天津一百中2024-2025学年高二（下）诊断数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页天津一百中2024-2025学年高二（下）诊断数学试卷（3月份）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=1A.2 B.4 C.8 D.162.曲线f(x)=x2A.π4 B.π3 C.3π3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若a2，a3，aA.15 B.−15 C.−13 4.函数f(x)=A. B.

C. D.5.现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为(

)A.420

B.340

C.260

D.1206.已知函数f(x)=lnx−A.[0,+∞) B.(07.已知(4x+a)(1−A.−32 B.−8 C.24 8.定义在R上的函数f(x)导函数为f(x)，若对任意实数x，有f′(A.(−∞,1e) B.(9.已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)=xf(x)A.a<c<b B.a<b二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.若(x2+2x2)11.函数f(x)=x3−12.某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有______种不同的方法.(用数字作答)13.已知函数f(x)=ex−x−1，g(x)14.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的三位数，这样的三位数共有______个.(用数字作答)15.已知函数f(x)=lnx+1−2mx三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//DC，AB=3，AA1=217.(本小题12分)

已知数列{an}是递增的等差数列，{bn}是等比数列，b1=2a1=2，b2=2a2，b3=2a4．

(18.(本小题12分)

已知函数f(x)=xex,g(x)=a2(x+1)2−1e，其中a>0．

(119.(本小题12分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，短轴长为4．

(1)求椭圆的方程．

(2)过左焦点F1作两条互相垂直的直线l1，l20.(本小题12分)

已知f(x)=xln(ax+b)．

(1)若f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x答案和解析1.【答案】D

【解析】解：根据题意可知，函数f(x)=13x3−x，f′(x)2.【答案】C

【解析】解：f′(x)=2xlnx+x−2，

所以f′(1)=−1，

设曲线f(x)=3.【答案】C

【解析】解：设等差数列的公差为d，d≠0，

则a2=1+d，a3=1+2d，a6=1+5d，

由a2，a3，a6成等比数列，得a4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查函数图象的识别和判断，属于基础题．

判断函数的奇偶性以及取特殊值法进行判断排除即可．【解答】

解：函数的定义域为{x|x≠0}，

f(−x)=e−x−exx2=−f5.【答案】A

【解析】解：由题意五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，

可分情况讨论：

若A，E同色、B，D同色，有A52，此时C有3种涂法，共有3A52=60种，

若A，E同色、B，D不同色，有C51，此时B，C，D有A43种涂法，共有C51A43=120种，

同理B，D同色、A，E不同色也有120种，

若A，B，C，D，E的颜色互不相同，则有A55=120种，

综上，共有60+120+120+120=420种．

故选：A．6.【答案】D

【解析】解：函数f(x)=lnx−12ax2−2x在[12,1]存在单调递减区间，

则f′(x)=1x−ax−2≤0在[12,1]上有解，

7.【答案】B

【解析】解：令x=1，则所有项的系数和为(4+a)×(1−2)4=5，解得a=1；

则(48.【答案】D

【解析】解：若对任意实数x，有f′(x)<f(x)，且f(0)=−1，

令函数F(x)=f(x)ex，则F(0)=−1，F′(x)=f′(x)−f(x9.【答案】A

【解析】解：因f(x)为奇函数且在R上是减函数，所以f(−x)=−f(x)，f(0)=0，f′(x)<0，

且x>0，时f(x)<0．

因g(x)=xf(x)，所以g(−10.【答案】160

【解析】解：由题可得：2n=64，故n=6，

(x2+2x2)6的通项公式为Tk+1=C6k(11.【答案】1

【解析】解：由f(x)=x3−x2−x+2，可得f′(x)=3x2−2x−1=(3x+1)(x12.【答案】14

【解析】解：4名医生分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，

若按照1：3的比例，共有C41=4种分组方案；

若按照2：2的比例，共有C42A22=3种分组方案；

13.【答案】(−【解析】解：根据题目：已知函数f(x)=ex−x−1，g(x)=x−lnx+a，

若∀x1∈R，∃x2∈(0,e]，使得f(x1)≥g(x2)，

由f(x)=ex−x−1，可得f′(x)=ex−1，

当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x14.【答案】54

【解析】解：第一类，没有偶数数字的三位数，即有A33=6个；

第二类，有一个非0偶数数字的三位数，即有：C21C32A33=36个；

第三类，有一个偶数数字0的三位数，即有：15.【答案】[l【解析】解：因为f(x)=lnx+1−2mx23x+1，所以定义域为(0,+∞)，

又因为y=f(x)有两个零点，

即y=lnx+1−2mx2有两个零点，

则方程lnx+1x2=2m有两个根，

即函数g(x)=lnx+1x2图象与y=2m图象存在两个交点，

因为g′(x16.【答案】证明见解析；

105；

3【解析】解：(1)证明：如图：

取CB1的中点P，连接NP，MP，

由N为BC1中点，可得NP//CC1且NP=12CC1，

由M为DD1中点，故D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，

所以D1M//NP且D1M=NP，

所以四边形D1MPN为平行四边形，所以D1N//MP，

又MP⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，

所以D1N//平面CB1M；

(2)因为AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，故可以A为原点，建立如图空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(3,0,0)，17.【答案】an=n，bn=2n；

【解析】解：(1)数列{an}是递增的等差数列，

{bn}是等比数列，b1=2a1=2，b2=2a2，b3=2a4．

设公差为d(d>0)，公比为q，

可得b1=2，a1=1，

联立可得2q=2(1+d)2q2=2(1+3d)，解得d=1q=2或d=0q=1(舍)，

所以an=n，bn=2n．18.【答案】减区间为(−∞,−1)，增区间为(−1,+∞)【解析】解：(1)f′(x)=ex+xex=ex(x+1)，

当x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x=−1时，函数f(x)取得极小值f(−1)=−1e，

所以函数f(x)的减区间为(−∞,−1)，增区间为(−1,+∞)，极小值为−1e，无极大值．

(2)由函数g(x)=a2(x+1)2−1e，可得xg(x)=a2x(x+1)2−1ex，

设m(x)=xg(x)=a2x(x+1)2−1ex,x∈[1,2]，可得m′(x)=a2(3x2+4x+1)−1e，

因为对∀x1，x2∈[1,2]且x1<x2，x1g(x1)<x2g(x2)恒成立，

可得对∀x1，x2∈[1,2]，函数m(x)为单调递增函数，

即对∀x1，19.【答案】x28+y24=【解析】解：(1)由题意得e=ca=222b=4a2−b2=c2，解得a=22,b=2,c=2，

故椭圆方程为x28+y24=1．

(2)由(1)知F1(−2,0)，

设直线l1：y=k(x+2)(k>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=20.【答案】a=2，b=−1．

[【解析】解：(1)由f(x)=xln(ax+b)可得：f′(x)=ln(ax+b)+axax+b，f(1)=ln(a+b)．

因为f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x−y−2=0，

所以f′(1)=22×1−ln(a+b)−2=0，即ln(a+b)+aa+b=22×1−ln(a+b)−2=0，

故当f(x)在(1,f(1))处的