2025版高考数学一轮复习第七章立体几何第六节空间向量及其运算和空间位置关系学案理含解析新人教A版

PAGEPAGE5第六节空间向量及其运算和空间位置关系2024考纲考题考情1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念①空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。②相等向量：方向相同且模相等的向量。③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合的向量。④共面对量：平行于同一个平面的向量。(2)空间向量中的有关定理①共线向量定理：对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb。②共面对量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb。③空间向量基本定理：假如三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc。2．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量①直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有多数个。②平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量。明显一个平面的法向量有多数个，它们是共线向量。(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n、mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝01．向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内随意一点。2．向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中随意一点。一、走进教材1．(选修2－1P97A组T2改编)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析eq\o(C1M,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c。故选C。答案C2.(选修2－1P111练习T3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________。解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，1,2)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，0,1)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(1,0,2)，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON。答案垂直二、走出误区微提示：①忽视向量共线与共面的区分；②运用数量积公式出错。3．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直 B．平行C．异面 D．相交但不垂直解析由题意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD。答案B4．O为空间中随意一点，A，B，C三点不共线，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋teq\o(OC,\s\up6(→))，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________。解析因为P，A，B，C四点共面，所以eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋t＝1，所以t＝eq\f(1,8)。答案eq\f(1,8)5．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________。解析|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\o(EF,\s\up6(→))2＝(eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))2＝eq\o(EC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DF,\s\up6(→))2＋2(eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→)))＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，所以EF的长为eq\r(2)。答案eq\r(2)考点一空间向量的线性运算【例1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))。解(1)因为P是C1D1的中点，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b。(2)因为N是BC的中点，所以eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c。(3)因为M是AA1的中点，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c。进行向量的线性运算，有以下几个关键点1．结合图形，明确图形中各线段的几何关系。2．正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义。3．平面对量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍旧成立。【变式训练】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。(1)化简：eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________。(2)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，则eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________。解析(1)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))。(2)因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))。答案(1)eq\o(A1A,\s\up6(→))(2)eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))考点二共线、共面对量定理的应用【例2】如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满意eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)。(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，所以由共面对量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面。(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，MN在平面ABB1A1内，当0＜k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，所以MN∥平面ABB1A1。三点P，A，B共线空间四点M，P，A，B共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))【变式训练】如图在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点。(1)试用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(AG,\s\up6(→))；(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C。解设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，(1)由图得eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1G,\s\up6(→))＝c＋b＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b＋c＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))。(2)证明：由题图得：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(ED1,\s\up6(→))＋eq\o(D1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因为eq\o(EG,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))无公共点。所以EG∥AC，又因为AC⊂平面AB1C，EG⊄平面AB1C，所以EG∥平面AB1C。又因为eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(FD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)eq\o(AB1,\s\up6(→))，因为eq\o(FG,\s\up6(→))与eq\o(AB1,\s\up6(→))无公共点，所以FG∥AB1，又因为AB1⊂平面AB1C，FG⊄平面AB1C，所以FG∥平面AB1C，又因为FG∩EG＝G，所以平面EFG∥平面AB1C。考点三利用空间向量证明平行或垂直【例3】如图所示，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°。(1)求证：AB⊥平面EDC；(2)若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD。证明(1)设eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，eq\o(CB,\s\up6(→))＝c，则〈a，b〉＝〈b，c〉＝90°，所以a·b＝b·c＝0。依据向量的线性运算，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝c－a。由E是AB的中点，得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(c－a)·eq\f(1,2)(a＋c)＝eq\f(1,2)(c2－a2)＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(c－a)·b＝c·b－a·b＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CE,\s\up6(→))，即AB⊥CE，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，即AB⊥CD。又CE∩CD＝C，所以AB⊥平面EDC。(2)连接EF，EG，因为E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，所以GE∥CB，GE＝eq\f(1,2)CB，GF∥CD，GF＝eq\f(1,2)CD，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b。由P为FG上任一点，设eq\o(GP,\s\up6(→))＝λeq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λb，所以eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(GP,\s\up6(→))－eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λb－eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)λeq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))。又eq\o(CD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))不共线，依据向量共面的充要条件可知eq\o(EP,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))共面。因为EP⊄平面BCD，所以EP∥平面BCD。1．选取空间不共面的三个向量为基底，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程。2．通过计算向量的数量积为0，可证明垂直问题。3．要证线面平行，证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示。【变式训练】在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2。(1)求证：EF∥平面ABCD。(2)求证：平面PAD⊥平面PDC。证明(1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)。点E，F分别是PB，PD的中点，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))。eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，0))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，即EF∥BD。又BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD。(2)由(1)可知eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,0,0)，因为eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，即AP⊥DC，AD⊥DC。又AP∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD。因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老师备用题))(协作例3运用)如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②所示。(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由。解(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1