成10份”作出相应的提问或阐述。因为十进制计数思想的核心就是相邻的两个计数单位之间的进率是10，在计数单位“1”和计数单位“0.1”之间的进率也是十，所以要一定将“1”平均分成十份才能得到比“1”还小的计数单位，而不是分成8份、9份。肖老师所引用的“结绳计数法”的核心思想也是十进制计数法，肖老师并没有带领学生深入分析十进制计数思想的本质，学生只能根据教师所创设的情境“把一只猎物平均分成10份，其中的一份就是十分之一”从而得到0.1这个小数的概念。通过对H市L小学“小数的意义”概念教学的课堂观察，能够发现目前在课堂上基于数学史的小数概念教学存在的问题有教师数学史融入时机不当，大部分教师还是更倾向于在课堂结尾将小数的历史知识简单讲解即可；数学史融入方式单一，教师都是选择附加式和复制式将小数的历史直接融入到课堂教学当中，没有将小数的相关历史知识进行适当的改编或重构再间接呈现给学生；数学史融入内容较少，教师还是更关注数学史对数学学科基础知识的教育意义，所以在选择小数史料时通常选择的是小数名称或表示方法的由来及发展，较少关注到小数知识与现实社会的深层联系；数学史教学缺乏延续性，教师融入某种小数历史后并没有抓住时机进行深入探讨，对数学思想方法的渗透不到位。因此，在这些问题下进行数学史融入课堂教学，会导致数学史的教学效果达不到预期效果，甚至微乎其微。二、教师访谈研究（一）访谈对象本研究选取H市L小学四位数学老师作为访谈对象，因为该校所使用的数学教材版本是苏教版，而苏教版中小数相关知识分布在三年级和五年级，所以选择了两名当前正在教授三年级的数学老师以及两名教授五年级的数学老师。通过对四位教师的访谈来了解教师对于数学史融入小数概念教学的看法以及目前基于数学史的小数概念教学存在什么样的问题。（二）访谈工具设计在对四位教师进行正式访谈之前，本研究根据教师对数学史的了解程度、教师对数学史教学的看法以及教师对数学史的应用情况三个维度撰写了访谈提纲，共设置了11个问题，维度所对应的具体问题如表4-6所示。表4-6基于数学史的小数概念教学策略研究教师访谈提纲维度与问题设置维度问题教师对数学史的了解程度您认为数学史包括哪些内涵？2.您对小数的相关数学史了解多少？教师对数学史教学的看法3.您对数学史融入数学概念教学有什么看法？4.您认为将数学史融入小数概念教学会给学生的学习带来什么样的影响？5.结合当前现状，您认为将数学史应用于小数概念教学中存在什么样的困难？教师对数学史的应用情况6.您是否有过将数学史融入数学课堂的经历？7.您将数学史融入数学教学的实施效果如何？8.您是否会在设计概念教学时融入相关数学史？9.您会如何将相关数学史融入数学概念教学？10.您在进行小数概念教学设计时是否会融入数学史？11.您如何让设计将数学史融入小数的概念教学？其中第六题和第七题为关联题，若教师在第六题中回答没有数学史的教学经历则不需要对教师提问第七题。第八题与第九题、第十题与第十一题同为关联题。（三）访谈结果分析1.访谈教师基本信息被访谈的四位教师基本信息如下表所示。表4-7被访谈教师基本信息教师代称当前所授年级教龄职称教师A三年级17年一级教师教师B三年级12年二级教师教师C五年级6年二级教师教师D五年级36年一级教师由上表可知，四位被访谈教师中有3位教师的教龄均高于10年，有一位教师的教龄虽然与其他三位教师相比较少，但是也从教了六年，说明被访谈的四位数学教师都具有丰富的教学经验。2.教师对数学史的了解程度访谈分析问题1：您认为数学史包括哪些内涵？综合对被访谈教师的回答分析可知，四位教师一致认为数学史是一门研究数学自身发展及其演变的科学。数学史主要包含了数学内容、思想和方法的演变及发展过程。如教师C的回答是“我认为数学史就是有关于数学的历史渊源，包括了数学思想发展的历程、数学家的故事、历史上数学科学的发展对社会文明发展所带来的影响以及经历过各种演变发展才成为今天的数学。”问题2：您对小数的相关数学史了解多少？在被访谈的四位教师中，仅有教师D能够说出小数的发展历程，其余三位教师均表示对于小数的数学历史文化内容不了解，没有特意去了解过关于小数的历史发展。关于小数的历史内容，教师D答道“我所了解的小数历史知识有小数最早是由我国数学家刘徽提出的，他在《九章算术》中将整数个位以下无法标出名称的部分称为‘微数’。后来由我国另一位数学家朱世杰正式提出了小数这个名称。而小数的产生实际上是由于实际度量的需求以及数学运算的需要，并且小数的产生与整数、分数有着密切的联系，小数的产生使得十进制计数法从整数拓展到了分数。”由此可知，目前教师对于小数的历史知识储备不足。教师自身具有丰富的数学史知识是教师将数学史融入课堂，充分并灵活运用的前提。教师所储备的数学史知识越丰富，在课堂上运用数学史知识进行教学的效果才会更好。反之，教师在掌握数学史知识不多的情况下进行相应内容的教学会导致无法向学生解释更多的历史知识，仅仅局限于教材所呈现的点滴历史知识。3.教师对数学史教学的看法访谈分析问题3：您对数学史融入数学概念教学有什么看法？教师A对该问题的回答是“数学概念教学是学生学习数学知识的基础，也是我们教师培养学生数学思维的核心。将数学史融入数学概念教学能够帮助学生了解数学概念知识的产生、发展以及在现实生活当中的应用，这样能够加深学生对数学概念知识本质的理解。”教师B答道“数学概念知识对于学生来说是比较单调乏味的，学生为了能够将数学概念牢牢地记住就会死记硬背，只是停留在数学概念只是的表面，并不能抓住其背后的本质。将数学史融入概念教学的话能够让学生经历概念的形成、发展，从而激起他们对数学概念学习的兴趣。”教师C的回答是“我觉得是可以不断地将数学史渗透和融入到概念教学中，就比如说分数的认识，之前有位老师是把数学史编成一个故事，将其糅进分数的初步认识教学当中。这个故事讲的是打渔的和打猎的，二者通过物物等量交换，从分肉开始，比如一块肉可以换两条鱼，那么一条鱼可以换几块肉。通过这种以故事的形式让孩子们去交流，富有趣味性，还能够让孩子了解分数是怎么来的。”教师D的回答是“对于小学阶段的这些孩子来说，以语言描述所表达的数学概念知识是很抽象的，学生要想彻底理解概念有一定的难度。比如一年级的孩子在刚开始认识数字的时候，要让他们理解数字本身的概念不容易，他们能够知道现实生活中的一个人、一个苹果、一个玩具，但是他们不知道这个数字‘1’本身是什么。那这个时候我们可以通过引入古人的结绳计数法到后来阿拉伯数字的发明，让学生加深对概念的理解，同时也提高了课堂教学的趣味性。”从四位老师的回答可以看出，四位教师都认为数学史融入数学概念教学可以激发学生的学习兴趣，帮助学生更好地理解数学概念知识，充分肯定了数学史融入概念教学的教育价值。问题4：您认为将数学史融入小数概念教学会给学生的学习带来什么样的影响？四位教师对该问题的回答与上一题所答内容相差不大，都认为数学史融入小数概念教学能够帮助学生更好地理解小数的意义，教师通过介绍小数知识的由来及发展能够让学生了解小数的本质，例如教师B所说“将数学史融入小数概念教学，