2024-2025学年广东省东莞市翰林实验学校高一下学期3月份月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省东莞市翰林实验学校高一下学期3月份月考数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则z=(

)A.−1+2i B.1+2i C.1−2i2.在▵ABC中，若A=105∘，C=30∘，b=2A.2 B.3 C.2 3.若a,b是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是(

)A.a−b,b−a B.24.在▵ABC中，若a=25，b=30，A=42°，则此三角形解的情况为(

)A.无解 B.有两解 C.有一解 D.有无数解5.关于非零向量a，b，下列命题中，正确的是(

)A.若a=b，则a=b B.若a=−b，则a//b

C.若a//b6.平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(1,3)，C(3,4)，则顶点D的坐标为(

)A.(0,2) B.(2,2) C.(2,1) D.(−2,3)7.▵ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若S▵ABC=a2+bA.有一个角是π6的等腰三角形 B.等边三角形

C.三边均不相等的直角三角形 D.8.边长为2的正三角形ABC的内切圆上有一点P，已知AP=xAB+yAC，则2x+yA.3−3,3+3 B.1二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z1，z2，下列结论正确的有(

)A.z1+z2=z1+z2 B.10.已知向量a=(cosα,sinα)，A.|a−b|的最大值为5+1

B.若|a+b|=|a−b|11.已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，其中a为定值．若▵ABC的面积S=12A.tanA的最大值为43 B.b2+c2的最小值为2a2

C.三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.已知复数z满足(1+i)z=1−7i(i是虚数单位)，则|z|=

．13.如图，为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且A,B,C,D四点共圆，则AC的长为

km．

14.如图，已知▵ABC为等边三角形，点G是▵ABC的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E.设AD=λAB,AE=μAC，且λμ≠0.设▵ADE的周长为c1，▵ABC的周长为c2，设四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知复数z满足(1−i)z=2+4mi，(m∈(1)若z是纯虚数，求m的值；(2)若z在复平面上对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．16.已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，c=(2,y)，且a//(1)求向量b、c；(2)若m=2a−b，n=a17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAa(Ⅰ)证明：sinA(Ⅱ)若b2+c218.如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N(异于点A)处设两个销售点，且满足∠A=∠PMN=75°，MN=6+2((1)试用θ表示AM，并写出θ的范围；(2)当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远).(注：sin19.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对z1,z2z1,z2∈C看作一个向量，记a=z1,z(1)设a=1,2−i,b(2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论a⋅(3)设α=2+2i,2，集合Ω=p∣p=参考答案1.D

2.A

3.D

4.B

5.BC

6.A

7.D

8.D

9.AC

10.AD

11.ACD

12.5

13.7

14.2915.【详解】(1)由(1−i)z=2+4mi若z是纯虚数，则有1−2m=01+2m≠0，所以m=(2)复数z在复平面内对应的点为(1−2m,1+2m)，由z在复平面上对应的点在第二象限，得1−2m<01+2m所以实数m的取值范围为m>

16.【详解】(1)解：因为a=(1,2)，b=(3,x)，c=(2,y)，且a所以x−2×3=0，所以x=6，y=−所以b=(3,6)，c(2)解：设向量m，n的夹角的大小为θ．由题意可得，m=2a−所以cosθ=因为0≤θ≤π，所以θ=3π

17.试题解析：(1)根据正弦定理，设asin则a=ksinA，b=ksinB，c=ksin C．代入cosAa+sin Asin B=sinAcos B+在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=所以sin Asin B=sinC(2)由已知，b2+c所以sin A=由(Ⅰ)，sin Asin B=，所以4故tan B=考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理

18.【详解】(1)如图，∠AMN=θ在▵AMN中，由正弦定理得：MN∵MN=(2)在▵APM中，AM=4∴A=16sin=81−=20−8=20−16sin=20+16sin当且仅当2θ=90∘，即θ=45∘时，AP2取得最大值∴当θ=45

1